北京市朝阳区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题(含解析)

北京市朝阳区2024-2025学年八年级上学期期末考试
数学试题
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形中，为轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列长度的三条线段，能组成三角形的是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
3.下列图形中，具有稳定性的是( )
A. B.
C. D.
4.如果把分式中的，都扩大倍，那么分式的值( )
A. 扩大倍 B. 扩大倍 C. 缩小倍 D. 不变
5.将一副三角尺按如图方式放置，则图中的度数为( )
A. B. C. D.
6.根据工信部首台套重大技术装备推广应用指导目录版信息，氟化氩光刻机的分辨率不超过，已知，，则的值为( )
A. B. C. D.
7.下面是“作的平分线”的尺规作图方法：
如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，；分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点；作射线．
上述方法通过判定得到，其中判定的依据是( )
A. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
B. 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
C. 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等
D. 三边分别相等的两个三角形全等
8.在中，，，将按如图所示的方式依次折叠：
有下面四个结论：平分；；；的周长等于的长．所有正确结论的序号为( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.计算： ．
10.若分式有意义，则实数的取值范围是 ．
11.正六边形的外角和为 ．
12.方程的解为 ．
13.如图所示的网格为正方形网格，则 ．
14.如图，平分，点在上，点，分别在，边上，有如下条件：，；；选取其中一个可以得到的条件，序号是 写出所有可能的情况．
15.如图，在的正方形网格中，的个顶点均在正方形的顶点格点上，这样的三角形叫做格点三角形．为网格图中与全等的格点三角形除外的一个顶点，其对应点为若在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点在坐标轴上，则点的坐标为 ．
16.由于科技创新与产业结构的优化，某种产品的原材料实现了一定幅度的降价，因而厂家决定对产品进行降价，现有三种方案：第一次降价，第二次降价；第一次降价，第二次降价；第一、二次降价均为记降价后方案的产品价格为，方案的产品价格为，方案的产品价格为若，，则 填“”“”或“”；若，均为正数，则，，的大小关系是 ．
三、解答题：本题共10小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：．
18.本小题分
如图，点，，，在一条直线上，，，求证：．
19.本小题分
已知，求的值．
20.本小题分
计算：．
21.本小题分
如图，的三个顶点的坐标分别为，，．
画出关于轴对称的图形，其中点，，的对称点分别为，，，直接写出点，，的坐标；
在轴上找一点，使的值最小，在图中画出点保留必要的画图痕迹．
22.本小题分
某地积极利用农业技术创新，改良玉米品种，提高品种适应性和抗病性，玉米平均每亩增产，原来总产量吨的一块土地，现在少种亩，总产量仍可达到吨，原来和现在玉米的平均每亩产量各是多少吨？
23.本小题分
如图，在中，，点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为，连接，，交于点，连接，，连接并延长，交于点．
根据题意补全图形；
求证：．
24.本小题分
在学习分式一章后，小智同学对分式的某些变形进行了深入的研究，他发现有些分式可以转化为一个整式和一个真分式即分子的次数小于分母的次数的形式，例如：，而且他发现这样的变形可以优化计算．
参考小智的方法，完成下面的问题：
如果分式可以变形为为整数，求和的值；
求分式的最大值．
25.本小题分
已知线段与点，，，点，在直线的同则，点为的中点，连接，．
如图，若点在上，，则______；
如图，若点在外，写出一个的度数用含的式子表示，使得对于任意的点总有，并证明．
26.本小题分
在平面直角坐标系中，对于点与直线给出如下定义：若点关于直线的对称点到轴的距离不超过，则称点存在关于直线的近距对称点．规定：当点在直线上时，点到直线的距离为
在点，，中，存在关于轴的近距对称点的是______；
如图，点在轴正半轴上，点在第一象限，，若点存在关于直线的近距对称点，直接写出的取值范围；
已知直线与轴交于，与轴正半轴交于点，若经过点与点的直线上任意一点，都存在关于直线的近距对称点，直接写出的度数及点到直线的距离的取值范围．
答案和解析
1.
【解析】由题意知，选项是轴对称图形，故选：．
2.
【解析】，，不能构成三角形，不符合题意；
，，不能构成三角形，不符合题意；
，，能构成三角形，符合题意；
，，不能构成三角形，不符合题意．
故选：．
3.
【解析】依题意，三角形具有稳定性，故选：．
4.
【解析】把分式中和都扩大倍，即：，
分式的值不变．故选：．
5.
【解析，
．
故选：．

6.
【解析】，
故，
故选：．
7.
【解析】由作图过程可知，，
，
，
判定的依据是三边分别相等的两个三角形全等．
故选：．
8.
【解析】沿着直线折叠得到，
，
平分，
故正确；
沿着直线折叠得到，
，
，
，
，
，
，
，
沿着折叠得到，
，
，
，
，
，故错误；
，
，
，故正确；
是等腰直角三角形，，
，
，
的周长，故正确，
故选：．
9.
【解析】，
故答案为：．
10.
【解析】解：分式有意义，
，即．
故答案为：．
11.
【解析】正六边形的外角和为，
故答案为：．
12.
【解析】，
去分母，得，
去括号，得，
合并同类项并移项，得，
系数化为，得：，
检验：当，，
是原分式方程的解．
故答案为：．
13.
【解析】和中，
，
，
是的一个外角，
，
即，
，
．
故答案为：

14.
【解析】平分，点在上，于点于点，
，故符合题意；
平分，点分别在边上，
，
在和中，
，
，故符合题意；
在和中，
，
，故符合题意，
故答案为：．
15.
【解析】点的坐标为，点的坐标为，
坐标系原点在点的下方个单位，在点的左方个单位处，建立坐标系，如图，
点的坐标为，
，
点为网格图中与全等的格点三角形的一个顶点，对应点为，在坐标轴上，
符合条件的点的坐标有或或．
故答案为：或或．
16.

【解析】记产品原价为，
若，，
则，
，
，
若，均为正数，
则，
，
，
，
又，均为正数，
，
，
故答案为：，．
17.解：
．
18.证明：，
．
在和中，
．
．
19.【解析】
．
，
．
原式．

20.【解析】
．
21.【解析】如图，即为所求，点，，的坐标分别为，，．
【解析】如图，点即为所求．
22.【解析】设原来玉米的平均每亩产量是吨，
根据题意，得，
解得：．
经检验，是原分式方程的解，且符合题意．
．
答：原来玉米的平均每亩产量是吨，现在玉米的平均每亩产量是吨．
23.【解析】补全图形如图所示；
证明：点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为，
，
，
，
，
在和中
，
，
，
，
，
，
，
，
即．
24.【解析】
，
，；
【解析】
，
，
，
，
，
原分式的最大值为．
25.【解析】延长，交于点，如图所示，
，
，
，
，，
点为的中点，
，
在和中，
，
，，
，
，
，
，
又，
，
，
故答案为：；
【解析】，使得对于任意的点总有，证明如下：
延长到，使，连接，，如图所示，
点为的中点，
，
在和中，
，
，，
，
，
，，
，
在五边形中，，
，
又，
，
在和中，
，
，
又，
，
．
26.【解析】点，，关于轴的对称点分别是，，，它们到轴的距离分别是，，，
点、是关于轴的近距对称点，点不是关于轴的近距对称点．
故答案为：，
解：作点关于直线的对称点为，连接，作于点，
则，，
，
，
，
点存在关于直线的近距对称点，
，
解得．
由题意得，直线关于直线的对称直线须与轴平行，且到轴的距离小于等于．
如图，点在轴负半轴上时，
设直线与的交点为点，
，
，
，
，
，
．
当直线经过直线与直线的交点时，点与直线的距离最大，
直线与直线关于直线对称，
到直线的距离等于到直线的距离，即，
；
如图，点在轴正半轴上时，
设直线与的交点为点，
，
，
，
，
，
．
当直线经过直线与直线的交点时，点与直线的距离最大，
直线与直线关于直线对称，
到直线的距离等于到直线的距离，即，
；
综上，的度数为或，且．

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