2025 年冬季“数研杯”高中数学研讨会模拟考试
高 三 数 学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写
在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1．已知集合 A={x | 3x 2x}， B ={x | x2 1}，则 A B =
A． ( 1， 0) B． (0， 1) C． ( 1， 1) D．
2．若非零复数 z 满足 (1 i)z = | z |
2 ，则 | z | =
A． 1 B． 2 C． 2 D． 2 2
3．已知平面向量a = ( 5， 2)， e 是单位向量，且 e ⊥ a ，则 | a + 4e | =
A． 2 B． 3 C． 4 D． 5
1
4．已知随机变量 X 服从二项分布 B(2， )，若随机变量Y 满足 X +Y =1，则 E(Y ) =
3
2 1 1 2
A． B． C． D．
3 3 3 3
x2 y2
5．若双曲线 2 2C : =1 (a 0，b 0) 的渐近线与圆 A : (x 4) + y = 4 相切，则
a2 b2
C 的离心率为
2 3 4
A． B． C． 3 D． 2
3 3
π 1
6．已知函数 f (x) = 2sin2 (x ) ， g(x) = tan x 3 ，则
6 2
A． f (x) 的零点均为 g(x)的零点 B． g(x)的零点均为 f (x) 的零点
C． f (x) 的极值点均为 g(x)的零点 D． g(x)的零点均为 f (x) 的极值点
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7． 已知等比数列{a }的各项均为正数，且公比 q 1，n a = 2 ，设 b = a + a ，则4 n n n+4
在b，b ，b 这3 个数中 1 2 3
A． 小于 4的数至少有 2个 B． 小于 4的数至多有 2个
C． 大于 4的数至少有 2个 D． 大于 4的数至多有 2个
8． 若直线 l 同时是曲线 y = aex (a 1)和曲线 y = ex + a 的切线，则 l 斜率的最小值为
A． 1 B． 2 C． e D． 2e
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9． 已知圆台的上、下底面半径分别为1和 4，母线长为5 ，则该圆台的
A． 高为 4 B． 母线与底面所成角为60
C． 侧面积为 25π D． 体积为 28π
x
10．若函数 f (x) 及其导函数 g(x)的定义域均为R ，且 f (x) ， f (e ) 均为偶函数，则
A． y = g(ex )一定是奇函数 x x B． y = e g(e )一定是奇函数
C． y = f (g(x)) 一定是偶函数 D． y = f (e
x g(x)) 一定是偶函数
11．甲、乙、丙三个人进行比赛，每轮比赛由两人进行对局，另外一人为该轮的轮空
者，随机决定首轮比赛的对局双方，每轮比赛的胜者与该轮的轮空者进行下一轮
比赛的对局，以此类推，率先赢得两轮比赛的人夺冠．单局比赛中，每局比赛的
结果只有胜、负两种情况，已知甲对乙、丙的胜率分别为 p ，乙对丙的胜率1，p2
为 p ，且 p，p ，每轮比赛的结果相互独立．则 3 1 2，p3 0
A． 若首轮比赛乙与丙对局，则甲夺冠的概率与 p3 的值无关
B． 若 p1 = p2 ，首轮比赛甲与乙对局，则甲夺冠的概率与 p3 的值无关
1
C． 若 p p p = ，首轮比赛甲与乙对局，则乙夺冠的概率大于甲 3 2 1
2
1
D． 若 p ，相比于首轮比赛甲与乙对局，甲与丙对局时甲夺冠的概率更大 3
2
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三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
x2 y2
12．设椭圆C : + =1的左焦点为 F ， A(7， 12) ，点 P 在C 上，则 | PA |+ | PF | 的
25 21
最小值为______，最大值为______．
8
13．一组互不相等的样本数据 (x1，y1) ， (x2，y2 ) ， ， (x8，y8 ) ，其中 xi = 32 ，
i=1
8
yi = 8 ，若在样本中加入数据 ( 5， 10) 后，新样本数据的回归直线方程与原样本
i=1
数据的相同，则这组样本数据的回归直线方程为 y = __________．
14．已知正四棱锥P ABCD 的底面边长为3 ，正四棱锥内部的球与其所有面均相切，
若球面上仅有一点Q 满足 PQ ⊥ AC 且 AQ ⊥ PC ，则球的表面积为__________．
P
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
A M Q D
15．（13 分）
A
记△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c ，已知 asin B = bcos ．
2
（1）求 A； B CN
（2）若△ABC 的周长为 20 ， a + b = 3c ，求△ABC 的面积．
z P
P
16．（15 分） Q
A D
已知函数 f (x) = x ln ax ax +1 (a 0) ，其导函数为 f (x)，曲线 y = f (x) 与曲线 M
y = f (x) 交于 A，B 两点，其中 A点的横坐标为1．
A
（1）求 B 点的纵坐标； O D y
B C
（2）证明： B 点的横坐标大于1； N
B C
（3）设C(1， 1) ，证明： | BC | | AC |． x
P
17．（15 分） P
如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是
菱形， ABC = 60 ， PA⊥ AC ， PD ⊥CD．
（1）证明： AD ⊥ PC ； A AD D
（2）若平面 PAC ⊥平面 PCD ， AD = 2 ，求
点C 到平面 PAB 的距离． B C B C
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P
P P Q
Q
D
O C1 M
O N
A C M NO O A B
18．（17 分）
已知抛物线C : y2 = 4x 的焦点为 F ，过点 F 的直线 l 交C 于 A，B 两点，与 l 平行
的直线交C 于 D，E 两点，其中 B，D在 x轴上方，M，N 分别为 AB，DE 的中点．
（1）证明：直线MN∥x轴；
| DE |
（2）若 AN ⊥ BN ，求 ；
| AB |
| DE |
（3）若 AD ⊥ BE ，求 ．
| AB |
19．（17 分）
数列 a1，a2， ，am (m ≥ 4) 各项均为正整数， a1 a2 am，从中任取 k 个不同
的数，若不同取法对应的 k 个数之和不同，则称数列 a1，a2， ，a 是m k 覆盖数列．
（1）若 a1 =1， a4 = 5 ，求所有的 (a2，a3)，使数列 a1，a2，a3，a4 是 2 覆盖数列；
（2）若 an+2 = an+1 + an (n ≤ m 2)，证明：数列 a1，a2， ，a 是 2 覆盖数列； m
m 1 m
（3）若当 n ≤ 时， an，a2n，a2n+1 成等差数列，当 n ≤ 1时， an，a2n+1，
2 2
a2n+2 成等差数列，证明： k
*
N 且 k ≤ m 1，数列 a 是 k 覆盖数列． 1，a2， ，am
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高三数学解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={X3<2},B={xx2<1},则A∩B=
A.（-10)
B.(0,1)
C.(-11)
D.
【答案】A
【解析】A=(-0,0),B=(-1,1),A∩B=(-1,0),正确选项为A.
2.若非零复数z满足(1-i)z=z,则川z=
A.1
B.√2
C.2
D.22
【答案】B
【解析】
方法1：对等式(1-)z=|z2两边同时取模，得1-i‖z=|z2,因为z引≠0，故
|z引=1-i川，故z=√2，正确选项为B,
方法2：设z=a+bi(a,beR),代入(1-i)z=z2得(1-i)(a+bi)=a2+b2,整
理得a+b+(-a+b)i=a2+b2,即
a+b=a2+b2
，解得
a=1
b=1
即z=1+i,故
-a+b=0
|z引=√2，正确选项为B
方法3：由z2=2z可得(1-i)z=2z,即z=1-i,z=1+i,故z=√2，正确
选项为B,
3.已知平面向量a=(5,-2),e是单位向量，且e⊥a,则|a+4e|=
A.2
B.3
C.4
D.5
【答案】D
【解析】|a=3,ae=0,(a+4e)2=a2+8ae+16e2=32+0+16=25,故
|a+4e|=5,正确选项为D.
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4.已知随机变量X服从二项分布B(2,),若随机变量Y满足X+Y=1,则EN)=
A号
B.
3
C.
1
2
【答案】C
【解析】E(X)=2×1=2
33
EM=1-E0X)-号
正确选项为C
5.若双曲线C:
x2y2
=1(a>0,b>0)的渐近线与圆A:(X-4)2+y2=4相切，则
C的离心率为
A.
2W3
4
B.
3
3
C.3
D.2
【答案】A
4b
【解析】C的一条渐近线为l:bx+ay=0,A到I的距离d=
=2,整理
va2+b2
得a=√b,离心率e=
b223
1+
,正确选项为A.
a23
6.已知函数f()=2sin2(x-
-克90)=anx-5,则
A.f(X)的零点均为g(x)的零点
B.g(X)的零点均为f(X)的零点
C.f(X)的极值点均为g(X)的零点
D.g(X)的零点均为f(X)的极值点
【答案】B
【解折】1W=-1o2x-争专君o2x-争.解方程登cas2x-争-0
得2x-=+2k元或2x-可=+2kπ(k∈Z),即f(x)的零点为X=kπ和
33
33
X-骨+kke:
f冈=2sn(2x-孕，令fW=0可得2x-号=kxk,e ，即f)的极值点
为x-君+各% ：
解方程anX-3=0可得9()的零点为X=行+长x化∈ ：
比较f(x),g(x),h(x)的零点可知g(x)的零点均为f(X)的零点，正确选项为B.
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