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2025 届高中毕业生星云一月线上调研考试
数 学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在
答题卡上。写在本试卷无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1．已知集合 2A ={x Z | 2≤ x≤4}， B ={x | x ≥3x + 4}，则 A B =
A．{ 2, 1,4} B．{ 2, 1} C．{ 2,4} D．{ 1,4}
z + 2
2．若 =1 i ，则 z =
z 1
A． 1 3i B． 1+ 3i C．1 3i D．1+ 3i
3．若 f (x) = (x a)2 + bx为偶函数，则
A． a b = 0 B． a + b = 0 C． 2a b = 0 D． 2a + b = 0
4．已知随机变量 X 服从正态分布 N(1, 2 ) ，若 P(X 2) = 0.9，则 P(0 X 1) =
A． 0.1 B． 0.4 C．0.8 D．0.9
5．已知单位向量 a ， b ， c 满足a b = 1， a c = 0 ，则 sin a b,b + c =
1 2 3
A． B． C． D．1
2 2 2
x2 y2
6．已知椭圆C : + =1(0 b 3) 的左、右焦点分别为 F ， F ， P 为C 的上顶点，
9 b2
1 2
直线 PF 交C 于另一点Q，1 PF2Q = 90 ，则b =
3 5 6 5
A． B． 2 C． 5 D．
5 5
数学试题第 1 页（共 4 页）
7．若函数 f (x) = | ex a | + | x a |的最小值为1，则 a的取值范围是
A．[0,1] B．[0,e] C．[1,+ ) D．[e,+ )
8．设 f (n) 为正整数 n 的各位数中出现的不同数字的个数，如 f (2 025) = 3 ，
f (10 001) = 2 ，若从集合{1,2,3,4,5,6}的所有三元子集中任取一个，记为{a,b,c}，
则 f [(10a +1)(10b +1)(10c +1)] = 3的概率为
1 1 3 2
A． B． C． D．
5 4 10 5
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9．已知样本数据 2 ， 6 ， 7 的平均数为 x ，标准差为 s ，Z-score 标准化公式为
xi xz = (i =1,2,3)，其中 x 为原始值， z 为标准化后的值，记样本数据 ， ，i i i z1 z2
s
z 的平均数为 z ，标准差为 s ，则 3
14
A． x = 5 B． s = C． z = 0 D． s = 2
3
π
10．设函数 f (x) = sin 2x cos(x + )，则
4
π
A． f (x) = f (x + π) B． f (x ) 为偶函数
4
9
C． f (x) 的值域为[ 2, ] D． f (x) 在区间 (0,π) 的一个极小值为 0
8
x, x Q,
11．已知函数 f (x) 的定义域为R ，最小正周期为1，当 x [0,1)时， f (x) =
0, x Q.
设 n为正整数，则
1 1
A．当 n≥2 时， f ( ) =
n n
B． f (sin x) + f (cos x) 的最大值为 2
x
C．方程 f (x) = 恰有 n个实数根
n +1
x
D．方程 f (x) = 2 无实数根
数学试题第 2 页（共 4 页）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
x2 y2
12．已知双曲线C : =1(a 0,b 0) 的一条渐近线为直线 l : y = 2x ，右焦点到 l 的
a2 b2
距离为1，则 a = __________．
13．在平面直角坐标系 xOy 中，已知四边形OABC 为正方形，若直线OA，OB ，OC 的
斜率之和为 0 ，斜率之积小于 0 ，则直线OB 的斜率为__________．
14．在长方体 ABCD A B C D 中，1 1 1 1 AC1 = 2，若二面角 A BD A 的大小为 45 ，则该1
长方体体积的最大值为__________．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）
已知函数 f (x) = (x + n)(ln x 2n) (n N) ．
（1）若 n = 0，求曲线 y = f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程；
（2）若 f (x) 为增函数，求 n．
16．（15 分）
记△ABC 的内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b ，c ，已知 a2 c2 = ac，点 D 在边
BC 上，且△ABD 和△ACD 外接圆的面积分别为 π， 2π．
（1）求 B ；
（2）若 AD = c，求△ABC 的面积．
17．（15 分）
如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD为正方 P
形， PA⊥ PC ， PA = PC ， PB = PD． E A
F
（1）证明：平面 PAC ⊥平面 ABCD；
B
（2）设 E 为棱 PD的中点，点 F 在棱 PB上，求 D
直线CF 与平面 ACE 所成角的正弦值的最大值．
C
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18．（17 分）
已知抛物线C : y2 = 2px ( p 0)的焦点为 F (1,0)，P 是C 上位于第一象限内的一点，
| PF |= 4．点 A， B 在C 上，且△APB 的垂心为 F ．
（1）求点 P 的坐标；
（2）求直线 PA， PB的斜率之和；
（3）求△APB 内切圆的方程．
19．（17 分）
设 m 为正整数，且 m≥3 ，数列 A : a ， a ， ， a 满足 ，1 2 2m+1 a1 = a2m+1 = 0
| an+1 an |=1(n =1,2, , 2m) ．若 A中存在连续三项 a ， ， 依次成等差数列，则k 1 ak ak+1
称 k 为 A的一个“单调节点”．记 k 为 A的“单调节点”的数目，S 为 A的所有项之和． A A
（1）若 A : 0，1， 2，1， 2，1， 0 ，求 k ； A
1
（2）设 a 为 A的最大项，证明：M aM ≤ kA +1；
2
（3）若 kA = 2m 4 ，求 S 的最大值． A
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数学试题参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1.A
2.D
3.C
4.B
5.B
6.D
7.A
8.B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.AC
10.BCD
11.ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
2
13.V5
14.16V5
25
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)
解：
f冈的定义城为Q+四)，f"W=nx+2n+1.
(1)f(x)=xlnx,f'(x)=lnX+1,所以f()=0,f'()=1.
因此所求切线方程为y=×-1.
(2)记g(X)=f'(x).
数学答案第1页（共6页）
①若n=0,取g(e2)=-1<0,不符题意.
②若n≥2，gW=P<0,因此当X∈0，)时，gW<0,gX在区间0，
X x2
单调递减，当×∈(n,+oo)时，g'(x)>0,g(X)在区间(n,+oo)单调递增.
记a=nk-2k+2,所以aa-a=ha+-2<0,因此aa<4=0k=12,
所以g(n)<0,不符题意.
③若n=1,由②可知g(x)≥g()=0,符合题意.
综上，n=1.
16.(15分)
解：
由题意，△ABD和△ACD外接圆的半径分别为5=1，，=√2.
(1)由正弦定理，可知
2AD-sin B=2,
5AD·sinC
即b=√2c.
由余弦定理，可知
cosB=a'+c2-b2_a2-c21
2ac
2ac2
又B∈(0，)，故B=
3
(2)(
月-81=0ac>0,解得a-1+y5。
C.
2
由正弦定理，可知AD=2 r sin B,所以c=V3.
所以△ABC的面积为
acsin B=5+西e-3w5+
8
8
17.(15分)
解：
设O为正方形ABCD的中心，因为PA=PC,PB=PD,
数学答案第2页（共6页）
所以AC⊥BD,PO⊥AC,PO⊥BD.
(I)ACC平面PAC,POC平面PAC,ACPO=O,所以BD⊥平面PAC·
又BDC平面ABCD,，所以平面PAC⊥平面ABCD.
(2)平面PAC7平面ABCD=AC,所以PO⊥平面ABCD.
方法一：
如图，以0为坐标原点，OD,OC，,O丽的方
向分别为x轴，y轴，2轴正方向，建立空间直角坐
标系O-yz.
E
不妨令0A=1,由题意可知P(0,0,1),D1,0,0),
C010),A0-10,B(-10.0,E吃02，
D
Ac=020,0E-03·
设n=(X,y,z)为平面ACE的法向量.
因此
n·AC=0
2y=0
并取n=(10,-1).
n.OE=0
,即{×+2=0
22
设BF=BP,因此F(2-1,0,2),CF=(1-1,-1,).
所以cos(n,CF)=In.CFI
1
s3
当元=时取等。
Inl-ICFI
2
综上，直线CF与平面ACE所成角的正弦值的最大值为
3
方法二：
因为E,O分别为PB,PD的中点，所以EO∥PB.
又EOc平面ACE,PBt平面ACE,所以PB∥平面ACE.
因此B,F两点到平面ACE的距离相等，VE-ABc=Vg-ACE·
因此点B到平面ACE的距离为d=3Ac-V2
SAACE
2
又△BCP是边长为V巨的等边三角形，所以CF的最小值为Y5
数学答案第3页（共6页）
