(共20张PPT)
第2课时 勾股定理的实际应用
如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，则：
(1)c2＝a2＋b2；(2)a2＝c2－b2；
(3)b2＝c2－a2；(4) ＝c ；
(5) ＝a ；(6) ＝b .
a2＋b2
c2－b2
c2－a2
c
a
b
如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦12 m(AC的长)处，升起云梯到火灾窗口，云梯AB长为20 m，云梯底部距地面3 m(AE的长)．则发生火灾的住户距地面多高(BD的长)
【自主解答】
由题意得AE＝CD＝3 m，AC＝12 m，AB＝20 m，
在Rt△ABC中，
AC2＋BC2＝AB2，
∴BC2＝202－122＝256，
BC＝16 m，
∴BD＝BC＋CD＝16＋3＝19(m)，
答：发生火灾的住户距地面19 m.
【名师支招】
1．对于实际问题，首先根据题意建立数学模型，然后利用直角三角形三边之间的关系和一些常识(如：墙与地面垂直、梯子的长度不变等)来完成题中的问题．
2．运用勾股定理解决实际问题的关键是运用转化思想将实际问题转化为数学模型，再运用方程(或方程组)来解；解决异面两点间的距离问题，通常将圆柱、长方体展成平面图形，利用勾股定理解决．
知识点一：勾股定理的实际应用
1．如图，小明和小华同时从P处分别向北偏东60°和南偏东30°方向出发，他们的速度分别是3 m/s和4 m/s，则10 s后他们之间的距离为50 m.
50
2．如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1.“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为 .
3．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中，即：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何．意思如下：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？(1丈＝10尺)
解：如图，设折断处离地面的高度OA是x尺．
根据题意，得
x2＋42＝(10－x)2，
解得x＝4.2.
答：折断后的竹子高度为4.2尺．
知识点二：立体图形中的最短路径
4．小强家因装修准备用电梯搬运一些木条上楼，如图，已知电梯的长、宽、高分别是1 m，1 m，2 m，那么电梯内能放入这些木条的最大长度是1 m.
5．如图，一根长25 m的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端距墙底端7 m．如果梯子的顶端下滑4 m，那么梯子的底端将向右滑动 ( )
A．15 m
B．9 m
C．7 m
D．8 m
D
6．如图，在一个高为5 m，长为13 m的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少应是 ( )
A．13 m
B．17 m
C．18 m
D．25 m
B
7．如图是小明的爸爸在一条小船上钓鱼的示意图，已知鱼竿的长度AB为2.6 m，露在水面部分的钓线AC的长度为1.2 m，船舷离水面的高度为0.2 m，则小明的爸爸离钓线的水平距离为2.4 m.
2.4
8．(广安中考)如图，圆柱形玻璃杯的杯高为 9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底 4 cm 的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为10 cm.(杯壁厚度不计)
10
9．印度数学家什迦逻(1141年－1225年)曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅．”
请用学过的数学知识解答这个问题．
解：设湖水深为x尺，
则红莲总长为(x＋0.5)尺，
AC的长度为2，
在Rt△ABC中，有
x2＋22＝(x＋0.5)2，
x＝3.75，即湖水深3.75尺．
微专题1 构造双勾股模型解题
【模型展示】
两个直角三角形共用一条直角边，形成连环勾股定理．
常见图形及结论：
AB2－BD2＝AC2－CD2；
BD2＋2AD2＋CD2＝AB2＋AC2
AD2－BD2＝AC2－BC2
【对应训练】
1.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，点D在BC上，∠ADC＝2∠B，AD＝，那么BC的长为＋1++1 .
+1
2．铁路上A，B两站(视为直线上的两点)相距25 km，C，D为两村庄(视为两个点)，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B(如图)，已知DA＝10 km，CB＝15 km.现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E，使得C，D两村庄到收购站E的直线距离相等，则收购站E到A站的距离为15 km.
15(共24张PPT)
第2课时 含30°角的直角三角形的性质和判定
1．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
2．在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.
一半
30°
如图，△ABC的边AB的垂直平分线DE分别交AB，BC于点D，E，AE平分∠BAC，若∠B＝30°，求证：BE＝2EC.
【自主解答】
∵DE垂直平分AB，∴BE＝AE.
∴∠B＝∠BAE＝30°.
又∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE＝30°.
∴∠C＝90°.∴BE＝AE＝2EC.
【名师支招】
1．运用“在直角三角形中30°的锐角所对直角边等于斜边的一半”时必须满足两个条件：①在直角三角形中；②有一个锐角为30°，两者缺一不可．
2．在证明线段的倍分关系时，常利用“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”或“在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半”．
3．当题中有含30°角的直角三角形时，应想到是否可以用到30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质．
4．已知条件中有30°，150°这些特殊角时，要联想到构造含30°角的直角三角形．
知识点一：含30°角的直角三角形的性质
1．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°.若AB＝6，则BC＝3 .
2．已知△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，最短边BC＝4 cm，则最长边AB的长是8 cm.
8
3
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，若∠B＝30°，AD＝1，则BD＝3 .
3
知识点二：含30°角的直角三角形性质的应用
4．如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是8 m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是 ( )
A. m B．4 m
C．4 m D．8 m
B
5．如图，一棵树在一次强台风中从离地面 4 m处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵树在折断前的高度为12 m.
12
知识点三：含30°角的直角三角形的判定
6．在直角三角形中，最长边为10 cm，最短边为5 cm，则这个直角三角形中较大的锐角的度数为60°.
60°
7．如图是一张折叠型方桌和它的几何示意图，若AO＝BO＝50 cm，CO＝DO＝30 cm，将桌子放平后，要使AB距离地面的高为40 cm，求两条桌腿需要叉开的∠AOB的度数．
解：过点D作DE⊥AB交AB于点E.
在Rt△ADE中，
AD＝OA＋OD＝50＋30＝80(cm)．
∵DE＝40 cm，∴∠BAD＝30°.
∵OA＝OB，
∴∠ABC＝∠BAD＝30°，
∴∠AOB＝180°－2×30°＝120°.
8．等腰三角形的顶角是一个底角的4倍，如果腰长为10 cm，那么底边上的高为 ( )
A．10 cm
B．5 cm
C．6 cm
D．8 cm
B
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，D为BC上一点，CD＝AD＝2，则BC的长为 ( )
A．8
B．7
C．6
D．5
C
10．若等腰三角形的顶角为30°，腰长为10，则此等腰三角形的面积为25 .
25
11．如图，在△ABC中，D为BC边上一点，∠1＝∠2，AD＝BD＝4，CE⊥AD，2CE＝AC，则CD＝2 .
2
12．某等腰三角形一腰上的高与腰之比是1∶2，则该等腰三角形顶角的度数为30°或150°.
30°或150°
13．如图，△ABC为等边三角形，D为BC边上的中点，DE⊥AC于点E.求证：CE＝AC.
证明：∵△ABC是等边三角形，
D是BC边上的中点，
∴CD＝ BC＝ AC，∠C＝60°.
∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝90°，∴∠EDC＝30°，
∴CE＝ CD.
∴CE＝ × AC＝ AC.
14．(教材P8习题T6变式)如图，在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB.若BE＝2，求AE的长．
证明：∵ED是BC的垂直平分线，
∴EB＝EC＝2，
∴∠B＝∠ECB＝30°.
又∵CE平分∠ACB，
∴∠ACB＝60°
∴∠EAC＝90°.
∴在Rt△AEC中，AE＝ EC＝1.
15．(应用意识)某超市入口的双翼闸门，当它的双翼展开时如图所示，双翼边缘的端点A与B之间的距离为8 cm，双翼的边缘AC＝BD＝64 cm，且与闸机侧立面夹角∠ACP＝∠BDQ＝30°，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度．
解：过点A作AE⊥CP于点E，过点B作BF⊥DQ于点F.
在Rt△ACE中，∠ACE＝30°，
∴AE＝ AC＝ ×64
＝32(cm)．
同理可得BF＝32 cm.
又∵双翼边缘的端点A与B之间的距离为8 cm，∴32＋8＋32＝72(cm)．
∴当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为72 cm.(共22张PPT)
第2课时 角平分线的判定及其应用
1．角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
2．三角形的三个内角的平分线相交于一点，这点到三边的距离相等．
平分线上
相等
如图，CB＝CD，∠D＋∠ABC＝180°，CE⊥AD于E.
(1)求证：AC平分∠DAB；
(2)若AE＝10，DE＝4，求AB的长．
【自主解答】
(1)证明：过点C作CF⊥AB，交AB的延长线于点F.
∵CE⊥AD，
∴∠DEC＝∠CFB＝90°，
∵∠D＋∠ABC＝180°，
∠CBF＋∠ABC＝180°，
∴∠D＝∠CBF，∴△CDE≌△CBF(AAS)，
∴CE＝CF，∴AC平分∠DAB.
(2)解：由(1)可得BF＝DE＝4，
在Rt△ACE和Rt△ACF中，
AC＝AC，
CE＝CF，
∴Rt△ACE≌Rt△ACF(HL)，
∴AE＝AF＝10，
∴AB＝AF－BF＝6.
【名师支招】
一般情况下，欲证明某点在一个角的平分线上，总是转化为证明该点到该角的两边的距离相等或两个三角形全等．欲证明某个三角形的两边相等，总是转化为证明这两边所对的角相等或是证明这两边所在的两个三角形全等．
知识点一：角平分线的判定
1．如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到AB，AC，BC的距离相等，凉亭的位置应选在 ( )
A．△ABC的三条中线的交点
B．△ABC三边的垂直平分线的交点
C．△ABC三条高所在直线的交点
D．△ABC三条角平分线的交点
D
2．如图是一个风筝骨架．为使风筝平衡，须使∠AOP＝∠BOP，已知PC⊥OA，PD⊥OB，那么PC和PD应满足PC＝PD，才能保证OP为∠AOB的平分线．
PC＝PD
3．如图，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D，C，AD与BC相交于点P，若PA＝PB，求证：∠1＝∠2.
证明：∵AD⊥OB，BC⊥OA，
∴∠ACP＝∠BDP＝90°，
又∵∠APC＝∠BPD，PA＝PB，
∴△ACP≌△BDP(AAS)，
∴PC＝PD，∴∠1＝∠2.
知识点二：三角形的角平分线的性质和判定综合
4．如图，AC⊥OD，AE⊥OF，BD⊥OD，BF⊥OF，AC＝AE，求证：BD＝BF.
证明：∵AC⊥OD，AE⊥OF，AC＝AE，
∴OA平分∠DOF，
∵BD⊥OD，BF⊥OF，
∴BD＝BF.
5．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，M是AB上一点，MN⊥AC于点N，MB＝MN.若∠A＝40°，则∠BMC的度数为 ( )
A．20°
B．25°
C．40°
D．65°
D
6．已知点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠A＝50°，则∠BOC＝115°.
115°
7．如图，某校八年级学生分别在M，N两处参加植树劳动，现要在道路AB，AC的交叉区域内设一个茶水供应点P，使P到两条道路的距离相等，且使PM＝PN，请找出点P.
解：(1)作出∠BAC的平分线AD
(2)连接MN，作MN的垂直平分线EF交AD于点P.
∴点P就是所求作的点．
8．如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，求∠MAB的度数．
解：作MN⊥AD于点N，
∵∠B＝∠C＝90°，∴AB∥CD.
∴∠DAB＝180°－∠ADC＝70°.
∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，
MC⊥CD，∴MN＝MC.
∵M是BC的中点，
∴MC＝MB，∴MN＝MB.
又∵MN⊥AD，MB⊥AB，
∴∠MAB＝∠MAN＝ ∠DAB＝35°.
9．(长沙期末)如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB＝100°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝50°.
(1)∠ACE的度数为40°；
(2)求证：AE平分∠CAF；
(3)若AC＋CD＝14，AB＝8.5，
且S△ACD＝21，求△ABE的面积．
40°
(2)证明：过E点分别作
EM⊥BF于M，EN⊥AC于N，
∵BE平分∠ABC，
∴EM＝EH，
∵∠ACE＝∠ECH＝40°，
∴CE平分∠ACD，
∴EN＝EH，∴EM＝EN，
∴AE平分∠CAF.
(3)解：∵AC＋CD＝14，S△ACD＝21，EM＝EN＝EH，
∴S△ACD＝S△ACE＋S△CED
＝ AC·EN＋ CD·EH
＝ (AC＋CD)·EM
＝21，
即 ×14EM＝21，解得EM＝3，
∵AB＝8.5，
∴S△ABE＝ AB·EM
＝ ×8.5×3
＝ .(共23张PPT)
第3课时 勾股定理的逆定理
1．如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
2．满足a2＋b2＝c2的三个正整数a，b，c称为勾股数．
a2＋b2＝c2
正整数
如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，AD＝1，CD＝3.
(1)求∠DAB的度数；
(2)求四边形ABCD的面积．
【自主解答】
(1)连接AC.
∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，
∴AC＝ ，∠BAC＝45°.
∵AD＝1，CD＝3，
∴AD2＋AC2＝12 ＋( )2＝9＝CD2，
∴△ADC是直角三角形，且∠DAC＝90°，
∴∠DAB＝∠DAC＋∠BAC＝135°.
(2)在Rt△ABC中，
S△ABC＝ BC·AB＝ ×2×2＝2，
在Rt△ADC中，
S△ADC ＝ AD·AC＝ ×1× ＝ ，
∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝2＋ .
【名师支招】
利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：首先找出三条边中的最长边，再计算最长边的平方与其余两条边的平方和，最后比较两个结果是否相等．若相等，则是直角三角形；否则，不是直角三角形．
A
知识点一：勾股定理的逆定理
1．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是 ( )
A．3，4，5
B．2，3，4
C．4，6，7
D．5，11，12
2．甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40 m/min，甲客轮用15 min到达点A，乙客轮用20 min到达点B，若A，B两点的直线距离为1 000 m，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是( )
A．北偏西30°
B．南偏西30°
C．南偏东60°
D．南偏西60°
C
3．如图，在△ABC中，若AB＝10，AC＝16，AC边上的中线BD＝6，则BC＝10 .
10
4．如图，以△ABC的三边为边分别向外作正方形，它们的面积分别是S1，S2，S3，如果S1＋S2＝S3，那么△ABC的形状是直角三角形．
直角
5．判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形．
(1)a＝2，b＝ ，c＝ ；
(2)a＝5，b＝7，c＝9.
解：(1)∵a2＋b2＝22＋( )2＝7，c2＝( )2＝7，∴a2＋b2＝c2，
∴由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形．
(2)∵a2＋b2＝52＋72＝74，c2＝92＝81，∴a2＋b2≠c2，
∴由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形．
知识点二：勾股数
6．以下四组数中，不是勾股数的是 ( )
A．3n，4n，5n(n为正整数)
B．5，12，13
C．20，21，29
D．8，5，7
D
7．已知△ABC的三边分别为a，b，c，当三角形的边、角满足下列关系时，不能判定△ABC是直角三角形的是 ( )
A．a2－b2＝c2
B．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3
C．a∶b∶c＝1∶2∶3
D．a＝ b＝ c
C
8．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，O都在格点上，则∠AOB的度数为45° .
45°
9．如图所示的一块地，AD＝12 m，CD＝9 m，∠ADC＝90°，AB＝39 m，BC＝36 m，求这块地的面积．
解：连接AC，在Rt△ADC中，AC2＝CD2＋AD2＝225，
∴AC＝15 m，
在△ABC中，AB2＝1 521，
AC2＋BC2＝152＋362＝1 521＝AB2，∴∠ACB＝90°，
∴S△ABC－S△ACD＝ AC·BC－ AD·CD
＝ ×15×36－ ×12×9
＝216(m2)．
答：这块地的面积是216 m2.
10．如图，在四边形ABCD中，已知∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝3，AD＝10，CD＝8.
(1)求证：△ACD是直角三角形；
证明：在Rt△ABC中，
∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝3，
∴AC＝2AB＝6，
在△ACD中，AC＝6，CD＝8，AD＝10，
∵82＋62＝102，即AC2＋CD2＝AD2，
∴∠ACD＝90°，即△ACD是直角三角形．
(2)求四边形ABCD的面积．
解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝6，
∴BC＝ ＝ ，
∴Rt△ABC的面积为 AB·BC＝ ×3× ＝ .
又∵Rt△ACD的面积为 AC·CD＝ ×6×8＝24，
∴四边形ABCD的面积为 ＋24.
3
3
11．(几何直观)如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BQ＝BP，连接CQ.
(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；
(2)若PA∶PB∶PC＝3∶4∶5，连接PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．
(1)猜想：AP＝CQ.
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝CB，∠ABC＝60°.
∴∠ABP＋∠PBC＝60°.
∵∠PBQ＝∠QBC＋∠PBC＝60°，∴∠ABP＝∠QBC.
又∵AB＝CB，BP＝BQ，
∴△ABP≌△CBQ(SAS)．
∴AP＝CQ.
(2)△PQC为直角三角形．
理由：由PA∶PB∶PC＝3∶4∶5，
可设PA＝3a，PB＝4a，PC＝5a，则QC＝PA＝3a.
在△PBQ中，∵BQ＝BP，∠PBQ＝60°，
∴△PBQ为等边三角形．∴PQ＝PB＝4a.
在△PQC中，∵PQ2＋QC2＝25a2＝PC2，
∴△PQC是直角三角形．(共24张PPT)
第1章 直角三角形
1．1 直角三角形的性质和判定(Ⅰ)
第1课时 直角三角形的性质和判定
1．直角三角形的性质
(1)直角三角形的两个锐角互余；
(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
2．直角三角形的判定
有两个角互余的三角形是直角三角形．
互余
一半
互余
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，将△ACD沿AC边折叠，使点D落在点E处．
求证：EC∥AB.
∵△ACD沿AC边折叠得到△ACE，
∴∠ACE＝∠ACD，
∵CD是AB边上的中线，∠ACB＝90°，
∴CD＝AD，∴∠CAD＝∠ACD，
∴∠ACE＝∠CAD，∴EC∥AB.
【自主解答】
【名师支招】
1．在直角三角形中，已知一个锐角可求出另一个锐角的度数．
2．在直角三角形中，已知斜边的长度可求出斜边中线的长度，已知斜边上的中线的长度也可求出斜边的长度．
3．在直角三角形中，遇到斜边的中点时，常作斜边上的中线，把问题转化为等腰三角形的问题来解决．
知识点一：直角三角形的两个锐角互余
1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于35°，则另一个锐角的度数是
( )
A．145°
B．125°
C．65°
D．55°
D
2．直角三角形中，两锐角的角平分线所夹的钝角的度数是 ( )
A．120°
B．135°
C．150°
D．160°
B
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，那么与∠A互余的角有∠B，∠ACD，与∠A相等的角有∠BCD.
∠BCD
∠B，∠ACD
知识点二：有两个角互余的三角形是直角三角形
4．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4.求证：△ABC是直角三角形．
证明：∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，
∴∠2＋∠3＝90°，即∠ABC＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
B
知识点三：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
5．(株洲中考)一技术人员用刻度尺(单位：cm)测量某三角形部件的尺寸．如图，已知∠ACB＝90°，D为边AB的中点，点A，B对应的刻度分别为1，7，则CD的长为 ( )
A．3.5 cm B．3 cm
C．4.5 cm D．6 cm
6．在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠A＝20°，则∠BCD＝70 °.
70°
7．将一副三角尺按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为 ( )
A．70°
B．75°
C．80°
D．85°
B
8．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是 ( )
A．∠A＋∠B＝∠C
B．∠A＝∠B＝∠C
C．∠A ∶∠B ∶∠C＝1∶3∶4
D．∠A＝2∠B＝3∠C
D
9．如图，BE，CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，EF＝5，BC＝8，则△EFM的周长是13 .
13
10．已知∠AON＝40°，OA＝6，点P是射线ON上一动点，当△AOP为直角三角形时，∠A＝50°或90°.
50°或90°
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E是AB上一点，且∠ADE＝∠B，求证：△BDE是直角三角形．
证明：∵AB＝AC，
D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADE＋∠BDE＝90°，
又∵∠B＝∠ADE，
∴∠B＋∠BDE＝90°，
∴△BDE是直角三角形．
12．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，M为边AB的中点，点E在线段AM上，连接CM，CE.已知∠A＝50°，∠ACE＝30°.
求证：CE＝CM.
证明：∵∠ACB＝90°，M为边AB的中点，
∴MC＝MA＝MB.
∴∠MCA＝∠A，∠MCB＝∠B.
∵∠A＝50°，
∴∠MCA＝50°，∠MCB＝∠B＝40°，
∴∠EMC＝∠MCB＋∠B＝80°，
∵∠ACE＝30°，
∴∠MEC＝∠A＋∠ACE＝80°，
∴∠MEC＝∠EMC.∴CE＝CM.
13．(创新意识)定义：如果一个三角形的两个内角α与β满足2α＋β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．
(1)若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，则∠B的度数是
15°；
(2)若△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°.
①如图，若AD是∠BAC的平分线，请判断△ABD是否为“准互余三角形”，并说明理由；
15°
(2)①△ABD是“准互余三角形”．
理由：
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAC＝2∠BAD，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BAC＋∠B＝90°，
∴2∠BAD＋∠B＝90°，
∴△ABD是“准互余三角形”．
②点E是边BC上一点，△ABE是“准互余三角形”，若∠ABC＝24°，则∠EAC的度数是33°或24°.
33°或24°(共22张PPT)
1．2 直角三角形的性质和判定(Ⅱ)
第1课时 勾股定理
1．直角三角形两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方，即a2＋b2＝c2.
2．古人称直角三角形的直角边中较短的一边为勾，较长的一边为股，斜边为弦．
平方和
平方
a2＋b2＝c2
勾
股
弦
如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B＝60°，∠C＝45°.
(1)求∠BAC的度数；
(2)若AC＝2，求AD的长．9
【自主解答】
(1)∵∠C＝45°，
∠B＝60°，
∴∠BAC＝180°－60°－45°＝75°.
(2)∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，
又∵∠C＝45°，
∴∠DAC＝∠C，
∴AD＝CD.
在Rt△ACD中，∵AC＝2，
∴AD2＋DC2＝22，
∴2AD2＝4，∴AD＝ .
【名师支招】
1．运用勾股定理的前提是在直角三角形中，如果不是直角三角形，那么三边之间就没有这种关系．
2．在直角三角形中，已知任意两条边长，可以根据勾股定理求出第三条边的长．
3．在运用勾股定理求直角三角形的边长时，一定要弄清楚哪条边为斜边，哪两条边为直角边，如果题目中的条件没有明确指出，需分类讨论．
知识点：勾股定理
1．已知一个三角形三个内角的度数比是1∶2∶1，则它的三条边的比是
（ ）
A．1∶∶1
B．1∶2∶1
C．1∶∶
D．1∶4∶1
A
2．如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，则正方形ABCD的面积为 ( )
A.
B．3
C.
D．5
B
3．如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为100.
100
4．如图，四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，△ABF，△BCG，
△CDH，△DAE是四个全等的直角三角形．若EF＝2，DE＝8，则AB的长为10 .
10
5．根据所给条件，完成下列问题：
(1)求图①中BC的长；(2)求图②中BC的长．
解： (1)∵△ABC是直角三角形，AC＝7，AB＝25，
∴BC＝ ＝ ＝24.
(2)∵△ABD是直角三角形，AB＝3，AD＝4，
∴BD＝ ＝ ＝5.
∵△BCD是直角三角形，CD＝13，
∴BC＝ ＝ ＝12.
D
6．(天津中考)如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于 AC的长为半径作弧(弧所在圆的半径都相等)，两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边BC，AC相交于点D，E，连接AD.若BD＝DC，AE＝4，AD＝5，则AB的长为 ( )
A．9
B．8
C．7
D．6
7．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心，AB长为半径画弧，交最上方的网格线于点N，则MN的长是4－ .
4－
【解析】设左上角格点为C，AN＝AB＝4，AC＝3，则CN＝ .
8．(扬州中考)我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成，如图，直角三角形的直角边长为a，b，斜边长为c，若b＋a＝24，c＝20，则每个直角三角形的面积为44 .
44
9．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A，B，C都在格点上(两条网格线的交点叫格点)．
(1)AB＝ ；
(2)求△ABC的面积．
(2)S△ABC＝3×3－ ×1×3－ ×1×3－ ×2×2＝4.
10．如图，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，已知AB＝8 cm，BC＝10 cm，求EC的长．
解：由折叠得△AED≌△AEF，
∴AF＝AD＝BC＝10 cm，DE＝EF，
在Rt△ABF中，BF＝ ＝6 cm，
∴FC＝BC－BF＝4 cm，
设EC＝x cm，则DE＝(8－x)cm，
在Rt△CEF中，由勾股定理，得
x2＋42＝(8－x)2，解得x＝3，
∴EC的长为3 cm.
11．(数据分析观念)细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题．
＝1＋( )2，S1＝ ；
＝1＋( )2，S2＝ ；
＝1＋( )2，S3＝ ；…
(1)OA10＝ ；
(2)用含n(n是正整数)的等式表示上述变化规律： ＝n ，Sn＝n ；
(3)若一个三角形的面积是，则它是第20 个三角形；
(4)求出 ＋ ＋ ＋ ＋…＋ 的值．
n
20
(4)原式＝ ＋ ＋ ＋ …＋
＝ (1＋2＋3＋…＋n)
＝ .
