阜阳一中2024-2025学年高三上学期期末质量检测
数学试题
考试范围：高考全部内容 时间：120分钟 满分：150分
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B.
C. D.
2.某校为了宣传青少年身心健康的重要性，随机抽查了高一、高二、高三的名同学进行了跑步测试，按照最终测试成绩的分数进行分组，得到如图所示的频率分布直方图，估计该名同学测试得分的上四分位数为( )
A. B. C. D.
3.已知向量在向量上的投影向量为，，则( )
A. B. C. D.
4.某市政府为了减少水资源的浪费，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价，即确定一户居民月均用水量标准，用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费通过抽样获得了户居民的月均用水数据单位：，制成如下频率分布表．
分组
频率
如果以居民月均用水量不超过的占，大于的占为标准，根据频率分布表估计，下列最接近的数是( )
A. B. C. D.
5.已知圆锥与圆柱的底面半径相等，侧面积也相等，设圆锥的体积为，圆柱的体积为，则的取值范围是
A. B. C. D.
6.已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式可能是( )
A. B.
C. D.
7.若函数的定义域内存在，，使得成立，则称为“完整函数”已知是上的“完整函数”，则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
8.已知函数的定义域均是，满足，，，则下列结论中正确的是( )
A. 为奇函数 B. 为偶函数
C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知复数，，则( )
A. B.
C. D. 在复平面内对应的点位于第四象限
10.如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，平面，，下列说法正确的是( )
A. 与所成的角是
B. 平面与平面所成的锐二面角余弦值是
C. 三棱锥的体积是
D. 与平面所成的角的正弦值是
11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，过点且斜率为的直线交于点，交的一条渐近线于点，则( )
A. 若以为直径的圆经过点，则的离心率为
B. 若以为直径的圆经过点，则的离心率为
C. 若，则的渐近线方程为
D. 若点不在圆外，则的渐近线的斜率的绝对值不大于
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.二项式的展开式中，项的系数为________．
13.已知函数，过点可作条与曲线相切的直线，则实数的取值范围是________．
14.为抛物线上一动点，过作圆的一条切线，为切点，点，则的最小值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数在中，，且．
求的大小；
若，且的面积为，求的周长．
16.本小题分
如图，在多面体中，四边形为直角梯形，且满足，，，，平面．
证明：平面
在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为若存在，求出点的位置若不存在，说明理由．
17.本小题分
已知函数．
当时，求的图象在点处的切线方程
讨论的单调性，并求当的极大值等于时，实数的值．
18.本小题分
某学校高二年级乒乓球社团举办了一次乒乓球比赛，进入决赛的名选手来自于个不同的班级，三个班级的选手人数分别是，，，本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名选手进行场比赛，每场比赛采取局胜制，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束，根据积分选出最后的冠军．如果最终积分相同，则同分选手加赛决出排名，积分规则如下：比赛中以或取胜的选手积分，失败的选手积分；而在比赛中以取胜的选手积分，失败的选手积分．已知第场是甲、乙之间的比赛，设每局比赛甲取胜的概率为．若进入决赛的名选手获得冠亚军的概率相等，则比赛结束后冠亚军恰好来自同一个班级的概率是多少？
在第场比赛中，当时，设甲所得积分为，求的分布列及期望；
在第场比赛中，记甲取胜的概率为，求的最大值．
19.本小题分
已知为椭圆上一点，对于上任意两点，，我们定义，关于的生成点的形成过程：过作平行于的直线交于异于的一个点若与重合，则为在处的切线；若与处切线平行，则交点为，记为，且对，记，称为关于的生成点列．
已知，，直接写出和的坐标；
若，，，且，，均在第一象限，证明：，，；
已知为上异于的一点，且在第一象限内，若关于的生成点列中至少有一点是，求出所有满足题意的点的坐标．阜阳一中2024-2025学年高三上学期期末质量检测
数学试题
考试范围：高考全部内容 时间：120分钟 满分：150分
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B.
C. D.
【答案】A
解：，
故，
2.某校为了宣传青少年身心健康的重要性，随机抽查了高一、高二、高三的名同学进行了跑步测试，按照最终测试成绩的分数进行分组，得到如图所示的频率分布直方图，估计该名同学测试得分的上四分位数为( )
A. B. C. D.
【答案】A
解：根据上四分位数的定义，
，
，
则上四分位数位于内，且设其为，
故，
解得．
3.已知向量在向量上的投影向量为，，则( )
A. B. C. D.
【答案】C
解：设 ， 的夹角为 ，
因为向量 在向量 上的投影向量为 ，
所以 ，又 ，则 ．
4.某市政府为了减少水资源的浪费，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价，即确定一户居民月均用水量标准，用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费通过抽样获得了户居民的月均用水数据单位：，制成如下频率分布表．
分组
频率
如果以居民月均用水量不超过的占，大于的占为标准，根据频率分布表估计，下列最接近的数是( )
A. B. C. D.
【答案】B
解：由题意易求得用水量在间的频率为，在间的频率为，
故分位数在之间，因为在此区间的频率为，
故估计分位数为，
故选项中与最接近的数为．
5.已知圆锥与圆柱的底面半径相等，侧面积也相等，设圆锥的体积为，圆柱的体积为，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
解：设圆锥的母线长为，圆柱的高为，它们的底面半径均为．
由题意知，则．
设圆锥的母线与底面的夹角为，则，
圆锥的高，
，易知，所以
6.已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式可能是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
解：由图象知在处无定义，可排除，
由图象可知为奇函数，可排除，
又因为当且时，，排除，
7.若函数的定义域内存在，，使得成立，则称为“完整函数”已知是上的“完整函数”，则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
解：
因为，所以在上有两个最大值点．
令，则函数在区间上至少存在两个最大值点，则，解得
当，即时，显然符合题意．
当时，因为，所以，，，
分以下两种情况讨论：
当，即时，，即，所以
当，即时，，即，所以．
综上，的取值范围为
故选：．
8.已知函数的定义域均是，满足，，，则下列结论中正确的是( )
A. 为奇函数 B. 为偶函数
C. D.
【答案】D
解：对于，因为，所以令，得，
即，
，所以是偶函数，故A错误
对于，由，令，得，所以，
由，令，，得，
所以，所以不是偶函数，故B错误
对于，令，则，令，则，
所以，，所以，所以，
令，得．
化简得，用替换，得，故C错误
对于，令，得，从而可知，
而，故D正确．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知复数，，则( )
A. B.
C. D. 在复平面内对应的点位于第四象限
【答案】BD
解：已知复数，，
：虚数不能比较大小，故A错误；
： ，，故B正确；
：， ，故C不正确；
：，在复平面内对应的点为，在第四象限，
故D都正确．
10.如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，平面，，下列说法正确的是( )
A. 与所成的角是
B. 平面与平面所成的锐二面角余弦值是
C. 三棱锥的体积是
D. 与平面所成的角的正弦值是
【答案】ACD
【解析】解：根据题意，，，两两互相垂直，以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
对于，，则，
异面直线与所成角为，选项A正确；
对于，易知平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，，
则，则可取，
，选项B错误；
对于，取中点，连接，易知，则，
，选项C正确；
对于，设与平面所成角为，则，选项D正确．
11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，过点且斜率为的直线交于点，交的一条渐近线于点，则( )
A. 若以为直径的圆经过点，则的离心率为
B. 若以为直径的圆经过点，则的离心率为
C. 若，则的渐近线方程为
D. 若点不在圆外，则的渐近线的斜率的绝对值不大于
【答案】ACD
解：由题意知直线的方程为，则与的渐近线平行，
联立方程解得即
若以为直径的圆经过点，则．
因为，，
故，
所以，，，
所以，故A正确
若以为直径的圆经过点，则，
故，
，
由双曲线定义知，得，
故，故B错误
若，则为线段的中点，所以，
又点在上，则，解得，
所以，
则的渐近线方程为，故C正确
因为，即，
且，
即，
解得．
因为点不在圆外，则，即，即，
所以的渐近线的斜率的绝对值不大于，D正确．
故选ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.二项式的展开式中，项的系数为________．
【答案】
解：二项式的展开式的通项公式为，，，，，，，
令，可得，
则项的系数为．
13.已知函数，过点可作条与曲线相切的直线，则实数的取值范围是________．
【答案】
解：由，得，
设切点为，则函数在切点处的切线方程为，
将点代入切线方程，得，化简得，
设，则，
令，解得，则在上单调递增，
令，解得或，则在，上单调递减，
又，
作出函数的大致图象如下图所示，
由图象可知，要使直线与的图象有两个交点，则．
故答案为：．
设切点坐标为，求出切线方程为，代入点的坐标化简可得，设，依题意，直线与的图象有两个交点，利用导数研究函数的性质，进而作出草图，结合图象即可得解．
本题考查导数的几何意义及应用，考查数形结合思想及运算求解能力，是中档题．
为抛物线上一动点，过作圆的一条切线，为切点，点，则的最小值为________．
【答案】
解：设，可得，圆的圆心，半径为，连接，
如图所示，
，
即为点到轴的距离．
抛物线的焦点为，准线方程为，
可得，
当且仅当，，三点共线时取等号，
故的最小值为．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数在中，，且．
求的大小；
若，且的面积为，求的周长．
【答案】解：解：由函数，
因为，可得，
在中，因为，所以，
又因为，所以，所以，解得，
因为，所以．
解：由知，因为的面积为，所以，
在中，由余弦定理得，即，
整理得，所以，
即，所以，
所以的周长为．
16.本小题分
如图，在多面体中，四边形为直角梯形，且满足，，，，平面．
证明：平面
在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为若存在，求出点的位置若不存在，说明理由．
【答案】解：证明：因为且，所以四边形为平行四边形，
又，所以四边形为菱形，所以．
因为平面，平面，所以，
又，，平面，，所以平面，
又平面，所以，
又，，平面，，所以平面．
解：因为平面，平面，所以，又，，以为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，所以，，，．
设平面的法向量为，则
令，得，，所以．
假设线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，
设，，
则，，解得或．
所以线段上存在点，当或时，使得直线与平面所成角的正弦值为．
17.本小题分
已知函数．
当时，求的图象在点处的切线方程
讨论的单调性，并求当的极大值等于时，实数的值．
【答案】解：因为，所以，，
所以，又，
所以所求切线的方程为，即．
的定义域为，，
当时，或．
由，得或，由，得，
则在和上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得极大值．
由，解得．
18.本小题分
某学校高二年级乒乓球社团举办了一次乒乓球比赛，进入决赛的名选手来自于个不同的班级，三个班级的选手人数分别是，，，本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名选手进行场比赛，每场比赛采取局胜制，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束，根据积分选出最后的冠军．如果最终积分相同，则同分选手加赛决出排名，积分规则如下：比赛中以或取胜的选手积分，失败的选手积分；而在比赛中以取胜的选手积分，失败的选手积分．已知第场是甲、乙之间的比赛，设每局比赛甲取胜的概率为．
若进入决赛的名选手获得冠亚军的概率相等，则比赛结束后冠亚军恰好来自同一个班级的概率是多少？
在第场比赛中，当时，设甲所得积分为，求的分布列及期望；
在第场比赛中，记甲取胜的概率为，求的最大值．
【答案】解：记比赛结束后冠亚军恰好来自同一个班级为事件，
则；
依题意的可能取值为，
所以，
，
，
．
所以的分布列为
所以的期望为
依题意，，
则，
令，得，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以在处取得极大值，即最大值，
所以．
19.本小题分
已知为椭圆上一点，对于上任意两点，，我们定义，关于的生成点的形成过程：过作平行于的直线交于异于的一个点若与重合，则为在处的切线；若与处切线平行，则交点为，记为，且对，记，称为关于的生成点列．
已知，，直接写出和的坐标；
若，，，且，，均在第一象限，证明：，，；
已知为上异于的一点，且在第一象限内，若关于的生成点列中至少有一点是，求出所有满足题意的点的坐标．
【答案】解：设，
易知，
所以过点且与平行的直线为，
即，
易知直线与椭圆交点为，
即，；
因为，
所以，
易知椭圆在点处的切线方程为，
过点作此切线的平行线交椭圆于点异于点；
则，，
设，
易知，
设过点且与直线平行的直线方程为，椭圆在该点处的切线方程为，
联立，
解得，，
则，
故，，；
证明：若，，，且，，均在第一象限，
设为椭圆上一点，
设，，下面记对应的参数，
因为，
所以，
所以，，，
若在椭圆上，
设，
即，
若，，，，，
若，
此时，
整理得，
则，，
所以，，
若，，，，，
因为，，
所以．
设，，，，
设，
因为，
所以，
所以，
即，
若，
此时，；
若，
此时，
结合图形可知，
所以，，
若，
则仍然成立，
同理得，，
则，，；
因为为上异于的一点，
对任意，成立，
当时，
则时，，满足结论；
当时，都有，
所以当时，由点与的连线与点与的连线平行，
由知，，，
所以
，，，
所以当时，也成立，
综上所述，对任意，成立，
若关于的生成点列中至少有一点是，
则存在正整数，使得，
可得，
因为在第一象限，
所以，
解得．
则所有满足题意的点的坐标为．
