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2025年“云帆杯”1月学情调研考试
数 学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡的指定位置。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在
答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
2
1 x y
2
．椭圆 ： 2 1 (a b 0)经过 ( 7,0)和 (0,2)两点，则椭圆 的焦距为a b2
A．2 B．4 C． 3 D． 2 3
2．已知全集U {x | x N, x≤9}， A {1,2,6}， B {6,7,8}，则{1,2}可以表示为
A．( A) B B．( U U B) A
C． (A B) D． U U (A B)
3．将函数 f (x) sin x cos x向右平移 k个单位后，所得的函数 g(x)为奇函数，则 k的
最小值为
A 3 π B 5 π π． ． π C． D．
4 6 4 6
4 π 2 π．已知 sin( ) ，则 cos(2 )
6 3 3
A 1． B 1． C 1． D 1．
9 7 9 7
数学试题第.1.页（共.4.页）
5．随着春节申遗成功，世界对中国文化的理解和认同进一步加深．某学校为了解学生
对春节习俗的认知情况，随机抽取了 100名学生进行了测试，将他们的成绩适当分
组后，画出的频率分布直方图如下图所示，则下列数据一定位于区间 [80,85)内的是
A．众数 B．第 70百分位数
C．中位数 D．平均数
6．已知复数 z x (y 2)i，若 | z |≤2，则 x≥ y的概率为
A 1 1． B． π 3 C π 1 1 1． D．
4 2π 4 2 2 π
7 f (x) e x e x x f (x ) f (x )．已知函数 ，若 1≥0， x2 ≤0， x1 x2 0，均有 1 2 ，x1 x2
则 的最大值为
A． 1 B．0 C．1 D．2
8．在三棱锥 P ABC中，PA⊥BC，PB⊥AC，PA 2，BC 3，则三棱锥 P ABC的
体积的最大值为
A 73 B 21 C 23 13． ． ． D．
5 4 3 2
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
9 π．下列函数的图像绕坐标原点沿逆时针旋转 后得到的曲线仍为一个函数的图像的有
4
A． f (x) 3x B． f (x) x2
C． f (x) ln(x 1) (x≥ 0) D f (x) (1． ) x
2
10．设 5个正实数组成公差大于 0的等差数列，记其首项为 a，公差为 d，且这 5个数
a
中有 3个数组成等比数列，则 的值可能为
d
A 1． B 1． C．1 D．2
4 2
数学试题第.2.页（共.4.页）
11．已知非零平面向量 a，b，c，d 满足： a b c d 0， (a b) (c d )，且
sin 1 | a | | a | | c | a b,a b ，记 w1 ，w ，则2 | b | 2 | b | | d |
A． w1的最小值为 2 3 B．w1的最大值为 2 3
C．w2的最小值为 2 3 3 D． w2的最大值为 2 3 3
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12．设正整数数列{an}满足 an 2 an 1 an 10 (n≥1)， a3 5，则 a623 __________．
1
13．已知函数 f (x) (x2 1) 2 ax在 [0, )单调递减，则 a的取值范围为__________．
14．一个被染满颜料的蚂蚱从数轴上的原点开始跳动，每次跳跃有等可能的概率向左或
向右跳动 1个单位长度，蚂蚱所在的点会留下颜色．则蚂蚱跳动 4次后染上颜色的
点数个数 X的期望 E(X ) __________．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
在△ABC中，角 A,B,C对边分别为 a，b，c，且 sin 2B sin A sinC．
π
（1）若 A ，求 B；
4
（2）若 a c 1， b 3，求△ABC的面积．
16．（15分）
如图，棱长为 3的正方体 ABCD EFGH 中，平面 BEG
与直线 DF交于点 O．
（1）证明：O为△BEG的重心；
（2）求二面角O BC D的余弦值；
（3）求三棱锥O BCD外接球的体积．
数学试题第.3.页（共.4.页）
17．（15分）
已知函数 f (x) a x(x 3)2 a 1 (a 0)有两个零点．
3
（1）求 a的值；
（2）证明：当1 x 3时， f (ln(3 x)) f (x)．
18．（17分）
已知抛物线W：y2 4x，点 P是 W上位于第一象限内的一点，过 P作 W的切线交
y轴于点 Q．过原点 O作 PQ的平行线交 W于点 A，过 A作 OP的平行线交 W于点 B，
BP交 OA于点 N．
（1）求 tan OPQ的最大值；
（2）证明：直线 QN经过 AB的中点；
（3）若 OQAB四点共圆，求 P点的坐标．
19．（17分）
集合 A为实数构成的有限集，记 | A |为集合 A的元素个数， S(A)为集合 A中所有
元素之和，若对于集合 X {a1,a2 , ,an} (n≥2)，存在两两互不相交的集合 A1, A2 , , Ak
(k≥2)，使得 X A1 A2 Ak ，且 | A1 | | A2 | | Ak |，S(A1) S(A2 ) S(Ak )，
则称集合{A1, A2 , , Ak}为 X的一个 k分隔．
（1）写出集合 X {1,2,3,4,5,6,7,8,9}的一个 3分隔；
（2）证明： X {1,2, ,2 025}存在一个 3分隔；
（3）若 k {1,2, ,2 025}，求集合 X {1,2, ,3k}存在 k分隔的概率．
数学试题第.4.页（共.4.页）2025 年“云帆杯”1 月学情调研考试
数学参考答案及评分标准
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。
1-8： D B C A C A D D
二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。
9.ACD 10.BC 11.ABD
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.2 或 1 13. 1 27， 14.
8
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）
解：（1）因为 A B C ，
A 将 代入知 2sin B cosB 2 2 sin B cosB . ……………………………2 分
4 2 2
令 t sin B cosB，易得 t 2, 2 .
2 2 2 t t 1 t 1 t 1 2 则 0， ………………………………………4 分2 2 2
解得 t 1，即 2 sin B
1 . ………………………………………………………5 分
4
0 3 又因为 B ，故 B . ……………………………………………………………6 分
4 2
（2）因为 sin 2B sin A sinC，
所以 2sin B cos B sin A sinC .
sin A sinC a c 1
所以由正弦定理得： cosB . ……………………………9 分
2sin B 2b 6
cosB a
2 c2 b2 1 ac 24由余弦定理知： ，解得 .
2ac 6 5
sin B 1 cos2 B 35因为 ， ………………………………………………………12 分
6
1
故 S ABC ac sin B
2 35
. ……………………………………………………………13 分
2 5
16.（15分）
解：（1）因为 BF⊥平面 EFGH，
所以 BF⊥EF. ……………………………………………………………………………1 分
又因为 BF∩FH=F，
∴EG⊥平面 BDHF. ………………………………………………………………………2 分
因为 OB∈平面 BDHF，
所以 OB⊥EG. ……………………………………………………………………………3 分
数学评分标准 第 1 页 共 5 页
同理，BE⊥OG.
所以 O为 BGE的高的交点. ……………………………………………………………4 分
又因为 OB、OG、OE为各边的中线，
所以 O为△BGE的重心. …………………………………………………………………5 分
（2）以 D为原点，建立空间直角坐标系.
所以 D（0,0,0），B（3,3,0），C（0,3,0），G（0,3,3），E（3,0,3）.
因为 O为△BGE的重心，故 G（2,2,2） ………………………6 分
所以OC 2,1, 2 ，OB 1,1, 2 .
设 n x, y, z 为平面 OBC的一个法向量.
n OC 0 2x y 2z 0
， …………………7 分
n OB 0 x y 2z 0
取 x=0,y=2,z=1，所以平面 OBC的一个法向量为 n 0,2,1 . ………………………8 分
易知平面 BCD的一个法向量为m 0,0,1 . ……………………………………………9 分
m n
所以 cos m, n 1 5 . …………………………………………………10 分
m n 5 5
5
因为二面角 O-BC-D为锐二面角，所以二面角 O-BC-D的余弦值为 . ……………11 分
5
（3）由（1）知OB EG，BF EG，且 BF OB B
所以 EG⊥平面 FOB.
而 EG 平面BEG 平面BEG 平面BOF .
同理有平面 BEG⊥平面 OFG.
而平面 OFG∩平面 OFB=OF，所以 OF⊥平面 BEG.
因为OB 平面BEG FO OB ………………………………………………………13 分
又因为DC CB，
O BCD BD 1 3 2所以三棱锥 的球心为线段 中点，且外接球半径为 DB . ………14 分
2 2
3
4 3 2
故其外接球体积为 9 2 . ……………………………………………15 分3 2
17.（15分）
解：（1） f' x a x 1 x 3 ， ………………………………………………………1 分
由于 a 0 ，
故 x , 1 3 , 时， f' x ＞0， f x 单调递增.
而 x 1 , 3 时， f ' x 0， f x 单调递减. ……………………………………………3 分
故 f 1 0或 f 3 0时， f x 有两个零点. ……………………………………………4 分
解得： a 3或 1（舍），故 a 3 . ………………………………………………………5 分
数学评分标准 第 2 页 共 5 页
（2） x 1 , 3 时， ln 3 x ln 2 1，
结合函数单调性 2 x 3时， ln 3 x 0， f x 2， f ln 3 x 4
此时不等式成立. ……………………………………………………………………………7 分
下面证明1 x 2时的情况，
设0 x0 1，满足 f x f x0
则原不等式等价于 f ln 3 x f x0 ln 3 x x0 . ……………………………9 分
考虑到三次函数图象极值点附近的非对称性：
令 h x f 2 x f x 2x3 6x2 6x 2
h' x 6 x 1 2＜0 ，故 h x 在 1 , 2 上单调递减， h x h 1 0 . ……………11 分
f 2 x f x x0 2 x
故只需证 ln 3 x 2 x x0 ， ………………………………………………………13 分
令 g x ln x x 1
当1 x 2时， g' x 1 x 0，故 g x 在 1 , 2 上单调递减.
x
所以 g x g 1 0 ln 3 x 2 x x0
故原不等式得证. ………………………………………………………………………15 分
18.（17分）
y2 1
解：（1）记原点为 O点，不妨设 P 0 , y4 0
，对抛物线求导知 x' y .
2
2 y 2
所以可得过 P点的切线的方程为 y x 0 . …………………………………2 分y0 4
又因为 k 4OP ，故 kOP 2kPQ ………………………………………………………3 分y0
记 P点在 x轴上投影为点 C，在 y轴上的投影为点 M，记 2 tan PQM tan POC 2t，
tan OPQ 2t t 1 2则
1 2t 2 1 4 . 2t
t
2
当且仅当 tan POC 时取等.
2
故 tan OPQ 2的最大值为 . ……………………………………………………………5 分
4
y
（2）由（1）， yQ 0 .2
2
所以直线 OA的方程为： y x .
y0
OA 2 2令直线 与抛物线 y 4x联立知 yA 2y0，xA y0 .
4 2 4
直线 AB的方程为： y x y0 2y0 x 2yy y 0 ，0 0
抛物线 y2 4x联立知 yB y0 .
所以 P, B关于 x轴对称，即 PB⊥x轴. …………………………………………………9 分
数学评分标准 第 3 页 共 5 页
且 PB交 x轴于点 C，
因为 kOP kOA 2kPQ，所以 N为 PC中点.
所以 OQPN为平行四边形.
所以 QN平分 OQ.
因为 OP∥AB，所以 QN平分 AB. ………………………………………………………11 分
（3）设直线 AB交 y轴于点 D，
由（2）知 OP OB ，且 OP∥AB，
所以 BP平分∠OBA. ………………………………………………………………………12 分
因为 y 1A 2 yB ，转化比例得 AB 3OB 3DB ， DB OA . …………………14 分4
由于 OQAB共圆，所以 DO DQ DB DA . ……………………………………………15 分
设 DB 4a2 b2，DQ 5a，DO 4a，
2 2 2 2 2
代入上式得： 20a 4 4a b a b . ……………………………………………16 分
所以 a b 1 .
故 P点坐标为（1,2）. ………………………………………………………………………17 分
19.（17分）
解：（1）记 A1 1,6,8 ，A2 2,4,9 ，A3 3,5,7 ，
则 A1, A2 , A3 为集合 X的一个 3 分隔. …………………………………………………3 分
（2）取 A1 3n 1n Z，0 n 673 3n 6 n Z ,0 n 673 ，
A1 3n 3n Z，0 n 673 3n 4 n Z ,0 n 673
A1 3n 2 n Z，0 n 673 3n 5n Z ,0 n 673 .
经检验， A1, A2 , A3 为集合 X的一个 3 分隔，即证. ……………………………………7 分
（3）要使 X 1,2, ,3k 存在 k分隔，必有 k ≥ 2.
k 3k 3 3k 1
一方面，由 S A1 S A2 S Ak 且 S Ai i知 S A1 .
i 1 i 1 2
又因为 S A1 为正整数，故 k为奇数. …………………………………………………10 分
另一方面，不妨设 k 2t 1 t 1 ，
我们证明此时 X 1,2, ,3k 存在 k分隔.
设 Ai ai ,bi ,ci ， 1 i k
3 3k 1
，则 ai bi ci 9t 6 .2
数学评分标准 第 4 页 共 5 页
先取第一列：令 a1 4t 3,a2 4t 4, ,a2t 1 6t 3 ，
为满足 X 1,2, ,3k 存在 k分隔，则bi ,ci 1,2, ,4t 2 i 1,2, 2t 1 .
且bi ci 9t 6 ai .
注意到一组等式：
1 3t 1 3t 3
2 3t 3 3t 5
t 1 4t 2 5t 3
t 2 2t 2 3t 4
t 3 2t 3 3t 6
2t 1 3t 1 5t 2
在这组等式中，第一列是 1,2，…，2t+1 的排列，第二列是 2t+2,2t+3,…,4t+2 的排列.
第三列中前 t+1 行为 3t+3,3t+4,…,5t+3 中的奇数，后 t+1 行是 3t+3,3t+4,…,5t+3 中的偶数，
合起来是9t 6 ai 1 i k 的排列，从而我们可以找到所需的bi ,ci 1 i k .
即取 b1,c1 t 1,4t 2 ， b3 ,c3 t,4t 1 ， ， b2t 1,c2t 1 1,3t 2 ；
b2 ,c2 2t 1,3t 1 ， b4 ,c4 2t,3t ， ， b2t ,c2t t 2,2t 2 .
这样构造出的 A1, A2 Ak 为集合 X 1,2, ,3k 的 k分隔. ………………………16 分
综上， X 1,2, ,3k 存在 k分隔的充要条件为 k为大于 1 的奇数，而{1,2, ,2 025}有
1012
1012 个数符合题意，故集合 X {1,2, ,3k}存在 k分隔的概率为 . ……………17 分
2025
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