集英苑新定义专题测试
数 学
本试题卷分为选择题和非选择题两部分。全卷共 3 页，满分 100 分，考试时间 150 分钟。
一、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1. 定义新运算 : = + , , ∈ N. 则 2 3 =
A. 5 B. 17 C. 35 D. 216
2. 五度相生律是最古老的音律之一, 其中不同音高的频率符合以下的规则: 对于上行生律
中的五个音高, 每个音和 的频率之比均在区间 [1, 2)内; 对于相邻
的两个音, 其音程构成纯五度或纯四度, 故后者的频率为前者频率的 3/2 或 3/4 倍. 按
照此规律, 的频率与 的频率之比为
A. 3 B. 27 81 2432 16 C. 64 D. 128
3. 称两个三角形是 “友好的”, 若在两个三角形的 6 条边内任取 3 条, 其长度都能构成一个
√
三角形的三边. 现有一个斜边长为 2 的等腰直角三角形 , 它与另一个直角三角
形 是友好的. 则三角形 面积的取值范围为
√ √ √
A. (3 2 22 , 2) B. (
1, 1) C. (3 2 2, 1) D. ( 2 14 2 2 , 1)
4. 次可加函数在泛函分析和概率论中有广泛的应用. 若定义域为 Z, 函数值为整数的函数
( ) 满足对任意的 , ∈ Z, 均有 ( + ) ≤ ( ) + ( ), 则称 ( ) 为 “离散次可加
函数”. 设 ( ) 为离散次可加函数, 若 (0) = 0, (1) = 1, 则 (2) 可能的取值有
A. 1 种 B. 2 种 C. 3 种 D. 无穷种
二、填空题：本题共 2 小题，单空题 4 分，双空题 6 分，共 10 分。
2 2
5. 若平面上两点 , 满足: 对椭圆 2 + 2 = 1上的任意一点 ,均有 | |+| | ≤ 2 ,
则称 , 是该椭圆的一组 “伪焦点”. 则 (1, 0), ( 1, 0) (填 “是” 或 “不是”) 椭
2 2
圆 4 + 1 = 1 的一组伪焦点.
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6. 已知 > 1 为正实数，现有一张地图, 地图上有平面直角坐标系, 以正东为 轴正方向.
你被流放到地图上的一点 (1, 1)，每一天早上, 你可以看到自己的坐标，然后选择东南西
北之一的方向，司机会在你选择的方向上直行一段路，路程属于 [1, ]. 如果无论司机每
天选择开多少路，你都能保证在有限天结束后回到你的家 {( , )| 2 + 2 ≤ 1} 中，则
的取值范围是 ；若将你被流放的地点改为 (100, 100), 其他条件不变, 为保证你
一定能在有限天结束后回家, 此时 的取值范围是 .
三、解答题：本题共 4 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
7.（15 分）若定义在 R 上的函数 ( ) 满足 (i) (0) = 0; (ii) ( ) > 0, ≠ 0; (iii) 对于任意
> 0, ( ) = 恰有两个不同的根 , , 并且 + ≥ 0, 则称该函数是 “右偏函
数”.
{ 2 , ≥ 0
(I) 判断 ( ) = 是不是右偏函数, 并说明理由.{ , < 0
(II) 若 ( ) = 2 + ( | |) 是右偏函数, 求实数 的取值范围.
(III) 若 ( ) 是右偏函数, 且在 [0, ∞) 单调递增, 证明: ( ) ≤ ( ), ∈ [0, ∞).
8.（15 分）你和小黑在数轴上玩一个游戏: 起初两人都在原点, 每个回合中: 你们可以看到
对方的位置, 你先走, 可以移动到任意整数点 (也可以不动), 但移动 个单位长度会消
耗 升燃油; 然后小黑走, 他只能选择向左或向右移动 1 个单位长度. 若该回合结束时
小黑和你移动到同一位置，则你被抓住，游戏失败; 否则继续下一回合. 当你的燃油耗
尽后，你不得继续移动.
(I) 若你携带的燃油充足, 计划的移动轨迹为 0(初始值) 5 4 3 2 1 0 , 则
你最快可能几回合被抓住
(II) 若你只携带了 4 升燃油, 证明: 你可以保证在 5 回合内不被小黑抓住.
(III) 为了保证在 1000 回合内不被抓住, 你至少携带几升燃油
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9. (20 分）小赵同学过生日时, 和同学们一起吃草莓蛋糕, 但总有同学抱怨分不到蛋糕上的
草莓, 或是分到的蛋糕太少. 为此, 他考虑了以下简化的数学模型, 来解决这一问题. 将
蛋糕视为单位圆 (圆心为 ), 圆周上依次有 2 个点 1, 2, … , 2 . 若存在圆周上另外
2 个依次排列的点 1, 2, … , 2 ，使得扇形 +1, = 1, 2, … , 2 的面积均相等
( 2 +1 = 1), 且每个扇形内 (包括边界) 恰含有 中的一点, 则称存在 “完美剖分”.
(I) 若 = 3, ∠
+1 = 4 , = 1, 2, 3, 4, 5, 直接写出是否存在完美剖分.
(II) 2 3 若 = 2, 且 ∠ +1 ∈ [ 5 , 5 ] , = 1, 2, 3, 证明存在完美剖分.
(III) 设 2 个夹角 ∠ +1, = 1, 2, … , 2 ( 2 +1 = 1) 的方差为 2 . 对给定的正整
数 , 求最大的常数 2 , 使得: 只要 2 < 2 , 则一定存在完美剖分.
已知: 对实数 1, , … , , 均有 ( 22 1 + 22 + + 2 ) ≥ ( + + + )21 2 .
10.（20 分）对于无穷正整数列 { }, { }, 定义其加法为 { } + { } = { }, 其中 =
+ , ∈ N , 乘法 { } × { } = 1, … , 1, 2, … , 2, … , , … , , … 为一个新的正
1个 2个 个
整数列.
(I) 若 = = , ∈ N , 求数列 { } × { } 的第 10 项.
(II) 已知 ({ } × { }) + ({ } × { }) 为公差为 的等差数列.
(i) 若 1 > 2 > 1, 证明 = 0.
(ii) 若 ≠ 0, 证明 6, 7, … 和 6, 7, … 均为等差数列.
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答案及评分标准
本试题卷分为选择题和非选择题两部分。全卷共 3 页，满分 100 分，考试时间 150 分钟。
一、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1.B 2.C 3.D 4.D
二、填空题：本题共 2 小题，单空题 4 分，双空题 6 分，共 10 分。
√ √
5. 2是 6.(1, 1 + 2 ]; (1, 2]
三、解答题：本题共 4 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
7.（本题满分 15 分）
(I) 4 + 4 = 4 + 2 < 0, 故不是右偏函数. （4 分）
(II) 由 ( ) > 0, < 0 解得 ≤ 0. （7 分）
√ √
当 ≤ 0 时, + = ( + 2 + ) ≥ 0. 条件 (i)(ii) 显然满足, 故所求取
值范围是 ≤ 0. （10 分）
(III) 不妨 > 0, 令 = ( ) > 0, 则 ( ) = ( ), ≥ . 又 ( ) 在 [0, ∞) 递
增, 故 ( ) ≤ ( ) = ( ). （15 分）
8.（本题满分 15 分）
(I) 3 回合. （3 分）
(II) 第一回合不动, 第二回合往远离小黑的方向移动距离 4 即可. （7 分）
(III) 999 升. （9 分）第一回合不动, 第二回合往远离小黑的方向移动距离 999 即可保
证不被抓住. （11 分）
另一方面, 若你携带燃油少于 999 升, 则至多移动总距离 998. 小黑第一回合往右
走, 第二回合回原点后沿你的轨迹运动，则一定能在 1000 回合内抓住你. （15 分）
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9. (本题满分 20 分）
(I) 不存在. (4 分)
(II) 取 1 为弧 1 2 中点, 且 ∠ +1 = 2 , = 1, 2, 3, 4 即可. (12 分)
(III) 设 = ∠
+1 . 存在完美剖分的充要条件为: 存在实数 , 使得
< 1 + + < +
, = 1, 2, … , 2 . (16 分)
不存在完美剖分时, 一定存在 < , | + + 1| ≥ . 则
2 + … 21 2 ≥ (
2
+ + 1) +( + + 1)
2 2≥ ( 1 1
2
2 2 ( ) 2 3 + 2 ( )) ≥ 4 .
2 2
易知等号可以取得. 故此时 2 最小值为 4 , 即 2 = 4 . (20 分）
10.（本题满分 20 分）
(I) 4. (4 分)
(II) 设 { } × { } = { }, { } × { } = { }.
(i) 若 1 ≥ 2, 1 ≥ 2. 则 1 = 2, 1 = 2, = 0.（8分）若 1 = 1, 2 ≥ 2, 1 ≥ 3,
则 2 = 3, 2 = 3, = 0. （12 分）
(ii) 由上一问, 不妨 1 = 1. 若 1 = 1, 则均删除第一项考虑. 若 1 ≥ 3, 易知
= 1, ∈ N . 故 { } 为等差数列. （16 分）
若 1 = 2, 则 2 ≥ 3. 由 3 + 3 ≠ 4 + 4, 知 2 = 2, 故 = 1, 2 = 3. 因此
3 = 1, 不难推出 = 1, ≥ 3. 故 = + 2, ≥ 5. 注意我们可能删除了第一
项, 因此 6, 7, … 和 6, 7, … 均为等差数列. （20 分）
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