(共21张PPT)
第2课时 一次函数的图象和性质
1．一次函数y＝kx＋b的图象是一条直线，当b≠0时，它与正比例函数y＝kx的图象平行，一次函数y＝kx＋b的图象可以看作由直线y＝kx平移|b|个单位长度而得到，当b>0时，向上平移，当b<0时，向下平移．
2．一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)，当k>0时，图象是自左向右上升的直线，即y随x的增大而增大；当k<0 时，图象是自左向右下降的直线，即y随x的增大而减小．
平行
上
下
上
升
增大
下降
减小
已知一次函数y＝(2m＋4)x＋m－3，
(1)当m为何值时，y随x的增大而增大？
(2)当m为何值时，函数图象与y轴的交点在x轴下方？
(3)当m为何值时，函数图象经过原点？
(4)当m为何值时，这条直线平行于直线y＝－x
【自主解答】
(1)由题意得2m＋4>0，∴m>－2.
(2)由题意得m－3<0，且2m＋4≠0，
∴m<3，且m≠－2.
(3)由题意得m－3＝0，且2m＋4≠0，
∴m＝3.
(4)由题意得2m＋4＝－1，且m－3≠0，
∴m＝－ .
【名师支招】
1．直线y＝kx＋b(k≠0)的位置由k和b的符号共同决定；增减变化情况只与k的符号有关．
2．在同一平面内，对于直线y1＝k1x＋b1与直线y2＝k2x＋b2，当k1＝k2，
b1≠b2时，两直线平行．
知识点一：一次函数图象的平移与画法
1．(天津中考)若直线y＝x向上平移3个单位后经过点(2，m)，则m的值为5 .
5
2．在同一平面直角坐标系中，作出下列函数的图象：
(1)y1＝2x－1；(2)y2＝2x；(3)y3＝2x＋2.
解：列表：
x 0 1
y1 －1 1
y2 0 2
y3 2 4
描点、连线如图所示：
知识点二：一次函数的图象和性质
3．(通辽中考)在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x－3的图象是 ( )
D
4．(汉寿县期末)已知A(－2，y1)，B(1，y2)是一次函数y＝3x＋2图象上的两点，则y1＜y2(选填“>”“<”或“＝”)．
＜
知识点三：实际问题中的一次函数
5．为了锻炼身体增强体质，小何同学在某周末上午9时骑自行车离开家去绿道锻炼，15时回家，小何离家的距离s(km)与时间t(h)之间的关系如图所示．
根据图象解答下列问题：
(1)小何离家的最远距离为35 km；
(2)小何途中共休息了2 次：第1次休息了0.5h，第2次休息了1 h；
(3)小何由离家最远的地方返回时，经过的距离为35 km，所用的时间为2h，∴小何由离家最远的地方返回时的平均速度为17.5km/h.
35 km
2
0.5
1
35
2
17.5
6．如果函数y＝kx＋b(k，b是常数)的图象不经过第二象限，那么k，b应满足的条件是 ( )
A．k≥0且b≤0
B．k>0且b≤0
C．k≥0且b<0
D．k>0且b<0
A
7．(内蒙古中考)在平面直角坐标系中，将正比例函数y＝－2x的图象向右平移3个单位得到一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象，则该一次函数的表达式为 ( )
A．y＝－2x＋3
B．y＝－2x＋6
C．y＝－2x－3
D．y＝－2x－6
B
8．(陕西中考)在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax和y＝x＋a(a为常数，a<0)的图象是 ( )
D
9．已知某汽车装满油后油箱中的剩余油量y(单位：L)与汽车的行驶路程x(单位：km)之间具有一次函数关系(如图所示)，为了行驶安全考虑，油箱中剩余油量不能低于5 L，那么这辆汽车装满油后至多行驶450 km就应该停车加油．
450 km
10．已知一次函数y＝ax－a＋1(a为常数，且a≠0)．
(1)若点 在一次函数y＝ax－a＋1的图象上，求a的值；
解：将点 的坐标代入y＝ax－a＋1，得
3＝－ a－a＋1，
解得a＝－ .
(2)当－1≤x≤2时，函数有最大值2，请求出a的值．
解：当a>0时，y随x的增大而增大，
∴当x＝2时，y有最大值2.
∴2＝2a－a＋1，解得a＝1；
当a<0时，y随x的增大而减小，
∴当x＝－1时，y有最大值2.
∴2＝－a－a＋1，解得a＝－ .
综上所述，a的值为1或－ .
11．如图，若直线y＝ x＋2与x轴、y轴分别交于点A，C，P是该直线在第一象限内的一点，PB⊥x轴，B为垂足，且S△ABC＝6.
(1)求点B，P的坐标；
(2)过点B作直线BQ∥AP，交y轴于点Q，求点Q的坐标．
(1)当y＝0时，
x＋2＝0，解得x＝－4；
当x＝0时，y＝2，
∴A(－4，0)，C(0，2)．
依题意设点P的坐标为 ，且a>0.
∵PB⊥x轴，∴B(a，0)．∴AB＝a＋4.
∵S△ABC＝6，∴ ×(a＋4)×2＝6，
解得a＝2，则 a＋2＝3.
∴B(2，0)，P(2，3)．
(2)∵BQ∥AP，B(2，0)，
∴直线BQ的函数表达式为y＝ x－1.
∴点Q的坐标为(0，－1)．(共24张PPT)
4．4 用待定系数法确定一次函数表达式
用待定系数法求函数表达式的步骤：
(1)设定函数表达式，确定函数模型；
(2)根据条件确定表达式中的未知系数；
(3)写出函数表达式．
函数模型
未知系数
已知一次函数图象经过点A(3，5)和点B(－4，－9)．
(1)求此一次函数的表达式；
(2)若点C(m，2)是该函数图象上一点，求C点坐标．
【自主解答】
(1)设其表达式为y＝kx＋b(k，b是常数，且k≠0)，
则 5＝3k＋b，
－9＝－4k＋b
∴ k＝2，
b＝－1.
∴一次函数的表达式为y＝2x－1.
(2)∵点C(m，2)在y＝2x－1上，
∴2＝2m－1.∴m＝ .
∴点C的坐标为 .
【名师支招】
一次函数y＝kx＋b中含有两个待定系数k，b，根据待定系数法，只需列出关于k，b的方程组求解即可．
【注意】
1．防止将坐标的顺序弄反．
2．遇到间接条件，将间接条件转化为坐标、距离、面积，防止漏解．
知识点一：用待定系数法确定一次函数表达式
1．(益阳中考)已知一个函数的因变量y与自变量x的几组对应值如表，则这个函数的表达式可以是 ( )
A.y＝2x B．y＝x－1 C．y＝ D．y＝x2
A
x … －1 0 1 2 …
y … －2 0 2 4 …
2．已知一次函数的图象过点(2，0)和点(1，－1)，则这个函数的表达式为y＝x－2.
y＝x－2
3．能表示如图所示的一次函数图象的表达式是y＝2x＋2.
y＝2x＋2
4．已知y＋3与x成正比例，且x＝2时，y＝1.则y关于x的函数表达式为
y＝2x－3.
y＝2x－3
知识点二：用一次函数表达式解决实际问题
5．如图，弹簧长度y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间是一次函数关系，则该弹簧没有挂重物时的长度为12 cm.
12 cm
6．在一次蜡烛燃烧实验中，蜡烛燃烧时剩余部分的高度 y(cm)与燃烧时间x(h)之间为一次函数关系，如图所示．根据图象提供的信息，解答下列问题：
(1)求出蜡烛燃烧时y与x之间的函数表达式；
(2)求蜡烛从点燃到燃尽所用的时间．
(1)设函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)，
由图象知其过(2，12)，(0，24)两点，
则 2k＋b＝12，
b＝24
解得 k＝－6，
b＝24
∴y＝－6x＋24(0≤x≤4)．
(2)当y＝0时，－6x＋24＝0，解得x＝4.
答：蜡烛从点燃到燃尽共用时4 h．
7．如果一次函数的图象经过点A(－6，4)，B(3，0)和C(5，m)，那么m的值是 ( )
A．－ B.
C．－ D． －
A
8．某超市糯米的价格为5元/kg，端午节推出促销活动：一次购买的数量不超过2 kg时，按原价售出；超过2 kg时，超过的部分打8折．若某人付款14元，则他购买了3 kg糯米；设某人的付款金额为x元，购买量为y kg，
则购买量y关于付款金额x(x>10)的函数表达式为y＝－ .
3
9．如图，在平面直角坐标系内，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与正比例函数y＝－2x的图象相交于点A，且与x轴交于点B，求这个一次函数的表达式．
解：易求得点A(－1，2)，点B(1，0)，将点A，点B的坐标代入y＝kx＋b，得 －k＋b＝2，
k＋b＝0
解得 k＝－1，
b＝1
∴一次函数的表达式为y＝－x＋1.
10．如果一次函数y＝kx＋b的变量x的取值范围是－2≤x≤6，相应函数值是－11≤y≤9，求此函数表达式．
解：根据题意，①当k＞0时，y随x的增大而增大，
∴当x＝－2时，y＝－11；当x＝6时，y＝9，
∴函数表达式为y＝ x－6；
②当k＜0时，y随x的增大而减小，
∴当x＝－2时，y＝9；当x＝6时，y＝－11，
∴函数表达式为y＝－ x＋4.
∴函数表达式为y＝ x－6或y＝－ x＋4.
11．(模型思想)一条笔直的路上依次有M，P，N三地，其中M，N两地相距1 000 m，甲、乙两机器人分别从M，N两地同时出发，去目的地N，M，匀速而行．图中OA，BC分别表示甲、乙机器人离M地的距离y(m)与行走时间x(min)的函数关系图象．
(1)求OA所在直线的表达式；
(2)出发后甲机器人行走多少时间，与乙机器人相遇？
(3)甲机器人到P地后，再经过1 min乙机器人也到P地，求P，M两地间的距离．
(1)由图象可知，OA所在直线为正比例函数，
∴设y＝kx，
∵A(5，1 000)，∴1 000＝5k，∴k＝200，
∴OA所在直线的表达式为y＝200x.
(2)甲机器人速度为1 000÷5＝200(m/min)，
乙机器人速度为1 000÷10＝100(m/min)，
两人相遇时： ＝ (min)，
答：出发后甲机器人行走 min，与乙机器人相遇．(共22张PPT)
4．3 一次函数的图象
第1课时 正比例函数的图象和性质
正比例函数y＝ kx的图象是经过原点的一条直线．
(1)当k>0时，图象经过第一、三象限，且 y随x的增大而增大；
(2)当k<0时，图象经过第二、四象限，且 y随x的增大而减小．
一、三
增大
二、四
减小
已知正比例函数y＝kx的图象经过点(3，－6)，
(1)求这个函数的表达式；
(2)判断点A(4，－2)是否在这个函数的图象上；
(3)图象上有两点B(x1，y1)，C(x2，y2)，如果x1>x2，比较y1，y2的大小．
【自主解答】
(1)∵正比例函数y＝kx过点(3，－6)，
∴－6＝3k，解得k＝－2.
∴这个正比例函数的表达式为y＝－2x.
(2)将x＝4代入y＝－2x，得y＝－8≠－2，
∴点A(4，－2)不在这个函数的图象上．
(3)∵k＝－2<0，
∴y随x的增大而减小．
∵x1>x2，∴y1【名师支招】
1．要善于用数形结合的方法分析正比例函数y＝kx(k≠0)图象的位置与增减性．
2．画实际问题中正比例函数图象要注意自变量的取值范围．
知识点一：画正比例函数的图象
1．画出正比例函数y＝－3x的图象．
解：当x＝0时，y＝0；
当x＝1时，y＝－3.
过(0，0)，(1，－3)两点作直线即得正比例函数y＝－3x的图象．
知识点二：正比例函数的图象和性质
2．正比例函数y＝5x的大致图象是 （ ）
A
3．函数y＝3x，y＝－2x，y＝ 的共同特点是 ( )
A．图象经过相同象限
B．y随x的增大而减小
C．图象都经过原点
D．y随x的增大而增大
C
4．若正比例函数y＝－2x的图象经过点(a－1，4)，则a的值为－1.
5．已知点A(－5，y1)，B(－2，y2)都在直线y＝－x上，则y1与y2的大小关系是y1＞y2.
－1
y1＞y2
知识点三：实际问题中的正比例函数
6．一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，则蜡烛燃烧的长度y(cm)与燃烧时间x(h)的函数关系用图象表示为 ( )
A
7．对于正比例函数y＝－4x，当自变量x的值增加1时，函数y的值 ( )
A．增加
B．减少
C．增加4
D．减少4
D
8．甲、乙两人在一次百米赛跑中，路程s(m)与赛跑时间t(s)的关系如图所示，则下列说法中正确的是 ( )
A．甲、乙两人的速度相同
B．甲先到达终点
C．乙用的时间短
D．乙比甲跑的路程多
B
9．如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，将a，b，c按从小到大的顺序排列为aa10．小明用16元零花钱购买水果，已知水果单价是4元/kg，设买水果x kg用去的钱为y元．
(1)求y随x变化的函数表达式；
(2)画出这个函数的图象．
(1)根据题意可得
y＝4x(0≤x≤4)．
(2)当x＝0时，y＝0；
当x＝4时，y＝16.
在平面直角坐标系中画出两点O(0，0)，A(4，16)，过这两点作线段OA，线段OA即函数y＝4x(0≤x≤4)的图象，如图．
11．已知正比例函数y＝(2m＋4)x.
(1)若函数图象经过第一、三象限，求m的取值范围；
(2)若y随x的增大而减小，求m的取值范围；
(3)若点(1，3)在该函数的图象上，求m的值．
解：(1)∵函数图象经过第一、三象限，
∴2m＋4>0，解得m>－2.
(2)∵y随x的增大而减小，
∴2m＋4<0，解得m<－2.
(3)∵点(1，3)在该函数的图象上，
∴2m＋4＝3，解得m＝－ .
12．如图，正比例函数y＝kx的图象经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3.
(1)求正比例函数的表达式；
(2)在x轴上是否存在一点P，使△AOP的面积为5？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(1)∵点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3，
∴ ×3×AH＝3，
解得AH＝2，∴A(3，－2)，
把A(3，－2)代入y＝kx，得－2＝3k，解得k＝－ ，
∴正比例函数的表达式为y＝－ x.
(2)存在．设P(t，0)，
∵△AOP的面积为5，
∴ ×|t|×2＝5，解得t＝5或t＝－5，
∴点P的坐标为(－5，0)或(5，0)．(共24张PPT)
第4章 一次函数
4．1 函数和它的表示法
4．1.1 变量与函数
1．一般地，如果变量y随着变量x而变化，并且对于x取的每一个值，y都有唯一的一个值与它对应，那么称y是x的函数，记作y＝f(x)．这时把x叫作自变量，把y叫作因变量．
2．对于自变量x取的每一个值a，因变量y的对应值称为函数值，记作f(a)．
唯一
函数
自变量
因变量
函数值
下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？试写出用自变量表示函数的式子．
(1)一个弹簧秤最大能称不超过10 kg的物体，它的原长为10 cm，挂上重物后弹簧的长度y(cm)随所挂重物的质量x(kg)的变化而变化，每挂1 kg物体，弹簧伸长0.5 cm；
(2)一长方体盒子高为30 cm，底面是正方形，底面边长a(cm)改变时，这个长方体的体积V(cm3)也随之改变．
【自主解答】
(1)y＝10＋ x，
其中x是自变量，y是自变量的函数．
(2)V＝30a2，
其中a是自变量，V是自变量的函数．
知识点一：常量与变量
1．在圆周长的计算公式C＝2πr中，变量是 ( )
A．C，π
B．C，r
C．π，r
D．C，2π
B
2．(1)直角三角形两锐角的度数分别为x，y，则 y＝90°－x，其中变量为
x，y，常量为－1，90；
(2)正方形的面积S随边长a的变化而变化，其中S 是因变量，a 是自变量．
x，y
－1，90
S
a
知识点二：函数自变量及函数值
3．在函数y＝ 中，自变量x的取值范围是 ( )
A．x≤3
B．x＜3
C．x≥3
D．x＞3
A
4．有下列关于变量x，y的关系式：①3x－2y＝1；②y＝2x2；③y2＝3x.其中表示y是x的函数的是 ( )
A．①②③
B．①②
C．①③
D．②③
B
5．已知f(x)＝3x，则f(1)＝3 .
3
知识点三：简单问题中的函数关系
6．某城市市区人口x万人，市区绿地面积50万平方米，平均每人拥有绿地y平方米，则y与x之间的数量关系式为 ( )
A．y＝x＋50 B．y＝50x
C．y＝ D．y＝
C
7．若一个正方形的边长为3 cm，它的各边边长减少x cm后，得到的新正方形的周长为y cm，则y与x的函数关系式为y＝12－4x.
y＝12－4x
易错点：求自变量取值范围时忽视分母不为0
8．函数y＝ 的自变量x的取值范围是x≥－1且x ≠3.
x≥－1且x≠3
9．函数的零点是指使函数值等于零的自变量的值，则下列函数中存在零点的是 ( )
A．y＝x2＋x＋2
B．y＝ ＋1
C．y＝x＋
D．y＝|x|－1
D
10．如图，有一个球形容器，小海在往容器里注水的过程中发现水面的高度h、水面的面积S及注水量V是三个变量．有下列四种说法：①S是V的函数；②V是S的函数；③h是S的函数；④S是h的函数．其中正确的是①④(选填序号)．
①④
11．如图所示是一个运算程序示意图，若第一次输入1，则输出的结果是11 .
11
12．如图，在靠墙(墙长为18 m)的地方围建一个矩形的养鸡场，另三边用竹篱笆围成．如果竹篱笆总长为35 m，鸡场的长为y(m)，宽为x(m)，且y＞x.
(1)用含x的代数式来表示鸡场的长y；
(2)求自变量x的取值范围；
(1)鸡场的长y(m)与宽x(m)满足y＋2x＝35，
即y＝－2x＋35.
(2)∵墙长为18 m，∴0∴0<－2x＋35≤18，解得 ≤x< .
又∵y>x，∴－2x＋35>x.解得x< .
∴自变量x的取值范围为 ≤x＜ .
13．阅读下面的材料：
如果函数y＝f(x)满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2，
(1)若x1＜x2，都有f(x1)＜f(x2)，则称f(x)是增函数；
(2)若x1＜x2，都有f(x1)＞f(x2)，则称f(x)是减函数．
例题：证明函数f(x)＝ (x>0)是减函数．
证明：设0f(x1)－f(x2)＝ － ＝ ＝ .
∵00，x1x2>0.
∴ >0，∴f(x1)>f(x2)．
∴函数f(x)＝ (x>0)是减函数．
根据以上材料，解答下列问题：
已知函数f(x)＝ ＋2x(x<0)，如
f(－1)＝ ＋(－2)＝－1，
f(－2)＝ ＋(－4)＝－ .
(1)计算： f(－3)＝－ ， f(－4)＝－ ；
(2)猜想：函数f(x)＝ ＋2x(x<0)是增函数(选填“增”或“减”)；
(3)请仿照例题证明第(2)题中的猜想．
增
证明：(3)设x1＜x2＜0，
∵f(x1)－f(x2)＝ ＋2x1－ －2x2
＝(x1－x2)(2- )，
∵x1＜x2＜0，∴x1－x2＜0，x1＋x2＜0，
∴f(x1)－f(x2)＜0.∴f(x1)＜f(x2)，
∴函数f(x)＝ ＋2x(x<0)是增函数．(共22张PPT)
第3课时 一次函数与一次方程的关系
1．一般地，一次函数y＝kx＋b(k≠0)图象上任意一点的坐标都是二元一次方程kx－y＋b＝0的一个解，以二元一次方程kx－y＋b＝0的解为坐标的点都在一次函数y＝kx＋b的图象上．
2．一般地，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴的交点的横坐标是一元一次方程kx＋b＝0的解，任何一个一元一次方程kx＋b＝0的解，都是一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点的横坐标．
坐标
一个解
横坐标
横坐标
对照图象，请回答下列问题：
当x取何值时，2x－5＝－x＋1
【自主解答】
由图象可知，直线y＝2x－5与直线y＝－x＋1的交点的横坐标是2，
∴当x取2时，2x－5＝－x＋1.
【名师支招】
一元一次方程与一次函数的“两个联系”
1．从数的角度看，当一次函数y＝kx＋b(k≠0)的函数值为0时，相应的自变量的值是x＝－ ，即为方程kx＋b＝0的解．
2．从“形”的角度看，一次函数y＝kx＋b(k≠0)与x轴交点的横坐标为
，从而可知方程kx＋b＝0的解．
知识点一：一次函数与二元一次方程(组)的关系
1．以二元一次方程5x＋3y＝6的解为坐标的所有点组成的图象也是一次
函数y＝－x＋ 2的图象．
2．已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点(3，5)，则二元一次方程kx－y＋b＝0的一组解为
.
3．已知一次函数y＝3x－1与y＝kx(k是常数，k≠0)的图象的交点坐标是(1，2)，则方程组 3x－y＝1， 的解是
kx－y＝0 y＝2 .
y＝2
x＝1，
y＝5
x＝3，
知识点二：一次函数与一元一次方程的关系
4．直线y＝ax＋b(a≠0)过点A(0，1)，B(2，0)，则关于x的方程ax＋b＝0的解为x＝2.
x＝2
5．在如图所示的直角坐标系中画出函数y＝2x＋6的图象，利用图象，回答下列问题：
(1)求方程2x＋6＝0的解；
(2)求满足2x＋6>0的x的取值范围；
(3)若－2≤y≤2，请直接写出x的取值范围．
解：图象如图所示．
(1)观察图象知，该函数图象经过点(－3，0)，
故方程2x＋6＝0的解为x＝－3.
(2)观察图象知，当x>－3时，y>0，
故满足2x＋6>0的x的取值范围为x>－3.
(3)当－2≤y≤2时，x的取值范围为
－4≤x≤－2.
6．如图，已知直线y＝ax－b，则关于x的方程ax－1＝b的解是x＝4.
x＝4
7．如图，已知一次函数y＝kx＋3和y＝－x＋b的图象交于点P(2，4)，则关于x的方程kx＋3＝－x＋b的解是x＝2.
x＝2
8．如图，一次函数y＝kx＋b的图象经过点A，且与正比例函数y＝－x的图象交于点B，求该一次函数的表达式，并利用图象求方程kx＋b＝0的解．
解：∵把x＝－1代入
y＝－x，得y＝1.
∴B(－1，1)．
将A(0，2)，B(－1，1)代入y＝kx＋b，得 b＝2，
1＝－k＋b，
解得 k＝1，
b＝2.
∴y＝x＋2.∴当y＝0时，x＋2＝0，解得x＝－2.
∴方程kx＋b＝0的解为x＝－2.
9．一次函数y＝kx＋3的图象与x轴交点到原点的距离是6，求k的值．
解：∵函数y＝kx＋3是一次函数，∴k≠0，
∵一次函数y＝kx＋3的图象与x轴交点到原点的距离是6，
∴ ＝6，
①当k>0时， ＝6，解得k＝ ；
②当k<0时，－ ＝6，解得k＝－ .
综上所述，k的值为± .
10．(古冶区模拟)如图，已知直线l1：y＝3x＋1与y轴交于点A，且和直线
l2：y＝mx＋n交于点P(－2，a)，根据以上信息解答下列问题：
(1)求a的值，判断直线l3：y＝－ nx－2m是否也经过点P？请说明理由；
(2)不解关于x，y的方程组 y＝3x＋1， 请直接写出它的解；
y＝mx＋n，
(3)若直线l1，l2表示的两个一次函数都大于0，此时恰好x>3，求直线l2的函数表达式．
(1)∵(－2，a)在直线y＝3x＋1上，
∴当x＝－2时，a＝－5.
直线y＝－ nx－2m也经过点P，
理由：∵点P(－2，－5)在直线y＝mx＋n上，
∴－2m＋n＝－5，
∴将P点横坐标－2代入y＝－ nx－2m，得
y＝－ n×(－2)－2m＝－2m＋n＝－5，
∴直线l3也经过点P.
(2)方程组的解为 x＝－2，
y＝－5.
(3)∵直线l1，l2表示的两个一次函数都大于0，
此时恰好x>3，
∴直线l2过点 (3，0)，
∵直线l2过点P(－2，－5)，
∴ 3m＋n＝0， 解得 m＝1，
－2m＋n＝－5， n＝－3，
∴直线l2的函数表达式为y＝x－3.(共20张PPT)
4．2 一次函数
1．形如y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的函数，叫作一次函数．
2．一次函数y＝kx(k为常数，k≠0)也叫作正比例函数，其中k叫作比例系数．
3．一次函数的特征：因变量随自变量的变化是均匀的．
4．一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的自变量取值范围是实数集，但在实际问题中，要根据具体情况来确定它的自变量取值范围．
一次函数
正比例函数
比例系
数
均匀的
实数集
写出下列各题中y与x的函数关系式，并判断y是不是x的一次函数或正比例函数？
(1)某村耕地面积为106(m2)，该村人均占有耕地面积y(m2/人)与人数x(人)之间的函数关系；
(2)地面气温为28 ℃，如果高度每升高1 km，气温就下降5 ℃，气温x(℃)与高度y(km)之间的函数关系．
【自主解答】
(1)根据题意，得y＝ ，不是一次函数．
(2)根据题意，得y＝－ x＋ ，是一次函数．
【名师支招】
1．正比例函数是特殊的一次函数，但一次函数不一定是正比例函数．
2．判定一个函数是不是一次函数，关键有两点：一是“一次式”；二是“一个自变量”．
知识点一：一次函数和正比例函数的概念
1．下列函数中，正比例函数是 ( )
A．y＝－8x
B．y＝
C．y＝8x2
D．y＝8x－4
A
2．已知函数y＝(m－10)x＋1－2m.
(1)m为何值时，这个函数是一次函数？
(2)m为何值时，这个函数是正比例函数？
解：(1)根据一次函数的定义，可得m－10≠0，
∴m≠10时，这个函数是一次函数．
(2)根据正比例函数的定义，可得m－10≠0且1－2m＝0.
解得m＝ .∴m＝ 时，这个函数是正比例函数．
知识点二：列一次函数表达式
3．求下列各题中的函数表达式，并指出它们是不是一次函数，是不是正比例函数．
(1)某种大米的单价是2.2元/kg，花费y元与购买大米 x kg之间的关系；
(2)一棵树现在高50 cm，每个月长高2 cm，x个月后这棵树的高度为y cm.
解：(1)y＝2.2x，是一次函数，也是正比例函数．
(2)y＝2x＋50，是一次函数，不是正比例函数．
知识点三：一次函数的函数值
4．根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入x的值是7，则输出y的值是－1.
－1
5．下列变量之间的关系中，一个变量是另一个变量的正比例函数的是( )
A．正方形面积S随边长a的变化而变化
B．用10 m长的绳子围一个矩形，则所围成的矩形的长y(m)随宽x(m)的变化而变化
C．一场电影的票价(元/张)一定时，则该场电影票房收入m(元)随出售票数n(张)的变化而变化
D．菱形的面积一定时，则一条对角线长度y随另一条对角线长度x的变化而变化
C
6．新定义[a，b]为一次函数y＝ax＋b(其中a≠0，且a，b为实数)的“关联数”，若“关联数”[3，m＋2]所对应的一次函数是正比例函数，则代数式m2＋4m的值为－4.
－4
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点P在BC上运动，点P不与点B，C重合，设PC＝x，若用y表示△APB的面积，求y与x的函数表达式及自变量x的取值范围，并说明它是一次函数还是正比例函数．
解：∵BC＝8，CP＝x，
∴PB＝8－x，
∴y＝S△APB＝ PB·AC
＝ ×(8－x)×6
＝－3x＋24(0它是一次函数，但不是正比例函数．
8．容积为800 L的水池内已贮水200 L，若每分钟注入的水量是15 L，设池内的水量为Q(L)，注水时间为t(min)．
(1)请写出Q与t的函数关系式，并说明它是一次函数还是正比例函数；
(2)注水多长时间可以把水池注满？
(3)当注水时间为0.2 h时，求池中水量．
解：(1)Q＝15t＋200(t≥0)．
它是一次函数，不是正比例函数．
(2)当Q＝800时，800＝15t＋200，解得t＝40，
故注水40 min可以把水池注满．
(3)当t＝0.2×60＝12(min)时，
Q＝200＋15×12＝380(L)，
故注水时间为0.2 h时，池中水量是380 L.
9．(模型思想)将长为30 cm，宽为10 cm的长方形白纸按如图所示的方法黏合后得到一个大长方形，黏合部分的宽是3 cm.设x张白纸黏合后的总长度为y cm.
(1)求y与x之间的函数表达式，并判断y是不是x的一次函数；
(2)当x＝20时，求y的值；
(3)白纸黏合后的总长度能为2 024 cm吗？为什么？
(1)x张白纸粘合，需粘合(x－1)次，黏合部分的总宽是3(x－1)cm，
故y＝30x－3(x－1)＝27x＋3(x≥1且x是整数)．
y是x的一次函数．
(2)当x＝20时，y＝27×20＋3＝543.
(3)不能．
理由：把y＝2 024代入y＝27x＋3，得
27x＋3＝2 024，解得x＝ .
∵x为整数，
∴白纸黏合后的总长度不能为2 024 cm.
