新湘教版初中数学七年级下册
《垂线段》教学设计
【教学目标】
1.掌握点到直线的距离的有关概念，会作出直线外一点到一条直线的垂线，理解垂线段最短的性质。
2.经过观察、分析、抽象、概括、画图等数学活动过程，进一步发展思维能力。
3.体会数学的应用价值。
【教学重点】
点到直线的距离的概念及垂线段最短的性质。
【教学难点】
垂线段最短的性质及从直线外一点作直线的垂线的画法。
【教学方法】
观察法、实验操作法、练习法，演示法、合作交流法、分析法，归纳法，讲授法。
【教学过程】
〖温故知新〗
1. 垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足
2.垂线的性质
①在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行
②在同一平面内，如果一直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线必垂直于另一条直线.
【设计意图】
复习垂线及垂线的性质，为学习垂线段打下基础。
〖新知探究1〗
1.提问：（1）画已知直线 l 的垂线，这样的垂线能画出几条？
答：画已知直线 l 的垂线，这样的垂线能画出无数条。
2.提问：（2） 经过直线 l 上一点 P 画 l 的垂线 a，这样的垂线能画几条？
答：过直线上一点 P 画直线的垂线，能且只能画一条。
3.提问：（3）经过直线l 外的一点 P 画l 的垂线，这样的垂线能画几条？
答：过直线外一点 P 画直线的垂线，能且只能画一条。
4.提问：过一点作直线的垂线，可以画多少条？
假如过点P还有一条直线c⊥l，则c∥a，但是c 与a有公共点P，这是不可能的。
5.小结归纳：
垂线的基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
§注意：
1）“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外；
2）“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指唯一性.
3）过一点画已知线段(或射线)的垂线，就是画这条线段(或射线)所在直线的垂线。
【设计意图】
通过学生的实践操作，教师的演示，学生之间的交流讨论，归纳出垂线的基本事实，培养学生的实验操作能力、合作交流能力及分析归纳能力。
〖新知探究2〗
1.垂线段的概念：如图，设PO垂直于直线l，O为垂足，线段PO叫作P点到直线l 的垂线段。
2.通过P点的其他直线交 l 于A、B、C…，线段PA，PB，PC都不是垂线段，称为斜线段。
3.提问：垂线与垂线段有何区别和联系？
区别：垂线是直线，垂线段是线段；
联系：垂线和垂线段都有垂直关系。
【设计意图】
在作直线垂线的基础上学习垂线段和斜线段，并区分垂线与垂线段的区别，为学习垂线段的性质打下基础。
〖新知探究3〗
1.提问：观察下图，PA，PB，PO，PC，PD哪条线段最短？
1）观看：发现垂线段PO最短；
2）用圆规比较：如图，用圆规比较垂线段PO和斜线段PA，PB，PC，PD的长度，可知线段PO最短。
2.小结归纳：
1）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短. 简单说成：垂线段最短.
2）特别规定：线段 AD 的长度叫做点 A 到直线 l 的距离.
例如，在图中，垂线段PO的长度叫做点P到直线l的距离。
§xx点到xxx直线的距离→点到直线的垂线段的长度。
【设计意图】
通过操作演示，比较斜线段与垂线段的长度，让学生理解掌握“垂线段最短”这一基本事实。同时，理解掌握“点到直线的距离就是点到直线的垂线段的长度。
〖新知应用1〗
1.（1） 量出图中点P到直线AB的距离.
题析：“点P到直线AB的距离”就是点P到直线AB的垂线段的长度。因此，过点P作直线AB的垂线段PO，再量出PO的长度，就是点P到直线AB的距离。
2.（2）如图，某单位要在河岸l 上建一个水泵房引水到C处，问建在哪个位置才最节省水管？为什么？
题析:“最节省水管”就是点C到直线l的距离最短，而这个距离就是点C到直线l的垂线段。
答： 过C引l 的垂线，设D为垂足，水泵房应建在D处，因为垂线段最短。
3.提问：由（1）、（2）你会发现可以怎样求点到直线的距离？
答：求点到直线的距离就是求点到直线的垂线段的长度。
§注意：求点到直线的距离可以转化为求点到点的距离。
【设计意图】
通过实验操作，让理解求“点到直线的距离”就是求“点到直线的垂线段的长度”。
〖新知应用2〗
例3 如图，在三角形ABC中，∠ABC=900，BD⊥AC，垂足为D，AB = 5，BC=12，AC=13.求：（1）点A到直线BC的距离；（2）点B到直线AC的距离.
题析：求“点A到直线BC的距离”就是求“点A到直线BC的垂线段的长度”——AB的长度；求“点B到直线AC的距离”就是求“点B到直线AC的垂线段的长度”——BD的长度,而BD是三角形ABC的高，因此，可以通过面积求出。
解：（1）∵∠ABC = 90°，∴AB⊥BC，B为垂足.
∴线段AB 即为点A到直线 BC 的垂线段.
∵AB=5，∴点A到直线 BC 的距离为。
解：（2）∵BD⊥AC,∴BD的长度就是点B到直线AC的距离。
∵S△ABC=AB·BC=AC·BD
∴BD===
∴点B到直线AC的距离为。
【设计意图】
通过实例，让学生理解掌握利用“点到直线的距离”解题，特别是利用等面积解题。
〖巩固练习〗
1. 如图，在三角形ABC中，∠A=900，AB=3cm，AC=4cm，BC=5cm，求点A到BC的距离，点C到AB的距离.
解：过点A作AD⊥BC于点D，则线段AD的长度即为点A到BC的距离
∵S△ABC=AB·AC=BC·AD
∴AB·AC=AD·BC，即：×3×4=×5·AD
∴AD=,即：点A到BC的距离为。
又∵∠A=900，∴BA⊥AC，A为垂足
∴线段AC的长度即为点C到直线AB的距离
又∵AC=4，∴点C到直线AB的距离为4。
【设计意图】
通过练习，检查学生对“点到直线的距离”理解解题，特别是利用面积相等解题。
2. 如图（比例尺：1: 5000），公园里有4条纵横交错的人行道，点P是一喷泉，量出P点到4条直线的距离，并求出其实际距离.
解：过点P分别作直线a、b、c、d的垂线段PA、PB、PC、PD，分别测量出线段PA、PB、PC、PD的长度，根据PA、PB、PC、PD的长度，分别计算出PA、PB、PC、PD的实际距离。
【设计意图】
通过练习，检查学生利用“点到直线的距离”解决生活实际问题，培养学生的数学运用能力。
3. 如图，体育课上应该怎样测量同学们的跳远成绩？
答：量绳的一端放在“落足点”，拉紧与起跳板垂直。
【设计意图】
通过练习，检查学生利用“点到直线的距离”解决生活实际问题，培养学生的数学运用能力。
〖挑战平台〗
如图所示，火车站、码头分别位于A，B 两点，直线 a和 b 分别表示河流与铁路.
(1)从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由；
(2)从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由；
(3)从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由.
解：如图所示:
(1)沿AB 走，两点之间线段最短；
(2)沿 BD 走，垂线段最短；
(3)沿 AC 走，垂线段最短.
【设计意图】
通过练习，让学生利用“点到直线的距离”、“两点之间的距离”解题，让学生区分“点到直线的距离”与“两点之间的距离”之间的区别，培养学生的数学辨析能力。
【课后小结】
1.画直线的垂线:过一点作已知直线的垂线能且只能画一条。
2.垂线段：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．（垂线段最短）。
3.点到直线的距离：就是点到直线的垂线段的长度。
【板书设计】
【课后作业】
课堂作业：P119习题4.5第5、8题；
课后作业：P119习题4.5第6、7题，预习P121~123《平行线之间的距离》。
【教学反思】
1.亮点：通过学生实验操作，理解垂线的基本事实及对垂线段的理解和掌握；同时，也通过学生解决生活中的问题，来巩固加强学生对“点到直线的距离”的理解，激发了学生的学习兴趣，培养了学生的数学运用能力。
2.不足：课本中对“垂线段最短”的解释比较浮浅。
3.教学建议：本节课重在对垂线的基本事实、垂线段、点到直线的距离的理解和综合运用，因此，在学习时，需让学生亲自动手实验操作，并与同学交流、讨论，培养学生动手操作能力。(共22张PPT)
新湘教版数学七年级下册
垂 线 段
本节内容
4.5.2
第四章 平面内的两直线
1.掌握点到直线的距离的有关概念，会作出直线外一点到一条直线的垂线，理解垂线段最短的性质。
点到直线的距离的概念及垂线段最短的性质。
学习目标
重 点：
前言
垂线段最短的性质及从直线外一点作直线的垂线的画法。
难 点：
2.经过观察、分析、抽象、概括、画图等数学活动过程，进一步发展思维能力。
3.体会数学的应用价值。
温 故 知 新
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足.
1. 垂线的定义
2. 垂线的性质
①在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行.
②在同一平面内，如果一直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线必垂直于另一条直线.
画直线的垂线
做一做
画已知直线 l 的垂线，这样的垂线能画出无数条。
（1）画已知直线 l 的垂线，这样的垂线能画出几条？
做一做
（2） 经过直线 l 上一点 P 画 l 的垂线 a，这样的垂线能画几条？
过直线上一点 P 画直线的垂线，能且只能画一条。
画直线的垂线
做一做
（3）经过直线l 外的一点 P 画l 的垂线，这样的垂线能画几条？
过直线外一点 P 画直线的垂线，能且只能画一条。
画直线的垂线
画直线的垂线
过一点作直线的垂线，可以画多少条？
动脑筋
假如过点P还有一条直线c⊥l，则c∥a，但是c 与a有公共点P，这是不可能的.
l
a
c
p
a
c
p
l
垂线的基本事实
小结归纳
垂线的基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
注意：
1.“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外；
2.“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指唯一性.
3.过一点画已知线段(或射线)的垂线，就是画这条线段(或射线)所在直线的垂线.
垂线段
1、如图，设PO垂直于直线l，O为垂足，线段PO叫作P点到直线l 的垂线段．
P
B
l
O
A
C
2、通过P点的其他直线交 l 于A、B、C…，线段PA，PB，PC都不是垂线段，称为斜线段．
学一学
垂线与垂线段有何区别和联系？
区别：垂线是直线，垂线段是线段.
联系：垂线和垂线段都有垂直关系.
垂线段最短
动脑筋
观察下图，PA，PB，PO，PC，PD哪条线段最短？
我观察发现垂线段PO最短！
我用圆规比较：如图，用圆规比较垂线段PO和斜线段PA，PB，PC，PD的长度，可知线段PO最短.
小结归纳
垂线段最短
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短. 简单说成：垂线段最短.
线段 AD 的长度叫做点 A 到直线 l 的距离.
特别规定：
D
l
A
例如，在图中，垂线段PO的长度叫做点P到直线l的距离．
xxx点到xxx直线的距离：
点到直线的垂线段的长度
垂线段
做一做
（1） 量出图中点P到直线AB的距离.
点P到直线AB的垂线段的长度
O
垂线段
做一做
（2）如图，某单位要在河岸l 上建一个水泵房引水到C处，问建在哪个位置才最节省水管？为什么？
答： 过C引l 的垂线，
设D为垂足，水泵房应建在D处，因为垂线段最短.
D
点C到直线l的距离最短
点C到直线l的垂线段
由（1）（2）你会发现可以怎样求点到直线的距离？
注意：求点到直线的距离可以转化为求点到点的距离.
典 例 分 析
举
例
例3 如图，在三角形ABC中，∠ABC=900，BD⊥AC，垂足为D，AB = 5，BC=12，AC=13.
求：（1）点A到直线BC的距离；（2）点B到直线AC的距离.
解（1）∵∠ABC = 90°，
∴AB⊥BC，B为垂足.
∴线段AB 即为点A到直线 BC 的垂线段.
∵AB=5，
∴点A到直线 BC 的距离为5.
AB⊥BC
AB是点A到BC距离，CB是点C到AB的距离
典 例 分 析
举
例
例3 如图，在三角形ABC中，∠ABC=900，BD⊥AC，垂足为D，AB = 5，BC=12，AC=13.
求：（1）点A到直线BC的距离；（2）点B到直线AC的距离.
BD是点B到AC距离,即AC上的高
三角形ABC的面积=AB·BC=30
三角形ABC的面积=AC·BD
30=AC·BD
∴线段BD的长度就是点B到AC的距离。
∵S△ABC=AB·BC=AC·BD
∴点B到直线AC的距离为。
练 习
1. 如图，在三角形ABC中，∠A=900，AB=3cm，AC=4cm，BC=5cm，求点A到BC的距离，点C到AB的距离.
解：过点A作AD⊥BC于点D，则线段AD的长度即为点A到BC的距离
D
(2)∵∠BAC = 90°，
∴BA⊥AC，A为垂足.
∴线段AC的长度即为点C到直线AB的距离
∵AC = 4，
∴点C到直线AB的距离为4.
练 习
2. 如图（比例尺：1: 5000），公园里有4条纵横交错的人行道，点P是一喷泉，量出P点到4条直线的距离，并求出其实际距离.
解：过点P分别作直线a、b、c、d的垂线段PA、PB、PC、PD，
A
B
C
D
分别测量出线段PA、PB、PC、PD的长度，
根据PA、PB、PC、PD的长度，分别计算出PA、PB、PC、PD的实际距离。
练 习
3. 如图，体育课上应该怎样测量同学们的跳远成绩？
答：量绳的一端放在“落足点”，拉紧与起跳板垂直.
练 习
挑战平台
如图所示，火车站、码头分别位于A，B 两点，直线 a和 b 分别表示河流与铁路.
(1)从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由；
(2)从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由；
(3)从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由.
解：如图所示:
(1)沿AB 走，两点之间线段最短；
(2)沿 BD 走，垂线段最短；
(3)沿 AC 走，垂线段最短.
火车站
码头
河流
铁路
课堂总结
垂
线
、
垂线
段
垂线的基本事实：
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．（垂线段最短）
xxx点到xxx直线的距离：
垂线段：
垂线段的长度
作 业
课堂作业：P119习题4.5第5、8题；
课后作业：P119习题4.5第6、7题，预习P121~123《平行线之间的距离》
湘教版初中数学七年级下册
课程结束
