人教版数学八年级下册第一次月考检测卷（含解析）

第一次月考检测卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．）
1．下列各组数中为勾股数的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
2．下列根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．若的三边长分别是a，b，c，则下列条件：①；②；③；④中不能判定是直角三角形的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．化简：的结果为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知线段长为2，过点B作，使；连接，以点C为圆心，长为半径作弧，交线段于点D，再以点A为圆心，长为半径作弧，交线段于点E，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”，观察下列勾股数：，，；，，；，，；这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差的一类勾股数，如：，，；，，；若此类勾股数的勾为（，为正整数），则弦是（结果用含的式子表示）（ ）
A． B． C． D．
9．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了下面的公式：如果一个三角形的三边长分别为，则该三角形的面积为．已知的三边长分别为，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，以的各边为边作三个正方形，点落在上，若，空白部分面积为10，则的长为（ ）
A． B． C． D．
第II卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．比较大小： ．（用、或连接）
12．若最简二次根式与是同类二次根式，则的值是 ．
13．如图所示，的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则BD的长为 ．

14．定义一种运算：对于任意实数，都有，则 ．
15．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图所示的“垂美”四边形的对角线，交于点，若，，则 ．

16．如图，在直角三角形中，，点D是边上的一点（不与B、C重合），连接，将沿折叠，使点C落在点E处，当是直角三角形时，的长为 ．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25每题10分，共72分）
17．(6分)计算:
(1) (2)
18．(6分)如图，每个小正方形的边长为1．
(1)求四边形的面积和各边边长．
(2)是直角吗？说明理由．
19．(6分)实数，在数轴上的位置如图所示．

(1)化简：__________，__________．
(2)先化简再求值：，其中是的一个平方根，是3的算术平方根．
20．(8分)定义：已知都是实数，若，则称与是关于3的“实验数”．
(1)4与是______关于3的“实验数”，与______是关于3的“实验数”．
(2)若，判断与是否是关于3的“实验数”，并说明理由．
21．(8分)如图，在一条笔直的东西方向的公路上有A、B两地，相距500米，且离公路不远处有一块山地C需要开发，已知C与A地的距离为300米，与B地的距离为400米，在施工过程中需要实施爆破，为了安全起见，爆破点C周围半径260米范围内不得进入．
(1)山地C距离公路的垂直距离为多少米？
(2)在进行爆破时， A、B两地之间的公路是否有危险需要暂时封锁？若需要封锁，请求出需要封锁的公路长．
22．(9分)先观察下列等式．再回答问题：
①，
②，
③，
(1)请按照上面各等式反映的规律，试写出用n的式子表示的等式： ．
(2) ．
23．(9分)【材料阅读】我国古人对勾股定理的研究非常深邃．如图1，已知直角三角形三边长为a，b，c（c为斜边），由勾股定理：，得，则，得到：．
从而得到了勾股定理的推论：己知直角三角形三边长为a，b，c（c为斜边），则
【问题解决】如图2，已知的三边长分别为，如何计算的面积？据记载，古人是这样计算的：作边上的高．以的长为斜边和直角边作（如图3），其中．
(1)用古人的方法计算的值，完成下面的填空：
=[（__________）（__________）]-[（__________）-（__________）]
=__________
(2)试直接利用阅读材料中勾股定理的推论继续完成面积的计算过程；
(3)你还有其他计算的面积的方法吗？写出解答过程．
24．(10分)[阅读材料]把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化．通常把分子、分母同时乘以同一个不等于0的数，以达到化去分母中根号的目的．
例如：化简．解：．
[理解应用]
(1)化简：；
(2)若是的小数部分，化简
(3)化简：
25．(10分)如图，已知在中，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒个单位的速度向右运动，设点的运动时间为，连接．
(1)当秒时，求的面积；
(2)若平分，求的值；
(3)过点作于点．在点的运动过程中，当为何值时，能使？
答案
一、选择题
1．D
【分析】本题考查了勾股数，勾股定理，解题的关键是掌握：“满足的三个正整数、、称为勾股数，勾股数即三角形的三边长是满足勾股定理的逆定理，且三边长都是正整数的一组数”．根据勾股数的定义求解即可．
【详解】解：A、，，，不是勾股数，不符合题意；
B、，，，不是勾股数，不符合题意；
C、、、，不是正整数，，，不是勾股数，不符合题意；
D、，，，是勾股数，符合题意．
故选：D．
2．D
【分析】根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答；
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
【详解】A、，故不符合题意，
B、，故不符合题意，
C、，故不符合题意，
D、属于最简二次根式，故符合题意；
故选：D．
3．D
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数大于等于零得出，求解即可，熟练掌握二次根式有意义的条件是解此题的关键．
【详解】解：二次根式在实数范围内有意义，
，
解得：，
故选：D．
4．D
【分析】本题考查二次根式的加减法和乘除法，根据二次根式的加法运算法则，二次根式减法运算法则，二次根式的除法运算法则，二次根式的乘法运算法则对每一项判断即可解答．
【详解】解：∵，∴错误，故A项不符合题意；
∵不属于同类项，无法合并，∴错误，故B项不符合题意；
∵，∴错误，故C项不符合题意；
∵，∴正确，故D项符合题意；
故选D．
5．A
【分析】本题考查了三角形的分类，三角形内角和定理，及勾股定理逆定理．如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．根据三角形的分类，三角形内角和定理，及勾股定理逆定理解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴为直角三角形，
故①不符合题意；
∵，
设，则，
∴，
∴为直角三角形，
故②不符合题意；
∵，
设，则、，
∴，
∴，
∴，，，
∴不是直角三角形，
故③符合题意；
∵，
∴，
∴为直角三角形，
故④不符合题意，
故选A．
6．D
【分析】本题主要考查了利用二次根式的性质化简，熟知二次根式的性质是解题的关键．
【详解】解：由题意，得：，
．
故选：D．
7．B
【分析】本题考查了勾股定理，根据垂直定义可得，再根据已知易得，然后在中，利用勾股定理可得，再根据题意可得：，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
由题意得：，
∴，
故选：B．
8．A
【分析】本题考查勾股数，勾股定理，根据题意得为偶数，设其股是，则弦为，根据勾股定理列方程即可得到结论．解题的关键是熟练掌握勾股定理．
【详解】解：∵为正整数，
∴为偶数，设其股是，
∴弦为，
根据勾股定理得：，
解得：，
∴弦是：．
故选：A．
9．C
【分析】本题考查了二次根式的应用，根据三角形的面积公式可求得结果，准确化简二次根式是解题的关键．
【详解】解：∵的三边长分别为，
∴，
故选：C．
10．A
【分析】本题考查勾股定理，正方形的性质，完全平方公式，关键是由 ，得到四边形的面积的面积．
【详解】解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，，
，
的面积的面积，
四边形的面积的面积，
空白部分的面积正方形的面积的面积，
①，
，
，
，
，
②，
由①和②得，
（舍去负值）．
故选：A．
二、填空题
11．
【分析】本题考查二次根式 的大小比较，熟练掌握二次根式的大小比较的方法是解答的关键．将根号外的正因数平方后移到根号内，计算出被开方数，再比较被开方数的大小，即可得到答案．
【详解】解：，，且，
，即，
故答案为：．
12．8
【分析】本题考查的是同类二次根式的含义，掌握“利用同类二次根式的定义求解字母参数的值”是解本题的关键．由同类二次根式的定义可得，再解方程即可．
【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式，
∴，
解得：．
故答案为：8．
13．3
【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．根据题意求出的面积，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】解：由图形可知，，边上的高为3，
的面积，
由勾股定理得，，
则，
解得，，
故答案为：3
14．
【分析】本题考查了新定义运算，根据新定义运算计算即可求解，理解新定义运算是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
15．41
【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理在实际问题中的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键．在和中，根据勾股定理得，，进一步得，再根据，可求得的值．
【详解】解：，
，
在和中，根据勾股定理得，
，，
，
，，
．
故答案为：41．
16．或
【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是根据勾股定理得到，根据已知条件得到当是直角三角形时，或，①当时，则，根据折叠的性质得到，于是得到，②当时，根据折叠的性质得到，，，推出点在上，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：在中，，，
，
，
，
点是边上的一点，
，
当是直角三角形时，或，
①当时，则，
将沿折叠，使点落在点处，
，
，
②当时，
将沿折叠，使点落在点处，
，，，
，
点在上，如图，
，，，
，
，
，
，
综上所述，的长为 6或，
故答案为：6或．
三、解答题
17．（1）原式
（2）原式
18．（1）解：由题意可得，
，，，，
综上所述：，，，，
由图形可得，
；
（2）解：是直角，理由如下，
由勾股定理得，
，
∵，
∴是直角．
19．（1）解：由数轴得：，，
，，
故答案为：；．
（2）由图可知：，，
∴，，
∴．
∵是的一个平方根，是3的算术平方根，，
∴，，
∴．
20．（1）解：，
所以与是关于的“实验数”，
，
所以与是关于的“实验数”
故依次填：，；
（2）解：与是关于的“实验数”．理由如下：
∵，
∴
∴与是关于的“实验数”．
21．（1）解：由题意得
，，，
如图，过作，
，
，
是直角三角形，且，
，
，
解得：，
答：山地C距离公路的垂直距离为；
（2）解：公路有危险需要暂时封锁，理由如下：
如图，以点为圆心，为半径画弧，交于点E、F，连接，，
则，
，
，
由（1）可知，，
，
有危险需要暂时封锁，
在中，
，
，
即需要封锁的公路长为．
22．（1）∵①，
②，
③，
∴第n个等式为：．
故答案为：；
（2）
．
故答案为：．
23．（1）
故答案为：；
（2）在中，
由勾股定理的推论，可知：．
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴；
（3）如图2，设，
由勾股定理，得，
，
解得，
，
∴，
∴．
24．（1）解：（1）
；
（2）∵a是的小数部分，且，
∴，
∴；
（3）
．
25．（1）解：由题意可得，，
∵，，
∴，
∴，
∴当秒时，求的面积为；
（2）解：当线段恰好平分时，作于，如图，
∵线段平分，， ，
∴，，
又∵，
∴，
∴，，
∵ ，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴，
解得；
（3）解：点在线段上时，过点作于，连接，如图，
则，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
解得；
点在线段的延长线上时，过点作于，如图，
同得 ，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
解得；
综上所述，在点的运动过程中，当的值为或时，能使．