黟县中学2025届高三上学期1月期末检测数学试题
考试时间：120分钟 满分：150分
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数是纯虚数，若是实数，则的虚部是( )
A. B. C. D.
3.已知，为单位向量，且在上的投影向量为，则( )
A. B. C. D.
4.已知等比数列的前项和为，若，，则( )
A. .B. C. D.
5.在锐角中，，，的对边分别是，，则的范围是( )
A. B. C. D.
6.我国元代瓷器元青花团菊花纹小盏如图所示，撇口，深弧壁，圈足微微外撇，底心有一小乳突器身施白釉，以青花为装饰，釉质润泽，底足露胎，胎质致密碗内口沿饰有一周回纹，内底心书有一文字，碗外壁绘有一周缠枝团菊纹，下笔流畅，纹饰洒脱该元青花团菊花纹小盏口径厘米，底径厘米，高厘米，它的形状可近似看作圆台，则其侧面积约为单位：平方厘米附：( )
A. B. C. D.
7.设函数，若的图象经过点，且在上恰有个零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知函数的定义域为，且，为奇函数，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知两个变量与对应关系如下表：
若与满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则( )
A. 与正相关 B.
C. 样本数据的第百分位数为 D. 各组数据的残差和为
10.如图，在正三棱柱中，，点在底面内，，，，分别为棱，，，的中点，则下列结论正确的是( )
A. 直线与所成角的余弦值为
B. 若，则点的轨迹长度为
C. 若，则
D. 过，，三点的平面将三棱柱分成两部分的体积之比为或
11.已知、分别是双曲线：的左右焦点，点是圆：上的动点，下列说法正确的是( )
A. 三角形的周长是
B. 若双曲线与双曲线有相同的渐近线，且双曲线的焦距为，则双曲线为
C. 若，则的位置不唯一
D. 若是双曲线左支上一动点，则的最小值是
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中的系数为_________．
13.一个点从数轴的原点开始运动，通过投掷骰子决定运动方向：若出现，面之一时，向负方向移动个单位若出现，，，面之一时，向正方向移动个单位投掷次骰子，该点位置的平均值为_________．投掷次骰子后，概率大于的点的位置存在的最小区间为_________．
14.如图，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的正边形的中心为．，，，，为圆上的点，，，，，分别是以，，，，为底边的等腰三角形沿虚线剪开后，分别以，，，，为折痕折起，，，，，使得，，，，重合，得到棱锥当正边形的边长变化，所得棱锥体积单位：取得最大值时，圆心到的距离为_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
甲同学计划去参观某景点，但门票需在网上预约该同学从第一天开始，每天在规定的预约时间段开始预约，若预约成功，便停止预约若连续预约三天都没成功，则放弃预约假设该同学每天预约门票成功的概率均为，
求甲同学到第三天才预约成功的概率
记为甲同学预约门票的天数，求的分布列和期望．
16.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程
当时，求函数的单调区间．
17.本小题分
如图，在平行六面体中，，，且，设与的交于点．
证明：平面
若，且，求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．
求双曲线的方程；
设直线与双曲线、圆：相切，切点分别为，，与渐近线相交于，两点．证明：为定值；
若，求直线的方程．
19.本小题分
对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中，规定为数列的二阶差分数列，其中
数列的通项公式为，试判断数列，是否为等差数列请说明理由．
正项等比数列的公比为，对于任意的，都存在，使得，求的值
设，为数列的一阶差分数列，令，其中，证明：黟县中学2025届高三上学期1月期末检测数学试题
考试时间：120分钟 满分：150分
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，集合，，则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】，
令得，令得，令得，
故，
，
所以．
故选：
2.已知复数是纯虚数，若是实数，则的虚部是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解答】
解：是纯虚数，
，
是实数，
，解得，
，，则的虚部是．
故选：．
3.已知，为单位向量，且在上的投影向量为，则( )
A. B. C. D.
【答案】C
解：，为单位向量，且在上的投影向量为，
则，
故，
．
故选：．
4.已知等比数列的前项和为，若，，则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解答】解：是等比数列，
，
，
，
，即．
故选：．
5.在锐角中，，，的对边分别是，，则的范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解答】
解：在锐角中，，
则，，，
可得，所以，
则，，
所以由正弦定理可知：
，
故选：．
6.我国元代瓷器元青花团菊花纹小盏如图所示，撇口，深弧壁，圈足微微外撇，底心有一小乳突器身施白釉，以青花为装饰，釉质润泽，底足露胎，胎质致密碗内口沿饰有一周回纹，内底心书有一文字，碗外壁绘有一周缠枝团菊纹，下笔流畅，纹饰洒脱该元青花团菊花纹小盏口径厘米，底径厘米，高厘米，它的形状可近似看作圆台，则其侧面积约为单位：平方厘米附：( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解答】
解：设该圆台的上底面、下底面的半径分别为，，
若当，时，
则圆台的母线长，
所以其侧面积为，
若当，时，
则圆台的母线长，
所以其侧面积为，
所以其侧面积满足．
故选：．
7.设函数，若的图象经过点，且在上恰有个零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
解：由题意，可得，
又，
可得，
所以，
由，可得，
由题意在上恰有个零点，
可得，
解得，即实数的取值范围是．
故选：．
8.已知函数的定义域为，且，为奇函数，，则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解答】
解：因为，
所以，
所以，
所以的周期为，
因为为奇函数，
所以
令，由得，
所以，
中令，得，
所以，
令，得，
所以，
综上，
，
，
，，
所以
，
由函数的周期性得，
．
故选：．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知两个变量与对应关系如下表：
若与满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则( )
A. 与正相关 B.
C. 样本数据的第百分位数为 D. 各组数据的残差和为
【答案】AD
【解答】
解：由经验回归方程为可得，所以与正相关，故A正确；
，，
代入，可得，解得，故B错误；
，所以样本数据的第百分位数为，故C错误；
各组数据的残差和为，故D正确．
10.如图，在正三棱柱中，，点在底面内，，，，分别为棱，，，的中点，则下列结论正确的是( )
A. 直线与所成角的余弦值为
B. 若，则点的轨迹长度为
C. 若，则
D. 过，，三点的平面将三棱柱分成两部分的体积之比为或
【答案】ABD
【解答】
解：如图，
对于，以线段中点为坐标原点建立空间直角坐标系，
易得，，
，，
直线与所成角的余弦值为，故A正确
对于，连接，则，
点的轨迹是以点为圆心，半径为的在内的一段圆弧，
点的轨迹长度为，故B正确
对于，，
，
，，故C不正确
对于，设平面与交于点，
则易知点是的中点，
设点是的中点，连接，，
则三棱柱被截面分成的下面部分的几何体
为三棱柱和三棱台，
该部分几何的体积为，
三棱柱被截面分成的上面部分的几何体的
体积为，
过，，三点的平面将三棱柱分成两部分的
体积之比为或，故D正确．
故选ABD．
11.已知、分别是双曲线：的左右焦点，点是圆：上的动点，下列说法正确的是( )
A. 三角形的周长是
B. 若双曲线与双曲线有相同的渐近线，且双曲线的焦距为，则双曲线为
C. 若，则的位置不唯一
D. 若是双曲线左支上一动点，则的最小值是
【答案】ACD
【解答】
解：对于，对于双曲线，可化简为，由，
所以左右焦点为，，，
圆的圆心，半径为．
所以，
，
故三角形的周长为，故A正确
对于，由双曲线的渐近线为，
设双曲线的方程为，
又双曲线的焦距为，所以
当时，，即
当时，，即；故B错误
对于，若，那么点是以，为左右焦点，且长轴为的椭圆与圆的交点，
即点是椭圆与圆的交点，
在一个直角坐标系下画出椭圆与圆的图像，如图所示：
可以看到椭圆与圆有个交点，则的位置不唯一，C正确
对于，若是双曲线左支上一动点，由双曲线的定义可得，
所以，，
又，当且仅当，，三点共线时，且在的下方时，等号成立．
所以，故D正确，故选ACD．
故答案为：．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中的系数为_________．
【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了二项展开式的特定项与特定项的系数，属于基础题．
首先得出二项展开式的通项，令即可得出结果．
【解答】
解：展开式的通项为，
令，解得，
此时的系数为，
故答案为．
13.一个点从数轴的原点开始运动，通过投掷骰子决定运动方向：若出现，面之一时，向负方向移动个单位若出现，，，面之一时，向正方向移动个单位投掷次骰子，该点位置的平均值为_________．投掷次骰子后，概率大于的点的位置存在的最小区间为_________．
【答案】
【解析】【分析】
本题考查独立重复试验概率的计算，属于中档题．
操作一次后，向正方向移动个单位的概率是，向负方向移动个单位的概率是，进而可求操作一次，位置的平均值；设次操作中，向正的方向移动了次，且作为点的位置坐标，则，所以，进而可得结论．
【解答】
解：操作一次后向正方向移动个单位的概率是，向负方向移动个单位的概率是．
操作一次位置的平均值是
设次操作中，向正的方向移动了次且作为点的位置坐标则，
所以．
要使，
即求满足的，且使为最小即可．
则由，可知．
因为，
，
即，
因此，
所以，，即点存在的最小区间为故答案为：．
14.如图，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的正边形的中心为．，，，，为圆上的点，，，，，分别是以，，，，为底边的等腰三角形沿虚线剪开后，分别以，，，，为折痕折起，，，，，使得，，，，重合，得到棱锥当正边形的边长变化，所得棱锥体积单位：取得最大值时，圆心到的距离为________．
【答案】
【解答】
解：连接，交于点，设，
则正数要满足，
的范围需要满足的条件有：正边长不能超过圆内接正边形的边长，个等腰三角形折叠后个顶点要重合，即
，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，
此时．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
甲同学计划去参观某景点，但门票需在网上预约该同学从第一天开始，每天在规定的预约时间段开始预约，若预约成功，便停止预约若连续预约三天都没成功，则放弃预约假设该同学每天预约门票成功的概率均为，
求甲同学到第三天才预约成功的概率
记为甲同学预约门票的天数，求的分布列和期望．
【答案】解：设“甲同学到第三天才预约成功”为事件，
则
因为为甲同学预约门票的天数，
所以的取值可以是，，
则，
，
，
所以的分分布列为
期望．
16.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程
当时，求函数的单调区间．
【答案】解：当时，，．
，切线斜率，
则曲线在点处的切线方程为，即．
，
当时，令，则或，令，则，
所以在区间，上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增．
当时，令，则或，令，则，
所以在区间，上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增．
17.本小题分
如图，在平行六面体中，，，且，设与的交于点．
证明：平面
若，且，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】证明：，底面是边长为的菱形，，
，，，
平面，
平面，
，
，，，，，
点为线段中点，，
，，都在平面上，平面；
解：由以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，有，，
设平面的法向量，则，令，
解得其中一个法向量．
从而，，
即直线与平面所成角的正弦值为．
18.本小题分
已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．
求双曲线的方程；
设直线与双曲线、圆：相切，切点分别为，，与渐近线相交于，两点．
证明：为定值；
若，求直线的方程．
【答案】解：因为双曲线的右焦点为，渐近线方程为，
所以，
解得，
则双曲线的标准方程为；
证明：当与轴垂直时，直线的方程为，
可得，，
此时；
当直线与轴不垂直时，
设直线的方程为，，，，，
联立，消去并整理得，
此时且，
解得，
易知，，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，，
所以
，
因为，
所以，
综上所述，；
因为直线与圆相切，
所以，
设直线为：，
联立，
解得
易知，
所以，
又，
所以，
所以，．
则直线的方程为．
19.本小题分
对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中，规定为数列的二阶差分数列，其中
数列的通项公式为，试判断数列，是否为等差数列请说明理由．
正项等比数列的公比为，对于任意的，都存在，使得，求的值
设，为数列的一阶差分数列，令，其中，证明：
【答案】解：
，，
所以不是等差数列
，
则，
所以是首项为，公差为的等差数列．
由题意，
又，，
即
，，则
若，即，
解得，舍去
即当时，，，
当时，则，
对，不存在，
综上所述，
所以，，
从而，
从而，
所以，
