安庆一中2024-2025学年高三上学期期末质量检测
数学试题
时间：120分钟 满分：150分
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，下列选项正确的为( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 的最小值为 D. 若与垂直，则
3.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
4.已知递减的等比数列满足：，，，若，则数列的前项和( )
A. B. C. D.
5.现安排甲、乙、丙三位同学在星期一到星期六值日，每人两天，且都不连续值日的不同方法种数为( )
A. B. C. D.
6.十字歇山顶是中国古代建筑屋顶的经典样式之一，图中的故宫角楼的顶部即为十字歇山顶其上部可视为由两个相同的直三棱枓交叠而成的几何体图这两个直三棱柱有一个公共侧面在底面中，若，则该几何体的体积为( )
A. B. C. D.
7.已知函数，“存在，函数的图象既关于直线对称，又关于点对称”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件：
8.已知函数的定义域均是，满足，，，则下列结论中正确的是( )
A. 为奇函数 B. 为偶函数
C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知复数，在复平面内对应的点分别为，，为坐标原点，则( )
A. 若，则 B. 若，均不为，则
C. 若，则 D. 若，则
10.已知棱长为的正四面体满足，，，，则下列选项正确的是( )
A. B. 当时，
C. 当时，的最小值为 D. 当时，的取值范围为
11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，过点且斜率为的直线交于点，交的一条渐近线于点，则( )
A. 若以为直径的圆经过点，则的离心率为
B. 若以为直径的圆经过点，则的离心率为
C. 若，则的渐近线方程为
D. 若点不在圆外，则的渐近线的斜率的绝对值不大于
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中的系数为，则的值为________．
13.已知函数在处取得极小值，且，若的定义域为，值域为，则的取值范围是________．
14.以表示数集中最大小的数设，已知，则________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，设内角、、的对边分别为，，，已知，，，为外接圆上一点、、、按逆时针方向排列．
求及圆的半径；
求四边形面积的最大值．
16.本小题分
如图，直线平面，，点为线段的中点，点在线段上，，，．
证明：
若，，，求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
已知函数，．
求函数的单调区间；
若关于的不等式在上恒成立求的取值范围；
18.本小题分
已知双曲线的渐近线与圆相切，圆心是的一个焦点．
求的方程
过点的直线与的右支交于，两点，，分别为的左、右顶点，直线与交于点．
(ⅰ)证明：在定直线上
(ⅱ)若直线与交于点，求的值．
19.本小题分
已知数列为个数的一个排列，其中，且若在集合中至少有一个元素使得，则称数列具有性质．
当时，判断数列和数列是否具有性质；
若数列和均为等差数列，且，，证明：对于所有的偶数，数列不具有性质；
在所有由的排列组成的数列中，记具有性质的数列的个数为，不具有性质的数列的个数为，证明：对于任意，．安庆一中2024-2025学年高三上学期期末质量检测
数学试题
时间：120分钟 满分：150分
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
【答案】B
解：因为，所以，又，所以．
2.已知向量，，下列选项正确的为( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 的最小值为 D. 若与垂直，则
【答案】D
解：对于，由，得，则，A错误；
对于，由，得，
与联立，
解得，B错误；
对于，
，
，所以的最小值，C错误．
对于，由题意知：，且，
则，，
，D正确，
3.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
解：当 时，函数 ，
由函数 在 上递减，
可得 在 上递减，排除 ；
当 时，函数 ，此时 ，
而选项 中在 时的最小值为，故可排除 ，只有 正确，
故选．
4.已知递减的等比数列满足：，，，若，则数列的前项和( )
A. B. C. D.
【答案】C
解：因为，所以，
又，所以，又，所以．
因为是递减数列，所以设公比为，则．
又，所以，所以，所以，
令，则，令，则．
所以．
5.现安排甲、乙、丙三位同学在星期一到星期六值日，每人两天，且都不连续值日的不同方法种数为( )
A. B. C. D.
【答案】D
解：把星期一到星期六记为，，，，，，则不连续值日的三组数可列举为，，，，，所以符合条件的方法有种．
6.十字歇山顶是中国古代建筑屋顶的经典样式之一，图中的故宫角楼的顶部即为十字歇山顶其上部可视为由两个相同的直三棱枓交叠而成的几何体图这两个直三棱柱有一个公共侧面在底面中，若，则该几何体的体积为( )
A. B. C. D.
【答案】C
解:由题意可知该几何体可由直三棱柱，以及两个三棱锥，，
由可得，
由题意可知底面为正方形，故，
故，
，
故几何体的体积为，
7.已知函数，“存在，函数的图象既关于直线对称，又关于点对称”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件：
【答案】B
解：存在，，函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，
则，
解得
当，时，，故充分性不成立，
若函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，
则，，，，当，，时，
则故必要性成立，
综上所述，“存在，，函数的图象既关于直线对称，又关于点对称”是“”的必要不充分条件．
故选：．
8.已知函数的定义域均是，满足，，，则下列结论中正确的是( )
A. 为奇函数 B. 为偶函数
C. D.
【答案】D
解：对于，因为，所以令，得，
即，
，所以是偶函数，故A错误
对于，由，令，得，所以，
由，令，，得，
所以，所以不是偶函数，故B错误
对于，令，则，令，则，
所以，，所以，所以，
令，得．
化简得，用替换，得，故C错误
对于，令，得，从而可知，
而，故D正确．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知复数，在复平面内对应的点分别为，，为坐标原点，则( )
A. 若，则
B. 若，均不为，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】AC
解：设，，则，，
对于，，，
则，即，所以选项正确
对于，，
，，则，
则不一定恒成立，所以选项不正确
对于，
，
即，即，所以选项正确
对于，若，
即，不一定为，所以选项不正确，
10.已知棱长为的正四面体满足，，，，则下列选项正确的是( )
A. B. 当时，
C. 当时，的最小值为 D. 当时，的取值范围为
【答案】ABD
解：如图：
对于因为，
所以，
因此
．
因为正四面体的棱长为，所以，
因此，
所以，当且仅当时，等号成立，因此，故A正确；
对于当时，由选项A知：，
因此，故B正确；
对于当时，由选项A知：，即，
所以，即，
因此，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为，故C错误；
对于因为，所以，
因此由选项A知：，
所以
．
因为当时，由选项C知：，
所以．
因为，所以，因此，即的取值范围为，
11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，过点且斜率为的直线交于点，交的一条渐近线于点，则( )
A. 若以为直径的圆经过点，则的离心率为
B. 若以为直径的圆经过点，则的离心率为
C. 若，则的渐近线方程为
D. 若点不在圆外，则的渐近线的斜率的绝对值不大于
【答案】ACD
解：由题意知直线的方程为，则与的渐近线平行，
联立方程解得即
若以为直径的圆经过点，则．
因为，，
故，
所以，，，
所以，故A正确
若以为直径的圆经过点，则，
故，
，
由双曲线定义知，得，
故，故B错误
若，则为线段的中点，所以，
又点在上，则，解得，
所以，
则的渐近线方程为，故C正确
因为，即，
且，即，
解得．
因为点不在圆外，则，即，即，
所以的渐近线的斜率的绝对值不大于，D正确．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中的系数为，则的值为________．
【答案】
解：．，
故展开式中的系数为，，
故答案为：．
13.已知函数在处取得极小值，且，若的定义域为，值域为，则的取值范围是________．
【答案】
解:由题意可得：，
因为函数在处取得极小值，
所以，即，解得，
又因为，则有，解得，
所以，
所以，
令，解得或，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
函数在处取极小值，在处取极大值，
令，即，
化为，解得，
令，即，
化为，解得或，
又因为函数在处取得极小值，
若满足定义域为，值域为，则有，．
故答案为：
14.以表示数集中最大小的数设，已知，则 ________．
【答案】
解：由，得，
设，则，
由
，
当且仅当时取等号，故，
所以．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，设内角、、的对边分别为，，，已知，，，为外接圆上一点、、、按逆时针方向排列．
求及圆的半径；
求四边形面积的最大值．
【答案】根据题意可知，，
故，设圆的半径为，
根据正弦定理知，，即．
由知，，即，
可得，，
在中，
，
即，当且仅当时等号成立，
故，
故四边形的面积．
16.本小题分
如图，直线平面，，点为线段的中点，点在线段上，，，．
证明：
若，，，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】解：证明：，，，，四点共面，
，且平面，平面，
平面，
因为，所以，，，，四点共面，
又平面，平面平面，
；
由平面，且，
所以，，两两垂直，如图所示，以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，．
，，，，
，，，，，，
点为线段的中点，且，
点为线段的中点，
，且为线段的中点，
，，则，
设平面的法向量为，，，
由， 取，得，，即．
设直线与平面所成角为，
，，
直线与平面所成角的正弦值为．
17.本小题分
已知函数，．
求函数的单调区间；
若关于的不等式在上恒成立求的取值范围；
【答案】解：当时，，
则，令，可得，
当时，，当时，，
所以的单调增区间为，单调减区间为；
当时，由，得的定义域为，
，令，解得，
当时，，当时，，
所以的单调增区间为，单调减区间为；
经验证，时，的单调增区间也符合，单调减区间也符合；
综上可知：的单调增区间为，单调减区间为；
因为，所以，
令，则，令，则，
由，解得，由，解得，
故在上单调递增，在上单调递减，，
因为，所以，
所以，在上单调递增，所以，
所以，
所以的取值范围．
18.本小题分
已知双曲线的渐近线与圆相切，圆心是的一个焦点．
求的方程
过点的直线与的右支交于，两点，，分别为的左、右顶点，直线与交于点．
(ⅰ)证明：在定直线上
(ⅱ)若直线与交于点，求的值．
【答案】解：圆的方程化为标准形式为，所以圆心，半径，
则的半焦距，
又的两条渐近线方程为，即，由题意，知，所以，，，
所以的方程为．
证明：设直线的方程为：，，，易知，，，，
联立方程消去得，
则，，
，．
因为是上的点，所以，
则，
联立直线，直线的方程，得，
所以
．
解得，故点在定直线上
解：由双曲线对称性可知，点也在直线上，设，
点在直线上，所以，
点在直线上，所以，
所以
．
19.本小题分
已知数列为个数的一个排列，其中，且若在集合中至少有一个元素使得，则称数列具有性质．
当时，判断数列和数列是否具有性质；
若数列和均为等差数列，且，，证明：对于所有的偶数，数列不具有性质；
在所有由的排列组成的数列中，记具有性质的数列的个数为，不具有性质的数列的个数为，证明：对于任意，．
【答案】当时，若数列具有性质，
则集合中至少有一个元素，使得
验证可得，不存在，使得，所以数列不具有性质．
对于数列，集合中存在元素时，
满足，所以数列具有性质
因为数列和均为等差数列，且，，
所以数列，
所以任意相邻两项的差绝对值都是奇数，
所以当为偶数时，在集合中不存在元素使得，
故对于所有的偶数，数列不具有性质
所有由的排列组成的数列共有个，
其中不具有性质的排列要求与不相邻，与不相邻，，与不相邻，
故，所以，
，
因为，
所以，
所以对于任意，．
