第2章 四边形 质量评价
(考试时间：120分钟 满分：120分)
班级：________ 姓名：________ 分数：________
一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分)
1．下列四个汉字中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（C）
A．伟 B．大 C．中 D．华
2．如图，已知△ABC与△DEF成中心对称，则对称中心是（D）
A．点C B．点D
C．线段BC的中点 D．线段FC的中点
3．在△ABC中，D，E分别是AB，AC边的中点，则 的值为（A）
A. B. C. D.
4．一个多边形的每个内角都是135°，则其内角和为（B）
A．900° B．1 080° C．1 260° D．1 440°
5．如图，在 ABCD中，CE平分∠BCD交AD于点E，已知AE＝2，ED＝4，则 ABCD的周长为（C）
A．16 B．18 C．20 D．22
6．在菱形ABCD中，对角线BD＝4，AC＝12，则菱形ABCD的面积为（C）
A．96 B．48 C．24 D．6
7．如图，以正方形ABCD的对角线AC为一边作菱形AEFC，则∠FAB的度数为（C）
A．30° B．45° C．22.5° D．135°
8．菱形和矩形一定都具有的性质是（D）
A．对角线相等 B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分且相等 D．对角线互相平分
9．如图，过矩形ABCD的四个顶点作对角线AC，BD的平行线，分别相交于点E，F，G，H，则四边形EFGH是（A）
A．菱形 B．矩形
C．正方形 D．平行四边形
10．如图，四边形ABCD是菱形，∠ACD＝30°，BD＝6，则菱形ABCD的面积为（A）
A．18 B．18 C．18 D．24
11．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，对角线BD的垂直平分线分别与AD，BC边交于点E，F，则四边形BFDE的面积为（A）
A. B. C. D.
12．如图，将边长为4 cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积是4 cm2，则它移动的距离AA′的长为（D）
A．3 cm B．2.5 C．1.5 cm D．2 cm
【解析】设A′B′与AC交于点E，AA′＝x，则A′D＝4－x，A′E＝x，由面积列方程求解即得．
二、填空题(本大题共6小题，每小题2分，共12分)
13．正九边形的一个外角度数是40°.
14．在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，∠AOB＝80°，则∠CAD＝40° .
15．如图，点E在 ABCD的边BC的延长线上，若∠DCE＝60°，则∠A＝120°.
16．已知菱形ABCD中对角线AC，BD相交于点O，添加条件AC＝BD(答案不唯一)可使菱形ABCD成为正方形．
17．如图，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，AG为△ABC的高，若CE＝5，AG＝2，则S△DEC＝5.
18．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的动点，M，N分别是EF，AF的中点，则MN的最大值为.
【解析】连接AE，MN为△AEF的中位线，当BE最大时，AE最大，即MN最大．
三、解答题(本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19．(本题满分6分)一个正多边形的每个内角都是相邻外角的3倍，则这个正多边形是几边形，每个内角是多少度？
解：设多边形的每个外角的度数为n°，则其内角为3n°，由题意得
n＋3n＝180，解得n＝45，
即这个多边形的边数是＝8，45°×3＝135°.
答：这个正多边形是正八边形，每个内角是135°.
20．(本题满分6分)如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，AD上的点，∠1＝∠2.求证：AE＝CF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，AB＝CD，
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(ASA)，
∴AE＝CF.
21．(本题满分10分)如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接BE，过点C作CF∥BE，交DE的延长线于点F，若EF＝3，求DE的长．
解：∵D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC，∴EF∥BC，
∵CF∥BE，∴四边形BCFE为平行四边形，
∴BC＝EF＝3，
∴DE＝BC＝.
22．(本题满分10分)如图，在正方形ABCD中，P是对角线AC上一点，连接BP，DP，延长BC到点E，使PB＝PE.
求证：∠PDC＝∠PEC.
证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝DC，∠BCP＝∠DCP，又PC＝ PC，
∴△BCP≌△DCP(SAS)，
∴∠PDC＝∠PBC.
又∵PB＝PE，
∴∠PEC＝∠PBC，
∴∠PDC＝∠PEC.
23．(本题满分10分)如图，E，F分别是 ABCD的边BC，AD上的点，且BE＝DF.
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)当CE＝10，∠BAC＝90°，且四边形AECF是菱形时，求BE的长．
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD＝BC，
∵BE＝DF，
∴AF＝EC，∴四边形AECF是平行四边形．
(2)解：四边形AECF是菱形，
∴AE＝EC，∴∠1＝∠2.
∵∠BAC＝90°，
∴∠3＝90°－∠2，∠4＝90°－∠1，
∴∠3＝∠4，∴BE＝AE＝10.
24．(本题满分10分)如图，在矩形ABCD中，点M在DC上， AM＝AB，且BN⊥AM，垂足为N.
(1)求证：△ABN≌△MAD；
证明：在矩形ABCD中，∠D＝90°，DC∥AB，
∴∠BAN＝∠AMD，
∵BN⊥AM，∴∠BNA＝90°，
在△ABN和△MAD中，
∴△ABN≌△MAD(AAS)．
(2)若AD＝2，AN＝4，求四边形BCMN的面积．
解：∵△ABN≌△MAD，∴BN＝AD＝2，
在Rt△ABN中，AB＝＝＝2，
∴S矩形ABCD＝2×2＝4，
S△ABN＝S△MAD＝×2×4＝4，
∴S四边形BCMN＝S矩形ABCD－S△ABN－S△MAD＝4－8.
25．(本题满分10分)综合与实践课上，老师让同学们以“图形的变换”为主题开展数学活动．
(1)【操作判断】
如图①，将矩形纸片ABCD折叠，使AB落在边AD上，点B与点E重合，折痕为AF，即可得到正方形AEFB，沿EF剪开，将正方形AEFB折叠使边AB，AE都落在正方形的对角线AF上，折痕为AG，AH，连接GH，如图②.根据以上操作，则∠GAH＝45°；
(2)【迁移探究】
将图②中的∠GAH绕点A按顺时针旋转，使它的两边分别交边BF，FE于点I，J，连接IJ，如图③.探究线段BI，IJ，EJ之间的数量关系，并说明理由；
解：(2)IJ＝EJ＋BI.
理由：将△AEJ顺时针旋转90°得到△ABJ′，
由旋转的性质可得AJ＝AJ′，EJ＝BJ′，∠EAJ＝∠BAJ′.
∵四边形ABFE为正方形，∴∠BAE＝90°.
由(1)中结论可得∠IAJ＝45°，
∴∠BAI＋∠EAJ＝45°，
∴∠BAJ′＋∠BAI＝45°，∴∠IAJ＝∠IAJ′.
∴△AIJ≌△AIJ′(SAS)，∴IJ＝IJ′.
∵IJ′＝BJ′＋BI，∴IJ＝EJ＋BI.
(3)【拓展应用】
连接正方形对角线BE，若图③中的∠IAJ的边AI，AJ分别交对角线BE于点K，R，将正方形纸片沿对角线BE剪开，如图④，若BK＝2，ER＝4，请直接写出KR的长．
解：KR＝2.如图④，将△AER绕点A顺时针旋转90°得到△ABR′，连接KR′，根据旋转的性质可得∠E＝∠ABR′＝45°，ER＝BR′.
由(2)中的结论可证△AKR′≌△AKR，∴KR＝KR′.
∵∠E＝45°，∠ABE＝45°，∴∠KBR′＝∠ABE＋∠ABR′＝90°.
在Rt△KBR′中，BK2＋BR′2＝KR′2，∴BK2＋ER2＝KR2，∴KR＝2.
26(本题满分10分)阅读下面材料；
小明遇到这样一个问题：如图①，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于D，E，CD⊥BE，CD＝3，BE＝5，求BC＋DE的值．
小明发现，过点E作EF∥DC，交BC的延长线于点F，构造△BEF，经过推理得到 DCFE，再计算就能够使问题得到解决(如图②)．
(1)请帮小明回答：BC＋DE的值为，并写出推算过程；
(2)参考小明思考问题的方法，请解决如下问题：
如图③，已知 ABCD和矩形ABEF，AC与DF交于点G，AC＝BF＝DF，求∠AGF的度数．
解：(1)推算过程：
∵DE∥BC，EF∥DC，
∴四边形DCFE是平行四边形．
∴EF＝CD＝3，CF＝DE.
∵CD⊥BE，∴EF⊥BE.
∴BC＋DE＝BF＝＝.
(2)连接AE，CE，如图③.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝CD.
∵四边形ABEF是矩形，
∴AB∥FE，AB＝EF，BF＝AE.
∴DC∥FE，DC＝FE.
∴四边形DCEF是平行四边形，∴CE∥DF.
∵AC＝BF＝DF，∴AC＝AE＝CE.
∴△ACE是等边三角形，
∴∠ACE＝60°，
∵CE∥DF，
∴∠AGF＝∠ACE＝60°. 第2章 四边形 质量评价
(考试时间：120分钟 满分：120分)
班级：________ 姓名：________ 分数：________
一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分)
1．下列四个汉字中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．伟 B．大 C．中 D．华
2．如图，已知△ABC与△DEF成中心对称，则对称中心是（ ）
A．点C B．点D
C．线段BC的中点 D．线段FC的中点
3．在△ABC中，D，E分别是AB，AC边的中点，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
4．一个多边形的每个内角都是135°，则其内角和为（ ）
A．900° B．1 080° C．1 260° D．1 440°
5．如图，在 ABCD中，CE平分∠BCD交AD于点E，已知AE＝2，ED＝4，则 ABCD的周长为（ ）
A．16 B．18 C．20 D．22
6．在菱形ABCD中，对角线BD＝4，AC＝12，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．96 B．48 C．24 D．6
7．如图，以正方形ABCD的对角线AC为一边作菱形AEFC，则∠FAB的度数为（ ）
A．30° B．45° C．22.5° D．135°
8．菱形和矩形一定都具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分且相等 D．对角线互相平分
9．如图，过矩形ABCD的四个顶点作对角线AC，BD的平行线，分别相交于点E，F，G，H，则四边形EFGH是（ ）
A．菱形 B．矩形
C．正方形 D．平行四边形
10．如图，四边形ABCD是菱形，∠ACD＝30°，BD＝6，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．18 B．18 C．18 D．24
11．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，对角线BD的垂直平分线分别与AD，BC边交于点E，F，则四边形BFDE的面积为（ ）
A. B. C. D.
12．如图，将边长为4 cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积是4 cm2，则它移动的距离AA′的长为（ ）
A．3 cm B．2.5 C．1.5 cm D．2 cm
【解析】设A′B′与AC交于点E，AA′＝x，则A′D＝4－x，A′E＝x，由面积列方程求解即得．
二、填空题(本大题共6小题，每小题2分，共12分)
13．正九边形的一个外角度数是 .
14．在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，∠AOB＝80°，则∠CAD＝ .
15．如图，点E在 ABCD的边BC的延长线上，若∠DCE＝60°，则∠A＝ .
16．已知菱形ABCD中对角线AC，BD相交于点O，添加条件 可使菱形ABCD成为正方形．
17．如图，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，AG为△ABC的高，若CE＝5，AG＝2，则S△DEC＝ .
18．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的动点，M，N分别是EF，AF的中点，则MN的最大值为 .
【解析】连接AE，MN为△AEF的中位线，当BE最大时，AE最大，即MN最大．
三、解答题(本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19．(本题满分6分)一个正多边形的每个内角都是相邻外角的3倍，则这个正多边形是几边形，每个内角是多少度？
20．(本题满分6分)如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，AD上的点，∠1＝∠2.求证：AE＝CF.
21．(本题满分10分)如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接BE，过点C作CF∥BE，交DE的延长线于点F，若EF＝3，求DE的长．
22．(本题满分10分)如图，在正方形ABCD中，P是对角线AC上一点，连接BP，DP，延长BC到点E，使PB＝PE.
求证：∠PDC＝∠PEC.
23．(本题满分10分)如图，E，F分别是 ABCD的边BC，AD上的点，且BE＝DF.
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)当CE＝10，∠BAC＝90°，且四边形AECF是菱形时，求BE的长．
24．(本题满分10分)如图，在矩形ABCD中，点M在DC上， AM＝AB，且BN⊥AM，垂足为N.
(1)求证：△ABN≌△MAD；
(2)若AD＝2，AN＝4，求四边形BCMN的面积．
25．(本题满分10分)综合与实践课上，老师让同学们以“图形的变换”为主题开展数学活动．
(1)【操作判断】
如图①，将矩形纸片ABCD折叠，使AB落在边AD上，点B与点E重合，折痕为AF，即可得到正方形AEFB，沿EF剪开，将正方形AEFB折叠使边AB，AE都落在正方形的对角线AF上，折痕为AG，AH，连接GH，如图②.根据以上操作，则∠GAH＝ ；
(2)【迁移探究】
将图②中的∠GAH绕点A按顺时针旋转，使它的两边分别交边BF，FE于点I，J，连接IJ，如图③.探究线段BI，IJ，EJ之间的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展应用】
连接正方形对角线BE，若图③中的∠IAJ的边AI，AJ分别交对角线BE于点K，R，将正方形纸片沿对角线BE剪开，如图④，若BK＝2，ER＝4，请直接写出KR的长．
26(本题满分10分)阅读下面材料；
小明遇到这样一个问题：如图①，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于D，E，CD⊥BE，CD＝3，BE＝5，求BC＋DE的值．
小明发现，过点E作EF∥DC，交BC的延长线于点F，构造△BEF，经过推理得到 DCFE，再计算就能够使问题得到解决(如图②)．
(1)请帮小明回答：BC＋DE的值为 ，并写出推算过程；
(2)参考小明思考问题的方法，请解决如下问题：
如图③，已知 ABCD和矩形ABEF，AC与DF交于点G，AC＝BF＝DF，求∠AGF的度数．
