人教版数学八年级下册第一次月考复习卷（含解析）

第一次月考复习卷
选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．下列计算错误的是（ ）
A． B． C． D．
2．如果二次根式有意义，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，是斜边的高，则（ ）

A．3 B． C． D．5
4．在中，，，的对边分别是 a、b、c．下列条件中，可以判定为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知实数，在数轴上的对应点如图，则化简得（　　）
A． B． C． D．
6．如图，是的高，分别以线段为边向外作正方形，其中3个正方形的面积如图所示，则第四个正方形的面积为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．如图，在中，，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点，再分别以为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点．已知，则的长为（ ）
A．1 B． C． D．
8．将两个直角三角形摆放如图，其中，则长为（ ）
A． B． C． D．
9．正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形，点O是正六边形的中心，则的长为（ ）
A．12 B． C． D．
10．如图，中，，，点P是内一点，，若，则的值为（ ）
A．5 B．4 C． D．
二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）
11．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
12．若实数m满足，则m的取值范围是 ．
13．已知的整数部分是a，小数部分是b，则 ， ．
14．，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为，当为直角三角形时，t的值为 ．
15．如图，高速公路的同一侧有A，B两城镇，它们到高速公路所在直线的距离分别为，，．要在高速公路上C，D之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最小，则这个最短距离为 ．

16．如图，在中，，，．点D为外一点，满足，，则的面积是 ．
17．问题探究：因为，所以，因为，所以请你根据以上规律，结合你的经验化简下列各式： ．
18．如图，折叠边长为的正方形纸片，折痕是，点C落在点E处，分别延长、交于点F、G．若点M是边的中点，则 ．
三、解答题（8小题，共64分）
19．计算∶
(1)； (2)．
20．已知其中，化简求值．
21．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，已知点，点均为格点．按下列要求作图，使得每个图形的顶点均在格点上．
(1)请在图①中，画出以为边的正方形；
(2)请在图②中，画出以为底的等腰，且的面积为_____．
22．如图，，，，垂足分别为D，E，，．
(1)求的度数；
(2)求线段的长度．
23．森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且点C与直线上两点 A，B的距离分别为和，又，飞机中心周围以内可以受到洒水影响．
(1)着火点C 受洒水影响吗？为什么？
(2)若飞机的速度为，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？
24．
在中，，
(1)如图①，为边上一点，连接，以为边作，，，连接．求证：，
(2)如图②，为外一点．若，，．则的长为______．
25．【阅读材料】小明在兴趣小组学习了“基本不等式”的相关知识．整理如下：对于正数a、b，有，所以，即（当且仅当时取到等号）．特别地，（当且仅当时取到等号）．因此，当时，有最小值2，此时．
【简单应用】小明完成了大部分老师布置的作业，但还有两题不会，请你帮一帮他．
（1）函数的最大值为________．
（2）求函数的最小值，并写出取最小值时x的值．
【猜想提升】小明由上述的提出猜想：（当且仅当时取到等号）．
通过查阅资料，他惊奇地发现这个猜想是正确的，请你利用小明这个猜想解答下面的问题．
（3）设a，b，c是非负实数，求的最小值．
26．如图，点 ，分别是边长为 的等边边 ，上的动点，点从顶点沿向点运动，点同时从顶点沿向点运动，它们的速度都为 ，当到达终点时停止运动，设它们的运动时间为 秒，连接 ，交于点 ．
(1)如图甲，求证：；
(2)如图乙，连接，若 ，探究与之间的数量关系，并证明；
(3)如图丙，在点，运动的过程中，是否存在以点，，C为顶点的三角形是直角三角形的情况，若存在，请直接写出对应的运动时间 的值；若不存在，请说明理由．
答案
一、选择题
1．B
【分析】此题考查了二次根式的运算，关键是能准确运用该计算法则进行计算．运用二次根式的运算法则进行逐一计算即可求解．
【详解】解：A、，此选项不符合题意；
B、，此选项符合题意；
C、，此选项不符合题意；
D、，此选项不符合题意．
故选：B．
2．A
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数大于等于零及分母不为零得到，进而求解即可，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．
【详解】解：由题意得，
解得：，
故选：A．
3．C
【分析】本题考查等积法求线段的长与勾股定理．先由勾股定理计算出，再根据等面积法求解即可，掌握等积法，是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵是斜边的高，
∴，
∴，
∴；
故选C．
4．A
【分析】此题主要考查了直角三角形的判定方法，只有三角形的三边长构成勾股数或三内角中有一个是直角的情况下，才能判定三角形是直角三角形．直角三角形的判定方法，大约有以下几种：
①勾股定理的逆定理，即三角形三边符合勾股定理；②三个内角中有一个是直角，或两个内角的度数和等于第三个内角的度数；根据两种情况进行判断即可．
【详解】解：A、，符合勾股定理的逆定理，能够判断是直角三角形，符合题意；
B、由得，得出，不符合勾股定理的逆定理，不能够判断是直角三角形，不符合题意；
C、，此时，不能够判断是直角三角形，不符合题意；
D、，那么、、，不是直角三角形，不符合题意．
故选：A
5．A
【分析】本题考查了数轴，二次根式的性质与化简，利用数轴上点的位置确定，，a的符号是解题的关键．
利用数轴上点的位置确定，，a的符号，再利用二次根式的性质解答即可．
【详解】解：根据数轴可得，，，，
∴，，
∴原式
．
故选：A．
6．B
【分析】本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．利用勾股定理即可求解．
【详解】解∶根据勾股定理可得：
，
故选：B．
7．C
【分析】根据题意得出，过点E做交于点D，得出 ，再由角平分线及全等三角形的判定证明，得，，设，结合勾股定理性质，通过列方程并求解，即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴
如图，过点E做交于点D，
∴ ，
∴ ，
根据题意得：为的平分线，即，
又∵，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，即
∴
故选：C．
8．B
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质；过点作于点，证明得出，在中，根据勾股定理建立方程，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，
∵
∴
∵，
∴
在和中，
∴
∴
∴
在中，根据勾股定理可得，
∴
解得：（负值舍去）
故选：B．
9．C
【分析】本题根据正多边形性质得到，，利用等腰三角形性质和三角形内角和求得，作于点，利用等腰三角形性质得到，根据30度所对直角边等于斜边一半求得，再利用勾股定理求得，即可解题．
【详解】解：由题知，，
，
，
作于点，
，，
，
，
，
故选：C．
10．D
【分析】本题考查等腰直角三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，过点作，交延长线于，连接，由题意可知，证明，可知为等腰直角三角形，易得，再证，则，，可证，易知为等腰直角三角形，得，，即可求解．添加辅助线构造全等三角形和等腰直角三角形是解决问题的关键．
【详解】解：过点作，交延长线于，连接，
∵，，
∴，
设，
则，，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
∴，则，
∵，
∴，
∴，
则，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
故选：D．
二、填空题
11．
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于．先根据二次根式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
【详解】解：式子在实数范围内有意义，
，
解得．
故答案为：．
12．m≤1
【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质即可求出m的取值范围．理解是解决问题的关键．
【详解】解：由题意可知：，
解得：m≤1，
故答案为：m≤1．
13．
【分析】本题考查了有理数的估算，二次根式的乘法；
根据无理数的估算方法得出，，然后再进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：，．
14．4或
【分析】本题主要考查了勾股定理，先由勾股定理求出，当点P与点C重合时，，则，可得；当时，，则，由勾股定理得到，则，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴
当点P与点C重合时，，即此时是直角三角形，
∴，
∴；
当时，由题意得，，则，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得
∴，
∴，
解得，
综上所述，t的值为4或，
故答案为：4或．
15．解：如图所示：作A点关于直线的对称点，再连接，交直线于点P，

则此时最小，过点B作交延长线于点E，
∵，，．
∴，，
∴，，
在中，
，
则的最小值为．
故答案为：．
16．
【分析】过点A作，交的延长线于点E，从而可得，在中，利用含的直角三角形的性质及勾股定理可得，然后利用证明，从而可得，，再利用三角形的外角性质可得，从而可得是等腰直角三角形，进而可得，最后利用线段的和差关系可得，从而利用三角形的面积公式进行计算，即可解答．
【详解】解：过点A作，交的延长线于点E，
∴．
∵，，，
∴，
∴．
∵，，，
∴，
∴，．
∵是的一个外角，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
故答案为： ．
17．
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简的方法，关键是把复合二次根式的被开方数配成完全平方式．观察式子可知：，，故可看作平方的结果．
【详解】解：，
．
故答案为：
18．
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键；根据折叠的性质可得，，连接，设，由勾股定理求出x的值，得出，连接，证明，设，再结合勾股定理可得答案．
【详解】解：连接如图，
∵四边形是正方形，
∴，
∵点M为的中点，
∴，
由折叠得，∠，
∴∠， ，
∵，，
∴，
∴，
设则有，
∴，
又在中，，
解得，，
∴，，
连接，
同理可得：，
∴设，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题
19．（1）解：
．
（2）解：
．
20．
，
，
原式
21．（1）如图，正方形即为所求；
（2）如图，等腰即为所求；
，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴的面积为
22．（1）∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴
（2）∵，，.
∴，
∵，
∴，
∴．
23．（1）着火点C受洒水影响，理由如下，
如图，过点C作，垂足为D，
∵，，，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
所以，
∵，
∴着火点C受洒水影响．
（2）如图，以点C为圆心，为半径作圆，交于点E，F．
则，
∵，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∵，
∴着火点C能被扑灭．
24．（1）证明：∵
即
在和
∴
即；
（2）解：如图所示，以为边作，，，
同（1）可得，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴
在中，
∴
∴，
故答案为：．
25．解：（1）∵，
∴，
∴y有最大值；
（2）∵，
∴，
∴y有最小值；
（3）∵，
∵a，b，c是非负实数，
∴，
∴，
∴的最小值为2，
∴的最小值为2．
26．（1）解：∵点从顶点沿向点运动，点同时从顶点沿向点运动，它们的速度都为 ，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
在与中，
，
∴；
（2）解：，理由如下，
如图在上截取，
∵，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（3）解：存在或，理由如下，
由题意可得，
∵，，
∴，
∵以点，，C为顶点的三角形是直角三角形，
当时，
∵，
∴，
，
即，
解得：，
当，
∵，
∴，
，
即：，
解得：，
综上所述：或．