人教版数学八年级下册期末测试卷（含答案）

期末测试卷
一、选择题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．判断下列四组数据，可以作为直角三角形三条边长的是（ ）
A．，， B．，， C．，，（） D．1，2，3．
2．下列计算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
3．对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过点 B．y随着x的增大而减小
C．图象与y轴的交点是(6，0) D．图象与坐标轴围成的三角形面积是9
4．劳动教育是学校贯彻“五育并举”的重要举措，某校倡议学生在家做一些力所能及的家务劳动．李老师为了解学生每周参加家务劳动的时间，随机调查了本班名学生，收集到如下数据：
时间/h 6 5 4 3 2
人数/名 2 6 4 6 2
关于家务劳动时间的描述正确的是（ ）
A．众数是6 B．平均数是4 C．中位数是3 D．方差是1
5．如图，把一张矩形纸片按如下方法进行两次折叠：第一次将边折叠到边上得到，折痕为，连接，，第二次将沿着折叠，恰好落在边上．则该矩形纸片的长宽比的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知一次函数的图象经过点，其中，，则关于的一次函数和的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分）
7．若二次根式有意义，则实数x的取值范围是_________．
8．一次函数与轴的交点的坐标是______．
9．已知矩形，请添加一个条件：_____，使得矩形成为正方形．
10．已知一组数据6，x，3，3，5，1的众数是3和6，则这组数据的中位数是__________．
11．如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，若，，则图中阴影部分的面积为___．
12．在菱形中，，，，分别是，的中点，动点从出发，沿着顺时针方向运动到点，当 PEF为直角三角形时，的长度为______．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理）
13．计算：
(1) (2)
14．已知y与成正比例，当时，．
(1)求y与x的函数解析式；
(2)若（1）中函数的图象与一次函数的图象相交于点A，求点A的坐标．
15．如图，在四边形中，，，垂足分别为点E，F，连接．
(1)请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形为平行四边形，你添加的条件是 ；
(2)在（1）中添加条件后，请证明四边形为平行四边形．
16．如图，在一条东四走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点A、B，道路因为施工需要封闭，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条道路，已知千米，千米，千米．
(1)是否为村庄C到河边最近的道路，请通过计算加以说明；
(2)已知新的取水点H与原取水点A相距千米，求新路比原路少多少千米．
17．如图，点是中斜边的中点，以，为边作平行四边形．请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图．（保留作图痕迹，不写作法）
(1)在图（1）中，以为边作一个平行四边形（不含矩形）；
(2)在图（2）中，以为边作一个矩形．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理）
18．沙坪坝区积极创建新时代“红岩大课堂”，是学习贯彻党的二十大精神的重要实践．某校组织全校学生参加了“冠红岩之名 铸红岩之魂”的知识竞赛．现从该校八、九年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（单位：分，满分100分），并进行整理、描述和分析（竞赛成绩用表示，共分成，，，四个等级：；；；），下面给出了部分信息：
八年级10名学生的竞赛成绩：94，93，85，83，79，78，78，78，67，61．
九年级10名学生中等级所有学生的竞赛成绩：83，83，83，81．
八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数 方差
八年级 79.6 78.5 104.5
九年级 79.6 83 82.7
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：__________，__________，__________；
(2)若竞赛成绩超过90分的学生获“红岩少年”称号，请估计该校八年级460名学生中，获“红岩少年”称号的人数；
(3)根据以上数据，你认为在此次竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）．
19．定义：如图，点M、N把线段分割成，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段的勾股分割点．
(1)已知M、N把线段分割成，若，，，则点M、N是线段的勾股分割点吗？请说明理由．
(2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，，求BN的长．
20．某电商根据市场需求购进一批A，B两种型号的电脑小音箱进行销售，每台B型音箱的进价比A型音箱的进价多10元，用6000元购进A型音箱与用8000元购进B型音箱的台数相同．
(1)求A，B两种型号的电脑小音箱的单价；
(2)该电商计划购进A，B两种型号的电脑小音箱共100台进行销售，其中A型音箱台数不小于B型音箱台数的3倍，A型音箱每台售价35元，B型音箱每台售价48元，怎样安排进货才能使售完这100台电脑小音箱所获利润最大？最大利润是多少元？
(3)为满足不同顾客的需要，该电商准备新增购进进价为每台20元的C型音箱，A，B两种型号音箱仍按需购进，进价不变，A型音箱的台数是B型音箱台数的5倍，共花费20000元，则该电商至少可以购进三种型号音箱共多少台？
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理）
21．先阅读，后解答：
，；
像上述解题过程中，与、与相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．
(1)的有理化因式是______；的有理化因式是______．
(2)将下列式子进行分母有理化：
①______；②______；③______；④______．
(3)类比（2）中④的计算结果，计算：．
22．如图1，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点，与y轴交于点B．
(1)求直线的解析式；
(2)若直线 ：与x轴、y轴、直线分别交于点C、D、E，求面积；
(3)如图2，在（2）的条件下，点F为线段上一动点，将沿直线翻折得到，交x轴于点M．当为直角三角形时，求点N的坐标．
六、（本大题共12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理）
23．小新学习了特殊的四边形一平行四边形后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，我们把两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
(1)概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是______．
(2)性质探究：通过探究，直接写出垂美四边形的面积S与两对角线，之间的数量关系：______．
(3)问题解决：如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接已知，．
①求证：四边形为垂美四边形；
②直接写出四边形的面积．
参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6
A C B B D B
二、填空题
7． 8． 9．（答案不唯一）
10．4 11．6 12．3或或
三、
13．（1）解：原式
；
（2）原式
．
14．（1）解：设函数解析式为：，
∵当时，，
∴，解得：，
∴y与x的函数解析式为：；
（2）解：根据题意，建立方程组，解得，
∴点A的坐标为：．
15．（1）解：；
根据，，可得，
再添加，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定；
故答案为：（答案不唯一）．
（2）证明：∵，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
16．（1）解：是，说明如下：
∵在中，，
又，
是以为直角的直角三角形，
，
∵点到直线垂线段的长度最短，
是村庄C到河边的最近路．
（2）由题意，得：（千米）
在中，由勾股定理得：（千米），
比少千米．
17．（1）解：如图（1）连接，四边形是平行四边形，即为所求．
（2）解：如图（2），连接交于，连接交于，连接并延长交于，交于，连接、并延长，交点为，连接，则四边形是矩形，矩形即为所求．
四、
18．（1）由题意可知，八年级10名学生成绩出现次数最多的是78，共出现3次，因此众数是78，即，
九年级成绩在“B组”的有4人，占，
，
九年级10名同学成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都是在“B组”，分别为81，83，
因此中位数是，即；
故答案为：78，82，30；
（2）．
答：估计该校八年级学生获“红岩少年”称号的人数为92人．
（3）九年级学生竞赛成绩更好．理由如下（写出其中一条即可）：
①九年级学生竞赛成绩中位数82高于八年级学生竞赛成绩中位数78.5．
②九年级学生竞赛成绩方差82.7低于八年级学生竞赛成绩方差104.5．
③九年级学生竞赛成绩众数83高于八年级学生竞赛成绩众数78．
19．（1）点M、N是线段的勾股分割点，理由如下：
∵，，
∴，
∴
∴以为边的三角形是直角三角形
∴点M、N是线段的勾股分割点；
（2）设
∵，
∴
∵点M、N是线段的勾股分割点，且为直角边
∴①若为斜边，则
即，
解得：
②若为斜边，则
即，
解得：
综上所述，BN的长为或．
20．（1）解：设每台A型音箱的进价为x元，每台B型音箱的进价为元，
由题意得：，
解得，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
∴，
答：每台A型音箱的进价为30元，则每台B型音箱的进价为40元；
（2）解：设最大利润是元，购进a台A型音箱，则购进台B型音箱，
由题意得：，
∵A型音箱台数不小于B型音箱台数的3倍，
∴，解得，
∵，
∴随x的增大而减小，
∴当时，取最大值，最大值为575；
答：购进75台A型音箱，购进25台B型音箱所获利润最大，最大利润是575元；
（3）解：设购进b台B型音箱，则购进台A型音箱，购进三种音箱共n台，则购进的C型音箱台，
由题意得：，
解得，
∵，
∴，解得，
∵b为正整数且为2的倍数，
∴，
∵，
∴n随b的增大而减小，
当时，最小，，
答：该电商至少可以购进三种型号音箱共636台．
五、
21．（1）解： 的有理化因式是，的有理化因式是．
故答案为：，．
（2）解∶①；
②；
③；
②．
故答案为：、、、．
（3）解：
．
22．（1）解：把代入得，
∴，
∴直线：；
（2）∵直线：，
∴点B的坐标为，
∵直线 ：与x轴、y轴、直线分别交于点C、D、E，
当时，，当时，，解得，
∴、，
联立与得，解得，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为；
（3）如图2，当时，过点E作轴于H，
由翻折得，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴ ，
∵，
∴，
由翻折得，
∴点N的坐标为；
如图3，当时，
由翻折得，
∵，，
∴，，
∴，
∴点N的坐标为；
综上，点N的坐标为或．
六、
23．（1）∵在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，两条对角线互相垂直的四边形是菱形、正方形，
∴菱形和正方形一定是垂美四边形；
故答案为：菱形、正方形；
（2）如图1所示：
∵四边形的面积=的面积+的面积
=；
故答案为：；
（3）①证明：连接交于N，交于M，如图2所示：
∵四边形和四边形是正方形，
∴，，，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，
∴四边形为垂美四边形；
②∵
∴
∴，
在中，
∴，
∵四边形为垂美四边形，
∴四边形的面积