广东省雷州市龙门中学、客路中学两校2024-2025学年高三上学期十月第一次模拟考试数学试题
1．（2024高三上·雷州模拟）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高三上·雷州模拟）命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．（2024高三上·雷州模拟）已知直线过点和，且在轴上的截距是，则实数等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高三上·雷州模拟）函数零点的个数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高三上·雷州模拟）如图，三棱锥中，，，，点为中点，点N满足，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024高三上·雷州模拟）函数结构是值得关注的对象为了研究的结构，两边取对数，可得，即，两边取指数，得，即，这样我们就得到了较为熟悉的函数类型结合上述材料，的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高三上·雷州模拟）常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为（单位：天）．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为．开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的，则满足的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024高三上·雷州模拟）在矩形中，，，将沿着翻折，使点在平面上的投影恰好在直线上，则此时二面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高三上·雷州模拟）设为定义在上的奇函数，当时，为常数），则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．在上是单调减函数 D．函数仅有一个零点
10．（2024高三上·雷州模拟）已知是自然对数的底数，，函数的图象经过原点，且无限接近直线又不与该直线相交，则（ ）
A． B．的值域为
C．在区间上单调递减 D．
11．（2024高三上·雷州模拟）如图，已知正方体的棱长为，点分别为棱的中点，，则（ ）
A．无论取何值，三棱锥的体积始终为
B．若，则
C．点到平面的距离为
D．若异面直线与所成的角的余弦值为．则
12．（2024高三上·雷州模拟）若函数为奇函数，则
13．（2024高三上·雷州模拟）已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 .
14．（2024高三上·雷州模拟）设，求的最小值是 .
15．（2024高三上·雷州模拟）中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关研究在室温下泡制好的茶水要等多久饮用，可以产生符合个人喜好的最佳口感，这是很有意义的事情.经研究：把茶水放在空气中冷却，如果茶水开始的温度是，室温是，那么后茶水的温度单位：，可由公式求得，其中是常数，为了求出这个的值，某数学建模兴趣小组在室温下进行了数学实验，先用的水泡制成的茶水，利用温度传感器，测量并记录从开始每一分钟茶水的温度，多次实验后搜集整理到了如下的数据：
（1）请你利用表中的一组数据，求的值，并求出此时的解析式计算结果四舍五入精确到；
（2）在室温环境下，王大爷用的水泡制成的茶水，想等到茶水温度降至时再饮用，根据（1）的结果，王大爷要等待多长时间计算结果四舍五入精确到分钟．
参考数据：，，是自然对数的底数，
16．（2024高三上·雷州模拟）已知数列的前项和为，且.
（1）求的通项公式；
（2）若，求.
17．（2024高三上·雷州模拟）三棱台中，，平面平面ABC，，与交于D．
（1）证明：平面；
（2）求异面直线与DE的距离．
18．（2024高三上·雷州模拟）已知直线，，，记，，．
（1）当时，求原点关于直线的对称点坐标；
（2）求证：不论m为何值，总有一个顶点为定点；
（3）求面积的取值范围可直接利用对勾函数的单调性
19．（2024高三上·雷州模拟）已知函数是偶函数，是自然对数的底数，
（1）求的最小值
（2）当时，
（i）令，，求的值域
（ii）记，已知，，且，当取最大值时，求的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】并集及其运算；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：因为集合，
则.
故答案为：D．
【分析】利用先指数函数的单调性，则得出集合A，再利用绝对值不等式求解方法，则得出集合B，再结合并集的运算法则，从而得出集合.
2．【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：根据全称命题与存在性命题的关系，
可得：命题“，”的否定是“，”.
故答案为：D.
【分析】根据全称量词命题与特称量词命题互为否定的关系，从而写出命题“，”的否定.
3．【答案】D
【知识点】直线的两点式方程；直线的截距式方程
【解析】【解答】解：因为直线在轴上的截距是1，所以过点，
又因为直线过点，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为：，即直线方程为，
又因为直线过点，所以，解得．
故答案为：D.
【分析】利用横截距的定义和已知条件，从而得出直线过点，再利用直线过点，则由两点求斜率公式，从而得出直线的斜率，再利用点斜式得出直线方程，则由代入法得出m的值.
4．【答案】C
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由，得函数的定义域为，
则函数零点的个数，
即为函数的图象和函数的图象的交点个数，
如图所示：
数形结合可得函数的图象和函数的图象的交点个数为．
故答案为：C．
【分析】利用函数的定义域和函数的零点与两函数的交点的横坐标的等价关系，再利用数形结合得出函数零点的个数.
5．【答案】C
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：.
故答案为：C.
【分析】根据空间向量基本定理和已知条件，从而得出答案.
6．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为，两边取对数，
可得，即，
令，则，
当时，，为减函数；
当时，，为增函数，
∴，
∴，，的最小值为.
故答案为：C.
【分析】对两边取对数，得，令，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而得出函数的最小值，进而得出的最小值.
7．【答案】B
【知识点】“指数爆炸”模型
【解析】【解答】解：设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，
则512天后，甲的质量为：，乙的质量为：，
由题意可得，
所以．
故答案为：B．
【分析】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，可得512天后甲，乙的质量，再根据题意列出等式，从而得出满足的关系式．
8．【答案】A
【知识点】空间向量的数量积运算；用空间向量研究二面角
【解析】【解答】解：如图所示，作于，于，
在中，，，
在中，，
则，
同理可得，，，
因为，
所以
，
又因为，
所以，
因为与的夹角即为二面角的大小，
所以二面角的余弦值为.
故答案为：A.
【分析】作于，于，求得和的值，再利用数量积求向量夹角公式，从而得出二面角的余弦值.
9．【答案】A,D
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的值；函数的零点与方程根的关系；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：对于A，因为为定义在上的奇函数，
当时，则，
可得，解得，
所以，则，所以A正确；
对于B，由，所以B错误；
对于C，当时，，
因为函数和都是增函数，所以在是单调递增函数，
又因为为在上的奇函数，
所以在也是递增函数，所以C错误；
对于D，由和函数在和上都是增函数，
所以函数为定义在上仅有一个零点，所以D正确.
故答案为：AD.
【分析】根据，从而求得的值，则得到函数的解析式，再由代入法得出的值，则判断出选项A；由，根据代入法的值，则判断出选项B；利用函数和函数都是增函数以及函数为上的奇函数，从而判断出函数的单调性，则判断出选项C；利用和函数的单调性，从而得到仅有一个零点，则判断出选项D，进而找出说法正确的选项.
10．【答案】B,D
【知识点】函数的值域；奇函数与偶函数的性质；指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：对于A，因为函数的图象经过原点，
所以，解得，则，
又因为函数无限接近直线，但又不与该直线相交，
所以，则，故A错误．
对于B，因为，又因为，
则函数为偶函数，
当时，，
所以函数的值域为，故B正确；
对于C，当时，，
因为函数为减函数，
则函数在区间上单调递增，故C错误；
对于D，因为，根据函数为偶函数，可得，故D正确.
故答案为：BD．
【分析】根据函数过原点和无限接近直线，则可判断选项A；根据函数的解析式和奇函数、偶函数的定义，则判断函数的奇偶性，再结合函数求值域的方法，得出函数的值域，则可判断选项B，根据函数的解析式和单调函数的定义，则判断出函数的单调性，即可判断选项C；根据偶函数的的定义，则得出，从而判断出选项D，进而找出正确的选项.
11．【答案】A,B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；点、线、面间的距离计算；用空间向量求直线间的夹角、距离；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：对于A，因为正方体的棱长为，
又因为点分别为棱的中点，
所以，
在正方体中，平面，
由等体积法知，三棱锥=三棱锥=，
所以无论取何值，三棱锥的体积始终为，故A正确；
对于B，由题意可知，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，
因为正方体的棱长为，
所以，，，，，
由，得，
设，则，
所以，
所以，解得，
所以，所以，
所以，故B正确；
对于C，由选项B建立的空间直角坐标系知，，，，
设，则，，
所以，所以，
解得，所以，
所以，
设平面的法向量为，
则，即，
令则，所以，
所以，点到平面的距离为，
由于无法确定，所以点到平面的距离无法确定，故C错误；
对于D，由选项B建立的空间直角坐标系知，
，，，，，，
设，则，，
所以，所以，
解得，所以，
所以，
因为异面直线与所成的角的余弦值为，
则，即，
解得或（舍），故D错误.
故答案为：AB.
【分析】利用等体积法和棱锥的体积公式，则可判断出选项A；建立空间直角坐标系，得出相关点的坐标和向量的坐标，再利用向量共线的坐标表示和数量积的坐标表示，则判断出选项B；求出平面的法向量，再利用数量积求出点到平面的距离，则判断出选项C；求出直线与的方向向量，则由数量积求向量夹角公式和已知条件，从而得出异面直线所成的角的余弦值，则得出的值，从而判断出选项D，进而找出正确的选项.
12．【答案】
【知识点】奇函数与偶函数的性质；指数函数的图象与性质
【解析】【解答】由于函数的定义域满足 ，
故函数的定义域为 ，
根据奇函数的定义域关于原点对称可知 ，
∴ ， ，
∴ ，
故 .
故答案为： ．
【分析】根据奇函数的图象的对称性得出b的值，再利用奇函数的定义得出a的值，从而得出a+b的值.
13．【答案】44
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】设公差为d，有 ，可得 ，
有 ， .
故答案为：44
【分析】由已知条件结合等差数列的通项公式整理化简已知条件由此得出，再由等差数列的前n项和公式以及等差数列项的性质即可得出答案。
14．【答案】
【知识点】平面内两点间距离公式的应用；图形的对称性
【解析】【解答】解：
，
即d可看作点和到直线上的点的距离之和，
作关于直线对称的点，
由题意得，解得故，
则.
故答案为：.
【分析】由配方法化简d为点和到直线上的点的距离之和，再作关于直线对称的点，连接，则由两点距离公式得出d的最小值.
15．【答案】（1）解：依题意，，
当，时，，
则，，
解得，
所以.
（2）解：由（1）知，，
当时，，即，
整理得，解得，
所以，王大爷要等待约分钟.
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则；“指数爆炸”模型
【解析】【分析】（1）将给定数据代入函数模型，从而求出常数的值，进而得出此时函数的解析式.
（2）由（1）中的函数关系式，从而求出时的值，进而得出王大爷要等待的时间.
（1）依题意，，且当，时，，
则，，解得，
所以.
（2）由（1）知，，当时，，即，
整理得，解得，
王大爷要等待约分钟.
16．【答案】（1）解：因为，
所以当时，，
两式相减得：，即，
所以，
且符合，
所以的通项公式为.
（2）解：由（1）可知，
所以，
所以
.
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】(1)由 ，得 ，两式相减并整理即可得到 的通项公式；
(2) 由（1）可知，则 ， 从而利用裂项相消求和法即可求出Tn.
17．【答案】（1）证明：在三棱台中，，则，
则，得，所以，
又因为，所以，在平面内，，则，
因为平面平面，所以平面．
（2）解：已知平面平面ABC，平面平面，
则，又因为平面，
所以平面，
由平面，得，
又因为平面ABC，平面ABC，
所以平面ABC，
由平面ABC，得，
以B为坐标原点的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，
建立如图空间直角坐标系，
则，
则，
因为，所以，
设向量且满足：，
则，令，
则在的投影数量为，
所以，异面直线与DE的距离.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【分析】（1）由题意和三棱台的结构特征，可得，从而证出，再结合线面平行的判定定理，从而证出平面.
（2）根据面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理以及性质定理，从而证出、，进而建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再根据数量积求投影数量的方法，进而得出异面直线与DE的距离.
（1）三棱台中，，则，
有，得，所以，
又，所以在平面内，，有，
平面平面，所以平面．
（2）已知平面平面ABC，平面平面，，
平面，所以平面，由平面，得，
又平面ABC，平面ABC，
所以平面ABC，由平面ABC，得.
以B为坐标原点的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图空间直角坐标系．
则有，
，
因为，所以，
设向量，且满足：，
则有，令，
在的投影数量为，
异面直线与DE的距离.
18．【答案】解：（1）当时，直线 的方程为：，且斜率，
设原点关于直线 的对称点为 ，
则由斜率公式与中点坐标公式，
列方程得：，
解得：，
故所求点的坐标为.
证明：直线，
即恒过点，
直线，
即恒过点，
故，则总有一个顶点为定点.
解：由已知条件可得与垂直，故角C为直角，
，
因为为点B到直线的距离，
由直线的方程联立可得，
，
则为点到直线的距离，
，
三角形面积，
当时， 有最大值；
当时，有最小值，
时，S取最大值，当时S取最小值，
故面积的取值范围．
【知识点】恒过定点的直线；图形的对称性；三角形中的几何计算
【解析】【分析】当时，直线的方程为：，设原点关于直线的对称点为，利用斜率公式与中点坐标公式，从而列方程得出原点关于直线的对称点坐标.
由题意可知直线，恒过点，从而证出不论m为何值，总有一个顶点为定点．
由题意可得直线与直线垂直，从而得到角C为直角，故三角形的面积为，再利用点到直线的距离公式得到和的长，结合对勾函数的性质，从而得出三角形面积的取值范围．
19．【答案】（1）解：因为函数的定义域为，
根据偶函数的定义，，，
即，
即上式对任意恒成立，
这等价于，则
，
当且仅当，等号成立，所以的最小值为．
（2）解：（ⅰ）由（1）可得：，
因为，为偶函数，
故只需考虑时，函数的值域，则
，
，
令，则，
∴，单调递增，
∴在上单调递增，
则的值域为，则，．
故的值域为．
（ⅱ）对于常数，令，为偶函数．
下面先证明一个结论：在上单调递增，
证明：
，
由(2)可得：为偶函数，在上单调递增，
∴在上单调递增，证毕．
对于，，且，
先证明：当取最大值时，
，，，中最多只有一个，
其余的数要么等于，要么等于．
用反证法，假如当取最大值时，
，，，中存在两个数，，不妨设，
记，则，且，，
记，则，
根据的单调性可知
在中，将，分别替换成，，
其余的数不变的情况下，得到了更大的值，这与取最大值相矛盾
∴：，，，中最多只有一个．
，，，中没有数字在区间时，
，，，中的每一个数，要么等于，要么等于，
记，，，中等于的元素个数为，
，，这与为整数矛盾
，，，中只有一个数字在区间时，
不妨记为，记等于的数字个数为，
则等于的数字个数为，
则，
即，
由于，，
又∵，∴，，
∴这1000个数为，
其中有333个，个2，
则．
【知识点】奇函数与偶函数的性质；奇偶性与单调性的综合；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）由偶函数的定义，得到，再代入所求式子，从而表示为的二次函数，再利用二次函数的图象求最值的方法，进而得出的最小值.
（2）（ⅰ）由已知条件可知a，b的值，从而求出函数的解析式，再利用单调函数的定义，从而判断出函数的单调性，进而得出函数的值域.
（ⅱ）利用已知条件和反证法，从而得出当取最大值时的的值．
（1）函数的定义域为，根据偶函数的定义：
，，即，
即：上式对任意恒成立，这等价于．
，等号成立当且仅当，．
所以的最小值为．
（2）（ⅰ）由（1）可得：，由于，为偶函数，故只需考虑时，的值域，
，
，
令，，，
∴，单调递增，∴在上单调递增，
的值域为，，．
故的值域为．
（ⅱ）对于常数，令，为偶函数．
下面先证明一个结论：在上单调递增．
证明：
．
由(2)可得：为偶函数，在上单调递增，∴在上单调递增，
证毕．
对于，，且，
先证明：当取最大值时，，，，中最多只有一个，其余的数要么等于，要么等于．
用反证法，假如当取最大值时，，，，中存在两个数，，不妨设，
记，则，且，．
记，则，根据的单调性可知
，
在中，将，分别替换成，，
其余的数不变的情况下，得到了更大的值，这与取最大值相矛盾
∴：，，，中最多只有一个．
，，，中没有数字在区间时，，，，中的每一个数，要么等于，要么等于，
记，，，中等于的元素个数为，，，这与为整数矛盾
，，，中只有一个数字在区间时，不妨记为，记等于的数字个数为，
则等于的数字个数为，则．
即：，由于，，
又∵，∴，，
∴这1000个数为，其中有333个，个2．
．
1 / 1广东省雷州市龙门中学、客路中学两校2024-2025学年高三上学期十月第一次模拟考试数学试题
1．（2024高三上·雷州模拟）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】并集及其运算；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：因为集合，
则.
故答案为：D．
【分析】利用先指数函数的单调性，则得出集合A，再利用绝对值不等式求解方法，则得出集合B，再结合并集的运算法则，从而得出集合.
2．（2024高三上·雷州模拟）命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：根据全称命题与存在性命题的关系，
可得：命题“，”的否定是“，”.
故答案为：D.
【分析】根据全称量词命题与特称量词命题互为否定的关系，从而写出命题“，”的否定.
3．（2024高三上·雷州模拟）已知直线过点和，且在轴上的截距是，则实数等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直线的两点式方程；直线的截距式方程
【解析】【解答】解：因为直线在轴上的截距是1，所以过点，
又因为直线过点，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为：，即直线方程为，
又因为直线过点，所以，解得．
故答案为：D.
【分析】利用横截距的定义和已知条件，从而得出直线过点，再利用直线过点，则由两点求斜率公式，从而得出直线的斜率，再利用点斜式得出直线方程，则由代入法得出m的值.
4．（2024高三上·雷州模拟）函数零点的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由，得函数的定义域为，
则函数零点的个数，
即为函数的图象和函数的图象的交点个数，
如图所示：
数形结合可得函数的图象和函数的图象的交点个数为．
故答案为：C．
【分析】利用函数的定义域和函数的零点与两函数的交点的横坐标的等价关系，再利用数形结合得出函数零点的个数.
5．（2024高三上·雷州模拟）如图，三棱锥中，，，，点为中点，点N满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：.
故答案为：C.
【分析】根据空间向量基本定理和已知条件，从而得出答案.
6．（2024高三上·雷州模拟）函数结构是值得关注的对象为了研究的结构，两边取对数，可得，即，两边取指数，得，即，这样我们就得到了较为熟悉的函数类型结合上述材料，的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为，两边取对数，
可得，即，
令，则，
当时，，为减函数；
当时，，为增函数，
∴，
∴，，的最小值为.
故答案为：C.
【分析】对两边取对数，得，令，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而得出函数的最小值，进而得出的最小值.
7．（2024高三上·雷州模拟）常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为（单位：天）．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为．开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的，则满足的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】“指数爆炸”模型
【解析】【解答】解：设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，
则512天后，甲的质量为：，乙的质量为：，
由题意可得，
所以．
故答案为：B．
【分析】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，可得512天后甲，乙的质量，再根据题意列出等式，从而得出满足的关系式．
8．（2024高三上·雷州模拟）在矩形中，，，将沿着翻折，使点在平面上的投影恰好在直线上，则此时二面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】空间向量的数量积运算；用空间向量研究二面角
【解析】【解答】解：如图所示，作于，于，
在中，，，
在中，，
则，
同理可得，，，
因为，
所以
，
又因为，
所以，
因为与的夹角即为二面角的大小，
所以二面角的余弦值为.
故答案为：A.
【分析】作于，于，求得和的值，再利用数量积求向量夹角公式，从而得出二面角的余弦值.
9．（2024高三上·雷州模拟）设为定义在上的奇函数，当时，为常数），则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．在上是单调减函数 D．函数仅有一个零点
【答案】A,D
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的值；函数的零点与方程根的关系；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：对于A，因为为定义在上的奇函数，
当时，则，
可得，解得，
所以，则，所以A正确；
对于B，由，所以B错误；
对于C，当时，，
因为函数和都是增函数，所以在是单调递增函数，
又因为为在上的奇函数，
所以在也是递增函数，所以C错误；
对于D，由和函数在和上都是增函数，
所以函数为定义在上仅有一个零点，所以D正确.
故答案为：AD.
【分析】根据，从而求得的值，则得到函数的解析式，再由代入法得出的值，则判断出选项A；由，根据代入法的值，则判断出选项B；利用函数和函数都是增函数以及函数为上的奇函数，从而判断出函数的单调性，则判断出选项C；利用和函数的单调性，从而得到仅有一个零点，则判断出选项D，进而找出说法正确的选项.
10．（2024高三上·雷州模拟）已知是自然对数的底数，，函数的图象经过原点，且无限接近直线又不与该直线相交，则（ ）
A． B．的值域为
C．在区间上单调递减 D．
【答案】B,D
【知识点】函数的值域；奇函数与偶函数的性质；指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：对于A，因为函数的图象经过原点，
所以，解得，则，
又因为函数无限接近直线，但又不与该直线相交，
所以，则，故A错误．
对于B，因为，又因为，
则函数为偶函数，
当时，，
所以函数的值域为，故B正确；
对于C，当时，，
因为函数为减函数，
则函数在区间上单调递增，故C错误；
对于D，因为，根据函数为偶函数，可得，故D正确.
故答案为：BD．
【分析】根据函数过原点和无限接近直线，则可判断选项A；根据函数的解析式和奇函数、偶函数的定义，则判断函数的奇偶性，再结合函数求值域的方法，得出函数的值域，则可判断选项B，根据函数的解析式和单调函数的定义，则判断出函数的单调性，即可判断选项C；根据偶函数的的定义，则得出，从而判断出选项D，进而找出正确的选项.
11．（2024高三上·雷州模拟）如图，已知正方体的棱长为，点分别为棱的中点，，则（ ）
A．无论取何值，三棱锥的体积始终为
B．若，则
C．点到平面的距离为
D．若异面直线与所成的角的余弦值为．则
【答案】A,B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；点、线、面间的距离计算；用空间向量求直线间的夹角、距离；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：对于A，因为正方体的棱长为，
又因为点分别为棱的中点，
所以，
在正方体中，平面，
由等体积法知，三棱锥=三棱锥=，
所以无论取何值，三棱锥的体积始终为，故A正确；
对于B，由题意可知，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，
因为正方体的棱长为，
所以，，，，，
由，得，
设，则，
所以，
所以，解得，
所以，所以，
所以，故B正确；
对于C，由选项B建立的空间直角坐标系知，，，，
设，则，，
所以，所以，
解得，所以，
所以，
设平面的法向量为，
则，即，
令则，所以，
所以，点到平面的距离为，
由于无法确定，所以点到平面的距离无法确定，故C错误；
对于D，由选项B建立的空间直角坐标系知，
，，，，，，
设，则，，
所以，所以，
解得，所以，
所以，
因为异面直线与所成的角的余弦值为，
则，即，
解得或（舍），故D错误.
故答案为：AB.
【分析】利用等体积法和棱锥的体积公式，则可判断出选项A；建立空间直角坐标系，得出相关点的坐标和向量的坐标，再利用向量共线的坐标表示和数量积的坐标表示，则判断出选项B；求出平面的法向量，再利用数量积求出点到平面的距离，则判断出选项C；求出直线与的方向向量，则由数量积求向量夹角公式和已知条件，从而得出异面直线所成的角的余弦值，则得出的值，从而判断出选项D，进而找出正确的选项.
12．（2024高三上·雷州模拟）若函数为奇函数，则
【答案】
【知识点】奇函数与偶函数的性质；指数函数的图象与性质
【解析】【解答】由于函数的定义域满足 ，
故函数的定义域为 ，
根据奇函数的定义域关于原点对称可知 ，
∴ ， ，
∴ ，
故 .
故答案为： ．
【分析】根据奇函数的图象的对称性得出b的值，再利用奇函数的定义得出a的值，从而得出a+b的值.
13．（2024高三上·雷州模拟）已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 .
【答案】44
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】设公差为d，有 ，可得 ，
有 ， .
故答案为：44
【分析】由已知条件结合等差数列的通项公式整理化简已知条件由此得出，再由等差数列的前n项和公式以及等差数列项的性质即可得出答案。
14．（2024高三上·雷州模拟）设，求的最小值是 .
【答案】
【知识点】平面内两点间距离公式的应用；图形的对称性
【解析】【解答】解：
，
即d可看作点和到直线上的点的距离之和，
作关于直线对称的点，
由题意得，解得故，
则.
故答案为：.
【分析】由配方法化简d为点和到直线上的点的距离之和，再作关于直线对称的点，连接，则由两点距离公式得出d的最小值.
15．（2024高三上·雷州模拟）中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关研究在室温下泡制好的茶水要等多久饮用，可以产生符合个人喜好的最佳口感，这是很有意义的事情.经研究：把茶水放在空气中冷却，如果茶水开始的温度是，室温是，那么后茶水的温度单位：，可由公式求得，其中是常数，为了求出这个的值，某数学建模兴趣小组在室温下进行了数学实验，先用的水泡制成的茶水，利用温度传感器，测量并记录从开始每一分钟茶水的温度，多次实验后搜集整理到了如下的数据：
（1）请你利用表中的一组数据，求的值，并求出此时的解析式计算结果四舍五入精确到；
（2）在室温环境下，王大爷用的水泡制成的茶水，想等到茶水温度降至时再饮用，根据（1）的结果，王大爷要等待多长时间计算结果四舍五入精确到分钟．
参考数据：，，是自然对数的底数，
【答案】（1）解：依题意，，
当，时，，
则，，
解得，
所以.
（2）解：由（1）知，，
当时，，即，
整理得，解得，
所以，王大爷要等待约分钟.
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则；“指数爆炸”模型
【解析】【分析】（1）将给定数据代入函数模型，从而求出常数的值，进而得出此时函数的解析式.
（2）由（1）中的函数关系式，从而求出时的值，进而得出王大爷要等待的时间.
（1）依题意，，且当，时，，
则，，解得，
所以.
（2）由（1）知，，当时，，即，
整理得，解得，
王大爷要等待约分钟.
16．（2024高三上·雷州模拟）已知数列的前项和为，且.
（1）求的通项公式；
（2）若，求.
【答案】（1）解：因为，
所以当时，，
两式相减得：，即，
所以，
且符合，
所以的通项公式为.
（2）解：由（1）可知，
所以，
所以
.
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】(1)由 ，得 ，两式相减并整理即可得到 的通项公式；
(2) 由（1）可知，则 ， 从而利用裂项相消求和法即可求出Tn.
17．（2024高三上·雷州模拟）三棱台中，，平面平面ABC，，与交于D．
（1）证明：平面；
（2）求异面直线与DE的距离．
【答案】（1）证明：在三棱台中，，则，
则，得，所以，
又因为，所以，在平面内，，则，
因为平面平面，所以平面．
（2）解：已知平面平面ABC，平面平面，
则，又因为平面，
所以平面，
由平面，得，
又因为平面ABC，平面ABC，
所以平面ABC，
由平面ABC，得，
以B为坐标原点的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，
建立如图空间直角坐标系，
则，
则，
因为，所以，
设向量且满足：，
则，令，
则在的投影数量为，
所以，异面直线与DE的距离.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【分析】（1）由题意和三棱台的结构特征，可得，从而证出，再结合线面平行的判定定理，从而证出平面.
（2）根据面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理以及性质定理，从而证出、，进而建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再根据数量积求投影数量的方法，进而得出异面直线与DE的距离.
（1）三棱台中，，则，
有，得，所以，
又，所以在平面内，，有，
平面平面，所以平面．
（2）已知平面平面ABC，平面平面，，
平面，所以平面，由平面，得，
又平面ABC，平面ABC，
所以平面ABC，由平面ABC，得.
以B为坐标原点的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图空间直角坐标系．
则有，
，
因为，所以，
设向量，且满足：，
则有，令，
在的投影数量为，
异面直线与DE的距离.
18．（2024高三上·雷州模拟）已知直线，，，记，，．
（1）当时，求原点关于直线的对称点坐标；
（2）求证：不论m为何值，总有一个顶点为定点；
（3）求面积的取值范围可直接利用对勾函数的单调性
【答案】解：（1）当时，直线 的方程为：，且斜率，
设原点关于直线 的对称点为 ，
则由斜率公式与中点坐标公式，
列方程得：，
解得：，
故所求点的坐标为.
证明：直线，
即恒过点，
直线，
即恒过点，
故，则总有一个顶点为定点.
解：由已知条件可得与垂直，故角C为直角，
，
因为为点B到直线的距离，
由直线的方程联立可得，
，
则为点到直线的距离，
，
三角形面积，
当时， 有最大值；
当时，有最小值，
时，S取最大值，当时S取最小值，
故面积的取值范围．
【知识点】恒过定点的直线；图形的对称性；三角形中的几何计算
【解析】【分析】当时，直线的方程为：，设原点关于直线的对称点为，利用斜率公式与中点坐标公式，从而列方程得出原点关于直线的对称点坐标.
由题意可知直线，恒过点，从而证出不论m为何值，总有一个顶点为定点．
由题意可得直线与直线垂直，从而得到角C为直角，故三角形的面积为，再利用点到直线的距离公式得到和的长，结合对勾函数的性质，从而得出三角形面积的取值范围．
19．（2024高三上·雷州模拟）已知函数是偶函数，是自然对数的底数，
（1）求的最小值
（2）当时，
（i）令，，求的值域
（ii）记，已知，，且，当取最大值时，求的值．
【答案】（1）解：因为函数的定义域为，
根据偶函数的定义，，，
即，
即上式对任意恒成立，
这等价于，则
，
当且仅当，等号成立，所以的最小值为．
（2）解：（ⅰ）由（1）可得：，
因为，为偶函数，
故只需考虑时，函数的值域，则
，
，
令，则，
∴，单调递增，
∴在上单调递增，
则的值域为，则，．
故的值域为．
（ⅱ）对于常数，令，为偶函数．
下面先证明一个结论：在上单调递增，
证明：
，
由(2)可得：为偶函数，在上单调递增，
∴在上单调递增，证毕．
对于，，且，
先证明：当取最大值时，
，，，中最多只有一个，
其余的数要么等于，要么等于．
用反证法，假如当取最大值时，
，，，中存在两个数，，不妨设，
记，则，且，，
记，则，
根据的单调性可知
在中，将，分别替换成，，
其余的数不变的情况下，得到了更大的值，这与取最大值相矛盾
∴：，，，中最多只有一个．
，，，中没有数字在区间时，
，，，中的每一个数，要么等于，要么等于，
记，，，中等于的元素个数为，
，，这与为整数矛盾
，，，中只有一个数字在区间时，
不妨记为，记等于的数字个数为，
则等于的数字个数为，
则，
即，
由于，，
又∵，∴，，
∴这1000个数为，
其中有333个，个2，
则．
【知识点】奇函数与偶函数的性质；奇偶性与单调性的综合；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）由偶函数的定义，得到，再代入所求式子，从而表示为的二次函数，再利用二次函数的图象求最值的方法，进而得出的最小值.
（2）（ⅰ）由已知条件可知a，b的值，从而求出函数的解析式，再利用单调函数的定义，从而判断出函数的单调性，进而得出函数的值域.
（ⅱ）利用已知条件和反证法，从而得出当取最大值时的的值．
（1）函数的定义域为，根据偶函数的定义：
，，即，
即：上式对任意恒成立，这等价于．
，等号成立当且仅当，．
所以的最小值为．
（2）（ⅰ）由（1）可得：，由于，为偶函数，故只需考虑时，的值域，
，
，
令，，，
∴，单调递增，∴在上单调递增，
的值域为，，．
故的值域为．
（ⅱ）对于常数，令，为偶函数．
下面先证明一个结论：在上单调递增．
证明：
．
由(2)可得：为偶函数，在上单调递增，∴在上单调递增，
证毕．
对于，，且，
先证明：当取最大值时，，，，中最多只有一个，其余的数要么等于，要么等于．
用反证法，假如当取最大值时，，，，中存在两个数，，不妨设，
记，则，且，．
记，则，根据的单调性可知
，
在中，将，分别替换成，，
其余的数不变的情况下，得到了更大的值，这与取最大值相矛盾
∴：，，，中最多只有一个．
，，，中没有数字在区间时，，，，中的每一个数，要么等于，要么等于，
记，，，中等于的元素个数为，，，这与为整数矛盾
，，，中只有一个数字在区间时，不妨记为，记等于的数字个数为，
则等于的数字个数为，则．
即：，由于，，
又∵，∴，，
∴这1000个数为，其中有333个，个2．
．
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