人教版九年级数学下册 第二十八章 锐角三角函数 章节测试卷（含详解）
文档属性
| 名称 | 人教版九年级数学下册 第二十八章 锐角三角函数 章节测试卷（含详解） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-02-04 09:14:29 | ||
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文档简介
第二十八章《锐角三角函数》章节测试卷
一、单选题（30分）
1．如图，在中，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，四边形，，，则为（ ）
A． B． C． D．1
3．已知为锐角，且，则（ ）
A． B． C．1 D．
4．如图，在中，，若，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，梯形 中，，，，，则 的长为 （ ）
A． B． C． D．
6．如图，某农林部门用钢管为垂直于地面的树木进行加固．已知钢管、的长度相等，钢管与地面所成角，钢管落地点间距长6米，则固定点离地面的高度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
7．如图所示，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为，看这栋楼底部C处的俯角为，热气球A处与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，两栋大楼相距米，从甲楼顶部看乙楼的仰角为，若甲楼高米，则乙楼的高度为（ ）
A． B． C． D．
9．式子有意义的的取值范围是（ ）
A．且 B． C． D．且
10．如图，菱形中，，点C在x轴上，分别以A、B为圆心，以大于的长作弧，两弧分别交于P、Q两点，作直线，交于点M，交于点N，则点N的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（30分）
11．如果，那么 ．
12．比较、、和的大小，并由小到大排列： ．
13．在中， ．
14．如图，在一坡度的斜面上，一木箱沿斜面向上推进了米，则木箱升高了 米．
15．如图，点E在矩形的边上，将沿翻折，点A恰好落在边上的点F处，若，则 ．
16．如图，在中，，于D，，，则 ．
17．如图，在四边形中，，，，，则 ．
18．一轮船以每小时20海里的速度沿正东方向航行.上午8时，该船在A处测得某灯塔位于它的北偏东30°的B处（如图），上午9时行到C处，测得灯塔恰好在它的正北方向，此时它与灯塔的距离是 海里（结果保留根号）.
19．如图，将的∠AOB按图摆放在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2cm，若按相同的方式将的∠AOC放置在该尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为 cm
（结果精确到0.1 cm，参考数据：，，）
20．在中，，，，则边的长为 ．
三、解答题（60分）
21.（本题8分）计算：
（1）．（2）．
22．（本题7分）如图，在梯形中，，，，，
，求的长．
23．（本题7分）关于x的方程有两个相等的实数根，其中是锐角三角形的一个内角，等腰三角形的两条腰长为5，求的周长．
24．（本题8分）如图，一艘巡逻艇航行至海面B处时，得知正北方向上距B处20海里的C处有一渔船发生故障，就立即指挥港口A处的救援艇前往C处营救．已知C处位于A处的北偏东45°的方向上，港口A位于B的北偏西30°的方向上．求A、C之间的距离．(结果精确到0.1海里，参考数据≈1.41，≈1.73)
25．（本题10分）如图，在中， ，，，求、的长．
26．（本题10分）如图，已知⊙0是△ABC的外接圆，半径长为5，点D、E分别是边AB和边AC是中点，AB=AC，BC=6．求∠OED的正切值．
27．（本题10分）学会用数学的眼光观察世界，学会用数学的思维分析世界，生活中不少物品都是风景线！如今，不少人购买家具时，都喜欢简约大气的风格．如下左图所示的是一款非常畅销的简约型落地学生小书架，右图是其侧面截面图，为钢管支架，为放置书品的收纳架，，，且，，，，求书架顶端A到地面的距离及钢管段的长度．（结果保留整数；参考数据：，，）
答案
一、单选题
1．A
【分析】本题考查了锐角三角函数的概念．在中，根据勾股定理可得出值，再由锐角三角函数余弦定义(余弦等于邻边比斜边)即可得出答案．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∴．
故选：A．
2．B
【分析】连接，利用同弧所对的圆周角相等可得，再利用等腰直角三角形的性质及特殊角的三角形函数值即可求解．
【详解】解：连接，如图所示：
，
点A、B、C、D共圆，且为直径，
，
又，
，
，
故选B．
3．D
【分析】根据特殊角的三角函数值可得答案．
【详解】解：为锐角，且，
，
则，
故选：D．
4．B
【分析】根据锐角三角函数的定义求出即可．
【详解】解：在中，，故B正确．
故选：B．
5．A
【分析】根据等腰直角三角形的性质得到，再利用矩形的判定得到四边形是矩形，最后利用矩形的性质得到即可解答．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：．
6．C
【分析】根据题意可得：， 然后在 中， 利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答．
【详解】由题意得：，
∵在中，，，
∴，
在中， ，米，
∴ (米)，
故选：C．
7．A
【分析】过点A作，分别解直角三角形，求出，即可得出结果．
【详解】解：过点A作，由题意，得：120m，，
∴，
∴；
即：楼高为；
故选A．
8．B
【分析】根据正切得到，即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
，，
∵从甲楼顶部看乙楼的仰角为，
∴，
∴，
∴，
故选：B；
9．A
【分析】先将化简，再根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，即可进行解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵式子有意义，
∴，
解得：且，
故选：A．
10．A
【分析】根据作图可知，垂直平分，得到，菱形的性质得到，利用，求出的长，即可得解．
【详解】解：∵菱形中，，
∴，，
∴，，
由作图可知，垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴N的坐标为．
故选A．
二、填空题
11．
【分析】根据互为余角的两个角的正切相乘等于1即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
12．
【分析】把余弦化成正弦，然后根据锐角三角函数值的变化规律，正弦值随着角度的增大而增大，相同角的正切值大于正弦值即可解答
【详解】，正弦值随着角度的增大而增大
故答案为：
13．
【分析】根据，设，根据勾股定理，即可得．
【详解】解：如图所示，
∵，
∴设，
根据勾股定理得，，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用 坡度坡角问题，设木箱升高了米，根据坡度的概念用表示出木箱前进的水平距离，再根据勾股定理计算即可得到答案，掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键．
【详解】解：设木箱升高了米，
∵斜坡的坡度为，
∴木箱前进的水平距离为米，
由勾股定理得，
解得（负值舍去），
故答案为：．
15．
【分析】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形的折叠问题．根据矩形的性质，图形折叠的性质可证明，可得，即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
由折叠的性质得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：
16．
【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，先解得到，则可利用勾股定理求出，再解得到．
【详解】解：∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
故答案为：．
17．
【分析】延长于点E，利用三角函数求得，的长，设，则，根据勾股定理可得的长，从而得到，， 进而得到，即可求解．
【详解】解：如图，延长于点E，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴， ，
∴，，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：
18．．
【详解】试题分析： 在直角△ABC中，∠BAC=60°，AC=20海里，tan∠BAC=，所以BC=AC tan60°=海里．
19．2.7．
【详解】解直角三角形的应用，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值．
过点B作BD⊥OA于D，过点C作CE⊥OA于E．
在△BOD中，∠BDO=90°，∠DOB=45°，∴BD=OD=2cm．
∴CE=BD=2cm．
在△COE中，∠CEO=90°，∠COE=37°，
∵，∴OE≈2.7cm．
∴OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为2.7cm．
20．或
【分析】根据解直角三角形的方法，在中，，则得到，由，，确定，分两种情况讨论即可得到答案．
【详解】解：在中，，
，
在中，，，，
，
分两种情况讨论：
①，令，如图所示：
在中，，，，则，
在中，，，，则，
；
②，令，如图所示：
在中，，，，则，
在中，，，，则，
；
综上所述，的长为或，
故答案为：或．
三、解答题
21.（1）解：原式，
，
．
（2）解：
．
22．
解：
过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，
则∠AEF=∠DFE=∠DFC=∠AEB=90°，AE∥DF，
∵AD∥BC，
∴四边形AEFD是矩形，
∴AE=DF，AD=EF=，
在Rt△BAC中，∠B=45°，BC=4，
∴∠ACB=45°=∠B，
∴AB=AC，
由勾股定理得：AB=AC=4，
△BAC的面积S=AB×AC=BC×AE，
∴AE==2，
DF=AE=2，
∵AB=AC，AE⊥BC，
∴BE=CE=BC=2，
∴CF=2-=，
在Rt△DFC中，DF=2，CF=，由勾股定理得：CD==，
故答案为．
23．解：由题意得：，
∴，
分两种情况：
当∠A为等腰三角形的顶角时，如图：
过点B作，垂足为D，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴的周长为，
当∠A为等腰三角形的底角时，如图：
过点C作，垂足为E，
在中，，
∴，
∵，，
∴，
在中，，，
∴，
是钝角三角形，不符合题意，舍去，
综上所述：的周长为．
24．解：作AD⊥BC，垂足为D，由题意得，∠ACD＝45°，∠ABD＝30°．
设CD＝x，在Rt△ACD中，可得AD＝x，
在Rt△ABD中，可得BD＝.
又∵BC＝20，∴x＋＝20，解得：x =．
∴AC＝ (海里)．
答：A、C之间的距离为10.3海里．
25．解：过作，交于点，
则：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
26．连接AO并延长交BC于点H，连接OC，
∵AB=AC，
∴，
∵O为圆心，
∴AH⊥BC，BH=HC，
∴HC=3，
∵半径OC=5，
∴OH=4，AH=9，
∴在Rt△AHC中，tan∠HAC=，即tan∠OAE=，
∵D、E分别是边AB和边AC的中点，
∴DE∥BC，
∴AH⊥DE，
∴∠OAE+∠AED=90°，
∵E是边AC的中点，O为圆心，
∴OE⊥AC，
∴∠AED+∠OED=90°，
∴∠OAE=∠OED，
∴tan∠OED=tan∠OAE=．
27．过作于点，过作的延长线于点，
∵，
∴四边形，四边形都为矩形，
∴，，
在中，，
，
所以钢管段的长度约，
，
，
在中，，
，
书架顶端到地面的距离约
一、单选题（30分）
1．如图，在中，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，四边形，，，则为（ ）
A． B． C． D．1
3．已知为锐角，且，则（ ）
A． B． C．1 D．
4．如图，在中，，若，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，梯形 中，，，，，则 的长为 （ ）
A． B． C． D．
6．如图，某农林部门用钢管为垂直于地面的树木进行加固．已知钢管、的长度相等，钢管与地面所成角，钢管落地点间距长6米，则固定点离地面的高度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
7．如图所示，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为，看这栋楼底部C处的俯角为，热气球A处与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，两栋大楼相距米，从甲楼顶部看乙楼的仰角为，若甲楼高米，则乙楼的高度为（ ）
A． B． C． D．
9．式子有意义的的取值范围是（ ）
A．且 B． C． D．且
10．如图，菱形中，，点C在x轴上，分别以A、B为圆心，以大于的长作弧，两弧分别交于P、Q两点，作直线，交于点M，交于点N，则点N的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（30分）
11．如果，那么 ．
12．比较、、和的大小，并由小到大排列： ．
13．在中， ．
14．如图，在一坡度的斜面上，一木箱沿斜面向上推进了米，则木箱升高了 米．
15．如图，点E在矩形的边上，将沿翻折，点A恰好落在边上的点F处，若，则 ．
16．如图，在中，，于D，，，则 ．
17．如图，在四边形中，，，，，则 ．
18．一轮船以每小时20海里的速度沿正东方向航行.上午8时，该船在A处测得某灯塔位于它的北偏东30°的B处（如图），上午9时行到C处，测得灯塔恰好在它的正北方向，此时它与灯塔的距离是 海里（结果保留根号）.
19．如图，将的∠AOB按图摆放在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2cm，若按相同的方式将的∠AOC放置在该尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为 cm
（结果精确到0.1 cm，参考数据：，，）
20．在中，，，，则边的长为 ．
三、解答题（60分）
21.（本题8分）计算：
（1）．（2）．
22．（本题7分）如图，在梯形中，，，，，
，求的长．
23．（本题7分）关于x的方程有两个相等的实数根，其中是锐角三角形的一个内角，等腰三角形的两条腰长为5，求的周长．
24．（本题8分）如图，一艘巡逻艇航行至海面B处时，得知正北方向上距B处20海里的C处有一渔船发生故障，就立即指挥港口A处的救援艇前往C处营救．已知C处位于A处的北偏东45°的方向上，港口A位于B的北偏西30°的方向上．求A、C之间的距离．(结果精确到0.1海里，参考数据≈1.41，≈1.73)
25．（本题10分）如图，在中， ，，，求、的长．
26．（本题10分）如图，已知⊙0是△ABC的外接圆，半径长为5，点D、E分别是边AB和边AC是中点，AB=AC，BC=6．求∠OED的正切值．
27．（本题10分）学会用数学的眼光观察世界，学会用数学的思维分析世界，生活中不少物品都是风景线！如今，不少人购买家具时，都喜欢简约大气的风格．如下左图所示的是一款非常畅销的简约型落地学生小书架，右图是其侧面截面图，为钢管支架，为放置书品的收纳架，，，且，，，，求书架顶端A到地面的距离及钢管段的长度．（结果保留整数；参考数据：，，）
答案
一、单选题
1．A
【分析】本题考查了锐角三角函数的概念．在中，根据勾股定理可得出值，再由锐角三角函数余弦定义(余弦等于邻边比斜边)即可得出答案．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∴．
故选：A．
2．B
【分析】连接，利用同弧所对的圆周角相等可得，再利用等腰直角三角形的性质及特殊角的三角形函数值即可求解．
【详解】解：连接，如图所示：
，
点A、B、C、D共圆，且为直径，
，
又，
，
，
故选B．
3．D
【分析】根据特殊角的三角函数值可得答案．
【详解】解：为锐角，且，
，
则，
故选：D．
4．B
【分析】根据锐角三角函数的定义求出即可．
【详解】解：在中，，故B正确．
故选：B．
5．A
【分析】根据等腰直角三角形的性质得到，再利用矩形的判定得到四边形是矩形，最后利用矩形的性质得到即可解答．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：．
6．C
【分析】根据题意可得：， 然后在 中， 利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答．
【详解】由题意得：，
∵在中，，，
∴，
在中， ，米，
∴ (米)，
故选：C．
7．A
【分析】过点A作，分别解直角三角形，求出，即可得出结果．
【详解】解：过点A作，由题意，得：120m，，
∴，
∴；
即：楼高为；
故选A．
8．B
【分析】根据正切得到，即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
，，
∵从甲楼顶部看乙楼的仰角为，
∴，
∴，
∴，
故选：B；
9．A
【分析】先将化简，再根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，即可进行解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵式子有意义，
∴，
解得：且，
故选：A．
10．A
【分析】根据作图可知，垂直平分，得到，菱形的性质得到，利用，求出的长，即可得解．
【详解】解：∵菱形中，，
∴，，
∴，，
由作图可知，垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴N的坐标为．
故选A．
二、填空题
11．
【分析】根据互为余角的两个角的正切相乘等于1即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
12．
【分析】把余弦化成正弦，然后根据锐角三角函数值的变化规律，正弦值随着角度的增大而增大，相同角的正切值大于正弦值即可解答
【详解】，正弦值随着角度的增大而增大
故答案为：
13．
【分析】根据，设，根据勾股定理，即可得．
【详解】解：如图所示，
∵，
∴设，
根据勾股定理得，，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用 坡度坡角问题，设木箱升高了米，根据坡度的概念用表示出木箱前进的水平距离，再根据勾股定理计算即可得到答案，掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键．
【详解】解：设木箱升高了米，
∵斜坡的坡度为，
∴木箱前进的水平距离为米，
由勾股定理得，
解得（负值舍去），
故答案为：．
15．
【分析】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形的折叠问题．根据矩形的性质，图形折叠的性质可证明，可得，即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
由折叠的性质得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：
16．
【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，先解得到，则可利用勾股定理求出，再解得到．
【详解】解：∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
故答案为：．
17．
【分析】延长于点E，利用三角函数求得，的长，设，则，根据勾股定理可得的长，从而得到，， 进而得到，即可求解．
【详解】解：如图，延长于点E，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴， ，
∴，，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：
18．．
【详解】试题分析： 在直角△ABC中，∠BAC=60°，AC=20海里，tan∠BAC=，所以BC=AC tan60°=海里．
19．2.7．
【详解】解直角三角形的应用，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值．
过点B作BD⊥OA于D，过点C作CE⊥OA于E．
在△BOD中，∠BDO=90°，∠DOB=45°，∴BD=OD=2cm．
∴CE=BD=2cm．
在△COE中，∠CEO=90°，∠COE=37°，
∵，∴OE≈2.7cm．
∴OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为2.7cm．
20．或
【分析】根据解直角三角形的方法，在中，，则得到，由，，确定，分两种情况讨论即可得到答案．
【详解】解：在中，，
，
在中，，，，
，
分两种情况讨论：
①，令，如图所示：
在中，，，，则，
在中，，，，则，
；
②，令，如图所示：
在中，，，，则，
在中，，，，则，
；
综上所述，的长为或，
故答案为：或．
三、解答题
21.（1）解：原式，
，
．
（2）解：
．
22．
解：
过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，
则∠AEF=∠DFE=∠DFC=∠AEB=90°，AE∥DF，
∵AD∥BC，
∴四边形AEFD是矩形，
∴AE=DF，AD=EF=，
在Rt△BAC中，∠B=45°，BC=4，
∴∠ACB=45°=∠B，
∴AB=AC，
由勾股定理得：AB=AC=4，
△BAC的面积S=AB×AC=BC×AE，
∴AE==2，
DF=AE=2，
∵AB=AC，AE⊥BC，
∴BE=CE=BC=2，
∴CF=2-=，
在Rt△DFC中，DF=2，CF=，由勾股定理得：CD==，
故答案为．
23．解：由题意得：，
∴，
分两种情况：
当∠A为等腰三角形的顶角时，如图：
过点B作，垂足为D，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴的周长为，
当∠A为等腰三角形的底角时，如图：
过点C作，垂足为E，
在中，，
∴，
∵，，
∴，
在中，，，
∴，
是钝角三角形，不符合题意，舍去，
综上所述：的周长为．
24．解：作AD⊥BC，垂足为D，由题意得，∠ACD＝45°，∠ABD＝30°．
设CD＝x，在Rt△ACD中，可得AD＝x，
在Rt△ABD中，可得BD＝.
又∵BC＝20，∴x＋＝20，解得：x =．
∴AC＝ (海里)．
答：A、C之间的距离为10.3海里．
25．解：过作，交于点，
则：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
26．连接AO并延长交BC于点H，连接OC，
∵AB=AC，
∴，
∵O为圆心，
∴AH⊥BC，BH=HC，
∴HC=3，
∵半径OC=5，
∴OH=4，AH=9，
∴在Rt△AHC中，tan∠HAC=，即tan∠OAE=，
∵D、E分别是边AB和边AC的中点，
∴DE∥BC，
∴AH⊥DE，
∴∠OAE+∠AED=90°，
∵E是边AC的中点，O为圆心，
∴OE⊥AC，
∴∠AED+∠OED=90°，
∴∠OAE=∠OED，
∴tan∠OED=tan∠OAE=．
27．过作于点，过作的延长线于点，
∵，
∴四边形，四边形都为矩形，
∴，，
在中，，
，
所以钢管段的长度约，
，
，
在中，，
，
书架顶端到地面的距离约