2025年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（八省联考）数学试题
1．（2025高三上·月考） 已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为集合，所以.
故答案为：C.
【分析】根据集合的交集运算求解即可.
2．（2025高三上·月考） 函数的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】余弦函数的性质
【解析】【解答】解：函数的最小正周期为.
故答案为：D.
【分析】根据三角函数最小正周期公式求解即可.
3．（2025高三上·月考）（ ）
A．2 B．4 C． D．6
【答案】C
【知识点】复数的模
【解析】【解答】解：.
故答案为：C.
【分析】根据复数模的公式直接求解即可.
4．（2025高三上·月考） 已知向量，则（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量加、减运算的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，，所以，
则.
故答案为：B.
【分析】根据向量数量积的坐标运算求解即可.
5．（2025高三上·月考） 双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：易知，则双曲线的渐近线为.
故答案为：C.
【分析】根据双曲线的标准方程直接写渐近线方程即可.
6．（2025高三上·月考） 底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：由题意可知：圆锥的底面半径，母线长，
圆锥的高，
则圆锥的体积为.
故答案为：A.
【分析】由题意，利用勾股定理求出圆锥的高，再根据圆锥体积公式求解即可.
7．（2025高三上·月考） 在中，，则的面积为（ ）
A．6 B．8 C．24 D．48
【答案】C
【知识点】解三角形；余弦定理
【解析】【解答】解：设，
由余弦定理，
因为，，，
所以，即，解得，即，
满足，则为直角三角形，.
故答案为：C.
【分析】由题意，根据余弦定理求出边的长度，再利用三角形面积公式求三角形面积即可.
8．（2025高三上·月考） 已知函数，若当时，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：当，时，函数恒成立，符合题意；
当，时，，解得，
由于时，，故，解得；
当，时，函数，
当时，，此时，
所以，不满足当时，，故不符合题意；
当，时，，解得，
由于时，，故，解得，
综上.
故答案为：B.
【分析】分，，，讨论，去掉绝对值，结合一元二次不等式的求解即可.
9．（2025高三上·月考） 已知是抛物线的焦点，M是C上的点，O为坐标原点．则（ ）
A．
B．
C．以M为圆心且过F圆与C的准线相切
D．当时，的面积为
【答案】A,B,C
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：A、因为是抛物线的焦点，所以，则，故A正确；
B、设，因为点在抛物线上，所以，
所以，故B正确；
C、因为以为圆心且过的圆半径为等于与的准线的距离，
所以以为圆心且过的圆与的准线相切，故C正确；
D、当时，，，且，，
所以，解得或（舍去），
所以的面积为，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】根据焦点坐标求出即可判断A；根据抛物线定义即可判断BC；应用已知联立方程求出点的坐标计算判断三角形的面积即可判断D.
10．（2025高三上·月考） 在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数．双曲正切函数是一种激励函数．定义双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数．则（ ）
A．双曲正弦函数是增函数 B．双曲余弦函数是增函数
C．双曲正切函数是增函数 D．
【答案】A,C,D
【知识点】指数函数的图象与性质；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：A、令函数，
求导可得，易知恒成立，则双曲正弦函数是增函数，故A正确；
B、令函数，
求导可得，易知单调递增，因为，
所以当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，故B错误；
C、函数，
由在上单调递增，且，
则是增函数，故C正确；
D、由C知，则，
，
故，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】求导，利用导数的正负判断函数的单调性即可判断AB；根据双曲正弦函数与双曲余弦函数将双曲正切函数化简后，结合指数函数性质即可判断C；借助双曲正弦函数与双曲余弦函数，分别将等式左右两边化简即可判断D.
11．（2025高三上·月考） 下面四个绳结中，不能无损伤地变为图中的绳结的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】平面拓扑变换
【解析】【解答】解：A、原图中的圆环不可解开，则无法无损变为一个圆，则无法得到A选项；
D、为三个圆，不是一根绳，则无法得到D选项；
B，C、根据左手三叶结和右手三叶结不能无损转换，而BC情形为三叶结变体，则BC至少有一个无法无损伤得到，两者为手性，即镜像（即只能在镜子中相互重叠），再通过考场身边道具（如鞋带，头发）进行实验则可以得到C选项，无法得到B选项.
故答案为：ABD．
【分析】原图中的圆环无法解开即可判断A，转化为三叶结问题即可判断BC；通过绳数即可判断D.
12．（2025高三上·月考） 已知函，若，则 ．
【答案】e
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：因为，所以，
则，即，
因为且，所以，两边取对数得：，解得.
故答案为：.
【分析】利用指数和对数的运算求解即可.
13．（2025高三上·月考） 有8张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，现从这8张卡片中随机抽出3张，则抽出3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为 ．
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式；组合及组合数公式
【解析】【解答】解：从8张卡片中随机抽出3张，则样本空间中总的样本点数为，
因为，
所以要使抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等，则抽出的3张卡片上的数字之和应为，则抽出的3张卡片上的数字的组合有或或共3种，
所以符合抽出的3张卡片上的数字之和为的样本点个数共3个，
则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为.
故答案为：.
【分析】由题意可知基本事件总数为，再求出所有卡片上的数字之和，根据抽出3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等，可得抽出的3张卡片上的数字之和应为，列举出和为的3张卡片，根据古典概型概型概率公式求解即可.
14．（2025高三上·月考） 已知曲线，两条直线、均过坐标原点O，和交于M、N两点，和交于P、Q两点，若三角形的面积为，则三角形的面积为 ．
【答案】
【知识点】函数单调性的性质；图形的对称性
【解析】【解答】解：曲线，易知和都符合，
则曲线的图象关于原点对称，当时，函数单调递增，
画出曲线的大致图象，如图所示：
因为两条直线、均过坐标原点，所以两点关于原点对称，两点关于原点对称，
根据对称性，不妨设位置如图，
又因为，，
所以，所以，
又因为和等底等高，面积相同，所以，则.
故答案为：.
【分析】由题意，根据对称性，结合图象求解即可.
15．（2025高三上·月考） 为考察某种药物对预防疾病的效果，进行了动物（单位：只）试验，得到如下列联表：
药物 疾病 合计
未患病 患病
未服用 100 80 s
服用 150 70 220
合计 250 t 400
附：，
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
（1）求s，t；
（2）记未服用药物的动物患疾病的概率为，给出的估计值；
（3）根据小概率值的独立性检验，能否认为药物对预防疾病有效
【答案】（1）解：易知；
（2）解：由列联表知，未服用药物的动物有只，
未服用药物且患疾病的动物有只，
所以未服用药物的动物患疾病的频率为，
所以未服用药物的动物患疾病的概率的估计值为；
（3）解：零假设：药物对预防疾病无效，
由列联表得到，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为药物对预防疾病有效，该推断犯错误的概率不超过，
所以根据小概率值的独立性检验，能认为药物对预防疾病有效.
【知识点】独立性检验；用频率估计概率；2×2列联表
【解析】【分析】（1）由题意，根据列联表求和即可；
（2）用频率估计概率即可；
（3）根据公式计算，再根据临界值表分析判断即可.
16．（2025高三上·月考） 已知数列中，
（1）证明：数列为等比数列；
（2）求的通项公式；
（3）令，证明：．
【答案】（1）证明：由，可得，
则，
即数列是首项为，公比为的等比数列；
（2）解：根据（1），可得，则；
（3）证明：由（2）可得：，
令，，
因为在上单调递增，且
所以数列在上单调递减，从而数列在上单调递增，且，
故得证.
【知识点】等比数列概念与表示；数列的递推公式；数列与函数的综合；数列与不等式的综合
【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合等比数列的定义证明即可；
（2）由（1）求得数列的通项公式，再求即可；
（3）将（2）中得到的的通项代入求得，化简后利用数列的单调性证明即可.
17．（2025高三上·月考） 已知函数.
（1）设，求曲线的斜率为2的切线方程；
（2）若是的极小值点，求b的取值范围.
【答案】（1）解：当时，函数定义域为，
求导可得，令，
化简得，解得，
因为，所以切线方程过点，切线方程斜率为2，则切线方程为，即；
（2）解：易知函数的定义域为，求导可得，
因为是的极小值点，所以，
则，
若，令，令，
则在上单调递增，在上单调递减，即是的极大值点，不满足题意；
若，令，令，
则在上单调递增，在上单调递减，即是的极大值点，不满足题意；
若，则，在上单调递减，无极值，不满足题意；
若，令，令，
则在上单调递增，在上单调递减，即是的极小值点，满足题意；
综上，是的极小值点时，.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；基本初等函数导函数公式
【解析】【分析】（1）将代入函数，求定义域，再求导，根据切线斜率为2，结合导数知识可得切线过点，即可求得切线方程；
（2）由是的极小值点，可得，然后据此讨论的单调性，分析得在时的极值情况求解即可.
18．（2025高三上·月考） 已知椭圆C的离心率为，左、右焦点分别为，
（1）求C的方程；
（2）已知点，证明：线段的垂直平分线与C恰有一个公共点；
（3）设M是坐标平面上的动点，且线段的垂直平分线与C恰有一个公共点，证明M的轨迹为圆，并求该圆的方程．
【答案】（1）解：易知，因为椭圆C的离心率为，所以，又因为，所以，则椭圆方程为；
（2）证明：由，得直线斜率为，中点坐标为，
则线段的垂直平分线方程为，
联立，消元整理得，解得，，
因为，所以直线与椭圆相切，
故线段的垂直平分线与C恰有一个公共点；
（3）解：设，
当时，的垂直平分线方程为，此时，解得或；
当时，的垂直平分线方程为，
联立，整理得，
即，
因为线段的垂直平分线与C恰有一个公共点，
故，
即，
则，
即，
，
即，
因为，所以，而，也满足该式，
故点的轨迹是圆，该圆的方程为，即.
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据已知条件，结合椭圆的性质求，即可得椭圆方程；
(2)写出中垂线方程，联立椭圆方程，判别式等于零，即可证明恰一个公共点；
(3)利用设直线方程联立椭圆方程的方法，根据判别式等于0，即可求解.
19．（2025高三上·月考） 在平面四边形中，，，将沿AC翻折至，其中P为动点.
（1）设，三棱锥的各个顶点都在球O的球面上．
（i）证明：平面平面；
（ii）求球O的半径
（2）求二面角的余弦值的最小值.
【答案】（1）解：在中，由，得，
所以，且，
即，
（i）证明：因为，，，平面，
所以平面，又因为平面，所以平面平面；
（ii）以A为原点，分别为x轴和y轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示：
则，设球心，半径，
则，
所以，
解得，所以球O的半径为；
（2）解：在平面中，过P作于G，在平面中，过G作，
因平面，则平面，
则由（1），
设，以G为原点，分别为x轴和y轴正方向，
建立空间直角坐标系，如图所示：
则点在平面内，，
，
设平面一个法向量分别为，则，
即，令，则；
平面的一个法向量为，则，
即，令，则，
所以，
令，则由得，则，
于是
，
当且仅当即时等号成立，
所以二面角的余弦值的最小值为.
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）（i）由题设求证，即可由线面垂直的判定定理得平面，再由面面垂直判定定理证明即可；
（ii）建立以A为原点空间直角坐标系，设球心，半径，由列方程组求解即可；
（2）过P作于G，在平面中，过G作，设，，以G为原点建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量法求出平面和平面的一个法向量，再根据向量的夹角公式，通过换元，利用二次函数的性质求解即可.
1 / 12025年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（八省联考）数学试题
1．（2025高三上·月考） 已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025高三上·月考） 函数的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025高三上·月考）（ ）
A．2 B．4 C． D．6
4．（2025高三上·月考） 已知向量，则（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
5．（2025高三上·月考） 双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025高三上·月考） 底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025高三上·月考） 在中，，则的面积为（ ）
A．6 B．8 C．24 D．48
8．（2025高三上·月考） 已知函数，若当时，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025高三上·月考） 已知是抛物线的焦点，M是C上的点，O为坐标原点．则（ ）
A．
B．
C．以M为圆心且过F圆与C的准线相切
D．当时，的面积为
10．（2025高三上·月考） 在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数．双曲正切函数是一种激励函数．定义双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数．则（ ）
A．双曲正弦函数是增函数 B．双曲余弦函数是增函数
C．双曲正切函数是增函数 D．
11．（2025高三上·月考） 下面四个绳结中，不能无损伤地变为图中的绳结的有（ ）
A． B．
C． D．
12．（2025高三上·月考） 已知函，若，则 ．
13．（2025高三上·月考） 有8张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，现从这8张卡片中随机抽出3张，则抽出3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为 ．
14．（2025高三上·月考） 已知曲线，两条直线、均过坐标原点O，和交于M、N两点，和交于P、Q两点，若三角形的面积为，则三角形的面积为 ．
15．（2025高三上·月考） 为考察某种药物对预防疾病的效果，进行了动物（单位：只）试验，得到如下列联表：
药物 疾病 合计
未患病 患病
未服用 100 80 s
服用 150 70 220
合计 250 t 400
附：，
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
（1）求s，t；
（2）记未服用药物的动物患疾病的概率为，给出的估计值；
（3）根据小概率值的独立性检验，能否认为药物对预防疾病有效
16．（2025高三上·月考） 已知数列中，
（1）证明：数列为等比数列；
（2）求的通项公式；
（3）令，证明：．
17．（2025高三上·月考） 已知函数.
（1）设，求曲线的斜率为2的切线方程；
（2）若是的极小值点，求b的取值范围.
18．（2025高三上·月考） 已知椭圆C的离心率为，左、右焦点分别为，
（1）求C的方程；
（2）已知点，证明：线段的垂直平分线与C恰有一个公共点；
（3）设M是坐标平面上的动点，且线段的垂直平分线与C恰有一个公共点，证明M的轨迹为圆，并求该圆的方程．
19．（2025高三上·月考） 在平面四边形中，，，将沿AC翻折至，其中P为动点.
（1）设，三棱锥的各个顶点都在球O的球面上．
（i）证明：平面平面；
（ii）求球O的半径
（2）求二面角的余弦值的最小值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为集合，所以.
故答案为：C.
【分析】根据集合的交集运算求解即可.
2．【答案】D
【知识点】余弦函数的性质
【解析】【解答】解：函数的最小正周期为.
故答案为：D.
【分析】根据三角函数最小正周期公式求解即可.
3．【答案】C
【知识点】复数的模
【解析】【解答】解：.
故答案为：C.
【分析】根据复数模的公式直接求解即可.
4．【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量加、减运算的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，，所以，
则.
故答案为：B.
【分析】根据向量数量积的坐标运算求解即可.
5．【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：易知，则双曲线的渐近线为.
故答案为：C.
【分析】根据双曲线的标准方程直接写渐近线方程即可.
6．【答案】A
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：由题意可知：圆锥的底面半径，母线长，
圆锥的高，
则圆锥的体积为.
故答案为：A.
【分析】由题意，利用勾股定理求出圆锥的高，再根据圆锥体积公式求解即可.
7．【答案】C
【知识点】解三角形；余弦定理
【解析】【解答】解：设，
由余弦定理，
因为，，，
所以，即，解得，即，
满足，则为直角三角形，.
故答案为：C.
【分析】由题意，根据余弦定理求出边的长度，再利用三角形面积公式求三角形面积即可.
8．【答案】B
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：当，时，函数恒成立，符合题意；
当，时，，解得，
由于时，，故，解得；
当，时，函数，
当时，，此时，
所以，不满足当时，，故不符合题意；
当，时，，解得，
由于时，，故，解得，
综上.
故答案为：B.
【分析】分，，，讨论，去掉绝对值，结合一元二次不等式的求解即可.
9．【答案】A,B,C
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：A、因为是抛物线的焦点，所以，则，故A正确；
B、设，因为点在抛物线上，所以，
所以，故B正确；
C、因为以为圆心且过的圆半径为等于与的准线的距离，
所以以为圆心且过的圆与的准线相切，故C正确；
D、当时，，，且，，
所以，解得或（舍去），
所以的面积为，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】根据焦点坐标求出即可判断A；根据抛物线定义即可判断BC；应用已知联立方程求出点的坐标计算判断三角形的面积即可判断D.
10．【答案】A,C,D
【知识点】指数函数的图象与性质；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：A、令函数，
求导可得，易知恒成立，则双曲正弦函数是增函数，故A正确；
B、令函数，
求导可得，易知单调递增，因为，
所以当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，故B错误；
C、函数，
由在上单调递增，且，
则是增函数，故C正确；
D、由C知，则，
，
故，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】求导，利用导数的正负判断函数的单调性即可判断AB；根据双曲正弦函数与双曲余弦函数将双曲正切函数化简后，结合指数函数性质即可判断C；借助双曲正弦函数与双曲余弦函数，分别将等式左右两边化简即可判断D.
11．【答案】A,B,D
【知识点】平面拓扑变换
【解析】【解答】解：A、原图中的圆环不可解开，则无法无损变为一个圆，则无法得到A选项；
D、为三个圆，不是一根绳，则无法得到D选项；
B，C、根据左手三叶结和右手三叶结不能无损转换，而BC情形为三叶结变体，则BC至少有一个无法无损伤得到，两者为手性，即镜像（即只能在镜子中相互重叠），再通过考场身边道具（如鞋带，头发）进行实验则可以得到C选项，无法得到B选项.
故答案为：ABD．
【分析】原图中的圆环无法解开即可判断A，转化为三叶结问题即可判断BC；通过绳数即可判断D.
12．【答案】e
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：因为，所以，
则，即，
因为且，所以，两边取对数得：，解得.
故答案为：.
【分析】利用指数和对数的运算求解即可.
13．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式；组合及组合数公式
【解析】【解答】解：从8张卡片中随机抽出3张，则样本空间中总的样本点数为，
因为，
所以要使抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等，则抽出的3张卡片上的数字之和应为，则抽出的3张卡片上的数字的组合有或或共3种，
所以符合抽出的3张卡片上的数字之和为的样本点个数共3个，
则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为.
故答案为：.
【分析】由题意可知基本事件总数为，再求出所有卡片上的数字之和，根据抽出3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等，可得抽出的3张卡片上的数字之和应为，列举出和为的3张卡片，根据古典概型概型概率公式求解即可.
14．【答案】
【知识点】函数单调性的性质；图形的对称性
【解析】【解答】解：曲线，易知和都符合，
则曲线的图象关于原点对称，当时，函数单调递增，
画出曲线的大致图象，如图所示：
因为两条直线、均过坐标原点，所以两点关于原点对称，两点关于原点对称，
根据对称性，不妨设位置如图，
又因为，，
所以，所以，
又因为和等底等高，面积相同，所以，则.
故答案为：.
【分析】由题意，根据对称性，结合图象求解即可.
15．【答案】（1）解：易知；
（2）解：由列联表知，未服用药物的动物有只，
未服用药物且患疾病的动物有只，
所以未服用药物的动物患疾病的频率为，
所以未服用药物的动物患疾病的概率的估计值为；
（3）解：零假设：药物对预防疾病无效，
由列联表得到，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为药物对预防疾病有效，该推断犯错误的概率不超过，
所以根据小概率值的独立性检验，能认为药物对预防疾病有效.
【知识点】独立性检验；用频率估计概率；2×2列联表
【解析】【分析】（1）由题意，根据列联表求和即可；
（2）用频率估计概率即可；
（3）根据公式计算，再根据临界值表分析判断即可.
16．【答案】（1）证明：由，可得，
则，
即数列是首项为，公比为的等比数列；
（2）解：根据（1），可得，则；
（3）证明：由（2）可得：，
令，，
因为在上单调递增，且
所以数列在上单调递减，从而数列在上单调递增，且，
故得证.
【知识点】等比数列概念与表示；数列的递推公式；数列与函数的综合；数列与不等式的综合
【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合等比数列的定义证明即可；
（2）由（1）求得数列的通项公式，再求即可；
（3）将（2）中得到的的通项代入求得，化简后利用数列的单调性证明即可.
17．【答案】（1）解：当时，函数定义域为，
求导可得，令，
化简得，解得，
因为，所以切线方程过点，切线方程斜率为2，则切线方程为，即；
（2）解：易知函数的定义域为，求导可得，
因为是的极小值点，所以，
则，
若，令，令，
则在上单调递增，在上单调递减，即是的极大值点，不满足题意；
若，令，令，
则在上单调递增，在上单调递减，即是的极大值点，不满足题意；
若，则，在上单调递减，无极值，不满足题意；
若，令，令，
则在上单调递增，在上单调递减，即是的极小值点，满足题意；
综上，是的极小值点时，.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；基本初等函数导函数公式
【解析】【分析】（1）将代入函数，求定义域，再求导，根据切线斜率为2，结合导数知识可得切线过点，即可求得切线方程；
（2）由是的极小值点，可得，然后据此讨论的单调性，分析得在时的极值情况求解即可.
18．【答案】（1）解：易知，因为椭圆C的离心率为，所以，又因为，所以，则椭圆方程为；
（2）证明：由，得直线斜率为，中点坐标为，
则线段的垂直平分线方程为，
联立，消元整理得，解得，，
因为，所以直线与椭圆相切，
故线段的垂直平分线与C恰有一个公共点；
（3）解：设，
当时，的垂直平分线方程为，此时，解得或；
当时，的垂直平分线方程为，
联立，整理得，
即，
因为线段的垂直平分线与C恰有一个公共点，
故，
即，
则，
即，
，
即，
因为，所以，而，也满足该式，
故点的轨迹是圆，该圆的方程为，即.
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据已知条件，结合椭圆的性质求，即可得椭圆方程；
(2)写出中垂线方程，联立椭圆方程，判别式等于零，即可证明恰一个公共点；
(3)利用设直线方程联立椭圆方程的方法，根据判别式等于0，即可求解.
19．【答案】（1）解：在中，由，得，
所以，且，
即，
（i）证明：因为，，，平面，
所以平面，又因为平面，所以平面平面；
（ii）以A为原点，分别为x轴和y轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示：
则，设球心，半径，
则，
所以，
解得，所以球O的半径为；
（2）解：在平面中，过P作于G，在平面中，过G作，
因平面，则平面，
则由（1），
设，以G为原点，分别为x轴和y轴正方向，
建立空间直角坐标系，如图所示：
则点在平面内，，
，
设平面一个法向量分别为，则，
即，令，则；
平面的一个法向量为，则，
即，令，则，
所以，
令，则由得，则，
于是
，
当且仅当即时等号成立，
所以二面角的余弦值的最小值为.
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）（i）由题设求证，即可由线面垂直的判定定理得平面，再由面面垂直判定定理证明即可；
（ii）建立以A为原点空间直角坐标系，设球心，半径，由列方程组求解即可；
（2）过P作于G，在平面中，过G作，设，，以G为原点建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量法求出平面和平面的一个法向量，再根据向量的夹角公式，通过换元，利用二次函数的性质求解即可.
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