第1章 直角三角形 质量评价
(考试时间：120分钟 满分：120分)
班级：________ 姓名：________ 分数：________
一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分)
1．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是( )
A.，， B.，， C．32，42，52 D．1，2，3
2．在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，能用“HL”判定Rt△ABC≌Rt△DEF的条件是( )
A．AC＝DF，BC＝EF B．∠A＝∠D，AB＝DE
C．AC＝DF，AB＝DE D．∠B＝∠E，BC＝EF
3．数学兴趣小组为测量学校A与河对岸的科技馆B之间的距离，在A的同岸选取点C，测得AC＝30，∠A＝45°，∠C＝90°，如图，据此可求得A，B之间的距离为（ ）
A．20
B．60
C．30
D．30
4．若直角三角形的两个锐角之差为32°，则较小的一个锐角的度数是（ ）
A．24° B．29° C．44° D．46°
5．在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，那么其中互为余角的角有（ ）
A．6对 B．5对 C．4对 D．3对
6．直角三角形斜边上的中线长是6.5，一条直角边长是5，则另一条直角边的长为（ ）
A．13 B．12 C．10 D．5
7．如图，△ABC与△DCE都是等边三角形，B，C，E三点在同一条直线上，若AB＝3，∠BAD＝150°，则DE的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．若△ABC的三边长a，b，c满足(a－b)2＋|a2＋b2－c2|＝0，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．无法确定
9．如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，AB⊥BD于点B，E是BD的中点，连接AE，CE，则AE与CE的大小关系是（ ）
A．AE＝CE B．AE>CE C．AE10．如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝8 cm，把长方形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F.若AF＝ cm，则AD的长为（ ）
A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．7 cm
11．如图，长方体的底面邻边长分别是5 cm和7 cm，高为20 cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B(B为棱的中点)，那么所用细线最短为（ ）
A．20 cm B．24 cm C．26 cm D．28 cm
12．如图，在△ABC中，AD是角平分线，BE是△ABD的中线，若△ABC的面积是24，AB＝5，AC＝3，则△ABE的面积是（ ）
A．15 B．12 C．7.5 D．6
【解析】根据角平分线的性质和三角形面积得S△ABD＝15，再由中线的性质可解．
二、填空题(本大题共6小题，每小题2分，共12分)
13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，斜边AB的长为2 cm，则AC的长为 cm.
14．如图，∠B＝∠D＝90°，BC＝DC，∠1＝40°，则∠2＝ .
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的中线，连接DE，若AB＝6，则DE＝ .
16．在△ABC中，AB＝AC，AD⊥AB交BC于点D，且∠CAD＝30°，CD＝2，则BD＝ .
17．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为2，5，1，2，则最大的正方形E的面积是 .
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝5，直线l是BC边的垂直平分线，点P是直线l上的一动点，则AP＋CP的最小值为 .
三、解答题(本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19．(本题满分6分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，将△ADC沿AC边所在的直线折叠，使点D落在点E处，得到四边形ABCE.求证：EC∥AB.
20．(本题满分6分)如图，两条公路OA和OB相交于O点，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路OA，OB的距离相等，且到两工厂C，D的距离相等，用尺规作出货站P的位置．(要求：不写作法，保留作图痕迹)
21．(本题满分10分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AE＝AB，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，试判断∠B与∠BAC的大小关系，并确定它们的度数．
22．(本题满分10分)在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c.
(1)若b＝2，c＝3，求a的值；
(2)若a∶c＝3∶5，b＝32，求a，c的值．
23．(本题满分10分)如图，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，F，G分别是OA，OB上的点，且PF＝PG，DF＝EG.
求证：OC是∠AOB的平分线．
24．(本题满分10分)某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地(阴影部分)．如图，已知AB＝9 m，BC＝12 m，CD＝17 m，AD＝8 m，技术人员通过测量确定了∠ABC＝90°.
(1)这片绿地的面积是多少？
(2)小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？
25．(本题满分10分)如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠BAC＝60°，D为BC上一点，∠ADC＝60°，AE⊥BC于点E，CF⊥AD于点F，AE，CF相交于点G.
(1)求∠DAC的度数；
(2)求证：DF＝FG；
(3)若DC＝2，求线段EG的长．
26．(本题满分10分)用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图．其中四个直角三角形的直角边长分别为a，b(a(1)结合图①，运用乘法公式求证：a2＋b2＝c2；
(2)如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH.若该图形的周长为24，OH＝3，求该图形的面积；
(3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接成正方形PQMN，记正方形PQMN、正方形ABCD、正方形EFGH的面积分别为S1，S2，S3，若S1＋S2＋S3＝18，求S2的值．第1章 直角三角形 质量评价
(考试时间：120分钟 满分：120分)
班级：________ 姓名：________ 分数：________
一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分)
1．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是(A)
A.，， B.，， C．32，42，52 D．1，2，3
2．在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，能用“HL”判定Rt△ABC≌Rt△DEF的条件是(C)
A．AC＝DF，BC＝EF B．∠A＝∠D，AB＝DE
C．AC＝DF，AB＝DE D．∠B＝∠E，BC＝EF
3．数学兴趣小组为测量学校A与河对岸的科技馆B之间的距离，在A的同岸选取点C，测得AC＝30，∠A＝45°，∠C＝90°，如图，据此可求得A，B之间的距离为（C）
A．20
B．60
C．30
D．30
4．若直角三角形的两个锐角之差为32°，则较小的一个锐角的度数是（B）
A．24° B．29° C．44° D．46°
5．在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，那么其中互为余角的角有（C）
A．6对 B．5对 C．4对 D．3对
6．直角三角形斜边上的中线长是6.5，一条直角边长是5，则另一条直角边的长为（B）
A．13 B．12 C．10 D．5
7．如图，△ABC与△DCE都是等边三角形，B，C，E三点在同一条直线上，若AB＝3，∠BAD＝150°，则DE的长为（D）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．若△ABC的三边长a，b，c满足(a－b)2＋|a2＋b2－c2|＝0，则△ABC的形状是（C）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．无法确定
9．如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，AB⊥BD于点B，E是BD的中点，连接AE，CE，则AE与CE的大小关系是（B）
A．AE＝CE B．AE>CE C．AE10．如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝8 cm，把长方形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F.若AF＝ cm，则AD的长为（C）
A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．7 cm
11．如图，长方体的底面邻边长分别是5 cm和7 cm，高为20 cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B(B为棱的中点)，那么所用细线最短为（C）
A．20 cm B．24 cm C．26 cm D．28 cm
12．如图，在△ABC中，AD是角平分线，BE是△ABD的中线，若△ABC的面积是24，AB＝5，AC＝3，则△ABE的面积是（C）
A．15 B．12 C．7.5 D．6
【解析】根据角平分线的性质和三角形面积得S△ABD＝15，再由中线的性质可解．
二、填空题(本大题共6小题，每小题2分，共12分)
13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，斜边AB的长为2 cm，则AC的长为1cm.
14．如图，∠B＝∠D＝90°，BC＝DC，∠1＝40°，则∠2＝50°.
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的中线，连接DE，若AB＝6，则DE＝3.
16．在△ABC中，AB＝AC，AD⊥AB交BC于点D，且∠CAD＝30°，CD＝2，则BD＝4.
17．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为2，5，1，2，则最大的正方形E的面积是10.
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝5，直线l是BC边的垂直平分线，点P是直线l上的一动点，则AP＋CP的最小值为10.
三、解答题(本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19．(本题满分6分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，将△ADC沿AC边所在的直线折叠，使点D落在点E处，得到四边形ABCE.求证：EC∥AB.
证明：∵CD是AB边上的中线，∠ACB＝90°，
∴CD＝AD.∴∠CAD＝∠ACD.
又由折叠得∠ECA＝∠ACD.
∴∠ECA＝∠CAD.∴EC∥AB.
20．(本题满分6分)如图，两条公路OA和OB相交于O点，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路OA，OB的距离相等，且到两工厂C，D的距离相等，用尺规作出货站P的位置．(要求：不写作法，保留作图痕迹)
解：如图，点P1，P2即为所求．
21．(本题满分10分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AE＝AB，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，试判断∠B与∠BAC的大小关系，并确定它们的度数．
解：易证△ACD≌△AED(AAS)，
∴AC＝AE＝AB.
∵在△ABC中，∠C＝90°，∴∠B＝30°，
∴∠BAC＝60°，∴∠B＜∠BAC.
22．(本题满分10分)在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c.
(1)若b＝2，c＝3，求a的值；
(2)若a∶c＝3∶5，b＝32，求a，c的值．
解：(1)a＝＝.
(2)设a＝3x，c＝5x，则b＝＝ 4x，
∵4x＝32，∴x＝8，∴a＝24，c＝40.
23．(本题满分10分)如图，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，F，G分别是OA，OB上的点，且PF＝PG，DF＝EG.
求证：OC是∠AOB的平分线．
证明：易证Rt△PFD≌Rt△PGE(HL)，
∴PD＝PE.
∵P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴OC是∠AOB的平分线．
24．(本题满分10分)某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地(阴影部分)．如图，已知AB＝9 m，BC＝12 m，CD＝17 m，AD＝8 m，技术人员通过测量确定了∠ABC＝90°.
(1)这片绿地的面积是多少？
(2)小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？
解：(1)连接AC，则AC＝＝15，
∵AD2＋AC2＝DC2，
∴△ADC是直角三角形，∠DAC＝90°，
∴S△DAC＝AD·AC＝60，
S△ACB＝AB·BC＝54，
∴S四边形ABCD＝60＋54＝114(m2)，
答：这片绿地的面积是114 m2.
(2)AB＋BC－AC＝9＋12－15＝6(m)．
答：居民从点A到点C将少走6 m的路程．
25．(本题满分10分)如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠BAC＝60°，D为BC上一点，∠ADC＝60°，AE⊥BC于点E，CF⊥AD于点F，AE，CF相交于点G.
(1)求∠DAC的度数；
(2)求证：DF＝FG；
(3)若DC＝2，求线段EG的长．
(1)解：∵∠ADC＝60°，
∴∠ADB＝180°－60°＝120°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠DAB＝180°－120°－45°＝15°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠DAC＝60°－15°＝45°.
(2)证明：∵∠DAC＝45°，CF⊥AF，
∴∠AFG＝∠CFD＝90°，∠ACF＝∠CAF＝45°，
∴AF＝CF，
∵AE⊥CB，∴∠CEG＝∠AFG＝90°，
∵∠CGE＝∠AGF，∴∠FAG＝∠FCD，
在△AFG和△CFD中，
∴△AFG≌△CFD(ASA)，
∴FG＝FD.
(3)解：在Rt△CFD中，∵∠CFD＝90°，∠ADC＝60°，
∴∠FCD＝30°，∴DF＝CD＝1，
∴FG＝DF＝1，CF＝＝，
∴CG＝CF－FG＝－1，
在Rt△CGE中，EG＝CG＝.
26．(本题满分10分)用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图．其中四个直角三角形的直角边长分别为a，b(a(1)结合图①，运用乘法公式求证：a2＋b2＝c2；
(2)如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH.若该图形的周长为24，OH＝3，求该图形的面积；
(3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接成正方形PQMN，记正方形PQMN、正方形ABCD、正方形EFGH的面积分别为S1，S2，S3，若S1＋S2＋S3＝18，求S2的值．
(1)证明：∵S小正方形＝(b－a)2＝b2－2ab＋a2，
S小正方形＝c2－4×ab＝c2－2ab，
∴b2－2ab＋a2＝c2－2ab.
∴a2＋b2＝c2.
(2)解：由题意可得AB＋BC＝24÷4＝6，设AH＝BC＝x，则AB＝6－x.在Rt△AOB中，由勾股定理得OB2＋OA2＝AB2，
即32＋(3＋x)2＝(6－x)2，解得x＝1.
∴S＝×3×(3＋1)×4＝24.
(3)解：设正方形EFGH面积为x，一个三角形面积为y，
∵S1＋S2＋S3＝18，S1＝8y＋x，S2＝4y＋x，S3＝x，
∴S1＋S2＋S3＝3x＋12y＝18.
∴x＋4y＝6.∴S2＝6.
