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曲靖市2024-2025学年高三年级第一次教学质量监测
数学试题卷
(本卷满分150分，考试时问为120分钟)
注意事项：
1.答题前、考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在
答题卡上
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需
改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上
写在本试卷上无效
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的，
1.已知集合A={x1(x-6)(x-10)<0},B={6,7,8,9,10},则A∩B=()
A.{6,7,8,9,10}
B.{7,8,9}
C.(6,10)
D.(7,9)
2,若双曲线三-=1(a>0,6≥0)的焦距为4，实轴长为2，则其离心率为(
2
A.2
B
C.2
D.
2
3.记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a,+a,=8,a6=12,则S,=()
A.42
B.49
C.56
D.72
4.已知复数名，和2，满足=22=3-22=1，则31+z2=（)
A.⑤
B.3
C.5
D、1
5.有一组样本数据为0,1,2,3,4,5，在其中添加一个数a构成一组新的样本数据，若a∈{0，
1,2,3,4,5},则新旧样本数据的第25百分位数相等的概率为()
A名
c
5
6.在扇形AOB中，以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系、若OA=(10,0),
OB=(8,6),C为AB的中点，则0C=(
A.（9,3)
B.（3Wo,o)
C.（53,5
D.（45,2W5)
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7.已知正三棱锥P-ABC的所有顶点都在球O的球面上，PA=4V3,AB=6,过棱AB作球
O的截面，则所得截面面积的取值范围是()
A.9元，12元
B.[9x,l6元]
C[12元，16元]
D.[12元，36m]
8.已知x是函数f(x)=xmx-2025的零点，2是函数g（x)=lx+x-lh2025的零点，则
x的值为()
A.2025
B.
C.V2025
D,2025
e
2025
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9.已知函数fx)=2sin
2x-石)
则()》
A.f(x)的最小正周期为π
B.f(x)在[0，牙]上单调递增
C.∫(x)的图象关于直线x=z对称
n.f(x)的图象关于点
0对称
10.若(8-√7x)”的展开式的各二项式系数之和为32，则()
A.n=5
B.展开式中只有第三项的二项式系数最大
C展开式中x项的系数为1960
D.展开式中系数为有理数的项共有2项
个y
11.“脸谱”是中国戏剧中特有的化妆艺术.“脸谱”图形可近似看
作如图所示的由半圆和半椭圆组成的曲线C.若半圆C的方程
为4r36(0.华箱圆G的方程为品+需1()s0)。
,测下列说法正确的是（)
A,若点A在半圆C上，点B在半椭圆C2上，且OA上OB,则△AOB面积的最大值为30
B.若M(0,-8),N(0,8),D是半椭圆C上的-个动点，则cos∠MDN的最小值是25
7
C.若P、2是半椭圆C2上的动点，H(异于坐标原点O)是线段PQ的中点，则
25
kpe·kon=-
9
-6
D.若曲线C在点E24
处的切线为1，半椭圆C的焦点为F,过点F作直线1的垂线，
垂足为T,则OT=10
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知直线41：x+y+1=0与2：(m+2)x+y+m=0平行，则1，与间的距离为
13.在棱长为1的正方体的顶点中任取两个不同的点，则这两点间的距离的均值为
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数学答案
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A C C D B B D
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
题号 9 10 11
答案 ABD AC ACD
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
题号 12 13 14
3 3 2 3 1 1 1 答案 2 ， ，3
7 2 2
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
x1 x2 17
15. 解：（1）设 A x1，y1 ， B x2 ，y2 ，则 2 8 ，
x
25
1
x2 p 4
p 2． 抛物线C 的方程为 y2 4x . ……………………………………6分
（2）由题意可知直线 l不与 x轴重合，又 F 1，0 ，故可设直线 l的方程为 x my 1 .
y2 4x
由 ，得 y2 4my 4 0，故 y1 y2 4m .
x my 1
又 x1 x2 my
17 3
1 1 my2 1 m y1 y2 2 4m2 2 ，故m .4 4
直线 l的倾斜角为锐角， m 3 . ………………………9分
4
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m 3 y2将 带入 4my 4 0，解得 y 1或y 4 .
4
不妨设点 A在 x 1 轴下方，则 A ， 1 B 4，4 . ……………………11分
4 ，
设 AOB 2 2外接圆的一般方程为 x y Dx Ey F 0，
D 29 F 0
4 1 D E F 17
则 0 ，解得 E 34 16
.
4
4D 4E F 32 0 F 0
AOB 29 3外接圆的一般方程为 x2 y2 x y 0 . ………………13分
4 4
16. 1 f x 3 sin 2x cos2x 2sin 2x 解：（ ） . ………………2分
6
f C 2， sin 2C 5 1 .又 0 C ，故 2C ，
6 2 6 6 6
2C ，故C . ……………………………………4分
6 2 3
2sin A 3sin B，由正弦定理得 2a 3b .
又 c 7 7，由余弦定理得 7 a2 b2 ab a2 .
9
a 3，b 2 . ……………………………………7分
2 （ ）由题意可知， g x 2sin 2x 2cos2x .
2
g A 0且 0 A A ， . …………………………………10分
2 4
m n sin BcosC cosBsinC sin B C sin 2C . ………………12分
4
ABC 3 5 为锐角三角形， C ， 2C ，
4 2 4 4 4
2 2 2 2 sin 2C ，即m n的取值范围是 ， . …………15分2 4 2 2 2
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1
17. 解：（1）如图，取 PB的中点为 E ，连接 EM，EA，则 EM // BC，且 EM BC .
2
AD // BC ，
EM // AD . ………………2分
DM // 平面 PAB ，DM 平面 ADME，
平面 PAB 平面 ADME AE，
DM // AE .
又 EM // AD， 四边形 ADME为平行四边形. …………5分
EM AD，又 EM 1 BC，
2
BC 2AD 4 . ……………………………6分
（2） PA 平面 ABCD， PA DC，又 PD DC，PD PA P，
DC 平面 PAD ， DC AD .
如图所示，建立空间直角坐标系，设DC a a 0 ，则
D 0，0，0 ，A 2，0，0 ，P 2，0，2 3 ，C 0，a，0 . …………8分
CP 2， a，2 3 ，AP 0，0，2 3 ，设平面 ACP的一个法向量为m x，y，z ，
2x ay 2 3z 0
则 ，令 x a，则 y 2，故m a，2，0 . ……………10分
2 3z 0
同理可得平面CPD的一个法向量为 n 3，0， 1 . ……………………12分
3a 2二面角 A CP D的大小为 45 ， ，
2 a2 4 2
a 2 2 ，即DC 2 2 . ……………………13分
V 1A PDC VP ADC S
1 1 4 6
3 ADC
PA 2 2 2 2 3 ，
3 2 3
4 6
即三棱锥 A PDC的体积为 . ……………………15分
3
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18. 人教 A版普通高中教科书选择性必修二 104页 19题改编
解：（1）当 a 0时， f x e2x e x，
f x 2e2x e x， f 0 3 .
又 f 0 2，故 f x 在 x 0处的切线方程为：3x y 2 0 ……….…3分
（2） f x 2e2x 1 2a e x a 2e x 1 e x a .
当 a 0时， f x 0，故 f x 在 R上单调递增；
当 a 0时，令 f x 0，得 x lna，令 f x 0，得 x lna，
故 f x 在 ，lna 上单调递减，在 lna， 上单调递增.
综上所述，当 a 0时， f x 在 R上单调递增；
当 a 0时， f x 在 ，lna 上单调递减，在 lna， 上单调递增. …………8分
（3）当 a 0时， f x 在 R上单调递增，不符合题意，故 a 0 . ………9分
由（2）知，当 a 0时， f x min f lna a 1 a lna .
f x 有两个零点， a 1 a lna 0 .
又 a 0， 1 a ln a 0 . ……………………………11分
令 h a 1 a lna a 0 1 a 1 ，则 h a 1 0，
a a
h a 在 0， 上单调递减，且 h 1 0，
当 a 1时，h a 0，即 f x min 0 . ……………………………13分
又 f 1 1 1 2a 1 1 a e 2 2 a 2 0，e e e e e
f x 在 1，lna 上有一个零点；
e x x， f x e2x 2ae x ax e2x 2ae x ae x e x e x 3a .
当 x ln3a时， f x 0，
f x 在 lna，ln3a 上有一个零点.
综上所述， f x 有两个零点时， a的取值范围是 1， . …………………17分
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19. 解：（1）当 n 1时， p1 1，H X 1 log21 0 . ………3分
（2）H X 与 p1负相关，理由如下： …………………4分
当 n 2时， p2 1 p1，H X p1 log2 p1 1 p1 log2 1 p1 .
令 f t t log t 1 t log 1 t 1 t 1 1 2 2 ，则 f t log2 1 0 .
2 t
1 函数 f t 在 ，1 上单调递减.
2
H X 与 p1负相关. …………………………………8分
（3）由题意知 p p k 2 k n 1k 2 4 3 4 k 2，3， ，n ，
k k
p log p 3 4k n 1 log 3 4k n 1 4 4k 2 k 2 3log2 3 n 1 3 n 1 2k 2n 2 4 4
3 3
n 1 log2 3 4
k n k n 1 4
k k 2，3， ，n . …………………10分
4 2 4
n n n
p 3 k 3 kk log2 pk 4n 1 log2 3 4 n k n 1 4 .k 2 k 2 2 4 k 2
n 2 n 1 n 1
4k 42 4 1 4 4 16 43 4n . …………………12分
k 2 1 4 3
n
令T k n 1 4k 1 n 42 2 n 43 3 n 44 1 4n ①
k 2
则 4T 1 n 43 2 n 44 3 n 45 1 4n 1 ②
3 n-1
由①-②得， 3T 1 n 42 43 44 4 1 4 4n 4n 1 1 n 42 ，
1 4
T 16 n 1 64 4
n 2
. ……………………………14分
3 9
n
p log p 1 log 3 1 6n 2 8 6n 2 log2 27 8k 2 k 2
4n 1
+
3 4n 1
log 3 .
k 2 3 3 4
n 1 2 3
n
H X p log p p log p 2n 2 6n 2 log 27 8 1 2 1 2k 2 k 4n 1 3 4n 1 log2 3 k 2 3
log2 27 8 1 log2 27 8 . ……………………………17分
3 4n 1 3
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