人教版八年级数学下册试题 第一次月考测试模拟卷（含解析）

第一次月考测试卷
一、单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。）
1．在下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．若的三边长分别是a，b，c，则下列条件：①；②；③；④中不能判定是直角三角形的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．已知，，则与的关系是（ ）
A．互为相反数 B．相等 C．互为倒数 D．互为负倒数
4．如图，以的三边分别向外作正方形，它们的面积分别为，，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．适合的正整数a的所有值的平方和为（ ）
A．13 B．14 C．5 D．16
6．如图，从一个大正方形中截去面积分别为8和18的两个小正方形，则图中阴影部分面积为（　　）
A．20 B．22 C．24 D．26
7．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a．较短直角边长为b，若，大正方形的面积为．则小正方形的边长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
8．估计的值在（　　）
A．7到8之间 B．8到9之间 C．9到10之间 D．10到11之间
9．如图将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．化简：的结果为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在正方形网格中，，，，，都是格点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在中，是的角平分线，于点，，则长是（ ）
A．1 B． C． D．2
第II卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
13．若最简二次根式、是同类二次根式，则 ．
14．如图（1），数轴上点所表示的数为1，点，，是的正方形网格上的格点，以点为圆心，长为半径画圆交数轴于，两点，则点所表示的数为 ．
15．若，那么x的取值范围是 ．
16．在中，，，边上的高为，则的面积是 ．
17．如图（2），的顶点均在正方形网格的格点上，则的度数等于 ．
18．如图（3），长方体的上下底面是正方形，底面边长是，高为．在其侧面从点开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点停止，则彩条的最短长度为 ．
图（1） 图 （2） 图 （3）
三、解答题（本题共8小题，共66分．第19-20题每题6分，第21-23题每题8题，其他每题10分．）
19．计算
(1) (2)
20．先化简：，再求当，时的值．
21．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她若妈妈与爸爸到的水平距离分别为、，且．
(1)若点A、B到地面的距离是分别是、，，求秋千的长度；
(2)在（1）的条件下，求爸爸在距离地面多高的地方接住小丽的？
22．为了增强学生体质，丰富校园文化生活，推行中小学生每天锻炼一小时的“阳光体育运动”，某学校决定在校园内某一区域内新建一块塑胶场地，供同学们课间活动使用，如图，已知，，，，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了．
(1)请写出施工人员测量的是哪两点之间的距离，以及确定的依据；
(2)若平均每平方米的材料成本加施工费为110元，请计算该学校建成这块塑胶场地需花费多少元？
23．图1为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着中国古代的数学成就．根据该图，赵爽用两种不同的方法计算正方形的面积，通过正方形面积相等，从而证明了勾股定理．现有4个全等的直角三角形（图2中灰色部分），直角边长分别为a，b，斜边长为c，将它们拼合为图2的形状．
(1)小诚同学在图2中加了相应的虚线，从而轻松证明了勾股定理，请你根据小诚同学的思路写出证明过程；
(2)当，时，求图2中空白部分的面积．
24．2024年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响．据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响）．如图，线段是台风中心从C市移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，C之间相距，A，B之间相距．
(1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由；
(2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该农场持续时间有多长？
25．阅读下面的材料，解答后面提出的问题：
黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌，这是武侠小说中的常见描述，其意思是指两个人合在一起，取长补短，威力无比，在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如：，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样解：，．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．
解决问题：
(1)的有理化因式是_______，将分母有理化得________；
(2)已知，，则________；
(3)利用上面所提供的解法．请化简；
26．我们把对角线互相垂直的四边形称为“垂美四边形”．如图1，已知四边形，，像这样的四边形称为“垂美四边形”．
探索证明
（1）如图1，设，，，，猜想，，，之间的关系，用等式表示出来，并说明你的理由．
变式思考
（2）如图2，，是的中线，，垂足为O，，设，，，请用一个等式把，，三者之间的数量关系表示出来：____________________．
拓展应用
（3）如图3，在长方形中，E为的中点，若四边形为“垂美四边形”，且，求的长．
答案
一、单选题
1．C
【分析】本题考查最简二次根式，掌握化简最简二次根式的方法是解题的关键．
根据最简二次根式的定义进行解题即可
【详解】解：A、，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、是最简二次根式，符合题意；
D、，不符合题意；
故选：C．
2．A
【分析】本题考查了三角形的分类，三角形内角和定理，及勾股定理逆定理．如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．根据三角形的分类，三角形内角和定理，及勾股定理逆定理解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴为直角三角形，
故①不符合题意；
∵，
设，则，
∴，
∴为直角三角形，
故②不符合题意；
∵，
设，则、，
∴，
∴，
∴，，，
∴不是直角三角形，
故③符合题意；
∵，
∴，
∴为直角三角形，
故④不符合题意，
故选A．
3．A
【分析】本题考查了分母有理化和相反数，根据分母有理化的方法求得的值，即可求解，熟练掌握相反数的定义和分母有理化的方法，进而求得的值是解题的关键．
【详解】解：，
∴，
∴与互为相反数，
故选：．
4．D
【分析】本题考查了勾股定理在几何图形中的应用，根据题意得出，是解题关键．
【详解】解：由题意得：，,
∵，
∴
即：
∴
故选：D．
5．B
【分析】本题考查的是二次根式的性质与化简，先根据题意判断出a的符号，求出正整数a的值，进而可得出结论．
【详解】解：∵,
∴
∴，
∴，
∴正整数a的值为1，2，3，
∴．
故选：B．
6．C
【分析】本题主要考查了二次根式的应用．依据题意，直接利用正方形的性质得出两个小正方形的边长，进而得出大正方形的边长，即可得出答案．
【详解】解：∵两个小正方形面积为8和18，
∴大正方形边长为：．
∴大正方形面积为．
∴留下的阴影部分面积和为：．
故选：C．
7．B
【分析】本题考查了勾股定理，完全平方公式的应用，算术平方根的含义，根据大正方形的面积结合即可求解,解题的关键是熟练应用勾股定理以及完全平方公式.
【详解】解：∵直角三角形较长直角边长为a．较短直角边长为b，
∴小正方形的边长为
∵大正方形的面积为，
∵大正方形的面积
即小正方形的边长为，
故选：．
8．A
【分析】本题主要考查二次根式的运算、无理数的估算等知识点，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．
先将原式进行计算，然后估算其结果在哪两个连续整数之间即可．
【详解】解：
∵，
∴，
∴．
故选：A．
9．B
【分析】本题考查勾股定理的实际应用，先找到筷子在杯内最短和最长时筷子所处的位置，再利用勾股定理求解，进而得到h的范围．
【详解】当筷子与杯底垂直时h最大，h最大为：．
当筷子与杯底直径及杯高构成直角三角形时h最小，
此时杯内筷子长度：（），
此时h最小为：．
故h的取值范围是：．
故选：B．
10．D
【分析】本题主要考查了利用二次根式的性质化简，熟知二次根式的性质是解题的关键．
【详解】解：由题意，得：，
．
故选：D．
11．A
【分析】连接，通过平行线的性质可得，，则，通过勾股定理的求得、、的长度，再根据勾股定理的逆定理确定的形状，即可求解．
【详解】解：连接，找到格点，连接，如下图：

由题意可得：
∴，
∴
由勾股定理可得：，，
∴，
∴为等腰直角三角形
∴即
故选A
12．B
【分析】本题主要考查角平分线的性质、含角的直角三角形、勾股定理等知识点，灵活利用数形结合的思想是解题的关键．
根据直角三角形的性质和勾股定理得到的长，然后根据平分线的性质可得，再根据得到的长，最后根据勾股定理即可解答．
【详解】解：∵于点E，，，
∴，
设，则，
∴ ，
∴ ，解得：，
∴
如图：作于点F，
∵是的角平分线，，
∴，
∵，
∴ ，
∴ 在中，，
∴
故选：B．
二、填空题
13．5
【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，掌握一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，根据同类二次根式的被开方数相同列出方程，求出的值即可．
【详解】解：根据题意得，
整理得，，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是：熟练掌握勾股定理求值．根据勾股定理，可求出的长，即为的长，进而求出的长，即可求解．
【详解】解：由勾股定理可得：，
，
点对应的数是1，
，
点所表示的数为：，
故答案为：．
15．
【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件和解一元一次不等式方程组，根据根式有意义的条件列出一元一次不等式方程组，求解即可．
【详解】解：根据题意得，解得，
故答案为：．
16．或
【分析】本题主要考查了勾股定理;熟练掌握勾股定理，画出图形，分类讨论是解答此题的关键．
分两种情况: ①为锐角; ②为钝角，利用勾股定理求出、，即可求出的长进而求得的面积．
【详解】解：分两种情况: ①为锐角时，如图

在中
在中
的面积为：；
②当为钝角时，如图

在中
在中
的面积为：；
故答案为：126或66．
17．
【分析】如图所示，延长，过点作延长线于点，作的平行线，过点作的平行线，交于点，设小正方形网格的边长为，可得，，由此即可求证．
【详解】解：如图所示，延长，过点作延长线于点，作的平行线，过点作的平行线，交于点，设小正方形网格的边长为，

在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
18．26
【分析】本题考查的是平面展开最短路线问题，如果从点开始经过4个侧面缠绕2圈到达点，相当于直角三角形的两条直角边分别是12和5，再根据勾股定理求出斜边长即可．
【详解】解：将长方体的侧面沿展开，取的中点，取的中点，连接，，则为所求的最短彩条长，
，，
，
，
，
答：所用彩条最短长度是．
故答案为:26
三、解答题
19．（1）解:,
,
,
,
,
故答案为:．
（2）解:,
,
,
,
,
故答案为:．
20．解：原式
，
当，时，
原式
．
21．（1）解：设，则，
∵点A、B到地面的距离是分别是、，
∴，
则，
∵，，
∴，
∴，解得．
答：秋千的长度为．
（2）∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
则，
那么C距离地面的高．
答：爸爸在距离地面高的地方接住小丽的．
22．（1）施工人员测量的是AC的距离．依据：若，则．
在中，，，
∴，
∴为直角三角形，且．
（2）在中，，，
∴为直角三角形，且．
∴，
∴（元）．
答：该学校建成这块塑胶场地需花费12540元．

23．（1）解：图2中图形的总面积可以表示为：以c为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积，
即，
也可以表示为：以a和b为边的两个小正方形的面积+两个直角三角形的面积，
即，
∴，即．
（2）解：当时，，
由图可知，空白部分面积=以c为边的正方形的面积-两个直角三角形的面积，
即：空白部分面积为：．
24．（1）解：农场A会受到台风的影响，理由如下：
过A作于H，

∵，
∴，
∴，
∵的面积
∴，
∴，
∵，
∴农场A会受到台风的影响；
（2）如图，台风从点M开始影响该农场，到点N以后结束影响，连接，，
∴，
∵，，
∴，
由勾股定理得，
∴，
∵台风中心的移动速度为，
∴台风影响该农场持续时间是（小时）．
25．（1）∵，
∴的有理化因式是；
；
故答案为：；；
（2）∵，，
∴，，
∴；
故答案为：10；
（3）
．
26．解：（1）；
理由：∵，
∴．
在直角中，由勾股定理得．①
在直角中，由勾股定理得．②
在直角中，由勾股定理得．③
在直角中，由勾股定理得．④
由①+③得，
由②+④得，
∴．
（2）．理由如下：
∵，
∴四边形是“垂美四边形”．
由（1）知．
∵，是的中线，，
∴，，，
∴，即．
（3）∵，E为的中点，
∴．
设，则．
∵，
∴．
由（1）得，即，
解得或（舍去），
∴．