(共22张PPT)
2．7 正方形
1．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形．
2．正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，它的四条边都相等，四个角都是直角，对角线相等，且互相垂直平分．
3．正方形的判定方法：
(1)有一组邻边相等的矩形是正方形；
(2)有一个角是直角的菱形是正方形.
相等
直角
平行
相等
直角
相等
互相垂直平分
相等
直角
如图，在菱形ABCD中，E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF.
(1)求证：△BCE≌△DCF；
(2)当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．
【自主解答】
(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B＝∠D，
AB＝BC＝CD＝DA.
∵E，F分别为AB，AD的中点，
∴BE＝ AB，DF＝ AD，
∴BE＝DF.∴△BCE≌△DCF(SAS)．
(2)AB⊥BC，
理由：∵四边形ABCD是菱形，E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，
∴OE＝ BC＝ AD＝AF，
OF＝ CD＝ AB＝AE，OE∥BC，
∴OE＝OF＝AF＝AE，
∴四边形AEOF是菱形，
∵AB⊥BC，∴AE⊥OE，
∴四边形AEOF为正方形．
知识点一：正方形的性质
1．正方形具有而矩形不具有的性质是 ( )
A．两条对角线相等
B．每条对角线平分一组对角
C．四个角都是直角
D．对角线互相平分
B
2．(湘潭期末)如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则图中的等腰三角形有 ( )
A．10个
B．8个
C．6个
D．4个
B
3．如图，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点D，B作DE⊥a于点E，BF⊥a于点F，若DE＝5，BF＝3，则EF的长为8 .
8
知识点二：正方形的判定
4．如图，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开．如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成 ( )
A．22.5°角
B．30°角
C．45°角
D．60°角
C
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为∠ACB的平分线，DE⊥BC 于点E，DF⊥AC于点F.求证：四边形CEDF是正方形．
证明：∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠DFC＝90°，∠DEC＝90°.
又∵∠ACB＝90°，
∴四边形CEDF是矩形．
又∵DE＝DF，
∴四边形CEDF是正方形．
6．(攀枝花中考)如图，正方形ABCD的边长为3，P是对角线BD上一点，PF⊥AD于点F，PE⊥AB于点E，连接PC，当PE∶PF＝1∶2时，PC的长为 ( )
A. B．2 C. D.
C
【解析】连接AP，证AEPF为矩形，则PE＝AF，由正方形得PF＝FD，则AF∶FD＝1∶2，而AD＝3，∴AF＝1，PF＝2，AP＝.证△ABP≌△CBP，即得PC＝AP.
7．(怀化中考)如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PE⊥AD于点E，PE＝3.则点P到直线AB的距离为3 .
3
8．(湘潭中考)七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具．某同学用边长为4 dm的正方形纸板制作了一副七巧板(如图)，它由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成，则图中阴影部分的面积为2 dm2.
2
9．如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF.
(1)求证：△ABE≌△CDF；
证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴CD＝AB，∠ABE＝∠CDF＝45°.
又∵BE＝DF，
∴△ABE≌△CDF(SAS)．
(2)若AB＝3 ，BE＝2，求四边形AECF的面积．
解：连接AC，交BD于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AO＝CO＝DO＝BO.
又∵DF＝BE，∴OE＝OF.
∴四边形AECF是平行四边形．
∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．
在Rt△ABD中，BD＝ ＝6.∴AC＝BD＝6.
∵BE＝DF＝2，∴EF＝2.
∴S四边形AECF＝ AC·EF＝ ×6×2＝6.
微专题5 巧用等面积法求线段之和为定值问题
【例】如图，在矩形ABCD中，P是线段BC上一动点，PE⊥AC，PF⊥BD，
AB＝6，BC＝8，则PE＋PF的值为 .
【对应训练】
1．如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥AB于点F.若菱形ABCD的周长为20，面积为24，则PE＋PF的
值为 .
2．如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE＝BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ＋PR的值
是 .(共21张PPT)
第2课时 多边形的外角与外角和
1．多边形外角的概念
多边形的内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫作这个多边形的一个外角．
2．多边形的外角和
任意多边形的外角和等于360°.
3．多边形的稳定性与不稳定性
三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性．
反向延长线
360°
稳定性
不稳定性
若一个多边形内角和与外角和的比为9∶2.求这个多边形的边数．
【自主解答】
∵任意多边形的外角和都等于360°，多边形内角和与外角和的比为9∶2，
∴多边形内角和为360°÷2×9＝1 620°，
设这个多边形的边数是n，
∴(n－2)×180°＝1 620°，
∴n＝11，即这个多边形的边数为11.
【名师支招】
1．任意多边形的外角和为360°，与边数无关，多边形在每一个顶点处都有两个相等的外角，外角和是指在每一个顶点处只取一个外角所得的和．
2．正n边形的一个外角α与边数的关系为α＝ .
3．四边形的不稳定性是四边形的共性，只要是四边形就都具有．
知识点一：多边形的外角与外角和
1．(兰州中考)如图①是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之镜如同镶嵌于一个画框之中，如图②是八角形空窗的示意图，它的一个外角∠1的度数是 ( )
A．45° B．60°
C．110° D．135°
A
2．若一个多边形的边数增加2倍，则它的外角和 ( )
A．扩大2倍
B．缩小至原来的
C．保持不变
D．无法确定
C
3．(扬州中考)如果一个多边形每一个外角都是60°，那么这个多边形的边数为6 .
4．一个正多边形的每个内角与它相邻外角的度数比为3∶1，则这个正多边形是正八 边形．
6
八
5．一个多边形内角和与外角和的总和是900°，求这个多边形的边数．
解：设这个多边形为n边形，则
(n－2)·180°＋360°＝900°，
解得n＝5，即这个多边形的边数是5.
知识点二：四边形的不稳定性
6．如图所示的升降栅栏门主要是利用了 ( )
A．三角形的稳定性
B．四边形的不稳定性
C．多边形的稳定性
D．以上都不对
B
7．桥梁拉杆、电视塔底座都是三角形结构，这是利用三角形的稳定性；而活动挂架是四边形结构，这是利用四边形的不稳定性．
稳定
不稳定
8．如图，七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线相交于O点．若图中
∠1，∠2，∠3，∠4的外角和为220°，则∠BOD的度数是 ( )
A．40° B．45°
C．50° D．60°
A
【解析】延长BC交OD于点M，由∠OBC＋∠MCD＋∠CDM＝360°－220°＝140°，∠BOD＋∠OBC＝∠BMD，△CMD内角和等于180°，可求得
∠BOD＝40°.
9．如图，已知∠MON＝60°，正五边形ABCDE的顶点A，B在射线OM上，顶点E在射线ON上，则∠AEO＝ 48° .
48°
10．如图，小陈从点O出发，前进5 m后向右转20°，再前进5 m后又向右转20°，……，这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走了90 m.
90
11．如图，将正六边形与正五边形按此方式摆放，正六边形与正五边形的公共顶点为O，且正六边形的边AB与正五边形的边DE在同一条直线上，则∠COF的度数为84° .
84°
12．如图，五边形ABCDE是正五边形，若l1∥l2，则∠1－∠2＝72° .
72°
13．如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数．
∵∠BPO是△PDC的外角，
∴∠BPO＝∠C＋∠D.
∵∠POA是△OEF的外角，
∴∠POA＝∠E＋∠F.
∵∠CIO是△ABI的外角，
∴∠CIO＝∠A＋∠B.
∵∠BPO＋∠POA＋∠CIO＝360°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°.
14．(宛城区期末)阅读小明和小红的对话，解决下列问题．
(1)这个“多加的锐角”是30°；
(2)小明求的是几边形的内角和？
(3)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个外角是多少度？
30°
(1)十二边形的内角和为(12－2)×180°＝1 800°，而十三边形的内角和为(13－2)×180°＝1 980°，由于小红说：“多边形的内角和不可能是1830°，你一定是多加了一个锐角”，所以这个“多加的锐角是1 830°－1 800°＝30°，故答案为：30°.
(2)设这个多边形为n边形，由题意得
(n－2)×180°＝1 800°，解得n＝12.
答：小明求的是十二边形的内角和．
(3)正十二边形的每一个外角都相等，而多边形的外角和始终为360°，
∴每一个外角为 ＝30°，
答：这个正多边形的每一个外角为30°.(共22张PPT)
第2章 四边形
2．1 多边形
第1课时 多边形及其内角和
1．在平面内，边相等、角也都相等的多边形叫作正多边形．
2．n边形的内角和等于(n－2)·180°.
相等
相等
(n－2)·180°
(1)有两个正多边形，它们边数的比为1∶2，内角和之比为3∶8，则这两个多边形的边数之和是____；
(2)将六边形减去一个角后，所得图形的内角和是多少？
【自主解答】
(1)15.
(2)六边形减去一个角后，变成如图所示的形状，它的内角和分别是
(5－2)×180°＝540°
或(7－2)×180°＝900°
或(6－2)×180°＝720°.
【名师支招】
1．已知多边形的边数，可以利用公式直接求得多边形的内角和及对角线条数．
2．应用方程思想，可以在已知多边形内角和的条件下建立一元一次方程模型来求出多边形的边数．
3．任意一个多边形，边数每增加1条，则其内角和增加180°.
知识点一：多边形的有关概念
1．下列说法中不正确的是 ( )
A．正多边形各边都相等
B．正多边形各角都相等
C．正多边形就是长方形
D．正三角形就是等边三角形
C
2．从五边形的一个顶点出发作对角线，把这个五边形分成三角形的个数是3 .
3．在凸多边形中，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，观察探索凸十边形的对角线有3 5条．
3
35
知识点二：多边形的角和正多边形
4．(永州中考)下列多边形中，内角和等于360°的是 ( )
B
5．(济宁中考)一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是五边形．
五
6．(重庆中考)如图，正五边形ABCDE中，连接AC，那么∠BAC的度数是36° .
36°
7．求如图所示的图形中的x的值．
解：根据图形可知
x＋x＋30＋60＋x＋x－10＝(5－2)×180，
解得x＝115.
8．把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是 ( )
A．六边形
B．五边形
C．四边形
D．三角形
A
9．如图，将一张四边形纸片沿直线剪开，如果剪开后的两个图形的内角和相等，下列剪法中，符合要求的是 ( )
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
B
10．如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360° .
360°
11．平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，如图，则∠3＋∠1－∠2＝24° .
24°
12．如图，在△ABC中内接一个正五边形ADEFG，则∠ABC＝36° .
36°
13．一个多边形，除了一个内角外其余各内角的和为2 740°，求这个内角的度数．
解：设这个多边形的边数为n，则
0°＜(n－2)×180°－2 740°＜180°，
解得17 ＜n＜18 .
又∵n是整数，∴n＝18，
∴这个内角的度数为(18－2)×180°－2 740°＝140°.
14．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝100°，∠BCD＝70°，点M，N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折，得到△FMN，若MF∥AD，
FN∥DC，求∠B的度数．
解：∵MF∥AD，
∴∠FMB＝∠DAB＝100°.
∵FN∥DC，
∴∠FNB＝∠BCD＝70°.
在四边形FNBM中，
∠BMF＋∠B＋∠BNF＋∠F＝360°，
∴∠B＋∠F＝360°－100°－70°＝190°.
∴∠B＝∠F＝95°.
15．(推理能力)连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．如图①，AC，AD是五边形ABCDE的对角线，思考下列问题：
(1)如图②，多边形A1A2A3A4A5A6…An中，过顶点A1可以画(n－3)条对角线，过顶点A2可以画(n－3)条对角线，过顶点A3可以画(n－3)条对角线；(均用含n的代数式表示)
(2)过顶点A1的对角线与过顶点A3的对角线中有重复吗？有重复；
(3)由此，能发现n边形的对角线总条数是 (用含n的代数式表示)．
(n－3)
(n－3)
(n－3)
有重复(共22张PPT)
2．5 矩 形
2．5.1 矩形的性质
矩形的性质：
(1)矩形的四个角都是直角，对边平行且相等，对角线相等且互相平分．
(2)矩形既是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心；又是轴对称图形，过每一组对边中点的直线，都是矩形的对称轴．
直角
平行且相等
相等且互相平分
对角线的交点
过每一组对边中点的直线
如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，对角线AC，BD交于点O，且BE∶ED＝1∶3，AD＝6 cm，求AE的长．
【自主解答】
设BE＝x，则DE＝3x，
那么BD＝x＋3x＝4x，
∵BO＝DO，∴BO＝2x，EO＝x.
而AO＝BO＝2x，∴EO＝ AO.
∵AE⊥BD，
∴∠OAE＝30°，即∠AOE＝60°.
又∵AO＝DO，∴∠ADB＝30°.
在Rt△AED中，
AE＝ AD＝ ×6＝3 (cm)．
【名师支招】
矩形具有平行四边形所有的性质，但它有其特殊性质，矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等．
知识点：矩形的性质
1．矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知OA＝3，则BD的长为
( )
A．3
B．4
C．5
D．6
D
2．如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向左扭动框架，观察变化，下列判断中错误的是 ( )
A．四边形ABCD由矩形变为平行四边形
B．对角线BD的长度减小
C．四边形ABCD的面积不变
D．四边形ABCD的周长不变
C
3．(杭州中考)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.若∠AOB＝60°，则 的值为 ( )
A. B.
C. D.
D
4．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点，若OE＝3，则BC的长为6 .
6
5．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．求证：DE＝BF.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
∵E，F分别是边AB，CD的中点，
∴DF＝BE.
∴四边形DEBF是平行四边形．
∴DE＝BF.
6．(兰州中考)如图，在矩形ABCD中，点E为BA延长线上一点，F为CE的中点，以B为圆心，BF长为半径的圆弧过AD与CE的交点G，连接BG.若AB＝4，CE＝10，则AG的长为 ( )
A．2 B．2.5
C．3 D．3.5
C
【解析】在Rt△EBC中，F为CE中点，则BF＝BG＝5.
7．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且∠CDF＝∠BDC，∠DCF＝∠ACD.
(1)求证：DF＝CF；
(2)若∠CDF＝60°，DF＝6，
求矩形ABCD的面积．
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴ OC ＝ AC，
OD＝ BD，AC＝BD，
∴OC＝OD，∴∠ACD＝∠BDC.
∵∠CDF＝∠BDC，∠DCF ＝∠ACD，
∴∠CDF ＝∠DCF，∴DF＝CF.
(2)解：由(1)可知DF＝CF，
∵∠CDF＝60°，
∴△CDF是等边三角形，∴CD＝DF＝6.
∵∠CDF＝∠BDC＝60°，∠BCD＝90°，
∴∠CBD＝30°，∴BD＝2CD＝12.
∴BC＝ ＝ ＝6 .
∴S矩形ABCD＝BC·CD＝6 ×6＝36 .
8．如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为点E，AE与CD交于点F.
(1)求证：△DAF≌△ECF；
(2)若∠FCE＝40°，求∠CAB的度数．
(1)证明：将矩形ABCD沿对角线AC折叠，则
AD＝BC＝EC，
∠D＝∠B＝∠E＝90°.
又∵∠DFA＝∠EFC，
∴△DAF≌△ECF(AAS)．
(2)解：∵△DAF≌△ECF，
∴∠DAF＝∠ECF＝40°.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB ＝90°.
∴∠EAB＝90°－40°＝50°.
又易知∠CAB＝∠CAE，
∴∠CAB＝25°.
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，EB∥DF且BE与DF之间的距离为3，求AE的长．
解：过点D作DG⊥BE交BE的延长线于点G，垂足为G，则GD＝3＝AB，
又∵∠A＝∠G，
∠AEB＝∠GED，
∴△AEB≌△GED(AAS)，
∴AE＝EG.
设AE＝EG＝x，则ED＝4－x，
在Rt△DEG中，x2＋32＝(4－x)2，
∴x＝ ，
∴AE的长为 .(共24张PPT)
2．6 菱 形
2．6.1 菱形的性质
1．菱形的概念
一组邻边相等的平行四边形叫作菱形．
相等
2．菱形的性质
(1)菱形的四条边都相等，对角相等，对角线互相垂直且平分．
(2)菱形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心；菱形是轴对称图形，两条对角线所在直线都是它的对称轴．
3．菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半．
相等
相等
垂直
平分
中心
对称中心
轴对称
对称轴
两条对角线长度
如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，求证：∠DHO＝∠DCO.
【自主解答】
∵四边形ABCD是菱形，
∴OD＝OB，∠COD＝90°.
∵DH⊥AB，
∴OH＝ BD＝OB.
∴∠OHB＝∠OBH.
又∵AB∥CD，
∴∠OBH＝∠ODC.
∴∠OHB＝∠ODC.
在Rt△COD中，∠ODC＋∠DCO＝90°，
在Rt△DHB中，∠DHO＋∠OHB＝90°，
∴∠DHO＝∠DCO.
知识点一：菱形的性质
1．(深圳中考)如图，在 ABCD中，AB＝4，BC＝6，将线段AB水平向右平移a个单位得到线段EF.当四边形ECDF为菱形时，a的值为 ( )
A．1 B．2
C．3 D．49
B
2．(湘潭中考)如图，菱形ABCD中，连接AC，BD，若∠1＝20°，则∠2的度数为 ( )
A．20°
B．60°
C．70°
D．80°
C
3．(福建中考)如图，在菱形ABCD中，AB＝10，∠B＝60°，则AC的长为10 .
10
4．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别为AD，CD边上的点，DE＝DF.
求证：∠1＝∠2.
证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD.
又∵∠D＝∠D，DF＝DE，
∴△ADF≌△CDE(SAS)，∴∠1＝∠2.
知识点二：菱形的面积
5．(临沂中考)若菱形的两条对角线长分别为6和8，则该菱形的面积为24 .
24
6．如图，在菱形ABCD中，∠A，∠ADC的度数比是1：3，AB边上的高是4，求菱形的面积．
解：过点D作DE⊥AB于点E，
∵菱形的两个内角的度数比是1：3，
∴3∠A＝∠ADC，∠A＋∠ADC＝180°，
∴∠A＝45°，则∠ADE＝45°，
∴AE＝ED＝4，∴AD＝4 ，
∴菱形的面积是4×4 ＝16 .
7．如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节AE间的距离，若AE间的距离调节到60 cm，菱形的边长AB＝20 cm，则∠DAB的度数是 ( )
A．90°
B．100°
C．120°
D．150°
C
8．如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，且AC∶BD＝1∶.若AB＝12，求菱形ABCD的面积．
解：设AC＝k，则BD＝k.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
AO＝ AC＝ k，
BO＝ BD＝ k，
在Rt△AOB中，由勾股定理得
＋ ＝122，解得k＝12，
∴AC＝12，BD＝12 ，
∴S菱形ABCD＝ AC·BD＝72 .
9．(嘉兴中考)如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连接EF.
(1)求证：AE＝AF；
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D.
又∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
∴△ABE≌△ADF(AAS)，
∴AE＝AF.
(2)若∠B＝60°，求∠AEF的度数．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B＋∠BAD＝180°，∠D＝∠B＝60°，
∴∠BAD＝120°.
又∵∠AEB＝∠AFD＝90°，
∴∠BAE＝∠DAF＝30°，
∴∠EAF＝120°－30°－30°＝60°，
∴△AEF是等边三角形，∴∠AEF＝60°.
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F.
(1)求证：△AEC≌△ADB；
(2)若AB＝2，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．
(1)证明：∵△ABC绕A点
旋转得到△ADE，
∴AB＝AD，AC＝AE，
∠BAC＝∠DAE.
∴∠EAC＝∠DAB，
∴△AEC≌△ADB(SAS)．
(2)解：∵四边形ADFC是菱形，
∴AC∥DF，∴∠DBA＝∠BAC＝45°.
又∵AD＝AB＝2，∴∠BDA＝∠DBA＝45°，
∴∠DAB＝90°，∴△BAD是等腰直角三角形，
∴BD＝ ＝2 .
∵四边形ADFC是菱形，
∴DF＝AD＝2，
∴BF＝BD－DF＝2 －2.(共22张PPT)
2．6.2 菱形的判定
1．有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
2．四条边都相等的四边形是菱形．
3．对角线互相垂直的平行四边形 是菱形．
平行四边形
都相等
互相垂直
如图，在 ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F在AC上，AE＝CF.
(1)求证：四边形EBFD是平行四边形；
(2)若∠BAC＝∠DAC，求证：四边形EBFD是菱形．
【自主解答】
(1)在 ABCD中，OA＝OC，OB＝OD.
∵AE＝CF，∴OE＝OF.
∴四边形EBFD是平行四边形．
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC.∴∠BAC＝∠DCA.
又∵∠BAC＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC.∴DA＝DC.
∵OA＝OC，∴DB⊥EF.
由(1)知四边形EBFD是平行四边形，
∴四边形EBFD是菱形．
【名师支招】
菱形的判定方法及满足条件如下：
1．定义法：用此法判定一个四边形是菱形，须满足两个条件：①是平行四边形，②有一组邻边相等．
2．判定定理1：用此法判定一个四边形是菱形，须满足这个四边形的四条边相等．
3．判定定理2：用此法判定一个四边形是菱形，须满足两个条件：①是平行四边形，②对角线互相垂直．
知识点一：有一组邻边相等的平行四边形是菱形
1．(营口中考)如图，将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，只需添加一个条件即可证明四边形ABED是菱形，这个条件可以是AB＝AD(答案不唯一)(写出一个即可)．
AB＝AD(答案不唯
一)
知识点二：四条边都相等的四边形是菱形
2．△ABC为等腰三角形，如果把它沿底边BC翻折后，得到△DBC，那么四边形ABDC为 ( )
A．平行四边形
B．菱形
C．矩形
D．以上都不对
B
3．如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，AD＝BC.求证：四边形EFGH是菱形．
证明： ∵E，F分别是AB，BD的中点，∴EF＝ AD.
同理可得GH＝ AD，GF＝ BC，HE＝ BC.
又∵AD＝BC，∴EF＝GF＝GH＝HE.
∴四边形EFGH是菱形．
知识点三：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
4．如图，D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，DE＝DF.下列能使四边形BECF为菱形的是 ( )
A．EB⊥EC
B．AB⊥AC
C．AB＝AC
D．BF∥CE
C
5．(齐齐哈尔中考)如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AC⊥BD于点O.请添加一个条件：AD∥BC(答案不唯一)，使四边形ABCD为菱形．
AD∥BC(答案不唯一)
6．已知 ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知AC＝6，BD＝8，当AB＝5时，四边形ABCD是菱形．
5
7．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为BC的中点，连接EO并延长交AD于点F.∠ABC＝60°，BC＝2AB，有下列结论：①AB⊥AC；②AD＝4OE；③四边形AECF是菱形；④S△BOE＝ SABC.其中正确的个数是 ( )
A．4 B．3
C．2 D．1
A
8．如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使∠ABC＝60°，则四边形ABCD的面积为6 .
9．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F.
(1)求证：四边形ADBF是菱形；
证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠ECD，
∠FAE＝∠CDE.
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE.
∴△FAE≌△CDE(AAS)．∴AF＝CD.
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD.∴AF＝BD.
又∵AF∥BD，
∴四边形ADBF是平行四边形．
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝ BC＝BD.
∴四边形ADBF是菱形．
(2)若AB＝8，菱形ADBF的面积为40，求AC的长．
解：∵四边形ADBF是菱形，
∴S菱形ADBF＝2S△ABD.
∵D是BC的中点，
∴S△ABC＝2S△ABD.
∴S△ABC＝S菱形ADBF＝40.
又∵∠BAC＝90°，∴ AB·AC＝40.
∵AB＝8，∴AC＝10.
10．(滨州中考)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BE∥AC，AE∥BD.
(1)求证：四边形AOBE是菱形；
(2)若∠AOB＝60°，AC＝4，求菱形AOBE的面积．
(1)证明：∵BE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AOBE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC＝ AC，OB＝OD＝ BD，
∴OA＝OB，∴四边形AOBE是菱形．
(2)解：作BF⊥OA于点F，
∵四边形ABCD是矩形，AC＝4，
∴OA＝OB＝ AC＝2，
∵∠AOB＝60°，∴△AOB为等边三角形，
∴AB＝OB＝2，AF＝ OA＝1，
在Rt△ABF中，BF＝ ＝ ，
∴菱形AOBE的面积是OA·BF＝2× ＝2 .(共22张PPT)
2．2.2 平行四边形的判定
第1课时 平行四边形判定定理1，2
1．平行四边形判定定理1：
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
2．平行四边形判定定理2：
两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
平行
相等
相等
如图， ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF，求证：
(1)AE＝CF；
(2)四边形AECF是平行四边形．
【自主解答】
(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD.
∴∠ABE＝∠CDF.
在△ABE和△CDF中，
又∵BE＝DF，
∴△ABE≌△CDF(SAS)．
∴AE＝CF.
(2)∵△ABE≌△CDF，
∴∠AEB＝∠CFD.
∴∠AEF＝∠CFE.∴AE∥CF.
又∵AE＝CF.
∴四边形AECF是平行四边形．
【名师支招】
由边的关系判定平行四边形的方法有三种：
(1)两组对边分别平行(定义)；
(2)一组对边平行且相等(平行四边形的判定定理1)；
(3)两组对边分别相等(平行四边形的判定定理2)．
知识点一：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
1．依据所标数据，下列一定为平行四边形的是 ( )
D
2．如图， ABCD中，E，F分别为BC，AD边上的点，要使BF＝DE，需添加一个条件：BE＝DF(答案不唯一)．
BE＝DF(答案不唯一)
3．(广安中考)如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E，F，AF＝CE，∠BAC＝∠DCA.求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵AF＝CE，∴AE＝CF.
在△ABE和△CDF中，
∠BAE＝∠DCF，
AE＝CF，
∠AEB＝∠CFD，
∴△ABE≌△CDF(ASA)，∴AB＝CD，
∵∠BAC＝∠DCA，∴AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形．
知识点二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
4．下列图形中，一定可以拼成平行四边形的是 ( )
A．两个等腰三角形
B．两个直角三角形
C．两个锐角三角形
D．两个全等三角形
D
5．如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧，再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D，连接AD，CD.若∠B＝65°，则∠D的度数为65° .
65°
6．在四边形ABCD中：①AB∥CD；②AD∥BC；③AB＝CD；④AD＝BC.从以上条件中选择两个，能使四边形ABCD为平行四边形的选法共有( )
A．3种
B．4种
C．5种
D．6种
B
7．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD>BC，BC＝6 cm，AD＝10 cm，点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以2 cm/s的速度由A向D运动，
点Q以1 cm/s的速度由C向B运动， s后图中出现平行四边形．
【解析】列方程6－x＝2x或x＝10－2x，解之即可．
2或
8．如图，延长 ABCD的边AD到点F，使DF＝DC，延长CB到点E，使BE＝BA，分别连接AE和CF，求证：AE＝CF.
证明： ABCD中，
AB＝CD，AD＝BC.
∵AB＝BE，CD＝DF，
∴BE＝DF.
∵AD＝BC，
∴AF＝EC.
∵AF∥EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE＝CF.
9．如图，在 ABCD中，E，F分别为边AD，BC的中点，对角线AC分别交BE，DF于点G，H.求证：AG＝CH.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠ADF＝∠CFH，∠EAG＝∠FCH.
∵E，F分别为AD，BC边的中点，
∴AE＝DE＝ AD＝ BC＝CF＝BF.
又∵DE∥BC，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE∥DF，∴∠AEG＝∠ADF，
∴∠AEG＝∠CFH.∴△AEG≌△CFH(ASA)，
∴AG＝CH.
10．如图，在 ABCD 中，∠C＝60°，点M，N分别是AD，BC的中点，BC＝2CD.
(1)求证：四边形MNCD是平行四边形；
(2)求证：BD＝ MN.
(1)证明∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC.
又∵M，N分别是AD，BC的中点，
∴MD＝NC，MD∥NC，
∴四边形MNCD是平行四边形．
(2)连接DN.
∵N是BC的中点，BC＝2CD，∴CD＝NC.
又∵∠C＝ 60°，∴△DCN是等边三角形．
∴ND＝NC＝NB＝ BC，∴∠BDC＝90°.
∴BD＝ CD＝ MN.(共22张PPT)
2．4 三角形的中位线
1．三角形的中位线的概念：
连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线．
2．三角形的中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
中点
平行
等于
一半
如图，E为 ABCD中DC边的延长线上一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于点O，连接OF，判断AB与OF的位置关系和数量关系，并证明你的结论．
【自主解答】
AB∥OF，OF＝AB.
连接BE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AB＝DC，AB∥DE.
又∵CE＝DC，
∴AB＝CE，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴BF＝CF.
又∵OA＝OC，
∴OF是△ABC的中位线，
∴AB∥OF，OF＝ AB.
【名师支招】
1．已知三角形中位线可得出中位线与第三边的位置与数量关系．
2．当已知条件中有中点时，常再取某一边的中点构造三角形的中位线，运用三角形中位线的性质证明某些线段与角度之间的关系．
3．中点四边形是平行四边形，其周长是原四边形对角线之和，面积是原四边形面积的一半．
知识点一：三角形的中位线定义
1．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，则图中是△ABC中位线的线段是 （ ）
A．线段DE
B．线段CD
C．线段BE
D．以上都不是
A
知识点二：三角形的中位线定理
2．(云南中考)如图，A，B两点被池塘隔开，A，B，C三点不共线，设AC，BC的中点分别为M，N.若MN＝3 m，则AB的长为 ( )
A．4 m
B．6 m
C．8 m
D．10 m
B
3．如图，小聪与小慧玩跷跷板，跷跷板支架高EF为0.6 m，E是AB的中点，F是AC的中点，那么小聪能将小慧翘起的最大高度BC为1.2 m.
1.2
4．(邵阳中考)如图，点D，E，F分别为△ABC三边的中点，若△ABC的周长为10，则△DEF的周长为5 .
5
5．如图，等边三角形ABC的边长是2，点D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF＝ BC，连接CD和EF.求证：DE＝CF.
证明：∵D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE＝ BC.
∵CF＝ BC，
∴DE＝ CF.
6．如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M.若BC＝7，则MN的长度为 ( )
A. B．2 C. D．3
C
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝30°，D，E分别为AC，BC的中点，DE＝2，过点B作BF∥AC，交DE的延长线于点F，则四边形ABFD的面积为8 .
8．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，M，N，P分别是AD，BC，BD的中点，∠ABD＝20°，∠BDC＝70°.
(1)求证：△PMN为等腰三角形；
(2)求∠PMN的度数．
(1)证明：∵在四边形ABCD中，M，N，P分别是AD，BC，BD的中点，
∴PM，PN分别是△DAB与△CDB的中位线．
∴PM＝ AB，PN＝ DC，PM∥AB，PN∥DC.
∵AB＝CD，∴PM＝PN.
∴△PMN是等腰三角形．
(2)解：∵PM∥AB，PN∥DC，
∴∠MPD＝∠ABD＝20°，
∠NPD＝180°－∠BDC＝110°.
∴∠MPN＝∠MPD＋∠NPD＝130°.
∵PM＝PN，∴∠PMN＝ ＝25°.
微专题4 巧构三角形的中位线
方法1：连接两点构造三角形的中位线
1.如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AE＝BE，BF＝CF，连接EF，AD＝3，CD＝1，则EF的长为 ．
【解析】连接AC，EF为△ABC的中位线．)
方法2：利用角平分线和垂直构造三角形的中位线
2．如图，在△ABC中，已知AB＝6，AC＝10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，E为BC的中点．则DE＝2 .
【解析】延长BD交AC于点F，AB＝AF，DE为△BFC的中位线．
2
方法3：倍长法构造三角形的中位线
3．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，△BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°，M为AF的中点．若ME＝4，则CF＝8 .
【解析】延长FE到点N，使NE＝EF，连接AN，BN，ME为△FAN的中位线，证△ABN≌△CBF(SAS)．
8
方法4：已知两边中点，取第三边中点构造三角形的中位线
4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，AD⊥BC于点D，P是AD的中点，延长BP交AC于点N，则AN＝2 .
2
【解析】取NC的中点E，连接DE，作EF∥AD交BN的延长线于F.证四边形PDEF为平行四边形，△APN≌△EFN，得AN＝NE＝EC.(共22张PPT)
第2课时 平行四边形判定定理3
平行四边形判定定理3：
(1)对角线互相平分 的四边形是平行四边形；
(2)两组对角分别 的四边形是平行四边形．
平分
相等
如图，四边形ABCD的对角线交于点O，且O为AC中点，AE＝CF，DF∥BE，求证：四边形ABCD是平行四边形．
【自主解答】
∵O为AC中点，
∴OA＝OC，
∵AE＝CF，∴OE＝OF，
∵DF∥BE，∴∠E＝∠F，
∵∠BOE＝∠DOF，
∴△BOE≌△DOF(ASA)，∴OB＝OD，
又∵OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【名师支招】
判定定理3的前提条件是两条对角线互相平分．定理的关键词表达一定要准确，如“对角线互相平分”不能说成“对角线平分”．
知识点一：对角线互相平分的四边形是平行四边形
1．四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列四组条件中，一定能判定四边形ABCD为平行四边形的是 ( )
A．AD∥BC
B．OA＝OC，OB＝OD
C．AD∥BC，AB＝DC
D．AC⊥BD
B
2．将两根木条AC，BD的中点重叠，并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形，它的依据是对角线互相平分的四边形是平行四边形．
对角线互相平分的四边形是平行四边形
3．如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，EF过点O交AD于点E，交BC于点F，G是OA的中点，H是OC的中点，求证：四边形EGFH是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA＝OC，
∴∠EAO＝∠FCO.
又∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF(ASA)．
∴OE＝OF.
∵G是OA的中点，H是OC的中点，OA＝OC，
∴OG＝OH.
∴四边形EGFH是平行四边形．
知识点二：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
4．下列条件中不能确定四边形ABCD为平行四边形的是 ( )
A．∠A＝∠C，∠B＝∠D
B．∠A＝∠B＝∠C＝90°
C．∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°
D．∠A＝∠B，∠C＝∠D
D
5．在四边形ABCD中，已知∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比为2∶1∶2∶1，AB＝2，则CD的长为2 .
2
6．如图①， ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角．要在对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，现有图②中的甲、乙、丙三种方案，
则正确的方案有 ( )
甲：取BD的中点O，作BN＝NO，OM＝MD.
乙：作AN⊥BD于点N，CM⊥BD于点M.
丙：作AN，CM分别平分∠BAD，∠BCD.
A．甲、乙、丙 B．甲、丙
C．甲、乙 D．乙、丙
A
7．在四边形ABCD中，有下列条件：①AB∥CD；②AD＝BC；③∠A＝∠C；④AD∥BC，选其中两个条件就能判断四边形ABCD是平行四边形的选法有4 种．
4
8．如图，在 ABCD中，AC，BD交于点O，过点O作直线EF，GH，分别交平行四边形的四条边于E，G，F，H四点，连接EG，GF，FH，HE.
(1)求证：OE＝OF；
(2)试判断四边形EGFH的形状，并说明理由．
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA＝OC，
∴∠EAO＝∠FCO，
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴OE＝OF.
(2)解：四边形EGFH是平行四边形，
理由：由(1)知OE＝OF，同理可证得OG＝OH，
∴四边形EGFH是平行四边形．
9．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知O是AC的中点，AE＝CF，DF∥BE.
(1)求证：△BOE≌△DOF；
(2)求证：四边形ABCD是平行四边形．
(1)∵DF∥BE，
∴∠FDO＝∠EBO，
∠DFO＝∠BEO，
∵O为AC的中点，
∴OA＝OC，
∵AE＝CF，
∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF，
∴△BOE≌△DOF(AAS)．
(2)由(1)知△BOE≌△DOF，
∴OB＝OD，
∵O是AC的中点，
∴OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
10．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BD＝12 cm，AC＝6 cm，点E在线段BO上从点B 以1 cm/s的速度运动，点F在线段OD上从点O以2 cm/s的速度运动，若点E，F同时运动，设运动时间为t s，当t为何值时，四边形AECF是平行四边形？
解：若四边形AECF
是平行四边形，
那么AO＝OC，EO＝OF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝OD＝6 cm.
∴EO＝(6－t)cm，OF＝2t cm
由EO＝OF得6－t＝2t，解得t＝2，
∴当t＝2时，四边形AECF是平行四边形．(共11张PPT)
2．3 中心对称和中心对称图形
第1课时 中心对称
知识点一：中心对称的概念
1．下列说法中正确的是 ( )
A．形状和大小完全相同的两个图形成中心对称
B．成中心对称的两个图形必重合
C．成中心对称的两个图形形状和大小完全相同
D．旋转后能重合的两个图形成中心对称
C
2．如图，在下列四组图形中，右边图形与左边图形成中心对称的有①②③(选填序号)．
①②
③
知识点二：中心对称的性质
3．如图，若四边形ABCD与四边形FGCE成中心对称，则它们的对称中心是点C ，点A的对称点是点 F，点E的对称点是点D .BD∥GE且BD＝GE.连接AF，线段经过点C ，且被点C平 分，△ABD≌△FGE.
点C
点F
点D
GE
GE
C
平分
△FGE
4．如图，在方格网中有格点△ABC和点O，请画出△A′B′C′，使它和△ABC关于点O成中心对称．
解: △A′B′C′如图所示．
5．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中成中心对称的三角形共有 ( )
A．4对
B．3对
C．2对
D．1对
A
6．如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若AC＝1，AB＝2，∠BAC＝90°，则AE的长是2 .
7．如图，D是△ABC边BC的中点，连接AD并延长到点E，使DE＝AD，连接BE.
(1)哪两个图形成中心对称？
(2)已知△ADC的面积为4，求△ABE的面积；
(3)已知AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．
解：(1)△ADC和△EDB成中心对称．
(2)∵△ADC和△EDB成中心对称，△ADC的面积为4，
∴△EDB的面积也为4.
∵D为BC的中点．
∴△ABD的面积也为4，
∴△ABE的面积为8.
(3)∵△ADC和△EDB成中心对称，
∴BE＝AC＝3.
在△ABE中，∵AB＝5，BE＝3，
∴5－3
又∵AD＝DE，
∴1第2课时 平行四边形对角线的性质
1．平行四边形对角线的性质：
平行四边形的对角线互相平分．
2．平行四边形的性质汇总：
角：对角相等，相邻的两个角互补；
边：对边平行且相等；
对角线：互相平分．
互相平分
相等
互补
平行
相等
互相平分
如图，在 ABCD中，点O为对角线BD的中点，EF过点O且分别交AB，DC于点E，F，连接DE，BF.求证：
(1)△DOF≌△BOE；
(2)DE＝BF.
【自主解答】
(1)∵点O为对角线BD的中点，
∴ OD＝OB.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ DF∥EB，∴∠DFO＝∠BEO.
在△DOF和△BOE中，
∠DFO＝∠BEO，
∠DOF＝∠BOE，
DO＝BO
∴△DOF≌△BOE(AAS)．
(2)∵△DOF≌△BOE.∴OF＝OE.
可证四边形DEBF为平行四边形，
∴ DE＝BF.
【名师支招】
1．平行四边形被两条对角线分成的四个小三角形的面积相等，相邻两个三角形周长之差等于平行四边形邻边之差；相对的两个三角形周长相等．每个小三角形有两边是对角线的一半，因此常用这一性质求三角形的周长或某一边的取值范围．
2．若一条直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线平分平行四边形的周长和面积．
知识点：平行四边形对角线的性质
1．(成都中考)如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论中一定正确的是 ( )
A．AC＝BD B．OA＝OC
C．AC⊥BD D．∠ADC＝∠BCD
B
2．如图，在 ABCD中，全等三角形共有 ( )
A．2对
B．3对
C．4对
D．5对
C
3．如图，在 ABCD中，AC＝8，BD＝6，AD＝a，则a的取值范围是
1＜a＜7 .
1＜a＜7
4．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD＝90°，BC＝4，BE＝3，则 ABCD的面积为 .
24
5．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝10，BD＝6，AD＝4，则∠BDA＝90° .
90°
6．如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别是AO，CO的中点，连接DE，BF.求证：DE∥BF.
证明：∵ ABCD的对角线AC与BD相交于
点O，∴AO＝CO，BO＝DO，
又∵点E，F分别是AO，CO的中点，
∴OE＝ AO，OF＝ CO，∴OE＝OF，
又∵BO＝DO，∠EOD＝∠FOB，
∴△EOD≌△FOB(SAS)，
∴∠DEO＝∠BFO，
∴DE∥BF.
7．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BC，AB＝10，BC＝8，则OD的长为 （ ）
A.
B．6
C．7
D.
A
8．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点M，N，若△CON的面积为2，△DOM的面积为4，则 ABCD的面积为24 .
24
9．如图，若 ABCD的周长为22 cm，AC，BD相交于点O，△AOD的周长比△AOB的周长小 3 cm，求AD，AB的长．
解：∵四边形ABCD是平行
四边形，且周长为22 cm，
∴AD＋AB＝11，
OB＝OD，
∵△AOD的周长比△AOB的周长小3 cm，
∴(OA＋OB＋AB)－(OA＋OD＋AD)
＝AB－AD＝3，
∴AD＝4 cm，AB＝7 cm.
10．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，如果AE＝4，DE＝2，DC＝2 ，求AC的长．
解：连接CE.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO.
又∵OE⊥AC，∴CE＝AE＝4.
∵DE＝2，CD＝2 ，
∴CE2＋DE2＝42＋22＝(2 )2＝CD2.
∴△CED是直角三角形．
∴∠CEA＝∠CED＝90°.
∴AC＝ ＝4 .
11．(1)如图①， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O，与AD，BC分别相交于点E，F.求证：AE＝CF；
(2)若(1)中的条件不变，将EF转动到图②的位置，EF分别与平行四边形的两对边的延长线相交，那么(1)中的结论是否成立？请说明理由．
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA＝OC，
∴∠EAO＝∠FCO.
在△AOE和△COF中，
∠EAO＝∠FCO，
OA＝OC，
∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴AE＝CF.
(2)解：结论依然成立．
理由：同理可证△AOE≌△COF，
∴AE＝CF.