2025年普通高校招生圆梦杯第七届高三数学试题（PDF版，无答案）

2025年普通高等学校招生“圆梦杯”统一模拟考试（七）
数 学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在
答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1．若复数 z的实部为 1，则 z z
A．1 B． 2 C． i D． 2i
2．抛物线 x2 2y的准线方程为
A x 1 1． B． x 1 C． y D． y 1
2 2
3．设向量a (x, 2)， b (1,3)．若 a 与 b 共线，则 x
A 2 2． 6 B． 6 C． D．
3 3
4．已知函数 f (x) log x (a 0,a 1)，若 f (e2 ) f (e3a ) 10，则 a
A e． B． e C．e D． e2
2
5．从1， 2，3， 4，5这5个数中任取两个数，则这两个数的乘积为偶数的概率为
A 3 17． B． C 3． D 7．
20 20 10 10
6．已知函数 f (x) x(ln x a) 在区间 (1,2)单调递增，则 a的最小值为
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
7．已知 i, j N*，记 Sn为等比数列{an}的前 n项和．设命题 p： a2i 1 0；
命题 q： S2 j 1 0，则命题 p是命题 q的
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
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8．已知函数 f (x)， g(x)的定义域均为 R，且 f (x)的图像关于点 (2,0)对称．设集合
A {a |任意x R, f (x) g(a) 0}， B {a |存在x R, f (x) g(a) 0}，
C {a | g(a)≥ f (1)}，则
A． A C A B． A C C C． B C B D． B C C
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
9 x x．已知两组样本数据，第一组 x1， x
1 2
2， x3， x4， ，第二组 x1， x2， x3， x ，2 4
x1 x2 x3 ． 若 x1≤ x2 ≤ x3 ≤ x3 4
，则
A．这两组数据的平均数一定相等
B．这两组数据的极差一定相等
C．这两组数据的第 90百分位数一定相等
D．这两组数据的众数一定相等
10 C : x
2 y2
．已知椭圆 1的左顶点为 A，右焦点为 F ． 点M 在线段 AO（O为坐标
4 3
原点）上，且C与圆M 有且只有一个公共点 A，点 P(x0 , y0 )，Q分别为C和圆M 上
的动点，则
A． |OP | B | PF |的最大值为 2 ． 为定值
4 x0
C．圆M半径的最大值为1 D． | PQ | 2 | PF |的最小值为3
11 1 b．设 a，b为正数，若函数 f (x) sin 2x 在区间[ ,ab]上有且仅有两个零点，则
2 a
A． ab b b 有最大值 B． ab 有最小值
a a
C a2b 5 5 ． 的最小值为 D a b 5 ． 的最小值为
12 3
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12．已知圆锥的母线长为 2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为__________．
13．如图，某公园内有一个半圆形湖面，O为圆心．现规划
在半圆弧岸边取点C， D，满足 AOC COD，在扇
形 AOC和扇形 BOD区域内种植荷花，在扇形COD区域
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内修建水上项目，并在湖面上修建栈道 AC ， BD， CD作为观光路线，则当
AC BD CD最大时， sin BOD __________．
14．如图，由9个单位小方格组成的3 3方格表中共有16个格点，
将每个格点染成红色或蓝色，满足：若任意 4个格点构成矩形
的 4个顶点，则这 4点中至多有 2点被染成红色．则被染为红
色的格点数目最多为 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD为正方形，
PA 平面 ABCD，PA AB 1，E，F 分别是 PB， AC
的中点．
（1）证明： EF∥平面 PCD；
（2）求二面角C EF B的正弦值．
16．（15分）
小明连续投篮两次，若第一次投中，则第二次也投中的概率为 0.6，若第一次未投
中，则第二次投中的概率为 0.5，已知第一次投中的概率为 0.7．
（1）记小明投中的次数为随机变量 X ，求 X 的分布列及数学期望；
（2）求在第二次投中的条件下，第一次也投中的概率．
17．（15分）
x2 y2
已知双曲线C : 2 2 1(a 0,b 0) 的左、右焦点分别为 F1， Fa b 2
，点 A(2,3)在 C
上，且 AF2 F1F2 ．
（1）求 C的标准方程；
（2）过 F2的直线交 C于M ，N两点，线段 AM 与线段 F1N 交于点 R，若△F1RM 的
面积等于△ARN的面积，求 |MN |．
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18．（17分）
已知函数 f (x) (a x)e x x， a R．
（1）当 a 0时，求 f (x)的最大值；
（2）证明： f (x)存在唯一极值点 x0；
（3）若存在开区间 I ，使得 f (x) I ，当且仅当 x I ，求 a的取值范围．
19．（17分）
若互不相交的非空集合 A1， A2 ，…， Ak 满足： A1 A2 … Ak {1,2,…,n}，且对
任意 a,b Am (m 1,2,…,k)， a b Am ，则称 (A1, A2 ,…, Ak )是“ (k,n)集合对”．
（1）写出一个 (3,7)集合对；
（2）若bi a j a1 (i 1,2,3, j {2,3,4,5,6})， cs bt b1 (s 1,2, t {2,3})，证明：
不存在 (3,n)集合对 (A1, A2 , A3)，使得{a1,a2 ,…,a6} A1，{b1,b2 ,b3} A2 ，{c1,c2} A3 ；
（3）若数列{xn}满足 x2 5，xn nxn 1 1（ n≥3），证明：当 n≥2时，不存在 (n, xn )
集合对.
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