铜陵一中2024-2025学年高三上学期期末质量检测
数学试题
考试范围：高考全部内容；时间：120分钟；满分：150分
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，满足，，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
3.“赛龙舟”是端午节重要的民俗活动之一，登舟比赛的划手分为划左桨和划右桨某训练小组有名划手，其中有名只会划左桨，名只会划右桨，名既会划左桨又会划右桨现从这名划手中选派名参加比赛，其中名划左桨，名划右桨，则不同的选派方法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
4.已知，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
5.在棱长为的正方体中，，，过点、、的平面截该正方体所得截面的周长为( )
A. B. C. D.
6.记抛物线的焦点为，为抛物线上一点，，直线与抛物线另一交点为，则( )
A. B. C. D.
7.设函数，已知，，且的最小值为，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数的定义域为R，且，若，则下列说法错误的是( )
A. B. 是奇函数
C. 函数是R上的增函数 D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.在复平面内，下列说法正确的是( )
A. 复数，则在复平面内对应的点位于第一象限
B. 若复数，满足，则
C. 若，，则的最小值为
D. 若是关于的方程的根，则
10.设函数，则下列说法正确的是( )
A. 存在，使得曲线为轴对称图形
B. 点是曲线的对称中心
C. 当时，是的极小值点
D. 若有极大值，则的极大值大于
11.如图，在直三棱柱中，，，是线段的中点，是线段上的动点含端点，则下列命题正确的是( )
A. 三棱锥的体积为定值
B. 直线与所成角的正切值的最小值是
C. 在直三棱柱内部能够放入一个表面积为的球
D. 的最小值为
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设，则________．
13.已知点，点，为圆：上的动点，且记线段中点为，则的最大值为________．
14.已知数列各项都为正整数，，，若，，则的最小值为_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题3分
函数的图象在处的切线为，．
求的值；
求在上零点的个数．
16.本小题分
现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下：
方案一：投资股市：
投资结果 获利 不赔不赚 亏损
概率
方案二：购买基金：
投资结果 获利 不赔不赚 亏损
概率
Ⅰ当时，求的值；
Ⅱ若要将万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知，，那么选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？给出结果并说明理由．
17.本小题5分
如图，在所有棱长都为的三棱柱中，点是棱的中点，．
求证：平面平面；
若，点满足，求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题7分
设椭圆已知点，在椭圆上．
求椭圆的标准方程
若过点的直线与椭圆交于，两点在右侧，且与线段交于点．
(ⅰ)证明：
(ⅱ)当为中点时，求直线的方程．
19.本小题7分
由边长为，，的等腰直角三角形出发，用两种方法构造新的直角三角形：以原三角形的短直角边为新三角形的短直角边，原三角形的斜边为新三角形的长直角边
以原三角形的长直角边为新三角形的短直角边，原三角形的斜边为新三角形的长直角边．
设，由方法，均可得到，接下来继续使用上述两种方法，得到三角形序列其中，，是直角三角形的三条边，且，为斜边，满足对于任意，有，
设，求的通项公式
若，求
证明：在直角三角形序列中，若，则．铜陵一中2024-2025学年高三上学期期末质量检测
数学试题
考试范围：高考全部内容；时间：120分钟；满分：150分
第I卷（选择题）
单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：，
则，
集合，
故．
2.已知向量，满足，，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
【答案】B
解：设，，
因为，，
所以，解得
所以，，，
则，
因为，
所．
3.“赛龙舟”是端午节重要的民俗活动之一，登舟比赛的划手分为划左桨和划右桨某训练小组有名划手，其中有名只会划左桨，名只会划右桨，名既会划左桨又会划右桨现从这名划手中选派名参加比赛，其中名划左桨，名划右桨，则不同的选派方法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
【答案】C 解：根据题意，设只会划左桨的人，只会划右桨的人，既会划左桨又会划右桨的人，
据此分种情况讨论：
从中选人划左桨，划右桨的在或中剩下的人中选取，有种选法，
从中选人划左桨，中选人划左桨，划右桨的在或中剩下的人中选取，有种选法，
从中不选人划左桨，中人划左桨，中人划右桨，有种选法，
则有种不同的选法． 4.已知，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：令，则，
令，则，则当时，；当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
，又，，，
．
5.在棱长为的正方体中，，，过点、、的平面截该正方体所得截面的周长为
A. B. C. D.
【答案】B
解：延长到，使得，，分别于，交于，，
在取点使得，连接，，，
则，故四边形为平行四边形，则，
又，故四边形为平行四边形，则，
故，同理，则五边形为所求的截面．
利用平面几何的性质易得，则，同理，
所以，，，
则截面的周长为，
6.记抛物线的焦点为，为抛物线上一点，，直线与抛物线另一交点为，则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：为抛物线上一点，，
则，解得，
为抛物线上一点，
则，解得，
由对称性，不妨取，
，，
故，
直线的方程为，
联立，化简整理可得，，解得或，
故，
所以，
故．
7.设函数，已知，，且的最小值为，则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：正弦函数中，设，，
则的最小值为，且，
正弦型函数中，，，
且的最小值为，所以，
所以函数的最小正周期为，
即，解得．
8.已知函数的定义域为R，且，若，则下列说法错误的是( )
A. B. 是奇函数
C. 函数是R上的增函数 D.
【答案】C
解：对于A，令，则，所以
对于B，由得，
令，则有，令，则有即，
所以是奇函数
对于C，由B令为一次函数，可得，函数不一定是R上的增函数
对于D，由，令，则有，所以是以1为首项，1为公差得等差数列，所以
多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.在复平面内，下列说法正确的是( )
A. 复数，则在复平面内对应的点位于第一象限
B. 若复数，满足，则
C. 若，，则的最小值为
D. 若是关于的方程的根，则
【答案】ACD
【解析】解：由，得，
则在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限，故A正确；
设复数，，满足，但，故B错误；
设，由，得，即，
，由，得，
则，故当时，的最小值为，故C正确；
是关于的方程的根，则为另一个根，
由根与系数的关系可得，则，故D正确．
10.设函数，则下列说法正确的是( )
A. 存在，使得曲线为轴对称图形
B. 点是曲线的对称中心
C. 当时，是的极小值点
D. 若有极大值，则的极大值大于
【答案】BC
解：对于，
，又，所以成立；
对于，，解得或，显然或者时，，时，，所以是函数的极小值点，C正确；
对于，令，解得或，当时，或者时，，时，，所以为极大值点，为极小值点，而，所以D错误；
对于，根据可以画出三次函数的图像，
由图像可知函数的图像不可能有对称轴，所以A错误．
11.如图，在直三棱柱中，，，是线段的中点，是线段上的动点含端点，则下列命题正确的是( )
A. 三棱锥的体积为定值
B. 直线与所成角的正切值的最小值是
C. 在直三棱柱内部能够放入一个表面积为的球
D. 的最小值为
【答案】ABD
解：连接，与相交于点，连接，
因为直三棱柱中，，
所以四边形为正方形，
故为中点，又是线段的中点，
所以，因为平面，平面，
所以平面，
是线段上的动点含端点，
则点到平面的距离为定值，
的面积为定值，故三棱锥的体积为定值，A正确；
设为的中点，连接，，则，
所以或其补角为直线与所成角．
因为，，
与是平面内的两条相交的直线，
所以平面．
，则平面．
平面．
所以．
，
的最小值为点到直线的距离，即，
故直线与所成角的正切值的最小值是，B正确；
中，，，则．
则的内切圆半径为，
表面积为的球的半径， 则，则，
故在直三棱柱内部不能够放入一个表面积为的球，故C错误；
如图，过作，反向延长与相交于点，
连接，，
设，则，，，
所以，
．
，
表示平面直角坐标系内的轴上的点到点与的距离和的最小值，
点关于轴的对称点为，
所以的最小值为与的距离为．
所以的最小值为，故D正确．
故选：．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设，则_________． 【答案】
解：，
令，可得，
再令，可得，
两式相减除以，可得，
故答案为：．
已知点，点，为圆：上的动点，且记线段中点为，则的最大值为_________．
【答案】
【解析】解：由题意知，，，
，，
而为中点，
，
，
设，则，
化简可得：，
所以点在以为圆心，半径为的圆上，
所以，当且仅当点在轴上且位于点的右侧时，等号成立，
即的最大值为．
14.已知数列各项都为正整数，，，若，，则的最小值为_________．
【答案】
解：由题意，对 满足：“ ”
或“ ”，
所以 时， 的最小值为 ；
当 时， 的最小值为 ．
因为 ，所以 的最小值为 ；
因为 ， 的最小值为 ；
又 ； ；
所以 的最小值为．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
函数的图象在处的切线为，．
求的值；
求在上零点的个数．
【答案】解：对函数求导可得，，
则，
又，
则，，
解得．
由知，，
当时，，
因此在无零点；
当时，易知单调递增，
又，，
所以在上存在唯一的零点，
当，，单调递增；
当，，单调递减；
又，
因此在上仅有个零点；
综上，在上仅有个零点．
16.本小题5分
现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下：
方案一：投资股市：
投资结果 获利 不赔不赚 亏损
概率
方案二：购买基金：
投资结果 获利 不赔不赚 亏损
概率
Ⅰ当时，求的值；
Ⅱ若要将万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知，，那么选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？给出结果并说明理由．
【答案】解：Ⅰ“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”和“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，则，且，所以，解得；
Ⅱ假设选择“投资股票”方案进行投资，且记为投资股票的获利金额单位：万元，随机变量的分布列为：
则；
假设选择“购买基金”方案进行投资，且记为购买基金的获利金额单位：万元，随机变量的分布列为：
则；
，选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大．
17.本小题分
如图，在所有棱长都为的三棱柱中，点是棱的中点，．
求证：平面平面；
若，点满足，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】解：证明：取的中点，连接，，，
因为为中点，为中点，所以，
在三棱柱中，，则四边形是菱形，所以，
则，又，，，平面，
所以平面，又因为平面，
所以，
因为是等边三角形，为中点，所以．
又因为，，，平面，
所以平面，又因为面，
所以平面平面．
连接
因为，，所以是等边三角形，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，由，平面，
得，，又，
如图，以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，．
设，又，
即，
得，
所以，，，
则，
易知平面的一个法向量，
所以，
设直线与平面所成角为，
则．
18.本小题分
设椭圆已知点，在椭圆上．
求椭圆的标准方程
若过点的直线与椭圆交于，两点在右侧，且与线段交于点．
(ⅰ)证明：
(ⅱ)当为中点时，求直线的方程．
【答案】解：由于点在椭圆上，可知，
再将点的坐标代入椭圆方程得，解得，
因此椭圆的标准方程为．
直线的方程为，由题意可知直线的斜率存在，
设直线方程为，点，，，
则，，
，，由此可得．
，消去可整理得．
得，
由韦达定理可知，
而所求证的结论等价于
，
将韦达定理代入可得
，
将，代入上式得
成立，
原命题得证．
(ⅱ)当为中点时，由可得．即．
所以，即，
代入韦达定理可得，
因此直线的方程为或．
【解析】本题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系及其应用等，难度较大．
将点，代入椭圆方程即可；
直线的方程为，设直线方程为，点，，，联立
，消去可整理得．
然后利用韦达定理等即可．
(ⅱ)利用为中点时，和得到，代入韦达定理即可．
19.本小题分
由边长为，，的等腰直角三角形出发，用两种方法构造新的直角三角形：
以原三角形的短直角边为新三角形的短直角边，原三角形的斜边为新三角形的长直角边
以原三角形的长直角边为新三角形的短直角边，原三角形的斜边为新三角形的长直角边．
设，由方法，均可得到，接下来继续使用上述两种方法，得到三角形序列其中，，是直角三角形的三条边，且，为斜边，满足对于任意，有，
设，求的通项公式
若，求
证明：在直角三角形序列中，若，则．
【答案】解：；，
由，，，
由且，，，，均为偶数得，
又因为，其中，
所以有，
所以有，
所以
若；；，
因为，所以是奇数，
则；；，
又因为，所以是偶数，
所以，
同理有，，，
，，
所以，则有．
设中有两个及以上的直角三角形满足互质，
在所有的中，取分母最小者，并在这些分母最小的有理数中取分子最小者，
将得到的有理数记作．
设，则，
则；，，
它的前序三角形即得到的三角形应为；；或；；，
若，则为偶数，应存在不同的偶数，，
使得，
这就有，
由于，这与取法矛盾，
若，则为奇数，应存在不同的奇数，，
使得，
此时，同样与取法矛盾，
所以假设不成立，所以不存在两个及以上的三角形满足，命题得证．
