人教版九年级数学下册 27.2.1 相似三角形的判定 同步练习（含详解）

27.2.1 相似三角形的判定
一、单选题
1．如图在正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与相似的三角形所在的网格图形是（　　）

A． B． C． D．
2．如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与相似的是（ ）

A． B． C． D．
3．如图所示，网格中相似的两个三角形是（ ）
A．①与② B．①与③ C．③与④ D．②与③
4．如图，在四边形ABDC中，不等长的两对角线AD、BC相交于O点，且将四边形ABDC分成甲、乙、丙、丁四个三角形．若OA：OB＝OC：OD＝2：3，则此四个三角形的关系，下列叙述正确的是（　　）
A．甲与丙相似，乙与丁相似
B．甲与丙相似，乙与丁不相似
C．甲与丙不相似，乙与丁相似
D．甲与丙不相似，乙与丁不相似
5．如图，在正方形网格中有5个格点三角形，分别是：①，②，③，④，⑤，其中与⑤相似的三角形是（ ）

A．①③ B．①④ C．②④ D．①③④
6．如图，在中，P、Q分别为AB、AC边上的点，且满足．根据以上信息，嘉嘉和淇淇给出了下列结论：
嘉嘉说：连接PQ，则PQ//BC．
淇淇说：．
对于嘉嘉和淇淇的结论，下列判断正确的是（ ）
A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确
C．两人都正确 D．两人都错误
7．如图，在三角形纸片ABC中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，已知点D是的边上的一点，根据下列条件，可以得到的是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，，如果增加一个条件就能使结论成立，那么这个条件可以是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）
A．①和② B．②和③ C．①和③ D．②和④
11．若△ABC的三边长分别为1，，，△DEF的三边长分别2，，，则与（　　）
A．一定相似 B．一定不相似
C．不一定相似 D．无法判定是否相似
二、填空题
12．如图，在中，点D，E分别为边，上的点，试添加一个条件： ，使得与相似．（任意写出一个满足条件的即可）
13．在和中，，，，，，判定这两个三角形是否相似 ．（填“相似”或“不相似”）
14．如图，在正方形网格中有三个三角形，分别是，，，其中与相似的是 ．
15．相似三角形的判定：
（1）平行于三角形一边的直线与其他两边(或 )相交，截得的三角形与原三角形相似．
（2）两组角对应 ，两三角形相似．
（3）两边对应成比例且 相等，两三角形相似．
（4）三边对应 ，两三角形相似．
16．如图，已知，则的度数为 ．
17．如图，AC与BD相交于点O，在△AOB和△DOC中，已知，又因为 ，可证明△AOB∽△DOC．
18．的三边长分别为6、8、12，的三边长分别为2、3、2.5，的三边长分别为6、3、4，则与 相似．
19．如图，若，则．
三、解答题
20．在①，②，③这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，使命题正确，并证明．
问题：如图，四边形的两条对角线交于点，若 （填序号）
求证：．
21．如图，E是的边BC上的点，已知，，，．求证：．
22．已知如图，D，E分别是的边上的点，．求证：．
23．如图，延长正方形ABCD的一边CB至E，ED与AB相交于点F，过F作FG∥BE交AE于点G，求证：GF＝FB．
24．如图：△ABC中，MDAB，MNAE．求证：＝．
25．如图，在△ABC中，DF∥AC，DE∥BC．
（1）求证：；
（2）若AE＝4，EC＝2，BC＝10，求BF和CF长．
26.如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=∠B．
(1)求证：△ABD∽△DCE；
(2)若AC=12，BC=11，CE=2，求BD的长.
27.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，AD＝BD．
(1)求证：△ABC∽△BDC．
(2)若∠C＝90°，BC＝2，求AB的长．
28．如图，在中，点分别在边上，连接，且．
（1）证明：；
（2）若，当点D在上运动时（点D不与重合），且是等腰三角形，求此时的长．
答案
一、单选题
1．C
【分析】可利用勾股定理求出三角形各边，利用三边对应成比例的两个三角形相似，逐项判定即可．
【详解】解：根据勾股定理，，
∴三边由小到大之比为：
同理，选项A中，用勾股定理求三角形三边由小到大依次为：，三边之比为：，与不满足三边对应成比例，故选项A不符合题意；
同理，选项B中，用勾股定理求三角形三边由小到大依次为：，与不满足三边对应成比例，故选项B不符合题意；
同理，选项C中，用勾股定理求三角形三边由小到大依次为：，三边之比为：，与满足三边对应成比例，故选项C符合题意；
同理，选项D中，用勾股定理求三角形三边由小到大依次为：，，与不满足三边对应成比例，故选项D不符合题意；
故选：C．
2．B
【分析】设小正方形的边长为1，根据已知可求出三边的长，同理可求出阴影部分的各边长，从而根据相似三角形的三边对应成比例即可得到答案．
【详解】解：∵小正方形的边长均为1
∴三边由小到大分别为，2，
同理：A中各边的长分别为：，，3；
B中各边长分别为：1，，；
C中各边长分别为：1、，；
D中各边长分别为：2，，；
由只有B项中的三边与已知三角形的三边对应成比例，且相似比为
故选：B．
3．B
【分析】分别根据网格的特点求得各三角形三边的长，根据三边对应成比例判断两三角形相似即可．
【详解】解：根据网格的特点，①号三角形的三边长分别为：，2，，
②号三角形的三边长分别为：，，3，
③号三角形的三边长分别为：2，，，
④号三角形的三边长分别为：，3，，
，
①与③相似，故B选项正确，符合题意；其他选项不正确
故选：B．
4．A
【分析】利用已知条件得到即，加上对顶角相等，则可判断△AOB∽△COD；再利用比例性质得到，而∠AOC＝∠BOD，所以△AOC∽△BOD．
【详解】解：∵OA：OB＝OC：OD＝2：3，
即，
而∠AOB＝∠COD，
∴△AOB∽△COD，
∵，
∴，
∵∠AOC＝∠BOD，
∴△AOC∽△BOD．
故选：A．
5．A
【分析】两三角形三条边对应成比例，两三角形相似，据此即可解答．
【详解】解：设每个小正方形的边长为1，则
①△ABC的各边长分别为1、、．
②△ACD的各边长分别为1、、2 ；
③△ADE的各边长分别为2、2 、2 ；
④△AEF的各边长分别为2、2、6；
⑤△AGH的各边长分别为、2、；
∴△ABC∽△AGH，△ADE∽△AGH，
故选A．
6．B
【分析】根据，可以判定，与不一定相等，不能判定PQ//BC．
【详解】解：∵，，
∴，即淇淇的结论正确；
∴，，
∵不能得出或，
∴不能得出PQ//BC，即嘉嘉的结论不正确．
故选B．
7．B
【分析】
根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案即可．
【详解】解：在三角形纸片ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12．
A．因为 ，对应边， ，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
B．因为 ，对应边，又∠A＝∠A，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故此选项正确；
C．因为 ，对应边，即：，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
D、因为 ，对应边， ，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
故选：B．
8．C
【分析】根据相似三角形的判定即可得到结论．
【详解】解：在和中，
∵，
∴只要，
即，
则，
故选：C．
9．D
【分析】根据相似三角形的判定方法，一一判断即可．
【详解】解：∵∠1=∠2，
∴∠DAB=∠BAC，
∴添加∠D=∠B或∠AED=∠C或，可以推出△ADE∽△ABC，
故选：D．
10．C
【分析】本题主要应用两三角形相似的判定定理，三边对应成比例的两个三角形相似，即可完成题目．
【详解】解：①和③相似，
∵由勾股定理求出①的三角形的各边长分别为2、、；
由勾股定理求出③的各边长分别为2、2、2，
∴＝，
＝，
即＝＝，
∴两三角形的三边对应边成比例，
∴①③相似．
故选：C．
11．A
【分析】求出三组对应边的比，观察是否相等即可作出判断．
【详解】
．
故选：A．
二、填空题
12．
【分析】根据相似三角形的判定方法：两边成比例，夹角相等解题．
【详解】解：根据题意，添加条件，
故答案为：．
13．不相似
【分析】求出，利用，即可求出两个三角形不相似．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵，，，
∴，
∴这两个三角形不相似．
故答案为：不相似
14．
【分析】分别求出三个三角形的三边的比（按边长的大小顺序），所求三边之比等于△ABC的三边之比就是与△ABC相似的三角形．
【详解】解：∵△ABC的三边之比是，
△EBC的三边之比是
△CDB的三边之比是，
△DEB的三边之比是．
∴△DEB与△ABC相似，
故答案为：△DEB．
15． 两边的延长线； 相等； 夹角； 成比例．
【分析】根据相似三角形的判定方法直接作答即可．
【详解】（1）平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的三角形与原三角形相似．
（2）两组角对应相等，两三角形相似．
（3）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．
（4）三边对应成比例，两三角形相似．
故答案为：两边的延长线，相等，夹角，成比例．
16．40°
【分析】由可判定△ABC∽△ADE，得到∠BAC=∠DAE，再根据，，可得出∠DAC的度数.
【详解】解：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴．
故答案为：40°.
17．∠AOB＝∠DOC
【分析】根据相似三角形的判定，两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似解答．
【详解】解：∵，∠AOB＝∠DOC，
∴△AOB∽△DOC（两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似）．
故答案为：∠AOB＝∠DOC．
18．
【分析】判断的三边长与哪个三角形的边长对应成比例，即可判定．
【详解】解：的三边长分别为6、8、12，的三边长分别为2、3、2.5
∵
∴与不相似
的三边长分别为6、8、12，的三边长分别为6、3、4
∵
∴与相似
故答案为
19．DE
【分析】结合相似三角形的性质即可求解
【详解】解：
（相似三角形对应边成比例）
故答案是：DE
三、解答题
20．解：选择条件①的证明为：
∵，
∴，
又∵，
∴；
选择条件②的证明为：
∵，
∴．
21．证明：，，
，
，
，
即，
．
22．证明：∵，
又∵，
∴．
23.证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴BFCD，
∴＝，
∵FGBE，
∴GFAD，
∴＝，
∴＝，且AD＝CD，
∴GF＝BF．
24.证明：∵MDAB，
∴＝．
∵MNAE，
∴＝．
∴＝＝，
即＝．
25.（1）证明：∵DF∥AC，
∴，
∵DE∥BC，
∴，
∴；
（2）解：设，
∵，
∴，
∵，且AE＝4，EC＝2，
∴，
解得：，
∴，
∴．
26.（1）∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵∠ADC=∠B+∠BAD
∠ADC=∠ADE+∠CDE
∵∠ADE=∠B
∴∠BAD=∠CDE
∴△ABD∽△CDE
（2）∵AB=AC，AC=12
∴AB=12
由（1）知，△ABD∽△CDE
∴=
即=
∴BD=3或8
27.（1）证明：如图，∵AD＝BD，
∴∠A＝∠DBA，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴∠CBD＝∠DBA，
∴∠A＝∠CBD，
∵∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BDC；
（2）解：如图，∵∠C＝90°，
∴∠A＋∠ABC＝90°，
由（1）得
∴∠A =∠ABD＝∠CBD，
∴∠A＋∠ABD＋∠CBD＝3∠A＝90°，
∴∠A＝30°，
∵BC＝2，
∴AB＝4．
28.解：（1）
如图可知：
在中，
又
．
（2），
是等腰直角三角形
BC=2，AB=AC=BC=
①当AD=AE时，
，
点D在上运动时（点D不与重合）,点E在AC上
此情况不符合题意．
②
当AD=DE时，
由（1）结论可知：
AB=DC=
．
③
当AE=DE时，
是等腰直角三角形
，
，即
．
综上所诉：或．