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【押题密卷】2025年中考数学（安徽卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。
4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：（本大题共10题，每题4分，共40分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.）
1．的相反数是（ ）
A． B． C． D．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．2024年10月17日，雅万高铁正式开通运营满一年，动车组列车安全运行超257万公里，运输安全平稳有序，辐射带动作用显著增强．数据“257万”用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
4．如图为一个积木示意图，这个几何体的左视图为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知，过边上一点作直线，经测量，要使，直线绕点按逆时针方向至少旋转（ ）
A． B． C． D．
6．某随机事件发生的概率的值不可能是（ ）
A．0.001 B．0.5 C．0.999 D．1
7．如图，内接于，点是的中点，是的直径．若，，则的长为（ ）
A．5 B． C． D．
8．如图，中，，点在折线上运动，过点作的垂线，垂足为，设，，则关于的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在等腰梯形中，，，，E是底边上一点，且，．则（ ）
A． B． C． D．
10．规定取的整数部分，例如：，，，则的值等于（ ）
A．4 B． C．5 D．
二、填空题：（本大题共4题，每题5分，共20分.）
11．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ．
12．定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的2倍，我们称这个点为“友好点”，例如就是“友好点”，若二次函数图象的顶点为“友好点”，则我们称这个二次函数为“友好二次函数”，例如二次函数就是“友好二次函数”，若“友好二次函数”的图象过点，且顶点在第一象限，过点、的线段与这个“友好二次函数”的图象有且只有一个公共点时，n的取值范围为 ．
13．如图，点为反比例函数图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例的图象交于点，则 ．
14．如图，点A在以为直径的半圆上，，，点D在线段上运动，点E与点D关于对称，点F与点D关于对称，点G与点D关于点A对称．连接、、、、、，则：
（1）当四边形是正方形时， ；
（2）当的一边与相切时，的长为 ．
三、解答题：（本大题共9题，第15-18每题8分，第19-20每题10分，第21-22题12分，第23题14分，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15．解不等式：．
16．在夏季来临前，某社区进行了雨水、污水管道改造工程招标，有甲、乙两个工程队投标，经测算，甲工程队单独完成该项工程需40天．若由乙先单独做20天，余下的工程由甲、乙合做16天可完成．求乙单独完成该项工程需要多少天？
17．如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格点上，坐标分别为，，．
(1)画出关于x轴对称的；
(2)任意选择两个网格点画出线段的垂直平分线，并写出点M、N坐标（点M、N为线段的垂直平分线经过的网格点）．
18．观察以下等式：
①，
②______，
③______，
……
探究：
（1）观察等式①②③的规律，并将等式补充完整；
（2）请直接写出第④个等式；
拓展：
（3）按照你发现的规律，写出第n个等式；
（4）计算：．
19．如图，在中，直径垂直于弦，垂足为点E，连接，延长交于点F．
(1)如果，，求半径；
(2)求证：．
20．2024年10月30日4时27分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射，蔡旭哲、宋令东、王浩泽3名航天员顺利进入太空．如图，这是某同学绘制的模拟火箭发射装置示意图，一枚运载火箭从地面处发射，当火箭到达点时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角为．后火箭到达点，此时测得仰角为．（参考数据：，，，，，）
(1)求地面雷达站到发射处的水平距离；
(2)这枚火箭从处到处的平均速度是多少？（（1）、（2）结果精确到0.1）
21．合肥市在创建全国文明城市期间，某中学九年级开展创文明知识竞赛活动，并随机抽取部分学生成绩作为样本进行分析，绘制成如下的统计表：
请根据所给信息，解答下列问题：
九年级抽取部分学生成绩的频率分布表
成绩分 频数 频率
2 0.04
6 0.12
10 0.20
a 0.36
14 b
(1)本次总共调查的人数是________人；将下图频数分布图补充完整．
(2)表中________，________．
(3)已知该校九年级共有500名学生参加这次竞赛，且成绩在90分以上(含90分)的成绩为优秀，估计该年级竞赛成绩为优秀的学生共有多少人
22．【模型初现】
（1）如图1，在中，，，，平分交于点D，于点E，则________
【模型归纳】
（2）如图2，是的角平分线，，，点E在上，．探索线段，和之间的数量关系，并加以证明；
【模型应用】
（3）如图3，点E是等边外一点，连接，，，恰好满足．已知平分交于点D，若，求的长．
23．如图，抛物线与x轴交于点O和点A，将抛物线沿x轴向右平移3个单位长度，得到抛物线．
(1)抛物线表达式为；_______；
(2)点P是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点Q．设点P的横坐标为p，点Q的横坐标为q．
①若，求的值；
②试判断是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
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【押题密卷】2025年中考数学（安徽卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。
4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题
1．的相反数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】解：的相反数是，
故选：．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算正确，符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：B．
3．2024年10月17日，雅万高铁正式开通运营满一年，动车组列车安全运行超257万公里，运输安全平稳有序，辐射带动作用显著增强．数据“257万”用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】解：由题意得257万，
故选：B．
4．如图为一个积木示意图，这个几何体的左视图为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解：从左边看这个几何体，看到的图形为．
故选：A．
5．如图，已知，过边上一点作直线，经测量，要使，直线绕点按逆时针方向至少旋转（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】要使，由同位角相等，两直线平行可知
即直线绕点按逆时针方向至少旋转
故选择：D
6．某随机事件发生的概率的值不可能是（ ）
A．0.001 B．0.5 C．0.999 D．1
【答案】D
【分析】解：随机事件的取值范围是，
∴某随机事件发生的概率的值不可能是1．
故选：D．
7．如图，内接于，点是的中点，是的直径．若，，则的长为（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】D
【分析】解：连接，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∵
∴，
故选：D．
8．如图，中，，点在折线上运动，过点作的垂线，垂足为，设，，则关于的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解：在中，，
∴，
如图所示，过点作于点，
∵，
∴，
∴在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当点在上时，，即，，
∴，
∴图形是二次函数图象的一部分，开口向上，故A、B选项符合题意，C、D选项不符合题意；
当点在上时，如图所示，，即，
∵，
∴，且，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴图形是二次函数图象的一部分，开口向下，故A选项符合题意，B选项不符合题意；
故选：A ．
9．如图，在等腰梯形中，，，，E是底边上一点，且，．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】解：如图，取中点，连接，则，
∵等腰梯形中，，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴是平行四边形，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
．
故选：B．
10．规定取的整数部分，例如：，，，则的值等于（ ）
A．4 B． C．5 D．
【答案】A
【分析】解：， ， ， ， ， ，，
至的值均为1，至的值均为2，至的值均为3，至的值均为4，至的值均为5，至的值均为6，
．
故选：A．
二、填空题
11．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴且，
即且，
解得且，
∴a的取值范围为且．
故答案为：且．
12．定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的2倍，我们称这个点为“友好点”，例如就是“友好点”，若二次函数图象的顶点为“友好点”，则我们称这个二次函数为“友好二次函数”，例如二次函数就是“友好二次函数”，若“友好二次函数”的图象过点，且顶点在第一象限，过点、的线段与这个“友好二次函数”的图象有且只有一个公共点时，n的取值范围为 ．
【答案】或
【分析】解：设“友好二次函数”的解析式为，且图象过点，
∴，
解得，，
∵这个“友好二次函数”的图象顶点在第一象限，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴点在直线上运动，
设直线与“友好二次函数”交于点，
当时，，
∴，
∵二次函数的顶点为，
∵，
∴当点的坐标为时，此时点、与抛物线顶点共线且与二次函数的图象只有一个交点，即；
当点在点上方时，线段与抛物线有且只有一个交点，即；
∴当线段与这个“友好二次函数”的图象有且只有一个公共点时，的取值范围为或．
故答案为：或．
13．如图，点为反比例函数图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例的图象交于点，则 ．
【答案】/
【分析】解：过作轴于，过作轴于，，
，
，
，
，
，即，
（负值舍去），
故答案为：．
14．如图，点A在以为直径的半圆上，，，点D在线段上运动，点E与点D关于对称，点F与点D关于对称，点G与点D关于点A对称．连接、、、、、，则：
（1）当四边形是正方形时， ；
（2）当的一边与相切时，的长为 ．
【答案】
【分析】解：（1）∵点与点关于对称，点与点关于点对称，
∴，，
∵点与点关于对称，点与点关于对称，
∴，，
∴，
∴四边形为矩形，
∵为直径，
∴，
在中，
∵，
∴，，
∵点与点关于对称，
∴于，如图，
设，
在中，
∵，则，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
而，
∴，解得，
∴；
故答案为：；
（2）当与相切时，设点为切点，连接交于，交于，如图，则，
∵四边形为矩形，
∴，，
而，
∴，
∴，
∵，，
∴设，则，，
∴，
在中，，，
∵，
∴，则，
∴，解得，
∴，
故答案为：．
三、解答题
15．解不等式：．
【答案】
【分析】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项、合并同类项得：，
系数化为1得：．
16．在夏季来临前，某社区进行了雨水、污水管道改造工程招标，有甲、乙两个工程队投标，经测算，甲工程队单独完成该项工程需40天．若由乙先单独做20天，余下的工程由甲、乙合做16天可完成．求乙单独完成该项工程需要多少天？
【答案】乙队单独完成这项工程需要60天
【分析】解：设乙队单独完成这项工程需要x天．
由题意得，
解得，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
答：乙队单独完成这项工程需要60天．
17．如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格点上，坐标分别为，，．
(1)画出关于x轴对称的；
(2)任意选择两个网格点画出线段的垂直平分线，并写出点M、N坐标（点M、N为线段的垂直平分线经过的网格点）．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析，，
【分析】（1）解：如图，先找到，，三点关于x轴的对称点，，，依次连接，
则即为所求作：
（2）解：如图，先画出的垂直平分线，然后在垂直平分线上找到两个网格点，，
由图可知：，．
18．观察以下等式：
①，
②______，
③______，
……
探究：
（1）观察等式①②③的规律，并将等式补充完整；
（2）请直接写出第④个等式；
拓展：
（3）按照你发现的规律，写出第n个等式；
（4）计算：．
【答案】（1）1，，2，，3；（2）；（3）；（4）
【分析】解：探究：（1）①，
②，
③，
故答案为：1，，2，，3
（2）④，
拓展：（1）第个式子：，
（2）
．
19．如图，在中，直径垂直于弦，垂足为点E，连接，延长交于点F．
(1)如果，，求半径；
(2)求证：．
【答案】(1)半径为5；
(2)见解析
【分析】（1）解：直径垂直于弦，
，
，
，
设半径为r，
，
，
在中，，
，
解得，
半径为5；
（2）证明：直径垂直于弦，
，，
，
，
，
，
又，
，
，
．
20．2024年10月30日4时27分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射，蔡旭哲、宋令东、王浩泽3名航天员顺利进入太空．如图，这是某同学绘制的模拟火箭发射装置示意图，一枚运载火箭从地面处发射，当火箭到达点时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角为．后火箭到达点，此时测得仰角为．（参考数据：，，，，，）
(1)求地面雷达站到发射处的水平距离；
(2)这枚火箭从处到处的平均速度是多少？（（1）、（2）结果精确到0.1）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解：在中，，
答：雷达站到发射处的水平距离为；
（2）在中，，
在中，，
∴，
∴速度为，
答：这枚火箭从到的平均速度为．
21．合肥市在创建全国文明城市期间，某中学九年级开展创文明知识竞赛活动，并随机抽取部分学生成绩作为样本进行分析，绘制成如下的统计表：
请根据所给信息，解答下列问题：
九年级抽取部分学生成绩的频率分布表
成绩分 频数 频率
2 0.04
6 0.12
10 0.20
a 0.36
14 b
(1)本次总共调查的人数是________人；将下图频数分布图补充完整．
(2)表中________，________．
(3)已知该校九年级共有500名学生参加这次竞赛，且成绩在90分以上(含90分)的成绩为优秀，估计该年级竞赛成绩为优秀的学生共有多少人
【答案】(1)50，图形见解析
(2)18，
(3)
【分析】
（1）解：，
答：本次总共调查的人数是50；
故答案为：50；
的频数为：（人），
补全频数分布直方图如下：
（2）解：，，
故答案为：18，0.28；
（3）解：（人），
答：估计该年级竞赛成绩为优秀的学生共有320人．
22．【模型初现】
（1）如图1，在中，，，，平分交于点D，于点E，则________
【模型归纳】
（2）如图2，是的角平分线，，，点E在上，．探索线段，和之间的数量关系，并加以证明；
【模型应用】
（3）如图3，点E是等边外一点，连接，，，恰好满足．已知平分交于点D，若，求的长．
【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）6
【分析】（1）解：∵，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
平分，
．
，
．
又，
．
．
，
∵，，
∴，
∴
（2）证明：是的角平分线，
．
，
．
．
，
，
，
．
（3）解：在上找一点，使得．
是等边三角形，，
．
，
．
．
平分，
．
，
是等边三角形．
，
，
∵，
∴，
∴
23．如图，抛物线与x轴交于点O和点A，将抛物线沿x轴向右平移3个单位长度，得到抛物线．
(1)抛物线表达式为；_______；
(2)点P是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点Q．设点P的横坐标为p，点Q的横坐标为q．
①若，求的值；
②试判断是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②为定值，这个定值为6．
【分析】（1）解：∵，
∴将抛物线沿x轴向右平移3个单位长度，得到抛物线的解析式为：
；
（2）解：把代入得，，
点，
令，
解得：，
∴点，
设直线的表达式为：，把，代入得：
，
解得：，
∴直线的表达式为，
联立上式和抛物线的表达式得：，
解得：（舍去），，
则；
②是定值；过点P作轴，过点Q作轴于点Q，如图所示：
则，
∵，
∴，
∴，
∵点P的横坐标为p，点Q的横坐标为q，
∴点P的纵坐标为，点Q的纵坐标为，
∴，，，，
∴，
∴，
整理得：，
∴．
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