专题十二 二次函数（综合测试）——中考数学一轮复习备考合集
【满分：120】
一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.一部售价为4000元的手机，一年内连续两次降价，如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y(元)与每次降价的百分率x之间的函数关系式是( )
A. B.
C. D.
2.若抛物线的对称轴是直线,且经过点,则使函数值成立的x的取值范围是( )
A. B.或
C. D.或
3.已知抛物线过点,,,则,,的大小关系是( )
A. B.
C. D.
4.如图是蔬菜塑料大棚及其正面的示意图.示意图中曲线可近似看作一条抛物线，四边形为矩形且支架，，，均垂直于地面.已知米，米，以所在的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系（规定一个单位长度代表1米），若点M的坐标为，则抛物线的表达式为( )
A. B.
C. D.
5.如图,已知函数图像与x轴只有三个交点,分别是,,.
①当时,或；②当时,y有最小值,没有最大值；③当时,y随x的增大而增大；④若点在函数图象上,则m的值只有3个.上述四个结论中正确的有( )
A.①② B.①②④ C.①③④ D.②③④
6.小梦同学观察下表数列的前五个数时，发现是n的二次函数.设，下列说法正确的是( )
n 1 2 3 4 5 … n
数列 0 1 1 …
A.S有最大值为1 B.当时，
C.S有最小值为 D.当时，
7.如图所示,二次函数的图象与x轴负半轴相交于A、B两点,是二次函数图象上一点,且为等边三角形,则a的值为( )
A. B. C. D.
8.关于抛物线与(,),下列说法中正确的是( )
A.两条抛物线交于点 B.抛物线和关于x轴对称
C.两条抛物线的顶点关于原点对称 D.抛物线向左平移m个单位得到
9.如图,抛物线过,两点,且顶点在第四象限.设,则M的取值范围是( ).
A. B.
C. D.
10.如图，经过的直线与抛物线交于B，C两点，且，则直线的解析式是( )
A. B. C. D.
11.如图,在平面直角坐标系中,抛物线的顶点为A点,且与x轴的正半轴交于点B,P点为该抛物线对称轴上一点,则的最小值为( ).
A. B. C.3 D.2
12.如图,抛物线与交于点,且分别与y轴交于点D、E.过点B作x轴的平行线,交抛物线于点A、C,则以下结论：
①无论x取何值,总是负数；
②可由向右平移3个单位,再向下平移3个单位得到；
③当时,随着x的增大,的值先增大后减小；
④四边形为正方形.
其中正确的是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题（每小题3分，共15分）
13.如图,已知抛物线与直线交于,两点,则关于x的不等式的解集是______.
14.将抛物线先绕点旋转，再向上平移4个单位长度，得到的新抛物线的顶点恰好落在原抛物线上，则___________.
15.有一条抛物线,三位学生分别说出了它的一些性质：甲说：对称轴是直线；乙说：与x轴的两个交点的距离为6；丙说：顶点与x轴的交点围成的三角形面积等于9,则这条抛物线解析式的顶点式是______.
16.规定：两个函数,的图象关于y轴对称,则称这两个函数互为“Y函数”.例如：函数与的图象关于y轴对称,则这两个函数互为“Y函数”.若函数(k为常数)的“Y函数”图象与x轴只有一个交点,则其“Y函数”的解析式为______.
17.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线与y轴交于点A,过点A作x轴的平行线交抛物线于点B,抛物线顶点为P.若直线交直线于点C,且,则a的值为______.
三、解答题（本大题共6小题，共计57分，解答题应写出演算步骤或证明过程）
18.（6分）如图,二次函数的图像与y轴交于点A,与x轴的负半轴交于点
(1)求二次函数的解析式；
(2)点P是这个二次函数图像在第二象限内的一线,过点P作y轴的垂线与线段AB交于点C,求线段PC长度的最大值.
19.（8分）在“母亲节”期间,某校部分团员参加社会公益活动,准备以6元/个的价格购进一批许愿瓶进行销售,并将所得利润捐给慈善机构.根据市场调查,这种许愿瓶一段时间内的销售量y(个)与销售单价x(元/个)之间的对应关系如图所示.
(1)直接写出y与x之间的函数关系；
(2)按照上述市场调查的销售规律,求销售利润w(元)与销售单价x(元/个)之和的函数关系式；
(3)若许愿瓶的进货成本不超过900元,要想获得最大的利润,试确定这种许愿瓶的销售单价,并求出此时的最大利润.
20.（8分）如图,直线与x轴、y轴分别交于B、C两点,抛物线经过B、C两点,与x轴的另一交点为点A,顶点为点D.
(1)求B,C两点的坐标.
(2)求抛物线的解析式,点A,点D的坐标,及抛物线的对称轴；
(3)设直线与抛物线两交点的横坐标分别为,,是否存在k值使得,若存在,求k的值；若不存在,说明理由.
21.（10分）如图,在平面直角坐标系中,抛物线交x轴于A,B两点,交y轴于点C,且,点P是第三象限内抛物线上的一动点.
(1)求此抛物线的表达式；
(2)若,求点P的坐标；
(3)连接,求面积的最大值及此时点P的坐标.
22.（12分）如图,是一个长方形广告牌的示意图,,,设计师在广告牌上设计了三条抛物线(部分)作为构图轮廓,点D,E分别是,的中点,抛物线①经过点O和A,顶点为D,由抛物线②向右平移得抛物线③.以为单位长度,点O为坐标原点,所在直线为x轴建立平面直角坐标系,抛物线②的解析式为.
(1)求抛物线①的解析式,并直接写出抛物线③的解析式；
(2)设计师在广告牌上三条抛物线围成的区域设计一些竖直的灯条,利用灯条的亮与不亮两种状态产生动感效果.灯条的上端点在抛物线①上,下端点在抛物线②或③上.从某时刻开始,只有两根灯条亮着,分别用和代表它们.从O处开始,以的速度向右移动,到E处停止.从A处开始,以的速度向左移动,到O处停止.在这一过程中,求：
的最大值；
的时长.
23.（13分）在平面直角坐标系中,抛物线(b为常数)与x轴交于点和点B,与y轴交于点C.点Q是抛物线上一点,其横坐标为m.
(1)求抛物线对应的函数表达式；
(2)当点Q到x轴的距离是点C到x轴距离的2倍时,求点Q的坐标；
(3)抛物线上任意两点,,,求m的取值范围；
(4)点Q与点B之间的部分(不包括Q、B两点)记为图象G.点,点,连接,线段与图象G只有一个公共点时,直接写出m的取值范围.
答案以及解析
1.答案：B
解析：∵每次降价的百分率都是x，
∴两次降价后的价格y(元)与每次降价的百分率x之间的函数关系式是.
故选：B.
2.答案：D
解析：∵抛物线的对称轴是直线,且经过点,
∴抛物线与x轴的另一个交点为,
∵,
∴使函数值成立的x的取值范围是或.
故选：D.
3.答案：B
解析：由二次函数,得它的对称轴为直线,开口向上,
∴图象上的点离对称轴越远则y的值越大,
∵,,,
∴,
∴,
故选：B.
4.答案：A
解析：米，米，
米，米，
设抛物线解析式为
将，代入得
，
解得，
.
故选：A.
5.答案：B
解析：由函数图象知,当时,或,故①正确；
当时,图象有最低点,没有最高点,
∴y有最小值,没有最大值,故②正确；
当时,y随x的增大而减小,故③不正确；
∵函数的图象与原函数的图象只有三个交点,
∴点在函数图象上,则m的值只有3个,故④正确
故选：B
6.答案：D
解析：设二次函数的表达式为：，
将、、代入上式得：，解得：，
则抛物线的表达式为：；
则，
当时，，
故选D.
7.答案：B
解析：过点Q作,垂足为D,
∵为等边三角形,
∴,,,
∴Q为二次函数的顶点,
∵,
∴,
∴,
,
,
将Q,A,B代入解析式得
解得：
故选：B.
8.答案：D
解析：令,则,,
∴两条抛物线交于点,故选项A错误；
∵,,
∴抛物线的对称轴为直线,顶点坐标为,抛物线的对称轴为直线,顶点坐标为,
∴抛物线和关于y轴对称,故选项B错误；
两条抛物线的顶点关于y轴对称,故选项C错误；
抛物线向左平移m个单位得到,故D选项正确；
故选：D.
9.答案：B
解析：∵二次函数的图像过点,,
∴,,
∴,
∵顶点在第四象限,
∴,,
∵,
∴,,
∴,即：,
∴,
∴,
∵,
∴.
故选：B
10.答案：D
解析：设直线的解析式为，
把代入得，
，
直线的解析式为，
联立得，
整理得，
由根与系数的关系得，，
，
，即，
，，
整理得，
解得或（舍去），
，
直线的解析式是，
故选：D.
11.答案：C
解析：连接AO、AB,PB,作于H,于C,如图所示,
当时,,解得,,则,
,则,
∴,
而,
∴,
∴为等边三角形,
∴,
∴,
∵AP垂直平分OB,
∴,
∴,
当H、P、B共线时,PB+PH的值最小,最小值为BC的长,
而,
∴的最小值为3,故C正确.
故选：C.
12.答案：C
解析：①,
,
无论x取何值,总是负数;
故①正确;
②..抛物线与交于点,
当时,,
即,
解得：；
,
可由向右平移3个单位,再向下平移3个单位得到;故②正确；
③
随着x的增大,的值减小;故③错误;
④设与交于点F,
当时,
解得:或,
点,当时,,
解得:或,
当·,
,,
当时,,,
,,
四边形为平行四边形
,
四边形为矩形,
,
四边形为正方形
故④正确.
故选:C.
13.答案：
解析：由图象可知,当时,抛物线位于直线上方,
∴不等式的解集是：,
故答案为：.
14.答案：5
解析：，抛物线的顶点坐标为，将抛物线绕点旋转后的抛物线的顶点坐标为，再向上平移4个单位长度，所得抛物线的顶点坐标为.此顶点恰好落在原抛物线上，，解得.
15.答案：,
解析：∵对称轴是直线,与x轴的两个交点距离为6,
∴抛物线与x轴的两个交点的坐标为,,
设顶点坐标为,
∵顶点与x轴的交点围成的三角形面积等于9,
∴,
∴或,
∴顶点坐标为或,
设函数解析式为或；
把点代入得；
把点代入得；
∴满足上述全部条件的一条抛物线的解析式为或.
故答案为：,.
16.答案：或
解析：函数(k为常数)的“Y函数”图象与x轴只有一个交点,
函数(k为常数)的图象与x轴也只有一个交点,
当k=0时,函数解析为,它的“Y函数”解析式为,它们的图象与x轴只有一个交点,
当时,此函数是二次函数,
它们的图象与x轴都只有一个交点,
它们的顶点分别在x轴上,
,得,
故,解得,
故原函数的解析式为,
故它的“Y函数”解析式为,
故答案为：或.
17.答案：或
解析：令,则,
∴,
∵过点A作x轴的平行线交抛物线于点B,
∴点B纵坐标为,
当时,,
解得：,,
∴,
∴,
∵,
当点C在线段上时,
∴,,
∴,
当点C在线段延长线上时,
∴,,
∴,
∵,
∴,
设直线解析式为,
把代入,得,
解得：,
∴,
把代入,得,
解得：,
把代入,得,
解得：,
综上,a的值为或.
故答案为：或.
18.答案：(1)
(2)
解析：(1)将点代入中,得,
解得,
∴；
(2)当时得,
∴,
设直线AB的解析式为,
,解得,
∴直线AB的解析式为,
设点P的坐标为,由题意可知点C的纵坐标是,代入,则可得点C的坐标为,
因为C在P的右侧,
∴,
因为点P是这个二次函数图像在第二象限内的一点,所以,
∴当时,PC长度的最大值是.
19.答案：(1)
(2)
(3)要想获得最大的利润,则这种许愿瓶的销售单价为元,最大利润为元
解析：(1)设y与x之间的函数关系为,由题意,得
,
解得：,
故y与x之间的函数关系式为：；
(2)由题意,得
,
解得：,由题意,得
,
；
(3)∵,
∴图象对称轴为,
∵,
∴抛物线开口向下,当时,w随x增大而减小,
∴当时,.
20.答案：(1),
(2),,,
(3)5或
解析：(1)直线与x轴、y轴分别交于B、C两点,
,.
(2)将,代入抛物线可得：
,
解得：,
抛物线解析式为,
当时,,
,
解得或,
,
,
,对称轴.
(3)k值存在,
依题得：,
,
,,
代入可得,
,
解得或5.
21.答案：(1)
(2)
(3)面积的最大值是8；点P的坐标为
解析：(1)在抛物线中,
令,则,
∴点C的坐标为,
∴,
∵,
∴,,
∴点A为,点B为,
则把点A、B代入解析式,得
,解得：,
∴；
(2)由题意,∵,点C为,
∴点P的纵坐标为,
令,则,
解得：,,
∴点P的坐标为；
(3)设直线AC的解析式为,则
把点A、C代入,得
,解得：,
∴直线AC的解析式为；
过点P作轴,交AC于点D,如图：
设点P为,则点D为,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴当时,取最大值8；
∴,
∴点P的坐标为.
22.答案：(1),
(2)
解析：(1)长方形中,,为单位长度,点D,E分别是,的中点,
,,,
设抛物线①的解析式为,
把代入,得,
解得,
故抛物线①的解析式为,
抛物线②的解析式为,抛物线②向右平移得抛物线③,
抛物线③的解析式为；
(2)设灯条移动了秒,则点M,N的横坐标为,点P,Q的横坐标为,
,
当时,,
当时,,
,
当时,随t的增大而增大,当时,随t的增大而减小,
当,即灯条运动了时,取最大值,最大值为；
当时,,,
,
当时,,,
当时,,
解得,
即运动时间时,,
的时长为.
23.答案：(1)
(2)或
(3)
(4)或
解析：(1)把代入,得
,
解得：,
∴抛物线对应的函数表达式为.
(2)令,则,
∴,
∴点C到x轴距离为3,
设点,
当点Q到x轴的距离是点C到x轴距离的2倍时,
,
∴或,
把代入,得
,即,
∵,
∴方程无解；
把代入,得
,即,
解得：,,
∴点Q的坐标或.
(3)∵,
∴抛物线的对称轴为直线,
又,
∴抛物线开口向下,在时y随x增大而减小,
∵抛物线上任意两点,,,
当点M、N在对称轴右侧时,
∴,
解得：,
当点M在对称轴左侧,点N在对称轴右侧时,
∴点M到对称轴的距离比点N到对称轴的距离小,
∴
解得：,
综上,当时,抛物线上任意两点,,.
(4)如图,设直线与抛物线交于点G、H,
把代入,得,
解得：,,
∴,,
当点F与点G重合时,如图：
此时,
解得：
当点E与点G重合时,与点Q也重合,如图,
此时,
∴满足条件,；
当点F与点H重合时,如图：
此时,解得：,
当点E与点H重合时,此时与点Q也重合,如图：
此时,
∴满足条件：
综上所述：线段与图象G只有一个公共点时,或.专题十二 二次函数（基础训练）——中考数学一轮复习备考合集
1.若关于x的函数的图象是抛物线,则a的值为( )
A. B. C.1 D.0
2.如图1,发石车是古代一种远程攻击的武器.将发石车置于山坡底部O处,以点O为原点,水平方向为x轴方向,建立如图2所示的平面直角坐标系,将发射出去的石块当作一个点看,其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分,若发射石块在空中飞行的最大高度为15米,则该抛物线的解析式为( )
A. B.
C. D.
3.点,,均在二次函数的图象上,则,,的大小关系是( )
A. B. C. D.
4.将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的新抛物线恰好和抛物线关于y轴对称，则m，n的值分别为( )
A.2， B.4，0 C.6，4 D.3，
5.对于二次函数，当时，函数图象与x轴有且只有一个交点，则a的值不可能为( )
A. B. C. D.
6.已知二次函数的图象如图所示,,是函数图象上的两点,下列结论正确的是( )
A. B.
C.若,则 D.若,则
7.已知在平面直角坐标系中，抛物线(a，k为常数，且)与y轴交点的纵坐标大于2，将抛物线向左平移1个单位长度得到抛物线，若点、均在抛物线上，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
8.如图,二次函数：的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,且对称轴为直线,点B坐标为,则下面的五个结论：
①；②；③当时,或；④；⑤(m为实数),其中正确的结论是( )
A.②③④⑤ B.①③④⑤ C.①②④⑤ D.①②③⑤
9.二次函数的图像与x轴只有一个公共点,则m的值为______.
10.如图,在平面直角坐标系中,点A在抛物线上运动,过点A作轴于点B,以为斜边作,边上的中线的最小值为______.
11.如图是拋物线的部分图象,对称轴为直线,与x轴的交点,且,则关于x的一元二次方程的整数解的和为______.
12.如图,抛物线与x轴正半轴交于点,以为边在x轴上方作正方形,延长交抛物线于点D,再以为边向上作正方形,则a的值______,点E的坐标是____________.
13.小亮创办了一个微店商铺,营销一款小型护眼台灯,成本是20元/盏,在“双十一”前20天进行了网上销售后发现,该台灯的日销售量p(盏)与时间x(天)之间满足一次函数关系,且第1天销售了78盏,第2天销售了76盏.护眼台灯的销售价格y(元/盏)与时间x(天)之间符合函数关系式(,且x为整数)
(1)求日销售量p(盏)与时间x(天)之间的函数关系式：
(2)在这20天中,哪天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？
(3)“双十一”当天,小亮采用如下促销方式：销售价格比前20天中最高日销售价格降低a元,日销售量比前20天最高日销售量提高了盏,日销售利润比前20天中的最大日销售利润多了90元,求a的值.【注：销售利润(售价成本价)销售量】
14.在平面直角坐标系中,二次函数的图象与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),C,D两点的坐标分别为,.
(1)求A,B两点的坐标；
(2)若二次函数的图象经过点C,且与平行于x轴的直线l始终有两个交点M,N(点M在点N的左侧),P为该抛物线上异于M,N的一点,点N,P的横坐标分别为n,.当n的值发生变化时,的度数是否也发生变化？若变化,请求出度数的范围；若不变,请说明理由；
(3)若二次函数的图象与线段CD只有一个交点,求a的取值范围.
答案以及解析
1.答案：A
解析：∵关于x的函数的图象是抛物线,
∴,,
∴.
故选A.
2.答案：A
解析：发射石块在空中飞行的最大高度为15米,
抛物线解析式为：,
将点代入,得,
解得：,
抛物线解析式为,,
故选A.
3.答案：D
解析：∵,
∴对称轴为,,在对称轴的右侧,y随x的增大而减小,
∵,
∴,
根据二次函数图象的对称性可知,与关于对称轴对称,
故,
故选：D.
4.答案：C
解析：将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的新抛物线的解析式为.得到的新抛物线恰好和抛物线关于y轴对称，得到的新抛物线的解析式为，解得
5.答案：C
解析：令，即，解得，.二次函数的图象与x轴的交点坐标为和.当时，函数图象与x轴有且只有一个交点，或，解得或.a的值不可能为.
6.答案：D
解析：A、由函数图象可知,二次函数与x轴有两个不相同的交点,则,原结论错误,不符合题意；
B、∵当时,,
∴,原结论错误,不符合题意；
C、∵并不确定的位置,
∴由不能得到,原结论错误,不符合题意；
D、∵对称轴为直线,
∴若,则,原结论正确,符合题意；
故选：D.
7.答案：B
解析：在中，当时，，
∴抛物线与y轴交点的坐标为，
∵抛物线(a，k为常数，且)与y轴交点的纵坐标大于2，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴将抛物线向左平移1个单位长度得到抛物线，则抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴抛物线中，离对称轴越远函数值越大，
∵，
∴，
∴
根据现有条件无法判断，
故选：B.
8.答案：D
解析：∵抛物线的开口向下,
∴,
∵对称轴为,
∴,
∵抛物线与y轴交于正半轴,
∴,
∴,故①正确；
∵对称轴为,
∴与的函数值相等,即：,故②正确；
∵点关于的对称点为,
∴当时,或；故③正确；
∵图象过点,,
∴,
∴；故④错误；
∵抛物线的开口向下,
∴当时,函数值最大,
即：,
∴；故⑤正确；
综上,正确的结论是①②③⑤；
故选：D.
9.答案：/0.25
解析：∵二次函数的图象与x轴只有一个公共点,
∴,
解得.
故答案为：.
10.答案：1
解析：∵,
∴抛物线顶点坐标为,
∴当A在抛物线顶点时,最小,最小值为2,
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,
∴,边上的中线的最小值为,
故答案为：1.
11.答案：
解析：∵抛物线的对称轴为直线,与x轴的交点,且,
∴另一个交点的坐标为,且,
将抛物线向左平移个单位得,则抛物线与x轴的交点在与和与之间,
∴关于x的一元二次方程的整数解为,,
∴整数解的和为,
故答案为：.
12.答案：；
解析：把点代入抛物线,
解得；
∵四边形OABC为正方形,
∴点C的坐标为,点D的纵坐标为3,
代入,得
解得,(不合题意,舍去),
因此正方形BDEF的边长BD为,
所以,
由此可以得出点E的坐标为,
故答案为：,.
13.答案：(1)
(2)第10日销售利润最大,最大日销售利润是450元
(3)5
解析：(1)设日销售量p(盏)与时间(天)之间的函数关系式为,
把,代入得：,
解得：,
即日销售量p(盏)与时间x(天)之间的函数关系式为；
(2)设日销售利润为w元,
；
,,且x为整数,
当时,w取得最大值,最大值是450；
在这20天中,第10日销售利润最大,最大日销售利润是450元；
(3)当天售价为元,销售量为盏,
根据题意得：,
即,
解得：或(舍去),
a的值为5.
14.答案：(1),
(2)的度数不发生变化,理由见解析
(3)或或
解析：(1),
令,则,
解得：,,
点A在点B的左侧,,；
(2)将代入,得：,
解得：,
二次函数的解析式为：,
点N,P的横坐标分别为n,,,
,
的度数不发生变化；
(3),
二次函数的图象关于对称,
当时,函数图象开口向上,
则,
解得：；
当时,函数图象开口向下,
①二次函数顶点在线段上时：,
解得：；
②二次函数顶点不在线段上时：
,
解得：,
综上,a的取值范围为：或或.专题十二 二次函数（拔高训练）——中考数学一轮复习备考合集
1.用一个圆心角为（n为常数，）的扇形作圆锥的侧面，记扇形的半径为R，所作的圆锥的底面圆的周长为l，侧面积为S，当R在一定范围内变化时，l与S都随R的变化而变化，则l与R，S与R满足的函数关系分别是( )
A.一次函数关系，一次函数关系 B.二次函数关系，二次函数关系
C.一次函数关系，二次函数关系 D.二次函数关系，一次函数关系
2.学校组织学生去绍兴进行研学实践活动,小王同学发现在宾馆房间的洗手盘台面上有一瓶洗手液(如图①).于是好奇的小王同学进行了实地测量研究.当小王用一定的力按住顶部A下压如图②位置时,洗手液从喷口B流出,路线近似呈抛物线状,且喷口B为该抛物线的顶点.洗手液瓶子的截面图下面部分是矩形.小王同学测得∶洗手液瓶子的底面直径,喷嘴位置点距台面的距离为,且B,D,H三点共线.小王在距离台面处接洗手液时,手心Q到直线的水平距离为,若小王不去接,则洗手液落在台面的位置距的水平面是( )
A. B. C. D.
3.已知点,,在同一个函数图象上,则这个函数图象可能是( )
A. B.
C. D.
4.定义：在平面直角坐标系中,若点P的横坐标与纵坐标的和为零,则称点P为“零和点”.已知二次函数的图象上有2个“零和点”,且都在第二象限,则二次函数的图象不经过( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
5.在“探索二次函数的系数a,b,c与图象的关系”活动中,老师给出了坐标系中的四个点：,,,.同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的二次函数图象,并得到对应的函数表达式,则的最大值等于( )
A.1 B. C.2 D.3
6.已知抛物线在自变量x的值满足时,与其对应的函数值y的最小值为,求此时t的值为( )
A.1或 B.2或 C.3或 D.或
7.将抛物线位于y轴左侧的部分沿x轴翻折,其余部分不变,翻折得到的图象和原来不变的部分构成一个新图象,若直线与新图象有且只有2个公共点,则t的取值范围是( )
A. B.
C.或 D.或
8.如图,抛物线(a,b,c是常数,)的顶点在第四象限,对称轴是直线,过一、二、四象限的直线(k是常数)与抛物线交于x轴上一点,则下列结论正确的有( )个.
①,②方程的根是,,
③(m为任意实数),④当抛物线与直线的另一个交点也在坐标轴上时,则,⑤m为任意实数,则有.
A.2 B.3 C.4 D.5
9.将抛物线向下平移5个单位长度后，经过点，则______.
10.如图，小明在一次高尔夫球训练中，从山坡下点P处打出一球向球洞口A飞去，球的飞行路线为抛物线，若不考虑空气阻力，当球到达最高点B（最大高度）时，球移动的水平距离.已知，洞口A离点P的水平距离，则小明打出的这一杆球飞到洞口A的正上方时，离洞口A的距离___________m.
11.如图,已知抛物线的对称轴为直线,过其顶点M的一条直线与该抛物线的另一个交点为.若在y轴上存在一点P,使得最小,则点P的坐标为______.
12.如图,点A的坐标为,点B的坐标为,连接.若将绕点A逆时针旋转90°得到,点恰为抛物线的顶点,此抛物线与x轴相交于C,D两点,则线段的长为______.
13.如图,某跳水运动员在10米跳台上进行跳水训练,水面边缘点E的坐标为,运动员(将运动员看成一点)在空中运动的路线是经过原点O的抛物线.在跳某个规定动作时,运动员在空中最高处A点的坐标为,正常情况下,运动员在距水面高度5米之前,必须完成规定的翻腾、打开动作,并调整好入水姿势,否则就会失误,运动员入水后,运动路线为另一条抛物线.
(1)求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式,并求出入水处点B的坐标.
(2)若运动员在空中调整好入水姿势时,恰好距点E的水平距离为4米,问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由.
(3)在该运动员入水点的正前方有M,N两点,且,,该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为,若该运动员出水点D在MN之间(包括M,N两点),则k的取值范围是______.
14.如图,抛物线L：与x轴交于A,两点,与y轴交于点C.
(1)写出抛物线的对称轴,并求a的值；
(2)平行于x轴的直线l交抛物线L于点M,N(点M在点N的左边),交线段于点R.当R为线段的中点时,求点N的坐标；
(3)将线段先向左平移1个单位长度,再向上平移5个单位长度,得到线段.若抛物线L平移后与线段有两个交点,且这两个交点恰好将线段三等分,求抛物线L平移的最短路程；
(4)P是抛物线L上任意一点(不与点C重合),点P的横坐标为m.过点P作轴于点Q,E为y轴上的一点,纵坐标为.以,为邻边构造矩形,当抛物线L在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时,直接写出m的取值范围.
答案以及解析
1.答案：C
解析：圆锥的底面圆的周长为l，即扇形的弧长；
圆锥的侧面积S，即扇形的面积，
所以l是R的一次函数，S是R的二次函数，
故选：C.
2.答案：B
解析：根据题意：所在直线为x轴,的垂直平分线所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系,喷口B为抛物线顶点,共线的三点B,D,H所在直线为抛物线的对称轴,
根据题意,,,,
设抛物线解析式为,
将Q点坐标代入解析式得,,
解得：,
所以抛物线解析式为：,
当时,即,
解得：,或(舍去),
所以洗手液落在台面的位置距的水平距离是.
故选：B.
3.答案：A
解析：∵点,,
∴点N,P关于直线对称,
∴选项C,D错误.
∵点,在函数图象上,
且时,,
∴y随x的增大而减小,
∴选项B错误,选项A正确.
故选：A.
4.答案：C
解析：∵点P的横坐标与纵坐标的和为零,则称点P为“零和点”
∴点P在函数的图象上
∵二次函数的图象上有2个“零和点”,且都在第二象限,
∴次函数的图象与函数的图象有2个交点,且都在第二象限,且与y轴交于正半轴,
∴二次函数的对称轴,,
∵
∴
∴二次函数的对称轴为
∴二次函数的图象开口向上,对称轴在y轴右边,与y轴交于正半轴,
∴二次函数的图象经过第一,二,四象限,不经过第三象限.
故选：C.
5.答案：C
解析：∵A、B、C的纵坐标相同,
∴抛物线不会同时经过A、B、C三点,
∴抛物线可能经过A、D、C或者B、D、C或者A、B、D,
如图,经过A、D、C三点的抛物线,当时,y的值最大,
把,,代入,得,
解得,
∴经过A、D、C三点的抛物线的解析式为,
当时,,
故的最大值等于2,
6.答案：B
解析：∵,
∴抛物线的开口向下,对称轴为直线,
∴抛物线的上的点离对称轴越远,函数值越小,
∵时,与其对应的函数值y的最小值为,分两种情况：
①当时,即：时,
当时,,解得：(舍去)或；
②当时,即：时,
当时,,解得：(舍去)或；
综上：t的值为2或；
故选B.
7.答案：C
解析：∵二次函数解析式为：,
∴抛物线的顶点坐标为,
如图：按要求折叠后,新图象的顶点坐标为,
当直线过点时,即,直线与新图象有且只有2个公共点,此时直线；
直线向上移动过程中,与新图象一直有两个公共点,直到过点时有三个公共点,即；
抛物线左侧部分的函数解析式为：
,
当直线与y轴左侧相切时,与新图象有一个公共点,
∴仅有一个解,
∴的,
∴,
解得：.
综上,当或时,直线与新图象有且只有2个公共点.
故选：C.
8.答案：B
解析：直线(k是常数)的图象过一、二、四象限,
∴,
∵抛物线的开口向上,
∴,
∵抛物线与y轴的正半轴相交,
∴,
又抛物线的对称轴为,
∴,
∴,故①正确；
,
令得,
∴直线与x轴交点为,
∴抛物线与也交于,
∵抛物线的对称轴为,
∴抛物线与x轴的另一个交点为,
∴方程的两根为,,故②正确；
∴,,
∴,,
根据题意知,当时,直线与抛物线的y值相等,
∴,
∴,
由②得,
∴,故④正确；
当时,抛物线取得最小值,最小值为：
当时,代入得,
两边同时加上a得,
∴,
∵,,
∴
∴,故⑤不正确,
当时,,
当时,,
∵,
则与在抛物线上关于对称轴直线对称,
∴,
即,故③不正确,
∴正确的结论有3个,
故选：B.
9.答案：2
解析：抛物线向下平移5个单位长度后得到，
把点代入得到，，
得到，
，
故答案为：2.
10.答案：
解析：如图，以点P为坐标原点建立平面直角坐标系.在中，，，.由题意可知，点B的坐标为，设抛物线的解析式为.将代入，得，解得.抛物线的解析式为.当时，，，.
11.答案：
解析：如图,
作N点关于y轴的对称点,
连接交y轴于P点,
将N点坐标代入抛物线,并联立对称轴,得
,
解得,
,
.
N点关于y轴的对称点,
设的解析式为,
将M、代入函数解析式,得
,
解得,
的解析式为,
当时,,即.
故选：B.
12.答案：2
解析：如图,作轴于点E,轴于点F,
∵绕点A逆时针旋转90°得到,
∴,,
∴四边形和四边形是矩形,
∴,
∴,
∴点的坐标为,
∴抛物线,
∴当时,,即,
解得,,
∴,,
∴.
故答案为：2.
13.答案：(1)；
(2)不会失误,见解析
(3)
解析：(1)设抛物线的解析式为,
将代入解析式,得,
空中运动时对应抛物线的解析式为,
令,则,
解得(舍去),,
的坐标为；
(2)当距点E水平距离为4米时,对应的横坐标为.
将代入中,得.
,
该运动员此次跳水不会失误；
(3)由题意知,当抛物线经过点M时,k最大.
∵,
∴.
∵,
∴,
此时抛物线解析式为,
将点代入得,
解得,
由题意知,当经过点N时,k最小.
同理可求得,
∴.
14.答案：(1),
(2)
(3)
(4)或
解析：(1)∵抛物线L：与x轴交于A,两点,
∴对称轴为直线,,
∴；
(2)由(1)知,,
当时,,
∴,
∵,
∴设直线的解析式为,把代入,得：,
∴,
∵平行于x轴的直线l交抛物线L于点M,N,
∴M,N关于直线对称,
∵R为线段的中点,
∴R的横坐标为,
把代入,得：,
∴,
∵轴,
∴,
把代入,得：,
解得：或,
∵点N在点M的右侧,
∴点N的横坐标为；
(3)∵,,
∴将线段先向左平移1个单位长度,再向上平移5个单位长度可得,,
∴线段的两个三等分点坐标为,,
设平移后的抛物线解析式为,
∵抛物线平移后与线段有两个交点,且这两个交点恰好将线段三等分,
∴,
解得,
∴平移后的抛物线解析式为,其顶点为,
而抛物线的顶点为,
∴平移前,后抛物线的顶点之间的距离为,
∴抛物线平移的最短路程为；
(4)∵轴,
∴,
当时,Q点在E点上方,
∵,
∴,解得,
∵,
∴；
当时,E点在Q点上方,
∴,
解得：或,
∵,
∴,
综上所述：m的取值范围是或.
