绝密★启用前
L16联盟2025年1月高考适应性测试
数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
过
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在
答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1.若集合A={xax2+1=0}是空集，则a的取值范围是
A.(0,+0)
B.[0,+o)
C.(-0,0)
D.(-00,0]
2.若复数z=2+i(i为虚数单位)，则三=
3-41
B.
4-3i
c
3+41
D.
4+3i
5
5
5
5
3.已知平行四边形ABCD满足AB=(1,O),AD=(2,1),则四边形ABCD的面积是
3
蜘
B.1
2
D.2
4.已知a是第一象限角，若sin2a=cos2a,则cosa=
A
B.0
c.
2w5
D.
5
5.一四棱锥底面为正方形，侧面均为边长为√2的等边三角形，则该四棱锥的体积是
A.
4W2
2W2
3
B.
3
4-3
c.
D
6.抛掷一枚均匀的正四面体骰子，骰子静止后，认为朝下的面所包含的三条棱接触过
地面，则经过3次抛掷后，存在从未接触过地面的棱的概率是
A
B.
8
D.
5-8
7.已知函数f)=(@r+孕(o>0)在（爱孕上有定义.侧/停的值不可能是
A.-4
B.-2
C.2
D.4
数学试题第1页（共4页）
8.在矩形ABCD中，AD=4,AB=2,A,A,分别是AD,BC的中点，M,N分
别是线段AD,DC上的动点，且ADAM=|DN,记AM和AN的交点为Q,
则Q的轨迹的离心率是
5
A.
C.5
2
B
4
D.6
4
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分。有两个正确选项的仅选其中
一个得3分；有三个正确选项的仅选其中一个得2分，仅选其中两个得4分。
9.如图，国家统计局发布了自1990年至2023年的国家城镇化率与人口总数的关系，
其中横坐标为年份，纵坐标为人口总数，每一年的数据点对应一个圆，圆的半径与
城镇化率成正比.根据图像估计，下列说法正确的是
0,C0
110.ccC
130.cc0
领化：e6.1E%
人L气数：1405北7
12①，cc0
170.cco
cc.ccc
01
20e
A.自1990年至2023年，我国人口总数大致呈增长趋势
B.自1990年至2023年，我国城镇化率大致呈增长趋势
C.自1990年至2023年，我国人口增长速率呈增长趋势
D.自1990年至2023年，我国城镇化率与人口总数正相关
10.已知数列{a}的通项公式是a,=
n2
3
(n∈N),记{an}的前n项和为Sn,则
A.a。>1
C.n=2时，a,取最大值
D.S>n
11.直线y=ax+b与曲线y=bx3+x2+a在同一平面直角坐标系中的图像可能是
数学试题第2页（共4页）绝密★启用前
L16 联盟 2025 年 1 月高考适应性测试
数学试题参考答案
评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试
题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题
的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得
分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
4．只给整数分数。单项选择题不给中间分。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1．B 2．C 3．B 4．C
5．D 6．D 7．D 8．A
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求。全部选对的给 6 分，有选错的给 0 分。有两个正确选项的仅选其中
一个给 3 分；有三个正确选项的仅选其中一个给 2 分，仅选其中两个给 4 分。
9．ABD 10．BC 11．ACD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
3 3π
12．64 13． 14． (0, )
3 4
数学试题参考答案 第 1 页（共 10 页）
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第 15～18 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 19 题为选考题，考生根据要
求作答。
（一）必考题：共 60 分。
15．（13 分）
在△ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别是 a ，b ，c ，已知 ac(1+ 2cos B) = (a c)2 .
2
（1 sin B）求 ；
sin Asin C
（2）求角 B 的最大值．
解：
a2 + c2 b2
（1）由余弦定理逆定理， ac(1+ ) = (a c)2 ，
ac
得 ac + a2 + c2 b2 = a2 + c2 2ac ，
即 b2 = 3ac ，
sin2 B b2
故由正弦定理得， = = 3 .
sin Asin C ac
2 2 2
cos B a + c b 1 a c 3 1（2）由余弦定理， = = ( + ) ≥ ，
2ac 2 c a 2 2
a c
当且仅当 = 即 a = c 时取等，
c a
又 B∈ (0,π) 2π，故角 B 的最大值是 .
3
数学试题参考答案 第 2 页（共 10 页）
16．（15 分）
已知函数 f (x) = ex a ax 的最小值是 0．
（1）求 a ；
（2）若实数 m ， n 满足 mn = em 1 + n ln n ，求 mn 的最小值．
解：
（1）若 a≤0，则 f (x) 单调递增，没有最小值；
若 a > 0 ， f ′(x) = ex a a ， f ′(a + ln a) = 0 ，
当 x < a + ln a 时， f ′(x) < 0 ， f (x) 单调递减，
当 x > a + ln a 时， f ′(x) > 0 ， f (x) 单调递增，
故 f (x) 的最小值为 f (a + ln a) = a a2 a ln a = a(1 a ln a) = 0 ，
令 g(x) =1 x ln x ，则 g(x) 单调递减，且 g(1) = 0 ，故 a =1 ．
（2）即 em ln n 1 = m ln n ，即 f (m ln n) = 0 ，
由（1）知，此时 m ln n =1，即 mn = n(1+ ln n) ，
令 h(x) = x(1+ ln x) ， h′(x) = 2 + ln x 1， h′( ) = 0 ，
e2
0 x 1当 < < 2 时， h′(x) < 0 ， h(x) 单调递减， e
当 x 1> 2 时， h′(x) > 0 ， h(x) 单调递增， e
故 h(x) 1 1的最小值为 h( 2 ) = ， e e2
mn 1故 的最小值为 2 ． e
数学试题参考答案 第 3 页（共 10 页）
17．（15 分）
Ck
已知 k∈N* ， m∈N* ， k ≤m ， m >1 ，设统计量 P(k) = m
C2
．
m+1
（1）若 P(2) 1> ，求 m 的取值范围；
2
m
（2）记 E =∑kP(k) ，用 m 表示 E ；
k=1
（3）判断 E 与1的大小关系，并说明理由．
解：
C2 1
（1） P(2) = m2 > ，解得 m≥ 4 ， m∈N
* .
Cm+1 2
m Ck m
（2） E =∑k m 12 =C C2 ∑kC
k k k 1
m ，由 kCm = mCm 1 ，
k=1 m+1 m+1 k=1
m
得 E m= ∑Ck 1 m= (C0 +C1 +C2 + +Cm 2 m 1C2 m 1 2 m 1 m 1 m 1 m 1 +Cm 1) ； m+1 k=1 Cm+1
又由 C0 +C1 +C2 +C3 n 1 n nn n n n + +Cn +Cn = 2 ，
m 1 m
故 E m 2 2= 2 = ， m >1 ， m∈N
* .
Cm+1 m +1
（3） E >1，理由如下：
法一：
令 f (x) = 2x x 1，x >1，则 f ′(x) = ln 2 2x 1， f ′(x) > f ′(1) = 2ln 2 1> 0 ，所以
x
f (x) = 2x x 2 1在 (1,+∞) 上单调递增，所以 f (x) > f (1) = 0 ，所以 >1 ，故 E >1.
x +1
法二：
2n 2n+1 2n n 2n
令数列 an = ，所以 a a = = > 0 ， n +1 n+1 n n + 2 n +1 (n +1)(n + 2)
所以数列{an}单调递增，所以 an ≥ a1 =1 ，又 m >1 ，所以 E(x) ≠1 ，所以 E >1.
数学试题参考答案 第 4 页（共 10 页）
18．（17 分）
已知直椭圆柱体是指底面为椭圆，侧面与底面垂直的柱体．如图所示，直椭圆柱体
1 1
的上下底面椭圆离心率为 ，高为椭圆短轴长度的 ，下底面长轴记为 AB ，上底面长
2 2
轴记为 A1B1 ．点 E 为 AB 上一点，过点 E 在下底面内作 AB 的垂线分别交下底面椭圆于
AE
点 C ， D ．记 m = ．
BE
（1）若平面 A1AD ⊥ 平面 A1AC ，求 m 及二面角 C A1B D 的余弦值；
（2）若 m 随变量 t 的变化而变化，且 t≥1，m =1 1 ．记二面角 C A1B D 的大2t
小为θ π θ 5π，证明： < < ．
2 6
解：
（1）因为 AA1 ⊥ 平面 ADBC ，所以 AA1 ⊥ AD ，由平面 A1AD∩ 平面 A1AC = AA1 ，
有 AD ⊥ 平面 AA1C ，故 AD ⊥ AC ，
x2 y2
令椭圆： 2 + 3 =1，CD ：x = d ，在等腰直角三角形 ACD 中，AE =CE = DE ，a a2
4
d 2 y 2
+ c =1 6
2 3 1 1 a 3
联立 a a2 ，解得 d = a 或 a （舍去），故 E ( a,0) ，所以 m = 7 = ；
4 7 7 8 a 4
yc = a + d 7
以 O 为原点，以 AB 为 x 轴正方向，过 O 作平行于 CD 的直线为 y 轴正方向，平行
于 AA1 的向上的直线为 z 轴正方向，建立空间直角坐标系，
C( 1 6
则有 a, a,0) ，D( 1 a, 6 a,0) ，B(a,0,0) ，A1( a,0,b) ，A1B = (2a,0, b) ，7 7 7 7
8 6 BC = ( a, a,0) 8， BD = ( a, 6 a,0) ，
7 7 7 7
设面 A1CB 法向量为 m = ( p,q, z) ，面 A1DB 法向量为 n = (δ ,γ ,ω) ，
数学试题参考答案 第 5 页（共 10 页）
m A B 0 2a 4
4
1 = ，则 z = p = p ，m BC = 0 ，则 q = p ， b 3 3
m n
故可取 m = (3,4,4 3) ，同理，可取 n = (3, 4,4 3) ， cosθ 41= = ，
m n 73
8 3
由相似得点 E 到 A1B 的距离是 a ， 7 19
6
θ a 57 π
所以 tan = 7 = >1= tan ，故θ π> ，故 cosθ 41= .
2 8 3 4 4 2 73
a
7 19
（2）由 AE m BE 1 m= ，有 EO = a m 1 ，在平面直角坐标系 xOy 中 E( a,0) ，
1+ m m +1
x m 1
2 2
a x y 3m 3m将 = 代入椭圆：
m +1 a2
+ 3 =1，得 yC = a ， yD = a ， a2 m +1 m +1
4
所以在空间直角坐标系 Oxyz 中，
C(m 1a, 3m a,0) D(m 1a, 3m， a,0) ， B(a,0,0) ， A ( a,0,b) ，
m +1 m +1 m +1 m +1 1
因此 A1B = (2a,0, b) ， BC(
2 3m 2 3m
a, a,0) ， BD( a, a,0) ，
m +1 m +1 m +1 m +1
令面 A1CB 法向量为 n = ( p,q, z) ，面 A1DB 法向量为 nn = (δ ,γ ,ω) ，
2ap bz = 0
3
n A B 0
= p = z1
，即 ，得
4 ，
2 3m
n BC = 0 ap + aq = 0 m +1 m +1 q
1
= z
2 m
可取 n = ( 3m,2,4 m) ，同理，可取 nn = ( 3m, 2,4 m) ，
n nn
cosθ 19m 4 8所以 = = =1 ， m [1∈ ,1) ，
n 19m + 4 19m + 4 2n n
15
所以 < cosθ 11 π≤ ，由（1）知该二面角为钝角，θ ∈ ( ,π) ，
23 27 2
所以 cos 5π 3 15= < < cosθ 11≤ < 0 = cos π π，所以 <θ 5π< ，得证.
6 2 23 27 2 2 6
数学试题参考答案 第 6 页（共 10 页）
（二）选考题：共 17 分。请考生从给出的 2 道题中任选一题作答，并用 2B 铅笔将答题
卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按
所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分。
19．（17 分）
A［选考题 1］
现有公差为 d （ d > 0 ）的 m （ m≥ 4 ）项等差数列 a1 ， a2 ，…， am ，若从中随机
取出 l （ 0≤ l ≤m ）项后，对于剩余项始终有 a j ai > d （ 1≤ i < j≤m ），则称将取出
的项按由小到大顺序排成的数列为 a1 ， a2 ，…， am 的“间子列”.
（1）写出数列 a1 ， a2 ， a3 ， a4 的所有间子列；
（2）证明：存在数列 a1 ， a2 ，…， am+1 的一个间子列，其也为数列 a1 ， a2 ，…，
am 的间子列；
（3）从数列 a1 ，a2 ，…，am 中取出若干项从小到大排成一新数列，记该数列为 a1 ，
a 72 ，…， am 的间子列的概率为 pk ，证明： pk ≤ ． 32
解：
（1）间子列为{a1,a3}，{a2 ,a4} ，{a2 ,a3} .
（2）证明：考虑取出间子列后剩下的项，对于数列 a1 ， a2 ，…， am ，考虑其剩下
的项不含 am 项的情况，则对于其剩下的项，必有 a j ai > d （1≤ i < j≤m ），
若在剩下的项添加项 am+1 ，
则必有，对于任意剩下的项 ak ，有 am+1 ak ≥ am+1 am 1 = 2d > d ，仍然符合条件，
则剩余的项在数列 a1 ，a2 ，…，am+1 的情况下同样满足 a j ai > d（ 1≤ i < j≤m ），
故此时取出的数列既是 a1 ，a2 ，…，am+1 的间子列，也是数列 a1 ，a2 ，…，am 的间
子列，得证.
（3）考虑取出间子列后剩下的数列，
因为间子列和剩余数列互补成原数列，故它们一一对应，即有“抽取到间子列的概
率”和“抽取到取完间子列后其剩下数列”的概率相同，
数学试题参考答案 第 7 页（共 10 页）
记剩余的项按原顺序排成的数列为“剩余列”，
设 Q(m) 为数列 a1 ，a2 ，…，am+1 剩余列的数量，其中，记 f (m) 为不含有 am 剩余列
的数量， t(m) 为含有 am 的剩余列数量，则有 Q(m) = f (m) + t(m) ，
另一方面，由（2）中结论有，对于与不含 am 的非双项剩余列，其数量与含 am+1 的
非双项剩余列数量相同；
并且对于 a1 ，a2 ，…，am+1 的双项剩余列，其由 am 前的每一项和 am+1 的组合而成；
即 f (m) + m 1= t(m +1) ，因为 Q(m) = f (m) + t(m) ，Q(m +1) = f (m +1) + t(m +1) ；
故 f (m +1) = f (m) + f (m 1) + m 2 ，
等价于 f (m +1) + m +1= f (m) + m + f (m 1) + m 1；
故 t(m +1) = t(m) + t(m 1) +1，等价于 t(m +1) +1= t(m) +1+ t(m 1) +1；
故 Q(m +1) + (m + 2) =Q(m) + (m +1) +Q(m 1) + m ；
设 Q(m) + (m +1) = Fm ， Fm+1 = Fm + Fm 1 ， Q(m) = Fm m 1，
Q(4) = 3 ， Q(5) = 7 ， F4 = 8 ， F5 =13 ；
故 F4 = 8 > 6 ， F5 =13 > 7 ，对任意 k≥m≥6 （ k∈N
* ），均有 Fm 2 > m ；
所以 m = k +1 时，有 Fk+1 = Fk + Fk 1 > 2k + 3 > k + 3 ；
因为每个取出的新数列均按照从小到大的顺序排列，
故取出的总方法数共有 C0 +C1 +C2 + +Cm = 2mm m m m 种，则
P T (m) Q(m) Fm m 1 T (m 1) Fm+1 m 2 T (m) 2F= = = ， + = ， = m 2m 2k 2m 2m m+1
，
2 T (m +1) Fm+1 m 2
要证：T (m) > T (m +1) ，即证： 2Fm 2m 2 > Fm+1 m 2 ；
等价于 2Fm m > Fm + Fm 1 ，等价于 Fm Fm 1 > m ，等价于 Fm 2 > m ，
当 m≥6 时，由上知等价命题成立；
m 6 T (m) T (m 1) T (m) T (m 1) T (6) 14 7故 ≥ 时，必有 > + ，即 < < < = = ；
64 32
T (4) 3 T (5) 7 7= ， = ，T (4) < T (6) = T (5) = ，
16 32 32
所以 P 7k ≤ ，得证. 32
数学试题参考答案 第 8 页（共 10 页）
B［选考题 2］
x x x + x
若正项数列{x m m+3 m m+3n}的任意相邻四项 xm ，xm+1 ，xm+2 ，xm+3 满足 = ，xm+1xm+2 xm+1 + xm+2
则称数列{xn}是反数列．已知数列{an}，{bn} 均为反数列， a1 = b1 =1．
（1）证明： (a1 a2 )(a3 a4 )≥0 ；
（2）若 a3 = b3 ， a2 + b2 =1 ，且数列{anbn} 为反数列，求{a2n + b2n} 的前 n 项和；
3 1 n 3n
（3）若 a2 = ， b3 = ，且数列{an + bn} 为反数列，证明： a4 2 ∑ 2ib2i 1 < ． i=1 n +1
解：
ad a + d b + c a + d 1 1 1 1 a b c d
（1）由 = 可知 = ，于是 = ，即 = .
bc b + c bc ad b a d c ab cd
当 c = d (a b)(c d ) 0 a b ab时 ， = ， 符 合 题 意 ； 当 c ≠ d 时 ， = > 0 ， 故
c d cd
(a b)(c d ) > 0 ，符合题意，综上， (a b)(c d )≥0 ，得证.
1 1 1 1 1 1 1 1
（2）对于反数列{xn}，可知 = ，而 = ，xm+3 xm+2 xm+1 xm xm+4 xm+3 xm+2 xm+1
1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2
两式相加得 + = ，故 + = ， + = ， + = ，于是
xm xm+4 xm+2 a1 a5 a3 b1 b5 b3 a1b1 a5b5 a3b3
1 1 2 1 2 1 2 4 1+ = ，1+ = ，1+ = ， = (1+ )(1 1+ ) =1 1 1 2+ + + 1，
a5 a3 b5 b3 a5b5 a3b3 a3b3 a5 b5 a5 b5 a3b3
2 1 1 2 2 1 1 1 1 1
于是 = + = + 2 ，即 +1= 0 ，即 ( 1)( 1) = 0 ，
a3b3 a5 b5 a3 b3 a3b3 a3 b3 a3 b3
又由于 a 1 1 23 = b3 ，故 a3 = b3 =1 ；若 x1 = x3 ，则由 + = 可知 xx x x 5
= x1 ，连续 n 次操
1 5 3
作，可知 x2n 1 = x1 ；类似的，由 a1 = a3 =1 知 a2n 1 = a1 =1，
b 1 1 1 1 1同理 2n 1 = ，注意到 = ，由 a2n 1 = a2n+1 =1，知 a2n = aa 2n+2
，
2n+2 a2n+1 a2n a2n 1
取遍 n = 1，2，…，得到 a2n = = a4 = a2 ，同理 b2n = b2 ，故 a2n + b2n = a2 + b2 为常数，
于是数列{a2n + b2n} 是常数列，{a2n + b2n} 的前 n 项和是 n .
数学试题参考答案 第 9 页（共 10 页）
1 1 2 1 1 2 1 1 2（3）显然 + = ， + = ， + = ，
a5 a3 b5 b3 2 a5 + b5 a3 + b3
a5 a3 b5 b3 2(a5 + b ) a + b于是 = ， = ， 5 = 3 3 ，
a5 +1 2 b5 +1 2 a5 + b5 + 2 2
2(a5 + b即 5 ) a5 b 4 1 1= + 5 ，即 2 =1 +1 ，
a5 + b5 + 2 a5 +1 b5 +1 a5 + b5 + 2 a5 +1 b5 +1
4 a5 + b即 = 5 + 2 a5 + b5 + 2+ = 2 b+ 5 +1 a +1 b +1 a +1+ 5 ≥ 2 + 2 5 5 = 4 ，
a5 +1 b5 +1 a5 +1 b5 +1 a5 +1 b5 +1
故等号必然成立，该不等式的取等条件是 a5 +1= b5 +1 ，故 a5 = b5 ，
1 2 1 2 1
由1+ = ，1+ = ，知 a = b = ，
a5 a3 b b
3 3
5 3 2
1 1 2 1 1 2
由 + = ， + = 知，
a2n 1 a2n+3 a2n+1 b2n 1 b2n+3 b2n+1
当 a2n 1 = b2n 1 ， a2n+1 = b2n+1 时 a2n+3 = b2n+3 ，而 a1 = b1 ， a3 = b3 ，
n n
故连续 n 次操作，有 a2n 1 = b2n 1 ，于是∑a2ib2i 1 =∑a2ia2i 1 ，
i=1 i=1
1 1 2 1 1 2 1 1
由 + = ， + = 可知数列{ } ，{ } 均为等差数列，
a2n 1 a2n+3 a2n+1 a2n a2n+4 a2n+2 a2n 1 a2n
1 1 1 1 1 2 4由 = 得 = 1 1 7， = ，
a4 a3 a2 a1 a4 3 a4 3
1 1 1 1 1
故 = + (n 1)( ) =1+ n 1= n ， a2n 1 = ； a2n 1 a1 a3 a1 n
1 1 1 1 4 1 3
= + (n 1)( ) = + n 1= n + ， a =
a 2n2n a2 a4 a2 3 3 3n +1
a a 3 9 1 1 3 9故 2n 1 2n = = = 9( ) = ， n(3n +1) 3n(3n +1) 3n 3n +1 n 3n +1
9 9 3 a 3 9 3 3而 > = ，故
3n +1 3n + 3 n +1 2n 1
a2n = < ， n 3n +1 n n +1
n n
∑a b ∑a a 3 3 3 3 3 3 3 3n故 2i 2i 1 = 2i 2i 1 < + + + = 3 = ，得证.
i=1 i=1 1 2 2 3 n n +1 n +1 n +1
数学试题参考答案 第 10 页（共 10 页）
