《2.1等式性质与不等式性质》教学设计

课题：2.1等式性质与不等式性质（2）
教材：人教A版普通高中教科书《数学》必修第一册
一、教学内容解析
本课时学习的内容是人教A版《普通高中教科书.数学（必修）》第一册第二章2.1等式性质与不等式性质（第2课时）,是继“不等关系与不等式”、“两个实数大小关系的基本事实”之后的内容.其研究方法为后续研究二次函数与一元二次方程、不等式奠定了基础.本课时的主要内容是：等式性质及其蕴含的思想方法；不等式的基本性质及其研究方法；不等式的一些常用性质.
两个实数大小关系的基本事实是研究不等式性质的逻辑基础.等式的基本性质是研究不等式基本性质的类比对象，不等式的基本性质与等式的基本性质都是“式”的性质，具有相似性，所以可根据等式基本性质中蕴含的数学思想来研究不等式的基本性质.不等式的基本性质又是研究不等式的一些常用性质的基础，可以借助推广和特殊化的方法由不等式的基本性质得出不等式的其他一些常用性质.
教学重点：梳理等式基本性质及其蕴含的数学思想方法；类比等式的基本性质猜想并证明不等式的基本性质。
二、教学目标设置
1．梳理等式的基本性质及其中蕴含的思想方法，即相等关系自身的特性和相等关系对运算的“不变性”；
2．运用等式的基本性质中蕴含的思想方法，研究不等式的基本性质，发展逻辑推理素养；
3．运用不等式的基本性质发现并证明一些常用的不等式性质，了解“一般化”“特殊化”等研究数学问题的方法，发展逻辑推理素养；
4．运用实数大小关系的基本事实和不等式的性质解决简单的不等式问题，发展逻辑推理素养。
三、学生学情分析
不等式性质的探究是以实数大小关系的基本事实为依据，以梳理等式的性质中所蕴含的思想方法为前提，以类比等式的基本性质为方法展开的。学生虽然在初中阶段学习过等式的性质和不等式的性质3、性质4，但初中是运用由特殊到一般的归纳方法得到的，并没有进行严格的证明，也没有挖掘这些性质中所蕴含的思想方法；经过初中三年的学习，学生的理性思维得到一定发展；高中阶段对等式与不等式的学习强调逻辑推理和学生的理性思维，学生缺少从代数角度证明不等式的经验.
教学重难点：类比等式的基本性质及研究方法，猜想并证明不等式的基本性质，发现不等式的一些常用性质。
四、教学策略分析
1.逻辑关联策略：梳理—类比猜想—证明—理解运用；
2.“问题串”策略：搭建问题支架，调动学生思维；
3.小组合作学习策略：采取组内个人独学、对子对学、组内群学的方式，落实好自主学习，并通过展示、反馈达成目标；
4.教具、信息化设备：通过导学案、多媒体课件、智慧教室环境等进行师生评价、生生评价。
五、教学过程
1.创设情境，引出课题
请学生解不等式,并阐述每一步的理由.
师生活动：请一位学生来黑板前写出不等式的解答过程；学生集体阐述每一步解答的理由。
(预设)根据初中所学的知识，学生能很快求解出此一元一次不等式.但在阐述每一步的理由时 ，并不明白为什么这么做.
【设计意图】通过练习，创设情境，引出问题，激发学生去探索新知.
2.回顾旧知，做好铺垫
师生活动：小组内成员互查课前下发的导学案里“回顾旧知”部分，教师巡视。
（1）回顾两个实数大小关系的基本事实.
如果,那么;如果,那么;如果,那么.
（2）其他实数基本事实—符号法则：
如果,那么(正数的相反数是负数)；
如果,那么(负数的相反数是正数)；
如果，那么(正数的倒数是正数)；
如果,那么（两个正数的和是正数）；
如果,那么（两个负数的和是负数）；
如果,,那么; 如果,,那么(同号得正)；
如果,,那么; 如果,,那么(异号得负).
【设计意图】通过旧知回顾，便于学生运用旧知来证明不等式.
类型 等式性质 不等式性质 备注
自身 1.如果,那么. 1.如果,那么 对称性
2.如果,,那么 2.如果,,那么 传递性
运算 3.如果，那么 3.如果，那么 可加性
4.如果，那么 4.如果,,那么 如果,,那么 可乘性
3.类比猜想，科学求证
“不等以等为界”，为了更好地理解和掌握不等式性质，请学生回忆等式有哪些性质？
师生活动：教师提问学生：初中学习过的等式的性质有哪些？学生叙述，教师板书上表，并帮助学生梳理等式性质所蕴含的思想方法（不等式性质先空着不填）。
问题1.根据上表，谁能给出不等式性质1？
师生活动：学生猜想不等式性质。
（预设）如果,那么.
追问1.这是不等式的自身特性，谁能证明？
师生活动：教师帮助学生整理语言，给出证明的示范，使学生感受到数学问题的证明要有章可循，要有理有据。
（预设）因为,所以（基本事实），所以(符号法则)，即,所以.
问题2.谁能给出不等式性质2呢？
师生活动：在不等式性质1的启发下，学生自行在导学案上写出不等式性质2的猜想及证明过程。
（预设）如果,,那么.
追问2.这是不等式的传递性，谁能给出证明？
（预设）因为,所以（基本事实），因为，所以（基本事实），所以（符号法则），即,所以(基本事实).
问题3.通过类比，你能否给出不等式的运算性质，并给出证明？
师生活动：小组内讨论。5分钟后，随机抽取2组上台展示。每组展示的人数为2人——一位学生展示猜想结果，一位学生展示证明过程。其他学生质疑补充。
（预设）性质3 如果，那么（可加性）
证明：因为,所以（基本事实），所以(,所以（基本事实）.
(预设) 性质4 如果,,那么如果,,那么(可乘性).
证明：因为,所以（基本事实），若，则(符号法则)，所以,所以（基本事实）；若，则(符号法则)，所以,所以（基本事实）.
追问3.性质4说明，不等号的方向是可以改变的.谁能解释一下：在不等式的两边同乘以，不等号的方向为什么不变？
师生活动：解决“遗留”问题。继续提问一开始上课时到黑板前解题的学生，依据本节课的知识回答上述问题。
（预设）因为，又因为，所以((符号法则)，即,即,所以(基本事实).
师生活动：教师填写上述表格中不等式的性质。
练习：判断正误
如果,那么.
如果,那么.
师生活动：学生口头回答以上两个问题。
【设计意图】通过表格进行类比，便于学生得到不等式的对应性质和比较它们的异同点，促进学生对新知的理解，利用证明性质4的理由解决遗留问题，做到前呼后应.
4.运用性质，推广延伸
问题4.不等式性质3是在的两边同时加上相同的量,不等号的方向不变.如果在的两边加上不同的量,你能判断与间的大小吗？
师生活动：教师启发，学生小组内互动合作。3分钟后随机抽取一组上台展示（需要增加的条件、猜想、证明过程），其他学生质疑补充。
（预设）学生：无法判断！
追问4.需要增加什么样的条件？
（预设）学生：增加,即如果，，那么.
追问5.你能给出证明吗？
（预设方案1）因为，所以（性质3），
因为，所以(性质3)，
所以（性质2）.
(预设方案2) 因为，所以（基本事实），因为,所以(基本事实)，所以(符号法则)，即,所以(基本事实).
问题5.不等式性质4是在的两边同时乘以相同的量所得，如果在的两边乘以不同的量，你能判断与间的大小关系吗？
师生活动：教师启发，学生小组内互动合作。3分钟后随机抽取一组上台展示（需要增加的条件、猜想、证明过程），其他学生质疑补充。
（预设）学生：不能！
追问6. 需要增加什么条件？
（预设）学生：如果，，那么.
追问7. 你能给出证明吗？
（预设）证明：因为，,所以(性质4)，因为，,所以(性质4)，所以（性质2）.
问题6.这是不等式性质6，要注意其中都是正数.如果把性质6中的变为，你能得到什么结论？
师生活动：教师启发引导，学生共同归纳总结不等式性质7.
（预设）学生：如果，那么.
追问8.显然.再由不等式性质6，你能得到什么结论？
（预设）学生：.
追问9.如此下去，你能得到什么结论？
（预设）学生：如果，那么().
【设计意图】通过对不等式的常用性质的证明，凸显不等式自身的性质和运算性质的应用价值.
5.巩固运用，拓广探索 用不等号“”或“”填空.
师生活动：学生在导学案上独立完成，由小组长进行批阅。生生之间进行纠错。
(1)如果，,那么 ;
（2）如果，且则 0
(3)如果，,那么 ;
(4)如果，那么 .
例2 已知，,求证.
师生活动：教师引导学生分析证明的思路及依据，帮助学生整理语言及表达过程。
分析：要证明，因为，所以可以先证明.利用已知和性质4，即可证明.
证明：因为，所以,.
于是 ,
即 .
由,得.
【设计意图】通过例题，强化学生利用不等式性质解决问题的能力，旨在提升学生的数学运算和逻辑推理能力.
巩固运用，拓广探索
作业1（必做）
①已知2,-2,求的取值范围.
②已知，,,求证.
作业2（选做）
已知，求证.
【设计意图】分层布置作业，“巩固运用”面向全体学生，旨在掌握用不等式性质解决问题.“拓广探索”让学生运用探究不等式性质的思想方法研究问题.
6.课堂小结，归纳反思
师生活动：教师引导学生回顾本节课所学的知识及思想方法。
1.本节课学习了什么知识？
2.你是如何获得这些知识？（方法、数学思想）
【设计意图】总结知识、方法，提升数学核心素养。
六、教学目标检测设计
(
既不充分也不必要条件
) (
A. 若
) (
2.
设
则
的（ ）
) (
,则
) (
,则
) (
1.设
下列命题正确的是（ ）
)
【设计意图】第1，2题主要评价学生对不等式基本性质掌握程度；第3题主要评价学生利用不等式基本性质进行推理证明。
(
1
)