黄山一中2025届高三上学期期末质量检测数学试题
时间：120分钟；满分：150分
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，满足，且在上的投影为，则，( )
A. B. C. D.
3.某袋子中有大小相同的个白球和个红球，甲乙两人先后依次从袋中不放回取球，每次取球，先取到红球者获胜，则甲获胜的概率( )
A. B. C. D.
4.已知角顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，则它的终边过点，若将角的终边绕坐标原点顺时针旋转得到角，则( )
A. B. C. D.
5.已知函数，则关于的不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
6.已知数列的通项，若，，且，使得，则的取值个数为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 无数个
7.蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”已知椭圆的焦点在轴上，、为椭圆上任意两点，动点在直线上若恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识得椭圆的离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.已知函数不恒为零，其中为的导函数，对于任意的，，满足，且，，则( )
A. B. 是偶函数
C. 关于点对称 D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.设，为复数，则下列说法中正确的有( )
A. B.
C. 若，则 D. 若，则为纯虚数
10.如图，在中，，，平面，点，在平面的同侧，，在平面内的射影，的长分别为，，则( )
A. 平面
B.
C. 四棱锥的体积为
D. 平面与平面的夹角的正弦值为
11.已知，是双曲线的左右焦点，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点，和的内切圆半径分别为，设点为的内心，的面积为，的面积为，的面积为，且，则下列说法正确的是( )
A. B. 双曲线的离心率
C. D.
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中的系数为_________．
13.如图，四边形和是两个相同的矩形，面积均为，图中阴影部分也是四个相同的矩形，现将阴影部分分别沿，，，折起，得到一个无盖长方体，则该长方体体积的最大值为_________．
14.在中，角，，所对的边分别为，，，且外接圆半径为，则的最大值为_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某学校举行运动会，为了解学生参加跳绳比赛与学生的性别是否有关，对学生进行简单随机抽样，得到如下数据：
女 男
未参加跳绳比赛
参加跳绳比赛
能否有的把握认为学生参加跳绳比赛与学生的性别有关
为了进一步了解女生的平时运动情况，利用分层抽样的方法从这人中抽取人进行研究老师甲从这人中随机选取人，求至少有人参加跳绳比赛的概率．
附：，其中．
16.本小题分
已知函数．
当时，求在处的切线方程
已知为整数，若在上单调递减，且在上单调递增，求．
17.本小题分
如图所示，在四棱锥中，底面为菱形，为棱的中点．
若直线与平面的交点为，证明：平面
已知平面，，，且二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知椭圆的离心率为，短轴长为．
求椭圆的标准方程
若直线与椭圆相切于点．
(ⅰ)证明：直线与直线的斜率之积为定值
(ⅱ)设椭圆的右焦点关于的对称点为，求证：直线过定点．
19.本小题分
“外观数列”设各位上的数字均不为是指以下特点的整数序列：它以正整数开始，逐项地描述前一项的外观，将描述结果作为下一项．
比如外观数列为：
第一项：，
第二项：描述第一项为个，
第三项：描述第二项为个，个，
第四项：描述第三项为个，个，个，
第五项：描述第四项个，个，个．
求“外观数列”的第三项和第五项
若从“外观数列”中随机选取一个数列，求该数列第二项小于第一项的概率
证明：当是六位数时，“外观数列”从首项开始最多连续项单调递减．黄山一中2025届高三上学期期末质量检测数学试题
时间：120分钟；满分：150分
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：因为集合，或，
故，
故A．
2.已知向量，满足，且在上的投影为，则，( )
A. B. C. D.
【答案】A
解：向量，满足，
则在上的投影向量为为： ．
所以，，
3.某袋子中有大小相同的个白球和个红球，甲乙两人先后依次从袋中不放回取球，每次取球，先取到红球者获胜，则甲获胜的概率( )
A. B. C. D.
【答案】C
解：分三种情况：甲取一次，二次，三次：
，甲取一次：；
，甲取二次，乙取一次：；
，甲取三次，乙取二次：，
故．
4.已知角顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，则它的终边过点，若将角的终边绕坐标原点顺时针旋转得到角，则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：由题意，，
则
5.已知函数，则关于的不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
解：
当时，，解得
当时，，解得
综上，关于的不等式的解集为．
6.已知数列的通项，若，，且，使得，则的取值个数为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 无数个
【答案】C
解：由题意可得，为方程的两个不等正整数解，
由韦达定理可得，，
所以为负整数，
因为，
所以，，，，，，，，共个．
7.蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”已知椭圆的焦点在轴上，、为椭圆上任意两点，动点在直线上若恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识得椭圆的离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】B
解：由题，又直线，都与椭圆相切，
因此直线，所围成矩形的外接圆，
即为椭圆的蒙日圆，
由、为椭圆上任意两个动点，动点满足为锐角，
得点在圆外，
又动点在直线上，
因此直线与圆相离，
则，
得，则，解得，
所以椭圆的离心率的取值范围为：
8.已知函数不恒为零，其中为的导函数，对于任意的，，满足，且，，则( )
A. B. 是偶函数
C. 关于点对称 D.
【答案】D
解：令得，所以A错误
令，得，
即，即，
又不恒为，即，
又定义域为，所以是奇函数，所以B错误
由知，，所以是偶函数，
则关于对称，所以不正确
令，，则得
令，，则得
令，，则得
同理，，，，
所以，所以D正确．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.设，为复数，则下列说法中正确的有( )
A. B.
C. 若，则 D. 若，则为纯虚数
【答案】BD
解：对于：对于，，则，故A错误；
对于，令，，且，，，，则，，
所以，故B正确；
对于：对于，，满足，显然，故C错误；
对于，令，，且，，，，
，
则，可得，即为纯虚数，故D正确．
10.如图，在中，，，平面，点，在平面的同侧，，在平面内的射影，的长分别为，，则( )
A. 平面
B.
C. 四棱锥的体积为
D. 平面与平面的夹角的正弦值为
【答案】BC
解：对于选项，由，，，，，可得，，
可得与不平行，故BC不平行于平面，故A选项错误；
对于选项，由，，，，，可得，故B选项正确；
对于选项，如图，过点作，由，，有，
易知平面，又由四边形的面积为，
可得四棱锥的体积为，故C选项正确；
对于选项，取的中点，连接，，由，，有，，
又由，，可得平面，
可得，
故为平面与平面的夹角，
又由，故D选项错误．
11.已知，是双曲线的左右焦点，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点，和的内切圆半径分别为，设点为的内心，的面积为，的面积为，的面积为，且，则下列说法正确的是( )
A. B. 双曲线的离心率
C. D.
【答案】BCD
解：如图所示，设内切圆与，，的三边分别切与点，，，
则由双曲线定义可得，，又由内切圆性质可得：，
又，则，，所以，
又，即：：：：，
则，故A错误；
设，，
所以为等腰三角形，则点为的中点，
则，，
所以的，即得，所以双曲线离心率为，故B正确；
由可知：，，则
因为内切圆半径为，
所以，
由等面积法可知，，
整理得，即，
设，，，又由可知为等腰三角形，
则，所以，
由余弦定理可得：，
整理得：，即，即，，
又等面积法可得：，
即，即，
则，故C正确；
所以，故D正确；
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中的系数为_________．
【答案】
解：展开式的通项为，
令，解得，
此时的系数为，
13.如图，四边形和是两个相同的矩形，面积均为，图中阴影部分也是四个相同的矩形，现将阴影部分分别沿，，，折起，得到一个无盖长方体，则该长方体体积的最大值为_________．
【答案】
【解析】解：设正方形的边长为，则矩形的边，
，
长方体的体积
，
当且仅当，即时，等号成立，
长方体的体积的最大值为．
14.在中，角，，所对的边分别为，，，且外接圆半径为，则的最大值为_________．
【答案】
设，结合余弦定理可得，根据，得，故，利用同角三角函数的基本关系及二倍角公式得，利用基本不等式即可求解．
【解答】
解：设，
由余弦定理可得，
所以，
所以．
因为，
所以，即，当且仅当时等号成立．
因为外接圆半径为，所以．
因为，所以，所以，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为，当且仅当且时等号成立．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某学校举行运动会，为了解学生参加跳绳比赛与学生的性别是否有关，对学生进行简单随机抽样，得到如下数据：
女 男
未参加跳绳比赛
参加跳绳比赛
能否有的把握认为学生参加跳绳比赛与学生的性别有关
为了进一步了解女生的平时运动情况，利用分层抽样的方法从这人中抽取人进行研究老师甲从这人中随机选取人，求至少有人参加跳绳比赛的概率．
附：，其中．
【答案】解：假设学生参加跳绳比赛与学生的性别无关，
则，
所以有的把握认为学生参加跳绳比赛与学生的性别有关．
利用分层抽样的方法从女生这人中抽取人，
则未参加跳绳比赛的有人，参加跳绳比赛的有人．
老师甲从这人中随机选取人，
记“至少有人参加跳绳比赛”为事件，
则，
所以至少有人参加跳绳比赛的概率是．
16.本小题分
已知函数．
当时，求在处的切线方程
已知为整数，若在上单调递减，且在上单调递增，求．
【答案】解：的定义域为，．
当时，，，
所以，，
在处的切线方程为．
令．
由题意，当时，
当时，
只需，，，
解得：，
因为为整数，所以．
17.本小题分
如图所示，在四棱锥中，底面为菱形，为棱的中点．
若直线与平面的交点为，证明：平面
已知平面，，，且二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】解：连接，，
因为底面为菱形，所以，
因为平面，且平面，
所以平面．
因为平面，且平面平面，
所以．
因为平面，且平面，
所以平面．
过作，垂足为，连接，
因为平面，二面角的大小为，
所以，
所以，
．
因为平面，平面，
所以，
所以，
所以，所以点为中点．
因为底面为菱形，，
所以为等边三角形．
设的中点为，则，即．
因为平面，平面，
所以，所以，，两两垂直，
以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，
所以，，
设平面的法向量为，
则
取，得，故．
设直线与平面所成角的平面角为，
则
．
18.本小题分
已知椭圆的离心率为，短轴长为．
求椭圆的标准方程
若直线与椭圆相切于点．
(ⅰ)证明：直线与直线的斜率之积为定值
(ⅱ)设椭圆的右焦点关于的对称点为，求证：直线过定点．
【答案】解：因为，，
代入，解得，，
所以椭圆
证明：设点，
所以，
设直线的斜率为，方程为，
则，
由消去，得，
因为直线与椭圆相切，
所以方程，
所以，
所以，
其中，
所以关于的方程有两相等实根，
所以，
所以为定值；
椭圆的左、右焦点，，
由得过点与直线垂直的直线为，
令，得，
所以直线与轴交点，
所以，，
，
同理，
所以，
根据内角平分线定理得，为的角平分线，
所以直线过点．
19.本小题分
“外观数列”设各位上的数字均不为是指以下特点的整数序列：它以正整数开始，逐项地描述前一项的外观，将描述结果作为下一项．
比如外观数列为：
第一项：，
第二项：描述第一项为个，
第三项：描述第二项为个，个，
第四项：描述第三项为个，个，个，
第五项：描述第四项个，个，个．
求“外观数列”的第三项和第五项
若从“外观数列”中随机选取一个数列，求该数列第二项小于第一项的概率
证明：当是六位数时，“外观数列”从首项开始最多连续项单调递减．
【答案】【解答】解：第三项为，第五项为；
为一位数时，第项为两位数，不符合；
为两位数时，即为时，第二项为，当大于时第二项小于第一项，此时有个符合。当由两种不同的数字构成时，第二项为四位数，不符合；
为三位数时，即为时，第二项为，第二项小于第一项，此时有个符合。当由两种或三种数字构成时，第二项为四位数或六位数，不符合．
综上，总共有个数列符合，在所有数列中含的数有个，故总数为个，故第二项小于第一项的概率为．
证明：定义一个数列中连续相同若干个数字为一个数字串，数列中第项为．
若只有一个数字串，即，则。若，则为位数，若，则，，两种都不存在连续项单调递减．
若只有两个数字串，即，则
若，则至少三个数字串，至少是位数，，不存在连续项单调递减
若，此时，同理或，否则
若，则，当，时，，
当，时，，，两种都不存在连续项单调递减
若，则，，，
若，则，不符合题意
若，则，，此时，存在连续项单调递减
若只有三个数字串，即，，
若，则至少四个数字串，，不存在连续项单调递减；
当时，同理或，或；
若，，则，，，同理或，又时，，矛盾，
若，，与矛盾。若，，则，
，，同理或，又时，，矛盾，若，，，则，不存在连续项单调递减。同理可得，，和，不存在连续项单调递减．
若有四个以上数字串，则，不存在连续项单调递减所以当是六位数时，“外观数列”从首项开始最多连续项单调递减．
