锐角三角函数中考热点分析
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锐角三角函数及相关知识是近几年中考的热点，下面我们通过三方面来研究锐角三角函数的应用.
1.运用锐角三角函数解直角三角形
【例1】 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，且sinB=，试分别求AC、AB的值.
【分析】 利用锐角三角函数值并借助勾股定理是解这类题的常用方法.
解：∵ 在Rt△ABC中，∠C=90°，
故设AC=2x，则AB=3x.
由勾股定理得AB2-AC2=BC2，
即9x2-4x2=25， ∴ x=.
∴ AC=2x=2，AB=3x=3.
【小结】 解这道题的关键是：根据正弦函数的定义，把握准图形的特征，确定出∠B的对边、斜边、邻边. 同时直角三角形的勾股定理为计算提供的有利保障是不可忽视的.
【例2】 如图，在△ABC中，D是AB的中点，CD⊥AC于C，且tan∠BCD=，求sinA，cosA，tanA的值.
【分析】 解答本题的突破口是将∠BCD转化为直角三角形中的角.
解：过点D作DE⊥CD于D，交BC于点E，
在Rt△CDE中，∵ tan∠BCD==，设DE=x，则CD=3x．
又∵ CD⊥AC ，∴ DE∥AC.
又∵ D为AB的中点，∴ E为BC的中点，∴ DE=AC， ∴ AC=2DE=2x.
在Rt△ACD中∠ACD=90°，AC=2x，CD=3x，
【反思】 在题设中出现的tan∠BCD=， 由于∠BCD所在的三角形并非是直角三角形，因而给解题会带来一些困难，此时如果联想起正切函数的定义，想方设法构造出一个与之相关的直角三角形就顺理成 章了，另外三角形的中位线的判定及其性质在本例中得到了充分利用，为计算∠A的正弦值，余弦值，正切值架起了桥梁，要善于从中总结经验.
2.研究锐角三角函数值的变化情况
【例3】 用等号或不等号连接下面的式子：
（1）cos50° sin20°，
（2）tan18° tan20°，
（3）sin47° cos43°.
【分析】 要比较两个三角函数的大小，是同名三角函数的，直接由增减性比较大小；不是同名三角函数的，要先化成同名三角函数，再比较大小.
解：∵ cos50°=sin（90°-50°）=sin40°，
而sin40°>sin20° ，
∴ cos50°>sin20°；
（2）tan18° （3）∵sin47°=cos（90°-47°）=cos43° ，
∴ sin47°=cos43°.
【例4】 如果0°<α<90°，且|+（cosα-）2=0，求tanα的值.
【分析】 两个非负数和为零，则这两个数同时为零，便可求得sinα和cosα的值.
解：∵|≥0，
（cosα-）2≥0，
且|sin2α-|+（cosα-）2=0，
∴ sin2α-=0，cosα-=0.
∴ sinα=，sinα=－（舍去），cosα=.
∵ 在0°<α<90°中，
sin30°=，cos30°=，
∴ α=30°.
∴ tanα=tan30°=.
【小结】 本题的突破口是两个非负数和为零的条件是“这两个数同时为零”，从而求出sinα和cosα的值，由特殊值求出特殊角，另外本题也可以不求出α的度数，直接利用同角的三角函数间的关系求tanα的值.
3.运用锐角三角函数解实际问题
【例5】 已知等腰三角形一腰上的高为1，且这条高与底的夹角的正弦值为，求该三角形的面积.
【分析】 已知高，再求出底边，便可求出面积的值.
解：根据题意画出图形，如下：
∵ 高BD与底边BC的夹角的正弦值为，
∴ 在Rt△BCD中，
sin∠CBD=
∴ ∠CBD=60° . ∴ ∠C=30°.
在△ABC中，AB=AC ，
∴ ∠ABC=∠C=30°.
∴ ∠ABD=∠CBD-∠CBA
=60°-30°=30°.
在Rt△ABD中，
∴ S△ABC=AC·BD
【小结】 本例中等腰三角形腰上的高在三角形的外部，否则不能满足高与底的夹角为60°.
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1.运用锐角三角函数解直角三角形
【例1】 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，且sinB=，试分别求AC、AB的值.
【分析】 利用锐角三角函数值并借助勾股定理是解这类题的常用方法.
解：∵ 在Rt△ABC中，∠C=90°，
故设AC=2x，则AB=3x.
由勾股定理得AB2-AC2=BC2，
即9x2-4x2=25， ∴ x=.
∴ AC=2x=2，AB=3x=3.
【小结】 解这道题的关键是：根据正弦函数的定义，把握准图形的特征，确定出∠B的对边、斜边、邻边. 同时直角三角形的勾股定理为计算提供的有利保障是不可忽视的.
【例2】 如图，在△ABC中，D是AB的中点，CD⊥AC于C，且tan∠BCD=，求sinA，cosA，tanA的值.
【分析】 解答本题的突破口是将∠BCD转化为直角三角形中的角.
解：过点D作DE⊥CD于D，交BC于点E，
在Rt△CDE中，∵ tan∠BCD==，设DE=x，则CD=3x．
又∵ CD⊥AC ，∴ DE∥AC.
又∵ D为AB的中点，∴ E为BC的中点，∴ DE=AC， ∴ AC=2DE=2x.
在Rt△ACD中∠ACD=90°，AC=2x，CD=3x，
【反思】 在题设中出现的tan∠BCD=， 由于∠BCD所在的三角形并非是直角三角形，因而给解题会带来一些困难，此时如果联想起正切函数的定义，想方设法构造出一个与之相关的直角三角形就顺理成 章了，另外三角形的中位线的判定及其性质在本例中得到了充分利用，为计算∠A的正弦值，余弦值，正切值架起了桥梁，要善于从中总结经验.
2.研究锐角三角函数值的变化情况
【例3】 用等号或不等号连接下面的式子：
（1）cos50° sin20°，
（2）tan18° tan20°，
（3）sin47° cos43°.
【分析】 要比较两个三角函数的大小，是同名三角函数的，直接由增减性比较大小；不是同名三角函数的，要先化成同名三角函数，再比较大小.
解：∵ cos50°=sin（90°-50°）=sin40°，
而sin40°>sin20° ，
∴ cos50°>sin20°；
（2）tan18°
∴ sin47°=cos43°.
【例4】 如果0°<α<90°，且|+（cosα-）2=0，求tanα的值.
【分析】 两个非负数和为零，则这两个数同时为零，便可求得sinα和cosα的值.
解：∵|≥0，
（cosα-）2≥0，
且|sin2α-|+（cosα-）2=0，
∴ sin2α-=0，cosα-=0.
∴ sinα=，sinα=－（舍去），cosα=.
∵ 在0°<α<90°中，
sin30°=，cos30°=，
∴ α=30°.
∴ tanα=tan30°=.
【小结】 本题的突破口是两个非负数和为零的条件是“这两个数同时为零”，从而求出sinα和cosα的值，由特殊值求出特殊角，另外本题也可以不求出α的度数，直接利用同角的三角函数间的关系求tanα的值.
3.运用锐角三角函数解实际问题
【例5】 已知等腰三角形一腰上的高为1，且这条高与底的夹角的正弦值为，求该三角形的面积.
【分析】 已知高，再求出底边，便可求出面积的值.
解：根据题意画出图形，如下：
∵ 高BD与底边BC的夹角的正弦值为，
∴ 在Rt△BCD中，
sin∠CBD=
∴ ∠CBD=60° . ∴ ∠C=30°.
在△ABC中，AB=AC ，
∴ ∠ABC=∠C=30°.
∴ ∠ABD=∠CBD-∠CBA
=60°-30°=30°.
在Rt△ABD中，
∴ S△ABC=AC·BD
【小结】 本例中等腰三角形腰上的高在三角形的外部，否则不能满足高与底的夹角为60°.
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