芜湖一中2025届高三上学期期末质量检测数学试题
时间：120分钟；满分：150分
第I卷（选择题）
单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
2.设，均为非零向量，且，，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
3.在高三一次调研考试时，某学习小组对本组名同学的考试成绩进行统计，其中数学试卷上有一道满分为分的解答题，名同学的得分为，统计结果为：，已知这名同学该解答题得分的第分位数和平均得分均为分，则该解答题得分的极差为( )
A. B. C. D.
4.记等差数列的前项和为，公差为，若，，则( )
A. B.
C. D.
5.在锐角中，，，的对边分别是，，则的范围是( )
A. B. C. D.
6.牛顿冷却定律描述一个事物在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间单位分钟后的温度满足，其中是环境温度，称为半衰期，现有一杯的热水用来泡茶，研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在经测量室温为，茶水降至大约用时分钟，那么为了获得最佳饮用口感，从降至开始大约还需要等待参考数据：，，
A. 分钟 B. 分钟 C. 分钟 D. 分钟
7.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线交的左支于，两点为坐标原点，点到直线的距离为，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
8.已知函数不恒为零，其中为的导函数，对于任意的，，满足
，且，，则( )
A. B. 是偶函数
C. 关于点对称 D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.设，为复数，则下列说法中正确的有( )
A. B.
C. 若，则 D. 若，则为纯虚数
10.如图，在正三棱柱中，，点在底面内，，，，分别为棱，，，的中点，则下列结论正确的是( )
A. 直线与所成角的余弦值为
B. 若，则点的轨迹长度为
C. 若，则
D. 过，，三点的平面将三棱柱分成两部分的体积之比为或
11.已知函数，的定义域均为，若存在函数，使得函数，在上有，，，恒成立，则称，为一组“双向奔赴”函数下列各组函数中，符合“双向奔赴”函数的有( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.展开式中的常数项是，则实数_________．
13.已知函数，满足的的最小值为，若函数在区间内有零点，无最值，则的取值范围是_________．
14.过抛物线上一动点作圆的两条切线，切点分别为，若的最小值是，则_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
性别 感冒情况 合计
不感冒 感冒
男性
女性
合计
15.本小题分
为了研究性别与感冒的关系，某医学研究小组在月感冒易发季节对某一社区男性和女性的感冒情况进行抽样调研，得到如下列联表．
请根据列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析能否认为性别与感冒情况具有相关性；
利用分层随机抽样的方法从样本中不感冒的人群中随机抽取人，再从这人中选出人分享发言，记分享发言中女性的人数为，求随机变量的分布列及数学期望．
附：，其中．
16.本小题分
已知函数．
时，求的极值；
若不等式恒成立，求实数的取值范围．
17.本小题分
如图，四棱锥中，是边长为的正方形，是以为顶点的等腰直角三角形，为的中点，为的中点，．
证明：；
过，两点的平面与直线，分别交于点，，且平面，求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
已知椭圆的离心率为，短轴长为．
求椭圆的标准方程
若直线与椭圆相切于点．
(ⅰ)证明：直线与直线的斜率之积为定值
(ⅱ)设椭圆的右焦点关于的对称点为，求证：直线过定点．
19.本小题分
已知点集，，，将中的元素按照一定顺序排成一列，可得到数对序列，，，定义：，，其中表示，中最大的数．
对于数对序列，，求，的值
有序实数对，可排成两个序列，和，，在，，，四个数中最小的数分别为和两种情况下，比较和的大小
若为奇数且，，，，证明：集合中存在两个非空子集，，满足，，中所有点的横坐标之和，中所有点的纵坐标之和．芜湖一中2025届高三上学期期末质量检测数学试题
时间：120分钟；满分：150分
第I卷（选择题）
单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
【答案】D
解：因为集合或，
，
所以．
故选：．
2.设，均为非零向量，且，，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
【答案】D
解：设与的夹角为，
因为，所以，
所以，即，
因为，所以，
因为，所以与的夹角为．
故选：．
3.在高三一次调研考试时，某学习小组对本组名同学的考试成绩进行统计，其中数学试卷上有一道满分为分的解答题，名同学的得分为，统计结果为：，已知这名同学该解答题得分的第分位数和平均得分均为分，则该解答题得分的极差为( )
A. B. C. D.
【答案】C
解：因为，
所以第分位数为，
又因为平均得分为分，
所以，
所以，
因为，
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，此时，
所以该解答题得分的极差为．
故选C．
4.记等差数列的前项和为，公差为，若，，则( )
A. B.
C. D.
【答案】D
解：由题意，得，，
则，则，
对于、，故A错误；
对于、，故B错误；
对于、，故C错误；
对于、由，得
又，则，故D正确
5.在锐角中，，，的对边分别是，，则的范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
解：在锐角中，，
则，，，
可得，所以，
则，，
所以由正弦定理可知：
，
故选：．
6.牛顿冷却定律描述一个事物在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间单位分钟后的温度满足，其中是环境温度，称为半衰期，现有一杯的热水用来泡茶，研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在经测量室温为，茶水降至大约用时分钟，那么为了获得最佳饮用口感，从降至开始大约还需要等待参考数据：，，
A. 分钟 B. 分钟 C. 分钟 D. 分钟
【答案】B
解：由题意可得，，即，
设茶水从降至大约用时分钟，
则，即，
故，两边同时取对数，，解得，
故从降至开始大约还需要等待分钟．
故选：．
由题意可得，，再结合对数运算的性质，即可求解．
7.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线交的左支于，两点为坐标原点，点到直线的距离为，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】D
解：设双曲线的半焦距为，
取的中点，连接，由，得，则，
连接，由为的中点，得，，，，
因此，即，整理得，
所以．
故选：．
8.已知函数不恒为零，其中为的导函数，对于任意的，，满足，且，，则( )
A. B. 是偶函数
C. 关于点对称 D.
【答案】D
解：令得，所以A错误
令，得，
即，即，
又不恒为，即，
又定义域为，所以是奇函数，所以B错误
由知，，所以是偶函数，
则关于对称，所以不正确
令，，则得
令，，则得
令，，则得
同理，，，，
所以，所以D正确．
故选：．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.设，为复数，则下列说法中正确的有( )
A. B.
C. 若，则 D. 若，则为纯虚数
【答案】BD
解：对于：对于，，则，故A错误；
对于，令，，且，，，，则，，
所以，故B正确；
对于：对于，，满足，显然，故C错误；
对于，令，，且，，，，
，
则，可得，即为纯虚数，故D正确．
故选：．
10.如图，在正三棱柱中，，点在底面内，，，，分别为棱，，，的中点，则下列结论正确的是( )
A. 直线与所成角的余弦值为
B. 若，则点的轨迹长度为
C. 若，则
D. 过，，三点的平面将三棱柱分成两部分的体积之比为或
【答案】ABD
解：如图，
对于，以线段中点为坐标原点建立空间直角坐标系，
易得，，
，，
直线与所成角的余弦值为，故A正确
对于，连接，则，
点的轨迹是以点为圆心，半径为的在内的一段圆弧，
点的轨迹长度为，故B正确
对于，，
，
，，故C不正确
对于，设平面与交于点，
则易知点是的中点，
设点是的中点，连接，，
则三棱柱被截面分成的下面部分的几何体
为三棱柱和三棱台，
该部分几何的体积为，
三棱柱被截面分成的上面部分的几何体的
体积为，
过，，三点的平面将三棱柱分成两部分的
体积之比为或，故D正确．
故选ABD．
11.已知函数，的定义域均为，若存在函数，使得函数，在上有，，，恒成立，则称，为一组“双向奔赴”函数下列各组函数中，符合“双向奔赴”函数的有( )
A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，
【答案】BD
解：由题意：，，即
，，即．
对于，，，
，，
时，，故不存在常数使得恒成立，故A不符合题意；
对于，，，
，，
，，
故此时，故B符合题意；
对于，，，，
，，
时，，故C不符合题意；
对于，，，，
，，
时，，，
则，，
故此时，，故D符合题意．
故选BD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.展开式中的常数项是，则实数 ________．
【答案】
解：展开式的通项公式为，
令得，即．
令得，即，
展开式中的常数项为，
故，解得．
故答案为：．
求出的通项公式，得到与，从而得到展开式常数项，得到方程，求出．
本题考查的知识要点：二项展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
13.已知函数，满足的的最小值为，若函数在区间内有零点，无最值，则的取值范围是________．
【答案】
解：因为函数，且满足的的最小值为，
所以函数的最小正周期，所以，解得，
即可得，
因为，所以．
因为函数在区间内有零点，无最值，
所以，解得
即，
当时，，不满足条件；
当时，，满足条件；
当时，，满足条件；
当时，，不满足条件．
综上所述，的取值范围是．
故答案为：
关键点点睛：本题关键在于根据满足的的最小值为求出，再结合正弦函数图象性质由零点和最值个数限定出不等式可解得的取值范围．
14.过抛物线上一动点作圆的两条切线，切点分别为，若的最小值是，则________．
【答案】
【详解】设，则，圆的圆心，半径为，
由切圆于点，得，
则
，
当且仅当时，等号成立，
可知的最小值为，
整理可得，解得，
且，所以，
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
为了研究性别与感冒的关系，某医学研究小组在月感冒易发季节对某一社区男性和女性的感冒情况进行抽样调研，得到如下列联表．
性别 感冒情况 合计
不感冒 感冒
男性
女性
合计
请根据列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析能否认为性别与感冒情况具有相关性；
利用分层随机抽样的方法从样本中不感冒的人群中随机抽取人，再从这人中选出人分享发言，记分享发言中女性的人数为，求随机变量的分布列及数学期望．
附：，其中．
【答案】解：零假设为：性别与感冒情况不具有相关性．
根据列联表中的数据，
计算，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
即认为性别与感冒情况无关．
根据分层随机抽样原理知，男性有人，女性有人，
所以随机变量的所有可能取值为，，；
计算，，，
所以的分布列为
所以数学期望为．
16.本小题分
已知函数．
时，求的极值；
若不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】解：当时，，定义域为，
，令，可得，
当，，单调递增，当，，单调递减，
当时，函数取得极大值，无极小值；
由题意可知，，
即恒成立，即，恒成立，
设，，
设，，
，
设，，得负值舍去，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
的最大值为，即恒成立，
单调递减，且，
当时，，即，单调递增，
当时，，即，单调递减，
的最大值为，
，即的取值范围为．
17.本小题分
如图，四棱锥中，是边长为的正方形，是以为顶点的等腰直角三角形，为的中点，为的中点，．
证明：；
过，两点的平面与直线，分别交于点，，且平面，求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】解：证明：，为中点，，，
在中，，
又，即，
，
，，平面，
平面，平面，
；
取中点，则，
由可知，平面，又、平面，
，，
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，，，
设平面法向量为，
则，则，
可取，
平面，平面，平面平面，
，
，，
设平面法向量为，
，，
则，
可取，
则，，
故平面与平面夹角的余弦值为．
18.本小题分
已知椭圆的离心率为，短轴长为．
求椭圆的标准方程
若直线与椭圆相切于点．
(ⅰ)证明：直线与直线的斜率之积为定值
(ⅱ)设椭圆的右焦点关于的对称点为，求证：直线过定点．
【答案】解：因为，，
代入，解得，，
所以椭圆
证明：设点，
所以，
设直线的斜率为，方程为，
则，
由消去，得，
因为直线与椭圆相切，
所以方程，
所以，
所以，
其中，
所以关于的方程有两相等实根，
所以，
所以为定值；
椭圆的左、右焦点，，
由得过点与直线垂直的直线为，
令，得，
所以直线与轴交点，
所以，，
，
同理，
所以，
根据内角平分线定理得，为的角平分线，
所以直线过点．
19.本小题分
已知点集，，，将中的元素按照一定顺序排成一列，可得到数对序列，，，定义：，，其中表示，中最大的数．
对于数对序列，，求，的值
有序实数对，可排成两个序列，和，，在，，，四个数中最小的数分别为和两种情况下，比较和的大小
若为奇数且，，，，证明：集合中存在两个非空子集，，满足，，中所有点的横坐标之和，中所有点的纵坐标之和．
解：对于，根据定义，这里，
所以．
对于，根据定义，
已知，，，，
，，
所以．
对于序列，，
，
．
对于序列，，
，
．
当时，
，
因为，且，
所以
当时，
，
因为，且，
所以
综上所述，在，，，四个数中最小的数分别为和两种情况下，都有
不妨设，
若，
因为中任意，所以存在为单元素集合，为的补集即可
若，
因为，，所以一定存在正整数，
使得，
则有，
于是．
又因为
，
当且仅当时取等号．
于是取，，，
，，，
即可满足且，命题得证．
综上所述，存在两个非空子集，，满足题意
