人教版九年级数学下册 第二十七章 相似三角形 章节测试卷（含详解）

第二十七章《相似三角形》章节测试卷
一、单选题（30分）
1．两个相似三角形的面积比为1︰3，则它们对应中线的比为（ ）
A．1︰3 B．1︰ C．1︰9 D．︰1
2．下列命题中：①任意两个等腰三角形都相似；②任意两个等边三角形都相似；③任意两个直角三角形都相似；④任意两个等腰直角三角形都相似；正确的是（ ）
A．①③ B．①④ C．②④ D．③④
3．下列各组的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（　　）
A． B．
C． D．
4．阳光下同一时刻，物高与影长成正比例，如果身高为1.5m的小丽，影长为2.5m，则此时影长为30m的旗杆的高为（ ）
A．20m B．18m C．16m D．15m
5．如图，已知，那么下列结论正确的是（　　）．
A． B． C． D．
6．有一个多边形的边长分别是、、、、，和它相似的一个多边形最长边为，那么这个多边形的周长是（ ）
A．12cm B．18cm C．32cm D．48cm
7．如图，在矩形中，E，F分别是，上的点．若，则一定有（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN∥AB，MC＝6，NC＝，则四边形MABN的面积是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，正方形与正方形是位似图形，点O为位似中心，位似比为，点B、E在第一象限．若点A的坐标为，则点E的坐标是（ ）
A． B． C． D．
10.如图，是的中线，E是上一点，，连接并延长交于点F，则为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（30分）
11．如图，与是位似图形，相似比为，已知，则的长为 ．

12．如图，是等腰梯形的上底上一点，若，则和相似的三角形有 个．
13．如图，在中，为边的中点，交于点，如果，那么为 ，为 ．
14．如果与相似，的三边之比为，的最长边是，那么的最短边是 ．
15．如图所示，在四边形中,AD∥BC，如果要使△ABC∽△ADC，那么还要补充的一个条件是 ．（只要求写出一个条件即可）
16．如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形的三边长分别为3，4和x，那么x的值是 ．
17．在ABC中，AB＞BC＞AC，D是AC的中点，过D作直线l，使截得的三角形与原三角形相似，这样的直线l有 条．
18．如图，平分，，，当 时，.
19．已知，，D在上，且，在上取一点E使由A、D、E三点构成的三角形与相似，则 ．
20．如图，在中，D为的中点，过点D作交于点F，交的延长线于点E，若点F恰好为的中点，，则 ．
三、解答题（60分）
21．（本题7分）如图，用一个交叉卡钳测量零件的内孔直径．两条尺长和相等，，且．若测得，那么零件的内孔直径是多少？并说明理由．
22．（本题7分）已知点E是矩形的边上一点，于点F，求证：．

23．（本题8分）在边长为1的正方形网格中如图所示．

(1)以点C为位似中心，在网格图中画出的一个位似，使它与与相似比为．
(2)写出点的坐标 ．
(3)求的面积．
24．（本题8分）如图，河对岸有一路灯杆，在灯光下，小明在点D处测得自己的影长，沿方向到达点F处再测得自己的影长．如果小明的身高为，求路灯杆的高度．
25．（本题10分）如图，在四边形ABCD中，ADBC，∠C＝90°，AB＝AD＝25，BC＝32，连接BD，AE⊥BD，垂足为E．
（1）求证：ABE∽DBC；
（2）求线段AE的长．
26．（本题10分）如图，△ABC是等边三角形，⊙O过点B，C，且与BA，CA的延长线分别交于点D，E，弦DF∥AC，EF的延长线交BC的延长线于点G．
(1)求证：△BEF是等边三角形；
(2)若BA=4，CG=2，求BF的长．
27．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，A是抛物线上的一个动点，且点A在第一象限内．AE⊥y轴于点E，点B坐标为（0，2），直线AB交轴于点C，点D与点C关于y轴对称，直线DE与AB相交于点F，连结BD．设线段AE的长为m，△BED的面积为S．
（1）当时，求S的值．
（2）求S关于的函数解析式．
（3）①若S＝时，求的值；
②当m＞2时，设，猜想k与m的数量关系并证明．
一、单选题
1．B
【分析】根据相似三角形的对应中线的比等于相似比解即可．
【详解】解：∵两个相似三角形的面积比为1：3，
∴它们的相似比为1：，
∴它们对应的中线的比为1：．
故选：B．
2．C
【分析】根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案．
【详解】解：①不正确，因为没有说明角或边相等的条件，故不一定相似；
②正确，因为等边三个角都相等，故两三角形相似；
③不正确，只知道一个直角相等，不符合相似三角形判定的条件，故不一定相似；
④正确，因为其三对角均相等，符合相似三角形的判定条件，故相似；
所以②④正确，
故选：C．
3．D
【分析】根据比例线段的定义，让最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等，对选项一一分析，即可得出答案．
【详解】解：A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项符合题意，
故选：D．
4．B
【分析】本题只要把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，求解即可得出旗杆的高．
【详解】解：根据题意，
即，
∴旗杆的高m，
故选：B．
5．D
【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
故选：D．
6．C
【分析】根据两多边形相似求出其相似比，再根据相似多边形周长的比等于相似比进行解答即可．
【详解】解：∵一个多边形的边长分别是4cm、5cm、6cm、4cm、5cm，和它相似的一个多边形最长边为8cm，
∴两个相似多边形的形似比为：，
设另一个多边形的周长为xcm，
∴ ，
解得x=32cm．
故选C．
7．D
【分析】根据矩形性质，得到，结合，得到，判定即可，熟练掌握三角形相似的判定定理是解题的关键．
【详解】∵矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
其余都不满足相似的条件，
故选D．
8．C
【详解】连接CD，交MN于E，
∵将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，
∴MN⊥CD，且CE=DE．∴CD=2CE．
∵MN∥AB，∴CD⊥AB．∴△CMN∽△CAB．
∴．
∵在△CMN中，∠C=90°，MC=6，NC= ，∴
∴．
∴．故选C．
9．B
【分析】由题意可得，又由点A的坐标为，即可求得的长，又由正方形的性质，即可求得E点的坐标．
【详解】解：∵正方形与正方形是位似图形，O为位似中心，相似比为，
∴，
∵点A的坐标为，
即，
∴，
∵四边形是正方形，
∴．
∴E点的坐标为：．
故选：B．
10．B
【分析】作交于点H，根据是的中线，可得，根据平行线分线段成比例可得，有已知条件可得，进而可得．
【详解】解：作交于点H，
∵是的中线，
，
，
，
，
，
，
∴，
，
．
故选：B．
二、填空题（30分）
11．
【分析】根据相似比，列出比例式即可求解．
【详解】解：∵与是位似图形，相似比为，
∴
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
12．2
【分析】根据已知及相似三角形的判定方法即可得到答案．
【详解】∵AD∥BC，
∴∠APB=∠CBP，∠DPC=∠BCP，
∵∠A=∠BPC，
∴△APB∽△PBC，
∵ABCD为等腰梯形，
∴∠A=∠D=∠BPC，
∴△DPC∽△PCB，
∴△ABP∽△PCB∽△DPC，
∴有2个三角形与△ABP相似.
故答案为2.
13． 2 4
【分析】由AB∥CD，证得△AOB∽△EOD，又E为DC边的中点，AB＝CD，故相似比为AB：ED＝2：1，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求S△EOD．由OB：OD＝2：1可求出S△AOD．
【详解】解：在中，∵AB∥CD，
∴△ABO∽△EDO，
∴AB：DE＝OB：OD＝2：1，
∴△ABO与△EDO的面积的比是4：1，△ABO与△ADO的面积的比是2：1．
∵S△AOB＝8，
∴S△EOD＝2，S△AOD＝4．
故答案为：2，4．
14．6
【分析】根据相似三角形的性质可得出的三边之比也为．设的最短边是，则，解出x的值，即得出的最短边的长．
【详解】解：∵与相似，的三边之比为，
∴的三边之比也为．
设的最短边是，
∵的最长边是，
∴，
解得：，
∴的最短边是．
故答案为：6．
15．或或（答案不唯一）
【分析】先由AD∥BC，得到∠DAC=∠ACB，然后利用相似三角形的判定定理，做题即可．
【详解】解：∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∴当∠B=∠DCA或∠BAC=∠D或
∴都可得相似．
故答案为：∠B=∠DCA或∠BAC=∠D或（答案不唯一）．
16．解： 如果6和8都是直角边，那么斜边是10，
由对应边成比例可知与它相似的直角三角形的斜边长为x，则，
即x=5，
如果6是直角边，8是斜边，那么另一条边是，
则，
即，
故答案为：5或．
17．4
【详解】分析：根据相似三角形的判定，过点D作AB、AC的平行线与第三边相交可得三角形与原三角形相似，以D为顶点作与∠B相等的角，然后利用两角对应相等，也可以得到三角形与原三角形相似．
解：
如图，DE∥AB交BC于点E，△DEC∽△ABC，
DF∥BC交AB于点F，△AFD∽△ABC，
作∠CDG=∠B，又∵∠C=∠C，
∴△GDC∽△ABC，
作∠ADH=∠B，又∵∠A=∠A，
∴△ADH∽△ABC，
∴共可以作4条．
故填4．
18．
【分析】根据两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似，列出比例式进行计算即可得解．
【详解】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵△ABD∽△DBC，
∴，
∵AB＝4，BC＝6，
∴，
解得BD＝
故答案为．
19．3.2或5
【分析】由A、D、E三点构成的三角形与相似，要分成两种情况来进行讨论，无论哪一种情况，将已知线段的长度代入后比例式后都能较容易的求出的值．
【详解】解：∵与相似，
∴或，
∵，
∴或，
解得：或．
故答案为：3.2或5．
20．
【分析】本题考查的是平行线分线段成比例，线段中点的含义，如图，过作，证明与，从而可得答案，熟记平行线分线段成比例是解本题的关键．
【详解】解：如图，过作，
∴，
∵为的中点，即，
∴，
∵，
∴，
∵D为的中点，即，
∴，
∴，
故答案为：
三、解答题
21．解：两条尺长和相等，，
，
，
，
，
，
，
，
．
22．证明：∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∵于点，
∴，
∴，
∴．
23．（1）如图所示，即为所求；

（2）点的坐标 ，
故答案为：；
（3）的面积．
24．解：由题意得，，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴，
∴，
∴，
∴路灯杆的高度为．
25．（1）∵AB＝AD＝25，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB＝∠C＝90°，
∴△ABE∽△DBC；
（2）∵AB＝AD，AE⊥BD，
∴BE＝DE，
∴BD＝2BE，
∵△ABE∽△DBC，
∴，
∵AB＝AD＝25，BC＝32，
∴，
∴BE＝20，
∴AE＝＝15．
26．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BCA=∠BAC=60°，
∵DF∥AC，
∴∠D=∠BAC=60°，∠BEF=∠D=60°，
又∵∠BFE=∠BCA=60°，
∴△BEF是等边三角形．
（2）解：∵∠ABC=∠EBF=60°，
∴∠FBG=∠ABE，
又∠BFG=∠BAE=120°，
∴△BFG∽△BAE，
∴ ，
又BG=BC+CG=AB+CG=6，BE=BF，
∴BF2=AB BG=24，
可得BF=2（舍去负值）．
27．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，A是抛物线上的一个动点，且点A在第一象限内．AE⊥y轴于点E，点B坐标为（0，2），直线AB交轴于点C，点D与点C关于y轴对称，直线DE与AB相交于点F，连结BD．设线段AE的长为m，△BED的面积为S．
（1）当时，求S的值．
（2）求S关于的函数解析式．
（3）①若S＝时，求的值；
②当m＞2时，设，猜想k与m的数量关系并证明．
【答案】（1）；（2）；（3）①；②，证明见解析．
【详解】试题分析：（1）根据点在曲线上点的坐标与方程的关系，求出点A的坐标，根据△ABE∽△CBO求出CO的长，从而根据轴对称的性质求出DO的长，进而求出△BED的面积S．
（2）分和两种情况讨论．
（3）①连接AD，由△BED的面积为求出现，得到点A 的坐标，应用待定系数法，设
得到，从而．
②连接AD，应用待定系数法，设得到，从而得到，因此．
得到，从而
试题解析：（1）∵点A是抛物线上的一个动点，AE⊥y轴于点E，且，
∴点A的坐标为．∴当时，点A的坐标为．
∵点B的坐标为，∴BE=OE=1．
∵AE⊥y轴，∴AE∥x轴． ∴△ABE∽△CBO．∴，即，解得．
∵点D与点C关于y轴对称，∴．
∴．
（2）①当时，如图，
∵点D与点C关于y轴对称，∴△DBO≌△CBO．
∵△ABE∽△CBO，∴△ABE∽△DBO ．∴．∴
∴．
②当时，如图，同①可得
综上所述，S关于的函数解析式．
（3）①如图，连接AD，
∵△BED的面积为，∴．∴点A 的坐标为．
设，∴．
∴．
∴．
②k与m的数量关系为，证明如下：
连接AD，则
∵，∴．
∴．
∵点A 的坐标为，∴．