九师联盟2025届高三上学期10月联考数学试卷
1．（2024高三上·长春模拟）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：依题意，，
所以.
故答案为：A.
【分析】利用x的取值范围和元素与集合的关系，从而得出集合，再利用交集的运算法则，从而得出集合.
2．（2024高三上·长春模拟）已知，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
3．（2024高三上·长春模拟）已知定义域为的函数不是偶函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】命题的否定；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：定义域为的函数是偶函数，
所以不是偶函数．
故答案为：D．
【分析】根据偶函数的概念得出是假命题，再写出命题的否定形式，则得出正确的选项.
4．（2024高三上·长春模拟）设函数，若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：当时，则，解得；
当时，则，解得，
综上所述，的取值范围是．
故答案为：A．
【分析】分和两种情况，再结合分段函数的解析式，则由指数函数的单调性和对数函数的单调性，从而由并集的运算法则得出实数t的取值范围.
5．（2024高三上·长春模拟）设，则使成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；对数函数的图象与性质；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：对于A，因为，故是的充要条件，故A错误；
对于B，由得，能推出，反之不成立，
所以是的充分不必要条件，故B正确；
对于C，由无法得到之间的大小关系，反之也是，
所以是的既不充分也不必要条件，故C错误；
对于D，由不能推出，反之则成立，
所以是的必要不充分条件，故D错误.
故答案为：B．
【分析】根据充分条件和必要条件的判断方法结合不等式的基本性质、对数函数的单调性，从而判断各选项，进而找出使成立的一个充分不必要条件.
6．（2024高三上·长春模拟）已知矩形的两个顶点在轴上，另两个顶点在函数的图象上，则当矩形的面积最大时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：依题意，如图所示，
设，则，
所以矩形面积，
所以，
令，解得．
当时，；
当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，当时，取得最大值，此时．
故答案为：D．
【分析】设，则，可得矩形面积，再利用导数求出当时，取得最大值，即可求出的值.
7．（2024高三上·长春模拟）已知关于的方程有两个不相等的实数解，则正实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由，记，
因为在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为，
结合图象知，若函数与的图象有两个交点，
即原方程有两个不相等的实数解，
则需，解得．
故答案为：A．
【分析】先设函数，再把两个不相等的实数解转化为函数有两个交点，数形结合列式，从而得出实数a的取值范围.
8．（2024高三上·长春模拟）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：设，
则，所以在上单调递增，
所以，
即，所以，
因为，
所以，即；
又因为，所以．
故答案为：C．
【分析】先构造函数，利用函数的单调性，从而得出，再根据，取对数判断得出，从而比较出a，b，c的大小.
9．（2024高三上·长春模拟）对于集合，若，则称为对偶互存集，则下列为对偶互存集的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】集合的含义
【解析】【解答】解：对于A，当时，，故A正确；
对于B，因为为全体奇数构成的集合，
当为奇数时，也为奇数，故B正确；
对于C，因为，
则，但，故C错误；
对于D，因为，
当时，则，故D正确．
故答案为：ABD．
【分析】根据对偶互存集的定义，则逐项判断，从而得出对偶互存集的选项.
10．（2024高三上·长春模拟）已知函数，设，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B,C
【知识点】函数单调性的性质；基本不等式在最值问题中的应用
11．（2024高三上·长春模拟）设，定义在上的函数满足，且，则（ ）
A． B． C．为偶函数 D．
【答案】A,B,D
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的周期性；函数的值
【解析】【解答】解：对于A，令，
得，
因为，所以，故A正确；
对于B，令，代入可得，
因为，所以，
则，故B正确；
对于C，令，代入得，
又因为对，恒成立且不恒为0，
所以，则函数为奇函数，
又因为不恒等于0，故C错误；
对于D，因为，
所以，
所以为的周期，所以，故D正确．
故答案为：ABD．
【分析】令，再利用，从而得出的值，则判断出选项A；令，再由，则得出，即可判断选项B；令，可得，则判断出函数为奇函数，即可判断出选项C；利用已知条件可得出，从而得出函数的周期，再利用函数的周期性得出的值，则判断出选项D，进而找出正确的选项.
12．（2024高三上·长春模拟）已知为幂函数，则曲线在点处的切线的方程为 ．
【答案】
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：设，将代入得，
所以，
所以，切线方程为，即．
故答案为：.
【分析】利用待定系数法和已知条件，则由代入法，从而求出幂函数的解析式，再结合导数的几何意义得出切线的斜率，再根据点斜式得出曲线在点处的切线方程.
13．（2024高三上·长春模拟）设且，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为，所以，
因为，所以，
当且仅当时，即当时取等号，
所以的最小值为．
故答案为：.
【分析】根据已知条件得出，再利用基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值.
14．（2024高三上·长春模拟）已知函数有3个零点，则的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：因为的定义域是，
且．
令，判别式，
当时，，则，
所以在上单调递减，
所以在上最多有1个零点，不符合题意；
当时，此时，设方程的两根分别为，且，
则，所以异号，即，
又因为，
所以，所以，
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减，
所以在上有唯一零点，
又因为，且，
结合的单调性，得，
由零点存在性定理可知，在上存在一个零点，
在上也存在一个零点，
又因为在上有一个零点，所以有三个零点，
所以的取值范围为.
故答案为：.
【分析】根据导函数，构造函数，再通过讨论和两种情况，从而判断出函数的单调性，再结合零点存在性定理，从而得出实数a的取值范围.
15．（2024高三上·长春模拟）定义区间、、、的长度均为，其中．
（1）若关于的不等式的解集区间长度为2，求的值；
（2）若且，求关于的不等式的解集区间长度范围．
【答案】（1）解：依题意，设不等式的解集区间为，
则是方程的两个不等实根，且，，
即，
由，得，
解得，满足题意，
所以的值是．
（2）解：由且，得，
由及，得，则，
将不等式化为，
即，解得，
所以，关于的不等式的解集区间长度为，
则关于的不等式的解集区间长度取值范围为.
【知识点】一元二次不等式及其解法；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）设出不等式的解集区间，再借助韦达定理和区间长度，从而列式计算得出b的值.
（2）由给定条件，可得和，再利用一元二次不等式求解方法，从而得出关于的不等式的解集区间长度的取值范围.
（1）依题意，设不等式的解集区间为，
则是方程的两个不等实根，且，，
即有，由，得，
解得，满足题意，
所以的值是．
（2）由且，得，
由及，得，则，
不等式化为，即，解得，
所以其解集区间长度为，范围为.
16．（2024高三上·长春模拟）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若存在极小值，讨论与的大小关系.
【答案】（1）解：因为
若，即，则当时，；当时，；
当，即，
则恒成立，当且仅当时，；
若，即，
则当或时，；当时，；
若，即，
则当或时，；当时，.
综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，
在上单调递增；
当时，在，上单调递减，
在上单调递增.
（2）解：由（1）知，若存在极小值，则，
当时，，此时，所以；
当时，，
因为，所以，所以.
综上所述，当时，；当时，.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）先求导函数，再分四种情况讨论导函数正负，从而判断出函数的单调性.
（2）结合（1）的结论，分两种情况，则由导数的方法分别求出函数的极小值，再结合对数函数的取值范围，从而比较出与的大小关系.
（1），
若，即，则当时，；当时，；
当，即，则恒成立，当且仅当时，；
若，即，则当或时，；当时，；
若，即，则当或时，；当时，.
综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在，上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）知，若存在极小值，则，
且当时，，此时，所以；
当时，，
因为，所以，所以.
综上所述，当时，；当时，.
17．（2024高三上·长春模拟）某制药厂临床试验一批新药的疗效（-因子是主要成分），根据国家规定：服用新药后100mL血液中-因子含量达到认定为有效Ⅰ级，80mg及以上认定为有效Ⅱ级，20mg以下认定为无效．经过大量试验得知，服用该药后一开始血液中-因子的浓度呈线性增长，当其上升到时，血液中-因子的浓度将会以每小时的速度减少（函数模型如图）．
（1）请写出服用该药后血液中-因子浓度（单位：）随时间（单位：小时）变化的关系式；
（2）服用该药后，至少要经过几个小时血液中-因子才能降至无效？（结果取整数）．
（参考数据：）
【答案】（1）解：开始时，血液中-因子浓度呈线性增长时，设，
将代入，得，
解得，因此，
当时，，
又因为当-因子浓度上升到时，以每小时的速度减少，
则当时，，
则所求关系式为.
（2）解：设至少要经过小时血液中-因子降至无效，即，
整理得，两边取常用对数，得，
则，解得，
所以至少要经过9个小时血液中-因子才能降至无效.
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【分析】（1）根据给定的条件，再结合题中图象，从而求出与的关系式.
（2）利用（1）的结论，结合已知条件建立不等式，再利用对数函数的单调性和对数的运算法则，从而得出服用该药后，血液中-因子才能降至无效至少要经过的时间.
（1）开始时，血液中-因子浓度呈线性增长时，设，
将代入，得，解得，因此；
当时，，又当-因子浓度上升到时，以每小时的速度减少，
则当时，，
所以所求关系式为.
（2）设至少要经过小时血液中-因子降至无效，即，
整理得，两边取常用对数，得，
则，解得，
所以至少要经过9个小时血液中-因子才能降至无效.
18．（2024高三上·长春模拟）已知函数．
（1）求函数的值域；
（2）若不等式在上恒成立，求的取值范围；
（3）当时，函数的值域为，求正数的取值范围．
【答案】（1）解：依题意，得出，
由，得，则，
当时，即当时，；
当时，即当时，，
所以函数在时的值域为.
（2）解：不等式
当时，；
当时，，则恒成立，
又因为在上递减，
所以在上的值域为，则；
当时，，则恒成立，
又因为在上递减，
所以在上的值域为，则，
所以实数的取值范围为.
（3）解：当时，
在上单调递增，
又当时，值域为，
因此，即，
则是关于的方程，
即的两个不相等的正根，
则，
解得，
所以正数的取值范围为.
【知识点】函数的值域；函数恒成立问题；指数函数的图象与性质；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件和函数的解析式，再由代入法得出，利用x的取值范围和指数函数的单调性以及不等式的基本性质，从而由二次函数的图象求最值的方法，进而得出函数的值域.
（2）将不等式，再由分类讨论的方法和函数的单调性求值域的方法再结合不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数k的取值范围.
（3）利用函数的单调性求出给定区间上的值域，再结合已知条件转化为一元二次方程有两个不等的正实根，再由判别式法和韦达定理得出正数的取值范围.
（1）依题意，，
由，得，则，
当，即时，；当，即时，，
所以函数在时的值域为.
（2）不等式，
当时，；
当时，，则恒成立，
又在上递减，在上的值域为，因此；
当时，，则恒成立，
又在上递减，在上的值域为，因此，
所以实数的取值范围为.
（3）当时，在上单调递增，
又当时，值域为，
因此，即，
则是关于的方程，即的两个不相等的正根，
则，解得，
所以正数的取值范围为.
19．（2024高三上·长春模拟）已知函数（其中）．
（1）当时，证明：是增函数；
（2）证明：曲线是中心对称图形；
（3）已知，设函数，若对任意的恒成立，求的最小值．
【答案】（1）证明：函数的定义域为R，
当时，，
求导得，所以是增函数．
（2）证明：依题意，
，
所以曲线关于点对称，曲线是中心对称图形.
（3）解：依题意，，其定义域为，求导得，
当时，在上单调递增，
当时，，的取值集合为，
因此当时，函数的取值集合为，不符合题意；
当时，由，得在上单调递增；
由，得在上单调递减，
函数在处取得最小值，且，
由对任意的恒成立，
得，即成立，
则，
设，
当时，；当时，，
则函数在上递减，在上递增，
则，即，
当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；图形的对称性
【解析】【分析】（1）根据给定条件，求出导函数，再判断导数值为正，即可证出函数是增函数.
（2）利用函数的图象中心对称的定义，从而计算推理，即可证出曲线是中心对称图形.
（3）利用已知条件得出函数的解析式，再求出其导函数，按分类讨论并求出函数的最小值，从而建立不等式，再构造函数再利用导数判断 出函数的单调性，从而得出函数的最小值，进而得出的最小值.
（1）函数的定义域为R，当时，，
求导得，所以是增函数．
（2）依题意，
，
所以曲线关于点对称，曲线是中心对称图形.
（3）依题意，，其定义域为，求导得，
当时，在上单调递增，
当时，，的取值集合为，
因此当时，函数的取值集合为，不符合题意；
当时，由，得在上单调递增；
由，得在上单调递减，
函数在处取得最小值，且，
由对任意的恒成立，得，即成立，
因此，设，
当时，，当时，，
函数在上递减，在上递增，
则，即，当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
1 / 1九师联盟2025届高三上学期10月联考数学试卷
1．（2024高三上·长春模拟）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高三上·长春模拟）已知，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高三上·长春模拟）已知定义域为的函数不是偶函数，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024高三上·长春模拟）设函数，若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024高三上·长春模拟）设，则使成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高三上·长春模拟）已知矩形的两个顶点在轴上，另两个顶点在函数的图象上，则当矩形的面积最大时，（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高三上·长春模拟）已知关于的方程有两个不相等的实数解，则正实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高三上·长春模拟）已知，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高三上·长春模拟）对于集合，若，则称为对偶互存集，则下列为对偶互存集的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024高三上·长春模拟）已知函数，设，则（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024高三上·长春模拟）设，定义在上的函数满足，且，则（ ）
A． B． C．为偶函数 D．
12．（2024高三上·长春模拟）已知为幂函数，则曲线在点处的切线的方程为 ．
13．（2024高三上·长春模拟）设且，则的最小值为 ．
14．（2024高三上·长春模拟）已知函数有3个零点，则的取值范围为 ．
15．（2024高三上·长春模拟）定义区间、、、的长度均为，其中．
（1）若关于的不等式的解集区间长度为2，求的值；
（2）若且，求关于的不等式的解集区间长度范围．
16．（2024高三上·长春模拟）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若存在极小值，讨论与的大小关系.
17．（2024高三上·长春模拟）某制药厂临床试验一批新药的疗效（-因子是主要成分），根据国家规定：服用新药后100mL血液中-因子含量达到认定为有效Ⅰ级，80mg及以上认定为有效Ⅱ级，20mg以下认定为无效．经过大量试验得知，服用该药后一开始血液中-因子的浓度呈线性增长，当其上升到时，血液中-因子的浓度将会以每小时的速度减少（函数模型如图）．
（1）请写出服用该药后血液中-因子浓度（单位：）随时间（单位：小时）变化的关系式；
（2）服用该药后，至少要经过几个小时血液中-因子才能降至无效？（结果取整数）．
（参考数据：）
18．（2024高三上·长春模拟）已知函数．
（1）求函数的值域；
（2）若不等式在上恒成立，求的取值范围；
（3）当时，函数的值域为，求正数的取值范围．
19．（2024高三上·长春模拟）已知函数（其中）．
（1）当时，证明：是增函数；
（2）证明：曲线是中心对称图形；
（3）已知，设函数，若对任意的恒成立，求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交集及其运算；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：依题意，，
所以.
故答案为：A.
【分析】利用x的取值范围和元素与集合的关系，从而得出集合，再利用交集的运算法则，从而得出集合.
2．【答案】B
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
3．【答案】D
【知识点】命题的否定；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：定义域为的函数是偶函数，
所以不是偶函数．
故答案为：D．
【分析】根据偶函数的概念得出是假命题，再写出命题的否定形式，则得出正确的选项.
4．【答案】A
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：当时，则，解得；
当时，则，解得，
综上所述，的取值范围是．
故答案为：A．
【分析】分和两种情况，再结合分段函数的解析式，则由指数函数的单调性和对数函数的单调性，从而由并集的运算法则得出实数t的取值范围.
5．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；对数函数的图象与性质；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：对于A，因为，故是的充要条件，故A错误；
对于B，由得，能推出，反之不成立，
所以是的充分不必要条件，故B正确；
对于C，由无法得到之间的大小关系，反之也是，
所以是的既不充分也不必要条件，故C错误；
对于D，由不能推出，反之则成立，
所以是的必要不充分条件，故D错误.
故答案为：B．
【分析】根据充分条件和必要条件的判断方法结合不等式的基本性质、对数函数的单调性，从而判断各选项，进而找出使成立的一个充分不必要条件.
6．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：依题意，如图所示，
设，则，
所以矩形面积，
所以，
令，解得．
当时，；
当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，当时，取得最大值，此时．
故答案为：D．
【分析】设，则，可得矩形面积，再利用导数求出当时，取得最大值，即可求出的值.
7．【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由，记，
因为在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为，
结合图象知，若函数与的图象有两个交点，
即原方程有两个不相等的实数解，
则需，解得．
故答案为：A．
【分析】先设函数，再把两个不相等的实数解转化为函数有两个交点，数形结合列式，从而得出实数a的取值范围.
8．【答案】C
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：设，
则，所以在上单调递增，
所以，
即，所以，
因为，
所以，即；
又因为，所以．
故答案为：C．
【分析】先构造函数，利用函数的单调性，从而得出，再根据，取对数判断得出，从而比较出a，b，c的大小.
9．【答案】A,B,D
【知识点】集合的含义
【解析】【解答】解：对于A，当时，，故A正确；
对于B，因为为全体奇数构成的集合，
当为奇数时，也为奇数，故B正确；
对于C，因为，
则，但，故C错误；
对于D，因为，
当时，则，故D正确．
故答案为：ABD．
【分析】根据对偶互存集的定义，则逐项判断，从而得出对偶互存集的选项.
10．【答案】B,C
【知识点】函数单调性的性质；基本不等式在最值问题中的应用
11．【答案】A,B,D
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的周期性；函数的值
【解析】【解答】解：对于A，令，
得，
因为，所以，故A正确；
对于B，令，代入可得，
因为，所以，
则，故B正确；
对于C，令，代入得，
又因为对，恒成立且不恒为0，
所以，则函数为奇函数，
又因为不恒等于0，故C错误；
对于D，因为，
所以，
所以为的周期，所以，故D正确．
故答案为：ABD．
【分析】令，再利用，从而得出的值，则判断出选项A；令，再由，则得出，即可判断选项B；令，可得，则判断出函数为奇函数，即可判断出选项C；利用已知条件可得出，从而得出函数的周期，再利用函数的周期性得出的值，则判断出选项D，进而找出正确的选项.
12．【答案】
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：设，将代入得，
所以，
所以，切线方程为，即．
故答案为：.
【分析】利用待定系数法和已知条件，则由代入法，从而求出幂函数的解析式，再结合导数的几何意义得出切线的斜率，再根据点斜式得出曲线在点处的切线方程.
13．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为，所以，
因为，所以，
当且仅当时，即当时取等号，
所以的最小值为．
故答案为：.
【分析】根据已知条件得出，再利用基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值.
14．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：因为的定义域是，
且．
令，判别式，
当时，，则，
所以在上单调递减，
所以在上最多有1个零点，不符合题意；
当时，此时，设方程的两根分别为，且，
则，所以异号，即，
又因为，
所以，所以，
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减，
所以在上有唯一零点，
又因为，且，
结合的单调性，得，
由零点存在性定理可知，在上存在一个零点，
在上也存在一个零点，
又因为在上有一个零点，所以有三个零点，
所以的取值范围为.
故答案为：.
【分析】根据导函数，构造函数，再通过讨论和两种情况，从而判断出函数的单调性，再结合零点存在性定理，从而得出实数a的取值范围.
15．【答案】（1）解：依题意，设不等式的解集区间为，
则是方程的两个不等实根，且，，
即，
由，得，
解得，满足题意，
所以的值是．
（2）解：由且，得，
由及，得，则，
将不等式化为，
即，解得，
所以，关于的不等式的解集区间长度为，
则关于的不等式的解集区间长度取值范围为.
【知识点】一元二次不等式及其解法；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）设出不等式的解集区间，再借助韦达定理和区间长度，从而列式计算得出b的值.
（2）由给定条件，可得和，再利用一元二次不等式求解方法，从而得出关于的不等式的解集区间长度的取值范围.
（1）依题意，设不等式的解集区间为，
则是方程的两个不等实根，且，，
即有，由，得，
解得，满足题意，
所以的值是．
（2）由且，得，
由及，得，则，
不等式化为，即，解得，
所以其解集区间长度为，范围为.
16．【答案】（1）解：因为
若，即，则当时，；当时，；
当，即，
则恒成立，当且仅当时，；
若，即，
则当或时，；当时，；
若，即，
则当或时，；当时，.
综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，
在上单调递增；
当时，在，上单调递减，
在上单调递增.
（2）解：由（1）知，若存在极小值，则，
当时，，此时，所以；
当时，，
因为，所以，所以.
综上所述，当时，；当时，.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）先求导函数，再分四种情况讨论导函数正负，从而判断出函数的单调性.
（2）结合（1）的结论，分两种情况，则由导数的方法分别求出函数的极小值，再结合对数函数的取值范围，从而比较出与的大小关系.
（1），
若，即，则当时，；当时，；
当，即，则恒成立，当且仅当时，；
若，即，则当或时，；当时，；
若，即，则当或时，；当时，.
综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在，上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）知，若存在极小值，则，
且当时，，此时，所以；
当时，，
因为，所以，所以.
综上所述，当时，；当时，.
17．【答案】（1）解：开始时，血液中-因子浓度呈线性增长时，设，
将代入，得，
解得，因此，
当时，，
又因为当-因子浓度上升到时，以每小时的速度减少，
则当时，，
则所求关系式为.
（2）解：设至少要经过小时血液中-因子降至无效，即，
整理得，两边取常用对数，得，
则，解得，
所以至少要经过9个小时血液中-因子才能降至无效.
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【分析】（1）根据给定的条件，再结合题中图象，从而求出与的关系式.
（2）利用（1）的结论，结合已知条件建立不等式，再利用对数函数的单调性和对数的运算法则，从而得出服用该药后，血液中-因子才能降至无效至少要经过的时间.
（1）开始时，血液中-因子浓度呈线性增长时，设，
将代入，得，解得，因此；
当时，，又当-因子浓度上升到时，以每小时的速度减少，
则当时，，
所以所求关系式为.
（2）设至少要经过小时血液中-因子降至无效，即，
整理得，两边取常用对数，得，
则，解得，
所以至少要经过9个小时血液中-因子才能降至无效.
18．【答案】（1）解：依题意，得出，
由，得，则，
当时，即当时，；
当时，即当时，，
所以函数在时的值域为.
（2）解：不等式
当时，；
当时，，则恒成立，
又因为在上递减，
所以在上的值域为，则；
当时，，则恒成立，
又因为在上递减，
所以在上的值域为，则，
所以实数的取值范围为.
（3）解：当时，
在上单调递增，
又当时，值域为，
因此，即，
则是关于的方程，
即的两个不相等的正根，
则，
解得，
所以正数的取值范围为.
【知识点】函数的值域；函数恒成立问题；指数函数的图象与性质；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件和函数的解析式，再由代入法得出，利用x的取值范围和指数函数的单调性以及不等式的基本性质，从而由二次函数的图象求最值的方法，进而得出函数的值域.
（2）将不等式，再由分类讨论的方法和函数的单调性求值域的方法再结合不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数k的取值范围.
（3）利用函数的单调性求出给定区间上的值域，再结合已知条件转化为一元二次方程有两个不等的正实根，再由判别式法和韦达定理得出正数的取值范围.
（1）依题意，，
由，得，则，
当，即时，；当，即时，，
所以函数在时的值域为.
（2）不等式，
当时，；
当时，，则恒成立，
又在上递减，在上的值域为，因此；
当时，，则恒成立，
又在上递减，在上的值域为，因此，
所以实数的取值范围为.
（3）当时，在上单调递增，
又当时，值域为，
因此，即，
则是关于的方程，即的两个不相等的正根，
则，解得，
所以正数的取值范围为.
19．【答案】（1）证明：函数的定义域为R，
当时，，
求导得，所以是增函数．
（2）证明：依题意，
，
所以曲线关于点对称，曲线是中心对称图形.
（3）解：依题意，，其定义域为，求导得，
当时，在上单调递增，
当时，，的取值集合为，
因此当时，函数的取值集合为，不符合题意；
当时，由，得在上单调递增；
由，得在上单调递减，
函数在处取得最小值，且，
由对任意的恒成立，
得，即成立，
则，
设，
当时，；当时，，
则函数在上递减，在上递增，
则，即，
当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；图形的对称性
【解析】【分析】（1）根据给定条件，求出导函数，再判断导数值为正，即可证出函数是增函数.
（2）利用函数的图象中心对称的定义，从而计算推理，即可证出曲线是中心对称图形.
（3）利用已知条件得出函数的解析式，再求出其导函数，按分类讨论并求出函数的最小值，从而建立不等式，再构造函数再利用导数判断 出函数的单调性，从而得出函数的最小值，进而得出的最小值.
（1）函数的定义域为R，当时，，
求导得，所以是增函数．
（2）依题意，
，
所以曲线关于点对称，曲线是中心对称图形.
（3）依题意，，其定义域为，求导得，
当时，在上单调递增，
当时，，的取值集合为，
因此当时，函数的取值集合为，不符合题意；
当时，由，得在上单调递增；
由，得在上单调递减，
函数在处取得最小值，且，
由对任意的恒成立，得，即成立，
因此，设，
当时，，当时，，
函数在上递减，在上递增，
则，即，当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
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