新湘教版初中数学七年级下册
《多项式与多项式相乘》教学设计
【教学目标】
在具体情境中了解多项式乘法的意义，会利用法则进行简单的多项式乘法运算。
2.经历探索多项式与多项式乘法法则的过程，理解多项式与多项式相乘的运算算理，体会乘法分配律的作用及转化思想在解决问题过程中的应用，发展学生有条理的思考和语言表达能力。
3.在解决问题的过程中了解数学的价值，发展“用数学”的信心。
【教学重点】
熟悉多项式与多项式乘法法则。
【教学难点】
理解多项式与多项式相乘的算理。
【教学方法】
实验法、观察法、练习法、小组合作交流法、启发式、讲授法。
【教学过程】
温故知新：
提问1： 如何进行单项式与多项式乘法的运算？
答：将单项式分别乘多项式的各项； 再把所得的积相加。
提问2： 进行单项式与多项式乘法运算时，要注意什么
答：① 不能漏乘：即单项式要乘遍多项式的每一项；
② 去括号时注意符号的确定。
【设计意图】
通过复习单项式与多项式相乘的运算法则，让学生能熟练掌握幂的运算法为本节课学习“多项式与多项式相乘“的运算法则”打下基础。
先化简，再求值：-2xy[3xy2-x(4y2-x)],其中x=-2,y=.
解：-2xy[3xy2-x(4y2-x)]=-2xy[3xy2-2xy2+x2]
=x2y3-x3y
∴当x=-2,y=时，原式=-2×(-2)2×()3-×(-2)3×=-1+2=1
【设计意图】
通过复习化简求值，，让学生巩固化简求值的方法和技巧，为本节课学习整式的混合运算打下基础，从而以旧引新。
〖情景导入〗
1.如图，这块地由四小块组成，它们的面积分别为ma平方米，mb平方米、na平方米，nb平方米，则这块地的面积为 (ma＋mb＋na＋nb) 平方米．如果将这四小块组成的图形看成一个大长方形，则这块地的面积为(m＋n)﹒(a＋b)平方米。
分析：①四块小长方形的面积和为：(ma＋mb＋na＋nb)平方米。
②整个大长方形的长为（m+n)米，宽为（a+b)米，则整个大长方形的面积为：（m+n)﹒(a＋b)平方米。
∴（m+n)﹒(a＋b)=(ma＋mb＋na＋nb)
（教师演示动画，学生观察、思考，然后学生交流、讨，得出结论。
2.规律小结：
多项式与多项式相乘的运算法则：用第一个多项式的各项分别与第二个多项式的各项相乘，再把所得的积相加。
公式：
【设计意图】
通过情景导入，让学生利用两种方法求面积，在几何背景下推导出“多项式与多项式相乘”的运算法则，将抽象公式推导形象化，实现数形结合。
〖新知探究〗
1.提问：怎样计算多项式x - 2y与多项式3x + y的乘积？
解：(x - 2y)(3x + y)=x﹒(3x + y)+(- 2y)﹒(3x + y)
=x﹒3x+x﹒y+(- 2y)﹒3x+(- 2y)﹒y
=3x2+xy-6xy-2y2
=3x2-5xy-2y2
§强调：①多项式与多项式相乘，用第一个多项式的各项分别与第二个多项式的各项相乘。②计算过程中要注意合并同类项
2.总结：多项式与多项式相乘，用第一个多项式的各项分别与第二个多项式的各项相乘。
§强调：整式的乘法既满足交换律、结合律，又满足乘法对加法的分配律。
【设计意图】
用代数方法做“多项式与多项式相乘”的计算题，与在几何背景下推出的“多项式与多项式相乘”的法则遥相呼应，加深了学生对法则的掌握。
〖知识应用1〗
例13 计算：
①(2x＋y)(x-3y) ②(5x-2)(3x2-x-5)
解：原式＝2x﹒x-2x﹒3y+y﹒x-y﹒3y 解：原式＝15x3-5x2-25x-6x2+2x+10
＝2x2-6xy+xy-3y2 ＝15x3-5x2-6x2-25x+2x+10
＝2x2-5xy-3y2 ＝15x3-11x2-23x+10
§强调：①多项式的各项分别相乘时，一定要注意符号；
②计算结果，要注意合并同类项。
【设计意图】
通过练习，让学生能熟练应用“多项式与多项式相乘”的法则运算。
〖知识应用2〗
例14 计算：
(x-y)(x2+xy+y2)；
解：原式＝x﹒x2+x﹒xy+x﹒y2+(-y)﹒x2+(-y)﹒xy+(-y)﹒y2
＝x3+x2y+xy2-x2y-xy2-y3
＝x3-y3
（2）(x+y)(x2-xy+y2）.
解：原式＝x﹒x2+x﹒(-xy)+x﹒y2+y﹒x2+y﹒(-xy)+y﹒y2
＝x3-x2y+xy2+x2y-xy2+y3
＝x3+y3
§强调：①多项式的各项分别相乘时，一定要注意符号；
②计算结果，要注意合并同类项。
【设计意图】
通过立方差、立方和公式的推导，让学生进一步掌握“多项式与多项式相乘”的方法和技巧。
〖知识应用3〗
（1）设a，b，c都是正数，计算(a+ b)(a+ c)的结果。
解(1)：(a+ b)(a+ c)= a2+ac+ba+b。
(2）一个长方形的长为a+b，宽为a+c，试着画出这个长方形，并利用这个长方形解释（1）的结果。
解(2)：整个长方形的面积为：(a+ b)(a+ c)
∵整个长方形由4个小矩形组成
∴整个长方形面积还可以表示为：a2+ac+ba+bc.
∴(a+b)(a+ c)=a2+ac+ba+bc.
【设计意图】
通过“多项式与多项式相乘”运算法则的两种形式的推导，让学生明白：一个公式既可以运用代数方法证明，也可以在几何背景下证明。
〖巩固练习〗
1.计算：
（1） (x - 2y)(4x+ 3y)； （2）(x - 5y)(3x - y)；
（3）(x+y))(x2+xy+y2)； （4）(3x-y)(2x2+5xy-4y2）
【设计意图】
通过练习，让学生熟练掌握“多项式与多项式相乘”法则的运算方法和技巧。
2 .用不同的方法计算右边几何图形的面积，可得等式（ ）
（A）（2a + b）（a+ b）= 2a2 + b2
（B）（2a + b）（a+ b）= 2a2 + 2ab + b2
（C）（2a + b）（a+ b）= 2a2 + 3ab + b2
（D）（2a + b）（a+ b）= 2a2 + 3ab + 2b
【设计意图】
通过练习，让学生熟练掌握在几何背景下推导整式运算公式的方法和技巧。
〖挑战平台〗
先化简，再求值：(a-2b)(a2＋2ab＋4b2)-a(a-5b)(a＋3b)，其中a＝-1，b＝1.
【设计意图】
通过练习，将“多项式与多项式”运算运用到化简求值中，训练学生对知识的综合运用能力。
【课后小结】
1.多项式与多项式相乘：用第一个多项式的各项分别与第二个多项式的各项相乘。
§强调：在进行“多项式与多项式相乘”的运算时，一定要注意运算符号，同时，结果一定要合并同类项。
2.在几何背景下推导整式运算公式时，要注意整体与部分的关系。
【板书设计】
【课后作业】
课堂作业：P15习题1第7、8题。
课后作业：P15习题1第12题，并预习P15~17《平方差公式》。
【教学反思】
亮点：以旧引新，通过复习单项式乘多项式的运算法则，并化简求值，为学习“多项式与多项式相乘”夯实基础。通过情景导入，运用动画，在几何背景下推导“多项式与多项式相乘”的运算法则，引出新的教学内容，激发学生兴趣。然后通过例题巩固对“多项式与多项式相乘”的运算法则的运算运用。
不足：没有将“多项式与多项式相乘”的运算法则应用到现实生活中。
教学建议：多让学生动手练习，让学生在练习、观察、讨论、交流中发现并总结出规律。同时，强调在进行“多项式与多项式相乘”的运算时，需注意运算符号。(共17张PPT)
新湘教版数学七年级下册
多 项 式 与 多 项 式 相 乘
本节内容
1.1.6
第一章 整式的乘法
1.在具体情境中了解多项式乘法的意义，会利用法则进行简单的多项式乘法运算.
熟悉多项式与多项式乘法法则.
学习目标
重 点：
前言
理解多项式与多项式相乘的算理.
2.经历探索多项式与多项式乘法法则的过程，理解多项式与多项式相乘的运算算理，体会乘法分配律的作用及转化思想在解决问题过程中的应用，发展学生有条理的思考和语言表达能力.
难 点：
3.在解决问题的过程中了解数学的价值，发展“用数学”的信心.
温故知新
1. 如何进行单项式与多项式乘法的运算？
② 再把所得的积相加.
① 将单项式分别乘多项式的各项；
① 不能漏乘：即单项式要乘遍多项式的每一项；
② 去括号时注意符号的确定.
2. 进行单项式与多项式乘法运算时，要注意什么
温故知新
=-1+2
=1
情 景 导 入
动脑筋
如图，这块地由四小块组成，它们的面积分别为ma平方米，mb平方米、na平方米，nb平方米，则这块地的面积为 平方米．如果将这四小块组成的图形看成一个大长方形，则这块地的面积为 平方米
(ma＋mb＋na＋nb)
（m＋n) (a＋b）
根据上面的两种计算方法，你能得到什么结论？
（m＋n) (a＋b）
=ma＋mb＋na＋nb
mb
ma
nb
na
多项式乘多项式
多项式与多项式相乘：
用第一个多项式的各项分别与第二个多项式的各项相乘，再把所得的积相加．
(m＋n） （a＋b)
=ma
＋na
＋nb
＋mb
规律小结
多项式乘多项式
探究在线
怎样计算多项式x - 2y与多项式3x + y的乘积？
解：(x - 2y)(3x + y)
多项式与多项式相乘，用第一个多项式的各项分别与第二个多项式的各项相乘。加
=x 3x
+x y
+(-2y) 3x
+(-2y) y
=3x2
+xy
-6xy
-2y2
=3x2
-5xy
-2y2
合并同类项
总结
多项式与多项式相乘的法则
（m＋n) (a＋b）=ma＋mb＋na＋nb
(x-2y)(3x+y)=x 3x+x y+(-2y) 3x+(-2y) y
多项式与多项式相乘，用第一个多项式的各项分别与第二个多项式的各项相乘。
多项式与多项式相乘法则
整式的乘法既满足交换律、结合律，又满足乘法对加法的分配律。
典例分析
举
例
①(2x＋y)(x-3y)
②(5x-2)(3x2-x-5)
解：原式＝2x x
-2x 3y
+y x
-y 3y
＝2x2-6xy+xy-3y2
＝2x2-5xy-3y2
注意符号！
解：原式＝15x3-5x2-25x
-6x2+2x+10
＝15x3-5x2-6x2-25x+2x+10
＝15x3-11x2-23x+10
合并同类项
例13 计算：
合并同类项
注意符号！
典例分析
举
例
例14 计算：
对点练习
（1）(x-y)(x2+xy+y2)；
（2）(x+y)(x2-xy+y2）.
解：原式＝x x2+x xy+x y2
＝x3+x2y+xy2-x2y-xy2-y3
注意符号！
结果一定要合并同类项
＝x3-y3
解：原式＝x x2+x (-xy)+x y2
＝x3-x2y+xy2+x2y-xy2+y3
+(-y) x2+(-y) xy+(-y) y2
+y x2+y (-xy)+y y2
＝x3+y3
多项式与多项式相乘
对点练习
（1） 设a，b，c都是正数，计算(a+ b)(a+ c)的结果.
做一做
解(1)：(a+ b)(a+ c)= a2+ac+ba+bc.
（2）一个长方形的长为a+b，宽为a+c，试着画出这个长方形，并利用这个长方形解释（1）的结果.
解(2)：整个长方形的面积为：(a+ b)(a+ c)
∵整个长方形由4个小矩形组成
∴整个长方形面积还可以表示为：a2+ac+ba+bc.
a2
ac
ba
bc
∴(a+ b)(a+ c)= a2+ac+ba+bc.
练 习
做一做
1.计算：
（1） (x - 2y)(4x+ 3y)； （2）(x - 5y)(3x - y)；
（3）(x+y))(x2+xy+y2)； （4）(3x-y)(2x2+5xy-4y2）.
解：原式=4x2+3xy-8xy-6y2
=4x2-5xy-6y2
解：原式=3x2-xy-5xy+5y2
=3x2-6xy+5y2
解：原式=x3+x2y+xy2+x2y+xy2+y3
=x3+2x2y+2xy2+y3
解：原式=6x3+15x2y-12xy2-2x2y-5xy2+4y3
=6x3+13x2y-17xy2+4y3
①多项式与多项式相乘，用第一个多项式的各项分别与第二个多项式的各项相乘。②计算结果一般要合并同类项。
继续学习
练 习
做一做
2 .用不同的方法计算右边几何图形的面积，可得等式（ ）
（A）（2a + b）（a+ b）= 2a2 + b2
（B）（2a + b）（a+ b）= 2a2 + 2ab + b2
（C）（2a + b）（a+ b）= 2a2 + 3ab + b2
（D）（2a + b）（a+ b）= 2a2 + 3ab + 2b
解：整个长方形的面积为：(2a+b)(a+ b)
∵整个长方形由6个小矩形组成
b2
a2
a2
ab
ab
ab
∴整个长方形面积还可以表示为：a2+a2+ab+ab+ab+b2=2a2+3ab+b2
∴(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2
C
练 习
挑战平台
解：(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)
=a3+2a2b+4ab2-2a2b-4ab2-8b3－(a2－5ab)(a＋3b)
=a3-8b3－(a3+3a2b-5a2b-15ab2)
=a3-8b3－a3-3a2b+5a2b+15ab2
=－8b3＋2a2b＋15ab2.
当a＝－1，b＝1时，
原式＝－8＋2－15＝－21
先化简，再求值：(a-2b)(a2＋2ab＋4b2)-a(a-5b)(a＋3b)，其中a＝-1，b＝1.
课堂总结
多项式与多项式相乘
多项式与多项式相乘法则：
几何背景解析代数公式：
用第一个多项式的各项分别与第二个多项式的各项相乘。
[
]
注意整体与部分的关系。
[
]
作 业
课堂作业：P15习题1第7、8题
课后作业：P15习题1第12题，并预习P15~17《平方差公式》
湘教版初中数学七年级下册
课程结束
