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2025 届普通高中毕业生久洵杯一月调研测试
数 学
本试卷共 4 页，19 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。
注意事项：1. 答卷前考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号
填写在答题卡上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2. 作答选择题时,选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息
点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域
内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准便用铅
笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1+ i
1．在复平面内， 对应的点位于
1+ 2i
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知向量 a ， b 满足 | a |= 3| b |= 3， b ⊥ (a 2b)，则 | a b |=
A． 2 B． 5 C． 6 D． 3
1 x
3．设集合 A = {x | ≥0}， B ={ 1,1,2,3,4,5}，则 A∩B中所有元素之和为
3 x
A． 3 B．8 C． 9 D． 12
4．已知 x, y 0，设命题 p ： x + y≤2，命题 q： xy≤1，则 p 是 q的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．若函数 f (x) = ex+1 + ea x + (x+b)2 关于直线 x = 2 对称，则 a + b =
A．1 B． 3 C． 5 D． 7
6．已知圆柱MM1 与圆锥 NN1 的体积与侧面积均相等，若 NN1 的轴截面为等腰直角三角
形，则MM1 与 NN1的底面半径之比为
2 2 2
A． 2 B． C． D．
2 3 6
第四届久洵杯 第 1 页（共 4 页）
7．若 tan( + ) + tan( ) = cos ，则 sin =
2 4 2 4
5 1 3 1
A． 5 2 B． C． D． 2 1
4 2
x2 y2
8．设椭圆 C ： + =1（ a b 0 ）的右焦点为 F ． P 为 C 上一点， P 的半径为
a2 b2
| PF |，过 P 作 y 轴的垂线，交 P 于 M ， N 两点， M 在 N 的左侧．记C 的离心率为
e，点M 轨迹的离心率为 e1，点 N 轨迹的离心率为 e2 ，则
A． e1 e2 B． e2 e1 C． e1 e D． e e2
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分。
9．已知正四面体 PABC 的棱长为 2 3 ，则
A． AP ⊥ BC B． AP 与 BC 的距离为 6
1
C．二面角 A BP C 的正弦值为 D．正四面体 P ABC 的体积为 2 6
3
10．设双曲线 E : x2 y2 =1的左、右顶点分别为 A1， A2 ． P 为 E 上一点，且位于第一象
限，直线 PA1交 y 轴于点Q ，记△PA1A2 的面积为 S ，则
A． tan PA1A2 tan PA2 A1 =1 B． PA2Q = 90
C．若 | A1A2 |=| A2P |，则 | A P |= 2 3 D．若 A1PA2 = 30 ，则 S = 61
11．已知函数 f (x) 的定义域为R ， a, b R ， [ f (a)]2 m[ f (b)]2 = f (a +b) f (a b)，其中
m 为给定的常数，且 f (x) 不为常函数，则
A． f (0) = 0 B．当m =1时， f (x) 为奇函数
C．m = 0或1是 f (x) 存在的充要条件 D．当m = 0时， f (x) 没有最值
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．曲线 y = x ln x 在点 (1,1)处的切线方程为 ．
13．若样本数据 xi （ i =1,2, ,5）的平均数为 4， x
2（ i =1,2, ,5）的平均数为 22，则样i
本数据 2x1 +1， 2x2 +1， ， 2x5 +1， 9 的方差为 ．
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14．设 n （ n≥3）为正整数，从集合{0,1,2, ,n}的所有二元子集中任取两个，记为{s, t}，
{i, j}，其中 s t ， i j ，{s, t}与{i, j}可以相同．在平面直角坐标系 xOy 中，记直线
y = s ， y = t 与直线 x = i ， x = j 的四个交点分别为 A ， B ，C ， D ，则以 A ， B ，
C ， D 为顶点的四边形为正方形的概率为 ．（用含 n 的代数式表示）
2 2 2 n(n +1)(2n +1)附参考公式：1 + 2 + + n =
6
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）
如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中， AA1 = AB = AC =1， B1C = 3 ．
（1）证明：平面 AB1C ⊥平面 AA1B1B； A
（2）若 D 为 AA1 中点，求平面 ABC 与 B
D
平面 B1CD夹角的正弦值．
A1 C
B1
C1
16．（15 分）
设抛物线 E : x2 = 2py （ p 0）的焦点为 F ．已知 F 到直线 l : y = 2x 4的距离为 5 ，
过 F 的直线交 E 于 A， B 两点．
（1）求 E 的方程；
（2）已知点 P(0,3) ，直线 AP 交 E 于点C ．若 BC∥l ，求△ABC 的面积．
17．（15 分）
记△ABC 的内角 A， B ，C 的对边分别为 a ， b ， c ．已知 a2 abcosC = 2bccos A，
B = 45 ．△ABC 外一点 E 满足 BE = 2AE ，且 AEB的角平分线交 AB 于点 D ．
（1）求 cos A；
（2）证明：CD ⊥ AB；
（3）若 c = 3， DE = 2，求CE ．
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18．（17 分）
已知函数 f (x) = emx mnln(x + n)（m 0， n 0 ），函数 g(x) = x ln x．
（1）讨论 f (x) 和 g(x)的单调性；
（2）记函数 F(x) = f (x) f ( x) ，若 F(x)为减函数，且存在 n ，使得mn ln n 1，求
m 的取值范围．
19．（17 分）
对于一个单调递增的正整数数列{an}，若对于任意不小于 2 的正整数m ， am 不能表
示为 a1， a2 ，…， am 1中若干不同项之和，则称{an}为“好数列”．
（1）若数列{bn}满足 b1 =1， b2 = 2 ， b
*
n+2 = bn+1 + bn ，记集合 S = {x | x bn , x N } ，
S 中的元素由小到大排列得到数列{Bn}，列举{Bn}的前五项，并判断{Bn}是否为“好数
列”，若是，给出证明；若不是，请说明理由；
（2）已知 {cn} 为“好数列”，对于给定的正整数 m ，若存在正整数 t ，使得
ct ≤m ct+1，则记 t = f (m)，设 Sn 为{cn}的前 n 项和．
（i）证明： S4 ≥ f (S4 ) + 6；
s
（ii）证明：对任意的正整数 s ， k ，有 f (s)≤ ck + ．
k +1
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2025届普通高中毕业生久洵杯一月调研测试
数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
D C C A B C D D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。
9 10 11
ABD BC BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
4n + 2
12． x + 2y 3= 0 13． 20 14．
3n(n +1)
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．解：
A
（1）在直三棱柱 ABC A1B1C1中， AA1 ⊥ A1B1，
z
故 AB 21 = AA1 + A
2
1B1 = 2 ，故 BC
2 = AB 2 + AC2． B1 1 D
所以 AC ⊥ AB1 ，又因为 AC ⊥ AA1， AA1∩AB1 = A， A1 C
AA1, AB1 平面 AA1B1B ，故 AC ⊥平面 AA1B1B ．
B1
因为 AC 平面 AB1C ，所以平面 AB1C ⊥平面 AA1B1B． x
C1
（2）因为 AB 平面 AA1B1B ，所以 AB ⊥ AC ， y
所以 A1B1 ⊥ A1C1，所以 A1A ， A1B1， A1C1 两两垂直．
以 A B ， AC ， A A为 x轴， y 轴， z 轴正方向建立空间直角坐标系 A1 xyz1 1 1 1 1 ，
1 1 1
则 B1(1,0,0)，C(0,1,1)， D(0,0, ) ，故 DB1 = (1,0, )，DC = (0,1, )．
2 2 2
因为 AA1 ⊥平面 ABC ，所以 A1A= (0,0,1) 可作为平面 ABC 的一个法向量．
1
x z = 0 x =1
设平面 B 21CD的一个法向量为 n = (x, y, z)，则 ，取 y = 1，则 n = (1, 1,2) ．1
y + z = 0 z = 2
2
| n A A | 6
设平面 ABC 与平面 B1CD所成角为 ，则 cos = cos n, A
1 ，
1A = =
| n | | A1A | 3
2 3所以 sin = 1 cos = ．
3
16．解：
p
| + 4 |
p
（1） F (0, )到 l 的距离为 2 = 5 ，故 p = 18（舍去）或 p = 2，
2 1+ 22
故 E 的方程为 x2 = 4y．
（2）设 A(x1, y1)， B(x2 , y2 )，C(x3 , y3) ， AB : y = kx +1， AC : y =mx + 3．
x2联立 = 4y ，有 2 x + x = 4kx 4kx 4 = 0，故 1 2 ，同理 x1x3 = 12，故 x3 = 3x2 y = kx +1 x1x2 = 4
2 x2x2 3
y2 y3 4 4 x2 + x由 BC∥ l 有 = = 3 = x2 = 2 ，故 B(2,1) ， A( 2,1) ，C(6,9) ．
x2 x3 x2 x3 4
1
注意到 AB∥x 轴，故△ABC的面积为 4 (9 1) =16．
2
17．解：
（1）由正弦定理有 sin2 A sin A(sin BcosC) = 2sin BsinCcos A，
即 sin AsinC cos B = 2sin BsinC cos A ，因为 A， B (0, )，故 sin A 0 ．
若 cos B = 0，则 cos A = 0，矛盾；所以 tan A = 2 tan B = 2，故 A (0, )．
2
1 5
故 cos A = cos2 A = = ．
1+ tan2 A 5
（2）假设CD 不垂直于 AB，过点C 作CG ⊥ AB ，垂足为G ．
CG
tan A AG BG则 = = = 2，由角平分线定理有
tan B CG AG
BG
BE BD
= = 2，故 D，G 重合，故CD ⊥ AB ．
AE AD
（3）由（2）知 AD =1， BD = 2，设 BE = 2AE = 2x （ x 0 ）．
AD2 + ED2 AE2 5 x2
在△ADE 中，由余弦定理有 cos ADE = = ，
2AD DE 4
2 x2 5 x2 2 x2
同理 cos BDE = ，故 + = 0，解得 x = 3．
2 4 2
1
注意到 AD2 + AE2 =DE2 ，故 AE ⊥ AD， cos ADE = ，故 ADE = ．
2 3
5
故 CDE = 或 ，由余弦定理有
6 6
CE3 =CD2 +DE2 2CD DEcos CDE =8 8cos CDE =8 4 3 或8+ 4 3
故CE = 6 2 或 6 + 2 ．
18．解：
n
（1） f (x) =m(emx ) 在 ( n.+ )上单调递增， f (0) = 0．
x + n
当 n x 0时， f (x) 0， f (x) 单调递减；当 x 0 时， f (x) 0 ， f (x) 单调递增．
1 1
g (x) =1+ ln x ，当0 x 时，g (x) 0 ，g(x)单调递减，当 x 时，g (x) 0 ，g(x)
e e
单调递增．
综上所述， f (x) 在 ( n,0) 上单调递减， (0,+ ) 上单调递增；
1 1
g(x)在 (0, )上单调递减，在 ( ,+ ) 上单调递增．
e e
（2） F(x)的定义域为 ( n,n) ，且 F(x)为奇函数，我们只需要考虑0≤x n的情况．
n n 2
F (x) = f (x) + f ( x) =m(emx + e mx ) =m(emx + e mx
2n
)≤0．
x + n n x n2 x2
2 x2 2 x2
即 + 1≥0，令mx = t mn，mn = a ， h(t) = + 1≥0．
emx + e mx n2 et + e t a2
2(et e t ) 2t 2[t(et + e t )2 a2 (et e t )]
h (t) = + = ， h (0) = 0．
(et + e t )2 a2 a2 (et + e t )2
令 H(t) = t(et + e t )2 a2(et e t )，H (t) = (et + e t )[2t(et e t )+ et + e t a2]．
令G(t) = 2t(et e t )+ et + e t a2，G(0) = 2 a2 ，且G(t)在 (0,a)上单调递增．
（i）若 a2 ≤2，则G(t)≥0，H (t)≥H (0) = 0，故 h(t) 单调递增，h(t)≥h(0) = 0，满足
题意；
（ii）若 a2 2，则存在 t1 (0,a) ，使得 t (0,t1)时G(t) 0，H (t) 0且 h(t) 0 ，即 h(t1) 0
，矛盾，故 a2 ≤2，即mn≤ 2 ．
2 1
于是问题转化为：已知 n (0, ] ， g(n)max ．
m m
（i）若m≥ 2 ，则 n≤1，此时 g(n) 0，矛盾；
2
2 2 2 1
（ii）若m 2 ，则由（1）知 g(n) 2max = g( ) = ln ，解得0 m 2e ，
m m m m
2
故m 的取值范围为 (0, 2e 2 )，．
19．解：
（1） bn ：1， 2，3 ，5 ，8 ，13； Bn ： 4， 6 ， 7 ，9 ，10 ．
因为 4 + 6 =10，故{Bn}不是“好数列”．
（2）列出以下数表（ t k ）：
c2 + S 1
c + S c + S 3 1 3 2
c + S c + S c + S 4 1 4 2 4 3
……
c + S c + S …… k+1 1 k+1 2 ck+1 + Sk
ck+2 + S1 ck+2 + S2 …… ck+2 + Sk
……
c + S c + S …… t 1 t 2 ct + Sk
假设存在 i ， j， x， y （ x y ， i j）使得 ci + S j = cx + Sy ，不妨设 i x，则 j y．
故 ci = cx + Sy S j = cx + c j+1 + c j+2 + + cy ，且 x y j ，这与{cn}为好数列矛盾，故不
存在 i ， j， x， y （ x y ， i j）使得 ci + S j = cx + Sy ．
故 S4 = c4 + S3 ≥ f (c4 + S3) +1+ 2 + 3 = f (S4 ) + 6 ．
（3）由
Sk = a1 + a2 + + ak = kak (ak ak 1) (ak ak 2 ) (ak a1)≤kak (1+ 2 + + k 1)
且 f (ct + Sk )≥ f (ct ) = t ，由（2）知 ct + Sk ≥ f (ct + Sk ) +1+ 2 + + k 1+ (t k)k ，
1 1 1
故 ct + kck k(k 1)≥ct + Sk ≥ f (at + Sk ) + k(k 1) + (t k)k≥t + k(k 1) + (t k)k
2 2 2
整理有 ct + kck + k≥ t(k +1) ，又因为 ck ≥ k ，所以 ct + (k +1)ck ≥ t(k +1) ，由 t = f (s)有
s
f (s)≤ ck + ．
k +1
s
当 t≤k 时， f (s) = t≤ct ≤ck ck + ．
k +1
附上部分选填解析：
sin( + ) sin( )
2sin
7． tan( + ) + tan( ) = 2 4 + 2 4 =
2 4 2 4
cos( + ) cos( ) (cos sin )(cos + sin )
2 4 2 4 2 2 2 2
2sin
= cos ，故1 sin2 = 2sin ，解得 sin = 2 1，故答案选D．
cos
2
8．设 P(x , y ) ， | PF |= (x c)2 + y2 = x2 2cx + c2 + b2
b
x20 0 0 0 0 0 0 = a ex0，
a2
xM + a
故M ((1+ e)x0 a, y0 )， N ((1 e)x0 + a, y ) ，故
x =
0 0 1+ e ，
y0 = yM
(x + a)2 y2M M (xN a)
2 y2
带入有 + =1，同理得 + N =1，下面我们开始计算离心率：
(a + c)2 b2 (a c)2 b2
b 2e2 + 2e 2e
由 a2 = b2 + c2 有 a + c b， a c b ，故 e 21 = 1 ( ) = = ，
a + c (1+ e)2 1+ e
(a c)2 2e(1 e) 2e
e2 = 1 = = ，故 e2 2 1 = e2 e，故答案选 D． b 1 e 1+ e
（本题最坑点：两个椭圆一横一竖）
10．对于A选项，设PA1 的斜率为 k!， PA2 的斜率为 k2 ，则
tan PA1A2 tan PA2 A1 = k1k2 = 1，故A错误；
对于B选项，记直线 A2Q的斜率为 k3 ，则 k1 = k3 ，故 k2k3 = 1，故 PA2Q = 90 ，故
B正确；
对于C选项，由对称性有 PA1A2 = PA2 A1，由 | A1A2 |=| A2P |有 PA1A2 = A2PA1 ，故
PA1A2 = PA2 A1 = A1PA2 = 30 ，由余弦定理有 | A1P |= 2 3 ，故C正确；
对于 D 选项，注意到 A1PA2 的大小随 P 的纵坐标的增大而减小，故 A1PA2 = 30 即
C中情况，计算得面积为 3 ，故D错误，故答案为BC．
11．对于A选项，令 a = b = 0，则 mf 2(0) = 0，则m = 0 或 f (0) = 0，当m = 0 时，取函数
f (x) = 2x ，则 f (0) =1，矛盾，故A错误；
对于B选项， f 2(a) f 2(b) = f (a+b) f (a b)，对 a ，b 互换有
f 2(b) f 2(a) = f (a+b) f (b a)，
即 f (a +b)[ f (a b) + f (b a)]= 0，又因为 f (a + b)不恒为 0 ，则
f (a b) + f (b a) = 0，
用 x替换 a b 有 f (x)+ f ( x) = 0 ，故 f (x) 为奇函数，故B正确；
对于C选项，充分性显然成立，下面我们证明必要性，若m 0，则由A选项的分析
知 f (0) = 0，令b = a 则 (1 m) f 2(a) = 0，若m 1，则 f (a) = 0，由 a 的任意性可知
f (x) = 0，为常函数，这与 f (x) 不为常函数矛盾，故C正确；
对于D选项，假设存在 a0 使得 f (a0 ) = 0，则 f
2(a0) = f (a0 +b) f (a b) = 0，则对于0
任意b R 均成立，故 f (x) = 0，为常函数，这与 f (x) 不为常函数矛盾，故不存在 a0
f (a + b) f 2 (a)
使得 f (a0 ) = 0．下面证明 f (x) 的任意取值均同号， = 0，对于任
f (a b) f 2 (a b)
m+ n m n
意m ，n取 a = ，b = 即可，故 f (x) 的任意取值均同号．若 f (x) 在 x = x0
2 2
处取到最值，则取 a = x ，则 f 20 (x0) = f (x0 +b) f (x b) ，故 0
f (x0 + b) = f (x0 b) = f (x0 )，
由 b 的任意性有 f (x) = f (x0 ) ，这与题设矛盾，故D正确，故答案为BCD．
13．由题知，样本数据 x1, x2 , x3 , x4 , x5 ,4 的平均数为 4， x
2
1 ,x
2
2 ,x
2 ,x 2 ,x 2 ,42的平均数为3 4 5
21，故 x1, x2 , x3 , x4 , x5 ,4 的方差为 21 4
2 = 5，2x1 +1，2x2 +1， ，2x5 +1，9 的方
差为 4 5 = 20．
14．由题知，边长为 k 的正方形有 (n+1 k)2种情况，故
n
i2
i=1 4n(n +1)(2n +1) 4n + 2P = = = ．
(C2 2n+1) 6n
2 (n +1)2 3n(n +1)
