红星中学2025届高三上学期期末质量检测数学试题
时间：120分钟；满分：150分
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数，则( )
A. B. C. D.
3.已知公差不为的等差数列中，且，则( )
A. B. C. D.
4.正方体的棱长为，平面内一动点满足，当三棱锥的体积取最大值时，该三棱锥外接球的表面积为 ( )
A. B. C. D.
5.把函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，下列选项中，使得函数单调递减的是( )
A. B. C. D.
6.设随机变量服从正态分布，若，则函数有极值点的概率为( )
A. B. C. D.
7.已知双曲线的中心为坐标原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，，经过右焦点且垂直于的直线分别交，于，两点，若，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
8.已知函数有三个零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.如图所示，已知角的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为，，为线段的中点，射线与单位圆交于点，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C.
D. 点的坐标为
10.在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆的右顶点，为椭圆的上顶点，为椭圆上与椭圆顶点不重合的动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，则( )
A. 椭圆的离心率为 B. 当时，
C. D. 当点在第三象限时，若，则
11.球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球的半径为，，，为球面上三点，劣弧的弧长记为，设表示以为圆心，且过，的圆，同理，圆的劣弧的弧长分别记为，曲面阴影部分叫做曲面三角形，，则称其为曲面等边三角形，线段，，与曲面围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面设，则下列结论正确的是( )
A. 若平面是面积为的等边三角形，则
B. 若，则
C. 若，则球面的体积
D. 若平面为直角三角形，且，则
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知展开式的二项式系数之和为，则展开式中项的系数为_________．
用数字作答
13.编号为，，，的四个小球，有放回地取三次，每次取一个，记表示前两个球号码的平均数，记表示三个球号码的平均数，则与之差的绝对值不超过的概率是______．
14.已知函数，若关于的方程有个不相等的实数解，则实数的取值范围是 _________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在前项和为的等比数列中，，，．
求数列的通项公式；
令，求数列的前项和．
16.本小题分
甲同学计划去参观某景点，但门票需在网上预约该同学从第一天开始，每天在规定的预约时间段开始预约，若预约成功，便停止预约若连续预约三天都没成功，则放弃预约假设该同学每天预约门票成功的概率均为，
求甲同学到第三天才预约成功的概率
记为甲同学预约门票的天数，求的分布列和期望．
17.本小题分
如图，四棱锥中，是边长为的正方形，是以为顶点的等腰直角三角形，为的中点，为的中点，．
证明：；
过，两点的平面与直线，分别交于点，，且平面，求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
已知椭圆的左顶点为，焦距为，且离心率为．
求椭圆的方程
直线与椭圆交于，两点，点为的外心．
(ⅰ)若为等边三角形，求点的坐标
(ⅱ)若点在直线上，求点到直线的距离的取值范围．
19.本小题分
已知函数，且在上的最小值为．
求实数的取值范围；
设函数在区间上的导函数为，若对任意实数恒成立，则称函数在区间上具有性质．
求证：函数在上具有性质；
记，其中，求证：．红星中学2025届高三上学期期末质量检测数学试题
时间：120分钟；满分：150分
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解答】解：集合，
又集合，
．
2.已知复数，则( )
A. B. C. D.
【答案】B
解：，
即．
3.已知公差不为的等差数列中，且，则( )
A. B. C. D.
【答案】C
解：根据题意，设等差数列的公差为，
若，变形可得，
又由，则，
则有，
又由，解可得，
所以．
4.正方体的棱长为，平面内一动点满足，当三棱锥的体积取最大值时，该三棱锥外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：建系如图：
则根据题意可得，，，设，
由可知，，
整理为，
所以点的轨迹是平面内，以为圆心，为半径的圆，如下图：
点到平面的最大值为，此时点在的延长线上，且，
所以平面，，等腰直角三角形的外接圆的半径为，
所以三棱锥的外接球的半径，
所以三棱锥外接球的表面积．
5.把函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，下列选项中，使得函数单调递减的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
解：由题意得， ，
则，
由，得，
所以函数的单调递减区间，
选项仅在该区间内．
6.设随机变量服从正态分布，若，则函数有极值点的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】C
解：函数 ，
，
函数 有极值点，
有两个不同实数解，
，即．
随机变量服从正态分布且，
．
函数 有极值点的概率为．
7.已知双曲线的中心为坐标原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，，经过右焦点且垂直于的直线分别交，于，两点，若，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】B
解：由题意设，，
经过右焦点且垂直于的直线方程为，
联立，解得：，故
联立，解得：，故；
因为，，
所以，
所以，
则，
则，
即，
所以双曲线的离心率．
8.已知函数有三个零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
解：函数有三个零点，
则有方程在上有三个不等的实数根，显然不符合要求，
令，问题等价于在上有三个不等的实数根，
函数，则的定义域为，有三个零点，
，
设，其中，
当，即时，在上单调递增，有，所以，单调递增，不合题意；
当，且，即时，，所以，单调递增，不合题意；
当，且，即时，设的两根为，，
解得，，
，解得或，，解得，
在和上单调递增，在上单调递减，
因为，所以，，
构造函数，则有，
当时，单调递增；
当时，单调递减，
有，所以，即，
取，，
其中，所以，即，
取，，
其中，所以，即，
所以在上存在唯一零点，即在上存在唯一零点，
在上存在唯一零点，即在上存在唯一零点，且，
所以时，有三个零点，此时，
即时，函数有三个零点．
故选：．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.如图所示，已知角的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为，，为线段的中点，射线与单位圆交于点，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C.
D. 点的坐标为
【答案】ACD
解：因为角的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为，，
且为线段的中点，射线与单位圆交于点，
所以，所以，故A正确；
易知，，
所以，
所以，，
所以，故B错误；
因为，故C正确；
因为
，
，故D正确．
10.在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆的右顶点，为椭圆的上顶点，为椭圆上与椭圆顶点不重合的动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，则( )
A. 椭圆的离心率为
B. 当时，
C.
D. 当点在第三象限时，若，则
【答案】ACD
解：对于选项，由，，，可得，故A选项正确；
对于选项，由，，
可得，故B选项错误；
对于选项，设点，有，
又由，，直线的方程为，
令，可得点的纵坐标为，
直线的方程为，
令，可得点的横坐标为，
有，故C选项正确；
对于选项，若，由直线的斜率为，
有，
有，代入，
有，有，
平方后有，代入，
有，
有，
又由，有，
可得，，
可得，故D选项正确．
11.球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球的半径为，，，为球面上三点，劣弧的弧长记为，设表示以为圆心，且过，的圆，同理，圆的劣弧的弧长分别记为，曲面阴影部分叫做曲面三角形，，则称其为曲面等边三角形，线段，，与曲面围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面设，则下列结论正确的是( )
A. 若平面是面积为的等边三角形，则
B. 若，则
C. 若，则球面的体积
D. 若平面为直角三角形，且，则
【答案】BC
解：对于，因等边三角形的面积为，则，
又，故则，故 A错误；
对于，由可得，故，即 B正确；
对于，由可得，故．
由正弦定理，的外接圆半径为，点到平面的距离，
则三棱锥的体积，
而球面的体积，故 C正确；
对于，由余弦定理可知由可得，，
即，化简得，，
取，则，则，故 D错误．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知展开式的二项式系数之和为，则展开式中项的系数为_________．
用数字作答
【答案】
【解析】解：展开式的二项式系数之和为，
则，解得，
则的展开式的通项为，
令，解得，
所以展开式中项的系数为．
13.编号为，，，的四个小球，有放回地取三次，每次取一个，记表示前两个球号码的平均数，记表示三个球号码的平均数，则与之差的绝对值不超过的概率是_________．
【答案】
解：因为有放回地抽取小球，所以基本事件总数为，
设抽取的前两个球的号码为，，第三个球的号码为，
根据题意有，
则，
整理得，即，
当时，，此时为，，，种情况；
当时，，此时为，，，，，，，，，种情况；
当时，，此时为，，，，，，，，，种情况；
当时，，此时为，，，种情况；
综上得，满足条件的共有，所以满足条件的概率为．
故答案为：．
14.已知函数，若关于的方程有个不相等的实数解，则实数的取值范围是 _________．
【答案】
解：当时，设，则，
所以在区间上单调递减，从而，此时；
当时，设，在区间上单调递减，
所以当时，，即；
当时，，即；
当时，，即．
根据与大小关系，可知，
设，注意到曲线与曲线恰好交于点，
显然，，作出的大致图象如图，
由，得．
设直线与曲线切于点，，直线过定点，
则，
解得，从而．
由图象可知，若关于的方程有个实数解，
则直线与曲线有个交点，则，
即所求实数的取值范围是
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在前项和为的等比数列中，，，．
求数列的通项公式；
令，求数列的前项和．
【答案】解：设等比数列的公比为，
由，得，即，解得或，
当时，由，得，解得，此时，故舍去，
当时，由，解得，
所以；
由可知，
所以，
则，
两式相减得，
所以．
16.本小题分
甲同学计划去参观某景点，但门票需在网上预约该同学从第一天开始，每天在规定的预约时间段开始预约，若预约成功，便停止预约若连续预约三天都没成功，则放弃预约假设该同学每天预约门票成功的概率均为，
求甲同学到第三天才预约成功的概率
记为甲同学预约门票的天数，求的分布列和期望．
【答案】解：设“甲同学到第三天才预约成功”为事件，
则
因为为甲同学预约门票的天数，
所以的取值可以是，，
则，
，
，
所以的分分布列为
期望．
17.本小题分
如图，四棱锥中，是边长为的正方形，是以为顶点的等腰直角三角形，为的中点，为的中点，．
证明：；
过，两点的平面与直线，分别交于点，，且平面，求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】解：证明：，为中点，，，
在中，，
又，即，
，
，，平面，
平面，平面，
；
取中点，则，
由可知，平面，又、平面，
，，
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，，，
设平面法向量为，
则，则，
可取，
平面，平面，平面平面，
，
，，
设平面法向量为，
，，
则，
可取，
则，，
故平面与平面夹角的余弦值为．
18.本小题分
已知椭圆的左顶点为，焦距为，且离心率为．
求椭圆的方程
直线与椭圆交于，两点，点为的外心．
(ⅰ)若为等边三角形，求点的坐标
(ⅱ)若点在直线上，求点到直线的距离的取值范围．
【答案】解：因为椭圆的焦距为，且离心率为，
所以，解得
因此，
所以椭圆的方程为：．
因为直线与椭圆交于、两点，
点为椭圆的左顶点，即，为等边三角形，
所以由椭圆的对称性知：直线与轴垂直，
因此设，，
所以，解得舍去或．
方法由等边三角形的重心与外心重合，
可知，则点的坐标为．
方法由，即，解得，则点的坐标为．
方法直线的斜率为，线段的中点为，
则线段的中垂线方程为，即．
令，解得，则点的坐标为．
(ⅱ)当直线的斜率为时，线段的中垂线为轴，不合题意．
当直线的斜率不为时，设直线，
联立椭圆方程得．
由，即，解得
且，．
令，分别为线段，的中点，
则，，
可得线段的中垂线方程为，即
同理可得线段的中垂线方程为．
联立，解得
．
由．，可得，即，
代入不等式，且，
解得且，则．
点到直线的距离．
设函数，，
则在单调递减，在单调递增，
可得，进而得到
综上可知，点到直线距离的取值范围是
19.本小题分
已知函数，且在上的最小值为．
求实数的取值范围；
设函数在区间上的导函数为，若对任意实数恒成立，则称函数在区间上具有性质．
求证：函数在上具有性质；
记，其中，求证：．
【答案】解：，，
则，，，
所以，等号不同时取，
所以当时，，在上单调递增，，
若，即，，在上单调递增，
所以在上的最小值为，符合题意；
若，即，此时，，
又函数在的图象不间断，
据零点存在性定理可知，存在，使得，
且当时，，在上单调递减，
所以，与题意矛盾，舍去，
综上所述，实数的取值范围是；
证明：由可知，当时，，
要证：函数在上具有性质，即证：当时，，
即证：当时，，
令，，
则，即，，
则，
所以在上单调递增，，
即当时，，得证；
由得，当时，，
所以当时，，下面先证明两个不等式：，其中；，其，
令，，则，
所以在上单调递增，
所以，
即当时，，
令，，则，
所以在上单调递增，故，
即当时，，故，得，
据不等式可知，当时，，
所以当时，，
结合不等式可得，当时，，
所以当时，，
当，时，，有，
所以，
又因为，
所以．
