20.2 数据的波动程度
一、单选题:
1.在一次数学测试中,王蕊的成绩是78分,超过了全班半数学生的成绩,分析得出这个结论所用的统计量是( )
A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差
2.一组数据2,2,2,3,4,8,12,若加入一个整数,一定不会发生变化的统计量是( )
A.众数 B.平均数 C.中位数 D.方差
3.2024年的绵阳体育中考的总分为80分,也是我市首次采用必考项目智能化测试设备.在此次体育中考中,某校6名学生的体育成绩统计如图所示,则对这组数据的说法中错误的是( )
A.方差为1 B.中位数为78
C.众数为78 D.极差为2
4.小强每天坚持引体向上锻炼,他记录了某一周每天做引体向上的个数,如下表:
其中有三天的个数墨汁覆盖了,但小强已经计算出这组数据唯一众数是13,平均数是12,那么这组数据的方差是( )
A. B. C.1 D.
5.甲组数据,,…,的方差是3,那么乙组数据,,…,的方差是( )
A.3 B.9 C.27 D.无法确定
6.已知一组数据的方差计算公式为:,由公式提供的信息,则下列说法错误的是( )
A.中位数是3 B.众数是3 C.平均数是3.5 D.方差是0.5
7.某农科所对甲、乙两种小麦各选用10块面积相同的试验田进行种植试验,它们亩产量的平均数分别是千克,千克,方差分别是,.则关于这两种小麦推广种植的合理决策是( )
A.乙的平均亩产量较高,应推广乙
B.甲、乙的平均亩产量相差不多,均可推广
C.甲、乙的平均亩产量相差不多,但甲的亩产量比较稳定,应推广甲
D.乙的平均亩产量较高,且亩产量比较稳定,应推广乙
二、填空题:
8.若一数组,,,……,的平均数为5,方差为8,则另一数组,,,……,的平均数和方差分别是 ___________和 ___________.
9.山西省是全国马铃薯主产区之一,在“十四五”期间,我省围绕“品种提高单产,品质提升效益”的思路,实施具有山西特色的“优薯计划”.因为鲜食马铃薯适宜储藏温度为了心-5℃,所以整个储藏期间冷库的温度要求稳定,波动不超过+1℃.如图是根据甲、乙两个马铃薯储藏冷库5次温度检测制作的折线统计图,你认为_______马铃薯储藏冷库的温度更稳定.(填”甲”或“乙”)
10.下表是甲,乙两名同学近五次测试成绩统计表:
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
甲 98 93 96 91 97
乙 96 97 93 95 94
根据上表数据可知,成绩最稳定的同学是____.
11.某校射击队从甲、乙、丙、丁四人中选拔一人参加市运动会射击比赛.在选拔比赛中,每人射击10次,他们10次成绩的平均数及方差如下表所示:
甲 乙 丙 丁
平均数/环 9.5 9.5 9.5 9.5
方差/环2 5.1 4.7 4.5 5.1
请你根据表中数据选一人参加比赛,最合适的人选是________.
12.为了从甲、乙两名同学中选拔一人参加电脑知识竞赛,在相同条件下对他们的电脑知识进行了10次测验,成绩如下:(单位:分)
回答下列问题:
(1)甲同学成绩的众数是____分,乙同学成绩的中位数是____分;
(2)若甲同学成绩的平均数为,乙同学成绩的平均数为,则与的大小关系是____;
(3)经计算知:=13.2,=26.36,____,这表明____.(用简明的文字语言表述)
13.一组有n个数据的样本的平均数为x,它的方差为,则=_____.
三、解答题:
14.张明、王成两位同学八年级10次数学单元自我检测的成绩(成绩均为整数,且个位数为0)分别如下图所示:
利用图中提供的信息,解答下列问题:
(1)完成下表:
姓名 平均成绩 中位数 众数 方差
张明 80 80
王成 85 90
(2)如果将90分以上(含90分)的成绩视为优秀,那么优秀率高的同学是 .
(3)根据图表信息,请你对这两位同学各提一条不超过20个字的学习建议.
15.甲、乙两名队员参加射击选拔赛,射击成绩见下列统计图:
根据以上信息,整理分析数据如下:
队员 平均数(环) 中位数(环) 众数(环) 方差()
甲 7.9 4.09
乙 7 7 d
(1)直接写出表格中,,的值;
(2)求出d的值;
(3)若从甲、乙两名队员中选派其中一名队员参赛,你认为应选哪名队员?请结合表中的四个统计量,作出简要分析.
16.某学校为了解学生的身高情况,各年级分别抽样调查了部分同学的身高,并分年级对所得数据进行处理.下面的频数分布直方图(部分)和扇形统计图是根据七年级的调查数据制作而成.(每组含最低值不含最高值,身高单位:,测量时精确到):
(1)请根据以上信息,完成下列问题:
①七年级身高在的学生有__________人;
②七年级样本的中位数所在范围是__________,请说明理由;
(2)已知七年级共有名学生,若身高低于,则认定该学生身高偏矮.请估计该校七年级身高偏矮的共有多少人,并说明理由.
(3)体育组对抽查的数据进行分析,计算出各年级的平均身高及方差如下表所示:
年级 七 八 九
那么学生的身高比较整齐是哪个年级?为什么.
17.2021年12月9日,神舟十三号乘组三位航天员首次在中国空间站进行太空授课,传播载人航天知识,某校为了了解本校学生对航天科技的关注程度,从七、八年级各随机抽取了10名学生进行科普知识竞赛(百分制),测试成绩整理、描述和分析如下:(成绩得分用表示,共分成四组:
;;;
其中,七年级10名学生的成绩是:96,80,96,86,99,96,90,100,89,82.
八年级10名学生的成绩在C组中的数据是:94,90,92.
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 91.4 93 b 45.04
八年级 92 c 100 50.4
根据以上信息,解答下列问题:
(1)这次比赛中_____年级成绩更稳定;
(2)直接写出上述的值:_____,_____,______;
(3)该校八年级共1000人参加了此次科普知识竞赛活动,估计参加此次活动成绩优秀的八年级学生人数是多少?
18.近年来,网约车给人们的出行带来了便利,杨林和数学兴趣小组的同学对“美团”和“滴滴”两家网约车公司司机月收入进行了一项抽样调查,两家公司分别抽取的名司机月收入单位:千元如图所示:
“滴滴”网约车司机收入的频数分布表:
月收入 千元 千元 千元 千元
人数个
根据以上信息,整理分析数据如表:
平均月收入千元 中位数 众数 方差
“滴滴”
“美团”
(1)填表:在表格的空白处填入相应的数据;
(2)杨林的叔叔决定从两家公司中选择一家做网约车司机,如果你是杨林,请从平均数、中位数,众数,方差这几个统计量中选择两个统计量进行分析,并建议他的权权选择哪家公司?
19.甲、乙两名队员练习射击,每次射击的环数为整数,两人各射击10次,其成绩分别绘制成如图1所示的条形统计图和如图2所示的折线统计图,两幅图均有部分被污染.
将两名队员10次的成绩整理后,得到下表:
姓名 平均数 中位数 众数 方差
甲 a 7 b 1.8
乙 7 c 8 4.2
请根据图表信息回答:
(1)你认为__________队员的发挥更稳定,理由是____________________.
(2)__________,__________,__________;
(3)乙队员补射一次后,成绩为m环,发现他11次射箭成绩的中位数比c小0.5,则m的最大值为__________.
答案
一、单选题:
1.B
【分析】根据中位数、众数、平均数及方差的定义进行判定即可.
【详解】解:班级数学成绩排列后,最中间的数或最中间两个分数的平均数是这组数的中位数,半数同学的成绩位于中位数或中位数以下,王蕊的成绩是78分,超过班级半数同学的成绩,故选用的统计量是中位数,
故选:B.
2.A
【分析】依据众数、平均数、中位数、方差的定义逐一进行判断,即可得到结论.
【详解】解:A、原来数据的众数是2,加入一个整数后众数仍为2,符合题意,选项正确;
B、原来数据的平均数是,加入一个整数后,平均数一定变化,不符合题意,选项错误;
C、原来数据的中位数是3,加入一个整数后,如果,中位数一定变化,不符合题意,选项错误;
D、原来数据的方差加入一个整数后的方差一定发生了变化,不符合题意,选项错误,
故选A.
3.D
【分析】分别求出这组数据的方差、中位数、众数、极差,即可得出答案.
【详解】解:A、这组数据的平均数为,
则这组数据的方差为:,正确,
故此选项不符合题意;
B、这组数据按从小到大排列,第3个数与第4个数都是78,
所以这组数据的中位数是78,正确,
故此选项不符合题意;
C、这组数据中78有3次,出现次数最多,所以这组数据的众数是78,正确,
故此选项不符合题意;
D、这组数据的极差为,所以极差是2错误,
故此选项符合题意;
故选:D.
4.A
【分析】根据已知条件得到被墨汁覆盖的三个数为:10,13,13,根据方差公式即可得到结论.
【详解】解:∵平均数是12,
∴这组数据的和=12×7=84,
∴被墨汁覆盖三天的数的和=84-(11+12+13+12)=36,
∵这组数据唯一众数是13,
∴被墨汁覆盖的三个数为:10,13,13,
∴S2=[(11-12)2+(12-12)2+(10-12)2+(13-12)2+(13-12)2+(13-12)2+(12-12)2]
= ,
故选:A.
5.C
【分析】根据方差的定义即可进行解答.
【详解】解:设甲组数据的平均数为,
∴,
∵,
∴乙组数据的平均数,
,
∴
,
故选:C.
6.C
【分析】根据已知的方差计算公式得出这组数据为2、3、3、4,再根据中位数,众数,平均数以及方差的概念求解即可.
【详解】由题意可知这组数据为2、3、3、4、所以中位数为,故选项A不符题意.
众数为3,故选B不符合题意.
平均数为,故选项C符合题意.
方差为,故选项D不符题意,
故选C.
7.C
【分析】本题需先根据甲、乙亩产量的平均数得出甲、乙的平均亩产量相差不多,再根据甲、乙的平均亩产量的方差即可得出甲的亩产量比较稳定,从而求出正确答案.
【详解】解:∵=621千克,=622千克,
∴甲、乙的平均亩产量相差不多,
∵亩产量的方差分别是S甲2=2.6,S乙2=28.7.
∴甲的亩产量比较稳定.
综合以上两点知甲、乙的平均亩产量相差不多,但甲的亩产量比较稳定,应推广甲,
故选:C.
二、填空题:
8.
【分析】据平均数的变化规律可得出数据,,,……,的平均数是;先根据数据,,,……,的方差为8,求出数据,,,……,的方差,即可得出数据,,,……,的方差;
【详解】解:∵数据,,,……,的平均数为5,
∴数据,,,……,的平均数是;
∵数据,,,……,的方差为8,
∴数据,,,……,的方差,
∴数据,,,……,的方差是;
故答案为:,.
9.甲
【分析】方差小的较稳定,分别求出甲、乙方差,即可得到答案.
【详解】解:甲的平均温度为,乙的平均温度为,
∴甲的方差为s甲2=0.8,
乙的方差为s乙2=1.8,
∵S甲2<S乙2,
∴甲的温度较稳定.
故答案为:甲.
10.乙
【分析】根据平均数的计算公式先求出甲和乙同学的平均数,再代入方差公式求出甲和乙同学的方差,然后根据方差的意义即可得出答案.
【详解】解:甲同学的平均数是:(98+93+96+91+97)=95(分),
甲同学的方差是:[(98-95)2+(93-95)2+(96-95)2+(91-95)2+(97-95)2]=6.8,
乙同学的平均数是:(96+97+93+95+94)=95(分),
乙同学的方差是:[(96-95)2+(97-95)2+(93-95)2+(95-95)2+(94-95)2]=2,
∵6.8>2,
∴方差小的为乙,
∴成绩比较稳定的同学是乙.
故答案为:乙.
11.丙
【详解】分析:根据方差的意义可作出判断.方差是用来衡量一组数据波动大小的量,方差越小,表明这组数据分布比较集中,各数据偏离平均数越小,即波动越小,数据越稳定.
详解:∵=5.1, =4.7, =4.5,=5.1,
∴=>>,
∴最合适的人选是丙.
故答案为丙.
12. 86, 83; >; <, 甲同学的成绩比乙的稳定.
【分析】根据众数、中位数、平均数、方差、优秀率的概念计算.
【详解】(1)甲学生成绩中86分出现次数最多,所以众数为86分;
乙学生成绩从低到高排列为:74、79、79、80、82、84、85、89、89、91,则中位数为83;
(2)甲学生成绩的平均数84,乙学生成绩的平均数83.2,则甲乙;
(3)∵甲学生的方差更小,∴甲学生的成绩更稳定,所以答案为 <,甲同学的成绩比乙的稳定..
13.0
【分析】根据方差的定义解答即可.
【详解】解:∵
∴这组数据分别为1、2、3、4、5,共5个,即n=5
∴x=(1+2+3+4+5)÷5=3
∴
∴.
故答案为0.
三、解答题:
14.(1)张明的平均成绩,
张明的成绩的方差,
王成的平均成绩,
王成的成绩的方差填表如下:
姓名 平均成绩 中位数 众数 方差
张明 80 80 80 60
王成 80 85 90 260
(2)如果将90分以上(含90分)的成绩视为优秀,
则张明的优秀率为:,
王成的优秀率为:,
∴优秀率较高的同学是王成,
故答案为:王成;
(3)王成的学习要持之以恒,保持稳定;张明的学习还需要加一把劲,提高优秀率.(建议合理即可,答案不唯一)
15.(1)解:根据射击成绩统计图所列数据可得:
平均数,
将甲的成绩按照从小到大的顺序排列:,,,,,,,,,,
∴中位数,
∵甲的成绩中出现次数最多的是,共三次
∴.
(2)解:∵,
∴.
(3)解:因为,说明甲射击的平均水平高于乙;而,说明乙比甲的成绩稳定;但是,乙是在相对较低的水平上稳定.而且,甲的中位数和众数均大于乙,也说明甲的射击成绩更好.综合上述因素,甲参赛获得好成绩的可能性更大,若选派一名队员参加比赛,应该选择甲参赛.
16.(1)①总数,
则的频数.
故答案为:18
②因为一共个数据,中位数是第和个数据的平均数,而第和个数据在的范围内,所以样本的中位数在的范围内;
故答案为:;
(2);
故估计该校七年级身高偏矮的共有人.
(3)八年级学生的身高比较整齐,因为方差越小,数据的离散程度越小.
17.(1)解:七年级成绩的方差为45.04,八年级成绩的方差为50.4,
八年级成绩的方差大于七年级成绩的方差,
七年级成绩更平衡,更稳定,
故答案为:七;
(2)解:八年级学生成绩落在组人数所占百分比为,
,即;
七年级成绩出现最多的是96,
其众数,
八年级组人数共有(人),
八年级成绩的第5、6个数据分别为92、94,
八年级成绩的中位数,
故答案为:40,96,93;
(3)解:根据题意得:
(人),
答:估计参加此次知识竞赛活动成绩优秀的八年级学生人数是700人.
18.(1)解:“美团”的平均月收入为,众数为,
“滴滴”网约车司机收入的中位数为,
在表格的空白处填入相应的数据:
平均月收入千元 中位数 众数 方差
“滴滴”
“美团”
(2)解:选“美团”,理由如下:
因为平均数一样,“美团”的中位数、众数大于“滴滴”的,且“美团”的方差小,更稳定.
19.(1)解:∵,
∴甲队员的发挥更稳定,理由是方差越小稳定性越好,而甲的方差小于乙的方差,所以甲队员的发挥更稳定.
(2)解:由条形统计图可得成绩为7环的次数为(次),
∴平均数;且众数;
由折线统计图可得剩余两次的成绩和为,
∵众数为8,
∴剩余两次的成绩为7和8,
将乙的10次成绩从大到小依次排序为,
∴中位数,
∴.
(3)解:由题意知,乙队员11次射箭成绩的中位数为,
即乙的11次成绩从大到小依次排序中第6次成绩为7,
∴,
∴m的最大值为7.