高三数学微专题（1）——抽象函数的性质
专题介绍;本专题的指导思想是立足教材典题、研做高考真题，认真落实考教衔接.每个专题分四部分：回归教材、知识梳理、研做高考、跟踪练习”
【回归教材】
1、人教A版数学必修一P214综合运用第15题：已知函数是定义在R上周期为2的奇函数，若，求的值.
2、人教B版数学必修一P115练习B第3题：已知函数的定义域关于原点对称，判断下列函数的奇偶性：
（1）；（2）；（3）.
3、人教B版数学必修一P115练习B第5题：已知函数的定义域为，且函数图象关于对称，在区间上是增函数，判断在上的单调性.
4、北师大版数学必修一P65B组第4题：已知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，下列函数在区间上是否一定单调递增？
（1）； （2）； （3）； （4）.
5、北师大版数学必修一P73C组第2题：若函数的定义域是，且对于任意的，都有，试判断的奇偶性.
6、人教B版数学必修一P115练习B第1题：求证：二次函数的图象关于直线对称.
7、人教B版数学必修一P117练习3-1C第3题：求证：函数的图象关于点对称.
【知识梳理】
抽象函数的性质
1.周期性：；；
；（为常数）；
2.对称性：
对称轴：或者 关于对称；
对称中心：或者 关于对称；
3.如果同时关于对称，又关于对称，则的周期
4.单调性与对称性（或奇偶性）结合解不等式问题
①在上是奇函数，且单调递增 若解不等式 ，则有；
在上是奇函数，且单调递减 若解不等式 ，则有；
②在上是偶函数，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）；在上是偶函数，且在单调递减 若解不等式 ，则有（变号加绝对值）；
③关于对称，且单调递增 若解不等式 ，则有；
关于对称，且单调递减 若解不等式 ，则有；
④关于对称，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）；关于对称，且在单调递减 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）；
【研做高考】
1、2023年新课标全国Ⅰ卷数学第11题：（多选）已知函数的定义域为，，则（ ）．
A. B.
C. 是偶函数 D. 为的极小值点
2、2022年新课标全国Ⅰ卷数学第12题：（多选）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A. B. C. D.
3、2022年新课标全国Ⅱ卷数学第8题：已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A. B. C. 0 D. 1
4．(2021年高考全国甲卷理科)设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则 ( )
A． B． C． D．
5、(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)设函数的定义域为，满足，且当
时，．若对任意，都有，则的取值范围是 ( )
A． B． C． D．
6．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)已知是定义域为的奇函数，满足．若，则 ( )
A． B．0 C．2 D．50
7．(2014高考数学课标1理科·第3题)设函数,的定义域都为R,且是奇函数,是偶函数,则下列结论正确的是( )
A．是偶函数 B．||是奇函数
C．||是奇函数 D．||是奇函数
8．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第12题)已知函数满足，若函数与图像的交点为，则 ( )
A． B． C． D．
9、2023年新课标全国数学Ⅱ卷第4题：若为偶函数，则（ ）．
A. B. 0 C. D. 1
10、2023年新课标全国甲卷数学第13题：若为偶函数，则________．
【跟踪练习】
一、单选题
1．（24-25高三上·福建泉州·阶段练习）若对任意的，函数满足，则（ ）
A．6 B．4 C．2 D．0
2．（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）已知是定义在上的函数，且，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·河北石家庄·阶段练习）已知是奇函数，是偶函数，且，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三上·浙江杭州·期末）若定义在R上的奇函数在上单调递减，且，则满足的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．（24-25高三上·江苏扬州·期中）已知函数对任意实数，都满足，且，，则函数是（ ）
A．奇函数 B．偶函数
C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数
6．（23-24高三下·河南洛阳·期末）已知函数的定义域为，，则（ ）
A． B． C．为偶函数 D．为奇函数
7．（2024·山西·一模）已知函数是定义在上不恒为零的函数，若，则（ ）
A． B．
C．为偶函数 D．为奇函数
二、多选题
1．（24-25高三上·江苏常州·阶段练习）已知函数的定义域为，对任意的实数，满足，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．为上的减函数 D．为奇函数
2．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）已知定义在上的函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数 B．
C． D．在上单调递增
3．（24-25高三上·辽宁大连·阶段练习）已知函数的定义域为，且，若对，都有，则（ ）
A． B．
C．函数为奇函数 D．函数为增函数
三、填空题
1．（24-25高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数定义域为 ．
2．（23-24高三上·辽宁辽阳·期中）已知是定义在上的单调函数，且，，则 ．
3．（24-25高三上·北京·期中）写出同时满足以下两个条件的一个函数 .
①，，；②，且，.
4．（24-25高三上·河北邢台·期末）已知函数是定义在上的减函数，且为奇函数，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 .高三数学微专题（1）——抽象函数的性质
专题介绍;本专题的指导思想是立足教材典题、研做高考真题，认真落实考教衔接.每个专题分四部分：回归教材、知识梳理、研做高考、跟踪练习”
【回归教材】
1、人教A版数学必修一P214综合运用第15题：已知函数是定义在R上周期为2的奇函数，若，求的值.
【答案】
2、人教B版数学必修一P115练习B第3题：已知函数的定义域关于原点对称，判断下列函数的奇偶性：
（1）；（2）；（3）.
【答案】（1）偶函数；（2）奇函数；（3）偶函数。
3、人教B版数学必修一P115练习B第5题：已知函数的定义域为，且函数图象关于对称，在区间上是增函数，判断在上的单调性.
【答案】减函数
4、北师大版数学必修一P65B组第4题：已知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，下列函数在区间上是否一定单调递增？
（1）； （2）； （3）； （4）.
【答案】（1）不确定；（2）增函数；（3）不确定；（4）不确定。
5、北师大版数学必修一P73C组第2题：若函数的定义域是，且对于任意的，都有，试判断的奇偶性.
【答案】奇函数；
6、人教B版数学必修一P115练习B第1题：求证：二次函数的图象关于直线对称.
7、人教B版数学必修一P117练习3-1C第3题：求证：函数的图象关于点对称.
【知识梳理】
抽象函数的性质
1.周期性：；；
；（为常数）；
2.对称性：
对称轴：或者 关于对称；
对称中心：或者 关于对称；
3.如果同时关于对称，又关于对称，则的周期
4.单调性与对称性（或奇偶性）结合解不等式问题
①在上是奇函数，且单调递增 若解不等式 ，则有；
在上是奇函数，且单调递减 若解不等式 ，则有；
②在上是偶函数，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）；在上是偶函数，且在单调递减 若解不等式 ，则有（变号加绝对值）；
③关于对称，且单调递增 若解不等式 ，则有；
关于对称，且单调递减 若解不等式 ，则有；
④关于对称，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）；关于对称，且在单调递减 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）；
【研做高考】
1、2023年新课标全国Ⅰ卷数学第11题：（多选）已知函数的定义域为，，则（ ）．
A. B.
C. 是偶函数 D. 为的极小值点
【答案】ABC
【解析】方法一：因为，对于A，令，，故正确.对于B，令，，则，故B正确.对于C，令，，则，令，又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误
方法二：因为，对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.对于C，令，，则，令，又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，对于D，当时，对两边同时除以，得到，故可以设，则，当肘，，则，令，得；令，得；故在上单调递减，在上单调递增，因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，显然，此时是的极大值，故D错误.故选：.
2、2022年新课标全国Ⅰ卷数学第12题：（多选）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】因为，均为偶函数，所以，即，，所以，，则，故C正确；函数，的图象分别关于直线对称，又，且函数可导，所以，所以，所以，所以，，故B正确，D错误；若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.故选：BC.
3、2022年新课标全国Ⅱ卷数学第8题：已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A. B. C. 0 D. 1
【答案】A
【解析】因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以一个周期内的．由于22除以6余4，所以．
3．(2021年高考全国甲卷理科)设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为是奇函数，所以①；因为是偶函数，所以②．令，由①得：，由②得：，因为，所以，令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．，
，所以．
思路二：从周期性入手，由两个对称性可知，函数的周期．所以．
4、(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)设函数的定义域为，满足，且当
时，．若对任意，都有，则的取值范围是 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵时，，，∴，即右移个单位，图像变为原来的倍．如图所示：当时，，令，整理得：，∴（舍），∴，，∴时，成立，即，∴，故选B ．
5．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)已知是定义域为的奇函数，满足．若，则 ( )
A． B．0 C．2 D．50
【答案】C
【解析】因为是定义域为的奇函数，且满足，所以，即，所以，，因此是周期函数且．
又，
且，所以，
所以，故选C．
6．(2014高考数学课标1理科·第3题)设函数,的定义域都为R,且是奇函数,是偶函数,则下列结论正确的是( )
A．是偶函数 B．||是奇函数
C．||是奇函数 D．||是奇函数
【答案】 C
【解析】设,则,∵是奇函数,是偶函数,
∴,为奇函数,选C．
7．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第12题)已知函数满足，若函数与图像的交点为，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】的图像的对称中心为又函数满足，所以图像的对称中心为，所以，故选Ｂ
8、2023年新课标全国数学Ⅱ卷第4题：若为偶函数，则（ ）．
A. B. 0 C. D. 1
【答案】B
【解析】因为 为偶函数，则 ，解得，当时，，，解得或，则其定义域为或，关于原点对称.，故此时为偶函数.
9、2023年新课标全国甲卷数学第13题：若为偶函数，则________．
【答案】2
【解析】因为为偶函数，定义域为，所以，即，则，故，此时，所以，又定义域为，故为偶函数，所以.
【跟踪练习】
一、单选题
1．（24-25高三上·福建泉州·阶段练习）若对任意的，函数满足，则（ ）
A．6 B．4 C．2 D．0
【答案】D
【分析】利用赋值法即可求解.
【详解】令，则，解得，令，则，故，
故选：D
2．（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）已知是定义在上的函数，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】借助赋值法令可得，即可得，再借助赋值法计算可得函数周期，利用所得周期计算即可得解.
【详解】因为，所以当时，，又，所以．又由，可得，
所以，，故函数是以4为周期的函数，所以．故选：C．
3．（24-25高三上·河北石家庄·阶段练习）已知是奇函数，是偶函数，且，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由函数的奇偶性求出，再利用函数的单调性解抽象函数不等式即可；
【详解】因为①，且是奇函数，是偶函数，
则，即②，由①②可得，
因为函数、均为上的增函数，所以，函数为上的增函数，
由，可得，解得.因此，不等式的解集是.
故选：A.
4．（23-24高三上·浙江杭州·期末）若定义在R上的奇函数在上单调递减，且，则满足的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，求出的单调区间，由奇函数性质分段求解不等式即可得出答案.
【详解】在R上的奇函数在上单调递减，则在上单调递减，且，
，当时，，当时，，
由，得或或，解得或或，因此或，所以满足的的取值范围是.
故选：D
5．（24-25高三上·江苏扬州·期中）已知函数对任意实数，都满足，且，，则函数是（ ）
A．奇函数 B．偶函数
C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数
【答案】B
【分析】用赋值法，先令求得，再令求解后即可判断．
【详解】在中，令，则，又，所以，
令得，所以，所以是偶函数，故选：B．
6．（23-24高三下·河南洛阳·期末）已知函数的定义域为，，则（ ）
A． B． C．为偶函数 D．为奇函数
【答案】D
【分析】对于A，令，可求出进行判断，对于B，令，可求出进行判断，对于CD，令，可求出，从而可求出，进而可判断其奇偶性.
【详解】对于A， 令，则，得，所以或，
当时，不恒成立，所以，所以A错误，对于B，令，则，得，所以，或，由选项A可知，所以，所以B错误，对于CD，令，则，由选项A可知，所以，所以，令，则，所以为奇函数，即为奇函数，所以C错误，D正确，故选：D
7．（2024·山西·一模）已知函数是定义在上不恒为零的函数，若，则（ ）
A． B．
C．为偶函数 D．为奇函数
【答案】C
【分析】根据题意，令、取特殊值逐一验证四个选项即可.
【详解】令，则，故，A选项错误；令，则，故，B选项错误；令，则，故为偶函数，C选项正确；因为为偶函数，又函数是定义在上不恒为零的函数，D选项错误.故选：C
二、多选题
1．（24-25高三上·江苏常州·阶段练习）已知函数的定义域为，对任意的实数，满足，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．为上的减函数 D．为奇函数
【答案】ABD
【分析】由，利用赋值法求解.
【详解解：依题意，且，令，得，故A选项正确.令，则，，即，故B选项正确由于，故C选项错误.令，得，，即，即所以为奇函数，故D选项正确.故选：ABD
2．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）已知定义在上的函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数 B．
C． D．在上单调递增
【答案】ABD
【分析】分别赋值可判断AB，令可判断C，利用定义判断单调性，再由奇偶性判断D.
【详解】令，再令，得（1），
即，所以，故B正确；令，得，由（1）得，故A正确；令，即，故C不正确；设，则，则由的分析及题意可得，即在上单调递减，又是偶函数，在上单调递增，故D正确，故选：ABD.
3．（24-25高三上·辽宁大连·阶段练习）已知函数的定义域为，且，若对，都有，则（ ）
A． B．
C．函数为奇函数 D．函数为增函数
【答案】AC
【分析】利用赋值法可判断A；令，结合A的分析可判断C；再利用赋值法即可判断B；由，用代换x，可判断D.
【详解】对于A，令，则，结合，可得，
令，则，即，而，故，A正确；
对于C，令，则，即，该函数为奇函数，C正确；
对于B，结合C的分析，令，则，B错误；对于D，由于，用代换x，可得，该函数为减函数，D错误，故选：AC
三、填空题
1．（24-25高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数定义域为 ．
【答案】
【分析】根据抽象函数的定义域求法列不等式得到，然后解不等式即可.
【详解】中，令，则，所以中，
解得或.故选：D.
2．（23-24高三上·辽宁辽阳·期中）已知是定义在上的单调函数，且，，则 ．
【答案】14
【分析】由单调函数的性质，可得为定值，可以设，则，又由，可得的解析式求.
【详解】，，是定义在上的单调函数，则为定值，设，则，，解得，得，所以.
故答案为：14.
3．（24-25高三上·北京·期中）写出同时满足以下两个条件的一个函数 .
①，，；②，且，.
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据条件可知二次函数可以满足其要求.
【详解】令,则,满足条件①；
，且，,满足条件②；故答案为：（答案不唯一）
4．（24-25高三上·河北邢台·期末）已知函数是定义在上的减函数，且为奇函数，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】设，把转化成，再结合函数的奇偶性，把不等式转化成，再结合的单调性，得到，分离参数，根据二次函数的性质，可求实数的取值范围.
【详解】令，则，由，可得，即，.因为是定义在上的减函数，所以也是定义在上的减函数，故，即.因为，所以，即实数的取值范围是.故选：B
