人教版数学八年级下册第一次月考提高卷（含解析）

第一次月考提高卷
一、选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．下列根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A． B． C． D．
3．已知直角三角形两条直角边的长分别是6和8，则斜边上的高为（ ）
A．3 B．4 C． D．10
4．如图，在的正方形网格中，点A，B，M均在格点上，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
5．如图，在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片则图中空白部分的面积为（ ）．
A． B． C． D．
6．已知，则的值为（　　）
A． B． C．12 D．18
7．若，则化简的结果是（ ）
A． B． C．5 D．
8．如图，中，，，，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C．24 D．
9．固定在地面上的一个正方体木块如图①所示，其棱长为4，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）去掉一角，得到如图②所示的几何体木块，一只蚂蚁沿着该木块的表面从点爬行到点的最短路程为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，D为的外角平分线上一点并且垂直平分交于点G，过D作于E，交的延长线于F，则下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）
11．计算的结果是 .
12．若代数式有意义，则实数的取值范围是 ．
13．在平面直角坐标系中，点，点，则线段 ．
14．如图，在四边形中，连接，于E，，，，则的度数等于 ．
15．如图，在一张长方形纸板上放着一根长方体木块．已知，，该木块的长与平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达点需要走的最短路程是 ．
16．设一个三角形的三边长分别为a，b，c，，则有下列面积公式： （海伦公式），（秦九韶公式），若一个三角形的三边长依次为2，，，则三角形的面积为 ．
17．如图，中，于点平分，交与点于点，且交于点，若，则的长为 ．
18．如图，在中，，，是的中点，在斜边上有一动点．从点出发，沿着的方向以每秒1cm的速度运动，当点运动到点时，停止运动．设动点的运动时间为s，连接，若为等腰直角三角形，则的值为 ．
三、解答题（8小题，共64分）
19．计算：
(1)； (2)．
20．已知：，，分别求下列代数式的值：
(1) (2)．
21．如图，在和中，已知，以及可以选择的条件①；②；③．
(1)选择________条件（选一个，填序号）使得，并给出证明；
(2)若边与交于点，，．求的长．
22．如图，是等腰三角形，，点是边上的一点，连接．
(1)若的周长是，，点是的中点，求的长；
(2)若，，，求的面积．
23．如图①，直角三角形的两条直角边长分别是，斜边长为c．
探究：
（1）用四个这样的直角三角形拼成一大一小两个正方形（如图②）．
①小正方形的边长为c，大正方形的边长为______；
②由大正方形面积的不同表示方式可以得出等式______，整理得，从而验证勾股定理；
应用：
（2）将两个这样的直角三角形按图③所示摆放，使和在一条直线上，连接．请你类比（1）中的方法用图③验证勾股定理．
24．已知长方形中，，，，点在边上，由往运动，速度为，运动时间为秒，将沿着翻折至，点对应点为，所在直线与边交于点．
(1)如图1，当时，求证：；
(2)如图2，当时，求的长．
25．（2023下·广西钦州·八年级校考阶段练习）观察下列等式，解答下列问题：
；
．
应用计算：
(1)利用上面的方法进行化简：；
(2)根据上面的结论，找规律，请直接写出下列算式的结果：______；
(3)计算：．
26．（2023上·四川宜宾·八年级统考期末）已知，在中，，是上的一点，连接，在直线右侧作等腰．

(1)如图1，，连接，求证：；
(2)如图2，，取边中点，连接．当点从点运动到点过程中，求线段长度的最小值；
(3)如图3，四边形中，，连接，已知，求的长．
答案
一、选择题
1．D
【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，化简二次根式，解题的关键在于熟知最简二次根式的定义：被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式．
【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意；
B、，不是最简二次根式，不符合题意；
C、，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，是最简二次根式，符合题意；
故选；D．
2．B
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据有意义的条件为，列不等式求解，即可解题．
【详解】解：在实数范围内有意义，
，解得，
故选：B．
3．C
【分析】本题主要考查了勾股定理，求三角形的高，根据直角三角形中，斜边长的平方等于两直角边的平方和求出斜边的长，再利用等面积法求出斜边上的高即可．
【详解】解：∵直角三角形两条直角边的长分别是6和8，
∴该直角三角形斜边的长为，
设斜边上的高为h，
∴，
∴，
∴斜边上的高为，
故选：C．
4．C
【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形，且即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接，
由题意得，，，，
∴，
∴是等腰直角三角形，且，
∴，
故选；C．

5．A
【分析】本题主要考查二次根式的应用，算术平方根的实际应用，根据正方形的面积求出两个正方形的边长即可得出结果．
【详解】解：∵两张正方形纸片面积分别为和，
∴它们的边长分别为，，
∴，，
∴空白部分的面积
故选：A．
6．B
【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数是非负数是解题的关键．根据非负性求出的值即可得到答案．
【详解】解：由题意得：，
解得，
，
，
，
故选B．
7．C
【分析】本题考查二次根式的化简，利用二次根式的性质及绝对值的性质计算即可．
【详解】解：，
，，
，
故选：C．
8．C
【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先求出直角三角形的斜边，再进行计算即可．
【详解】解： 中，，，，
，
，
．
故选C．
9．A
【分析】本题考查勾股定理的应用．根据两点之间线段最短，将图②展开，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：如图，正方体上表面的对角线为，将图②展开，连接交于点，线段的长度即为蚂蚁爬行的最短路程，
由题意可知：为等边三角形，为等腰直角三角形，
，，，
，
，
，
正方体的棱长为4，
，，
在中，，
在中，，
．
故选：A．
10．D
【分析】本题考查的重点是直角三角形全等的证明，线段的垂直平分线和角平分线的运用．①在直角三角形中，利用可以证明；②根据，可以得到对应边相等，然后证明；③在直角三角形中，利用勾股定理，推导出；④利用余角和补角之间的关系，可以得出和之间的关系；⑤在直角三角形中斜边大于直角边，可以推导出．
【详解】解：①平分，，，
，
在和中，
，
，
，
又垂直平分交于点，
，
在和中，
，
，故结论①符合题意；
②，
，
，，
，故结论②符合题意；
③垂直平分，
，，
又，，
，故结论③符合题意；
④，
，
，
，故结论④不符合题意；
⑤，
，
，，，
，
，
在直角中，是斜边，是直角边，
，
，故结论⑤符合题意．
故选：D．
二、填空题
11．
【分析】本题主要考查了二次根式的加减，解题的关键是掌握二次根式的加减法则．根据二次根式的加减法则计算即可．
【详解】解：，
原式，
，
故答案为：．
12．
【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟悉掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．
【详解】解：∵有意义，
∴，解得，
故答案为：．
13．5
【分析】本题主要考查了两点之间的距离．利用两点之间的距离公式进行计算，即可求解．
【详解】解：∵点，点，
∴．
故答案为：5
14．90
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，先根据，求出，再根据“两边平方和等于第三边平方的三角形是直角三角形”，即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∵，，，
∴，
∴，
故答案为：90．
15．
【分析】本题主要考查两点之间线段最短，解答此题要将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答．
【详解】解：由题意可知，将木块展开，相当于是个正方形的宽，
∴长为米；宽为米．
于是最短路径为：米．
故答案为：．
16．
【分析】本题考查代数式求值，二次根式的应用．正确计算是解题关键．理解题意，掌握海伦公式和秦九韶公式是解题关键．
【详解】解：利用海伦公式求解：，
，
，
，
∴，
；
利用秦九韶公式：
．
17．
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质．连接，证明，可得，从而得到，再由勾股定理求出，然后根据，即可得出结果．
【详解】解：如图，连接，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
即，
解得：，
故答案为：．
18．或/或
【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理．分和，两种情况进行讨论即可．
【详解】解：∵，，是的中点，
∴，
由题意，得：，
当为等腰直角三角形时，分两种情况：
①当时，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理，得：，
∴（负值舍去）；
②当时，
则：，
∴，
由勾股定理，得：，
解得：（负值已舍掉）；
综上：或．
故答案为：或．
三、解答题
19．（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
20．（1）解：∵，
∴，，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∴
21．（1）解：选择③，理由：
在和中，，
，
故答案为：③；
选②，理由：
，
在和中，，
；
故答案为：②；
（2）解：，
，
，
．
22．（1）解：因为点是的中点，，
所以．
因为的周长是，，所以．
因为是等腰三角形，，点是的中点，所以．
在中，，，所以．
（2）因为，，，
所以，即，所以．
因为，所以，
所以
所以．
23．解：（1）①由图和题意可知：大正方形的边长为；
故答案为：；
②由大正方形面积的不同表示方式可以得出等式；
故答案为：；
（2）用两种不同的方法表示出梯形的面积，可得：，
∴，
∴．
24．（1）解：，
，
由折叠的性质可得，，
，
，
（2）解：延长、交于点，
由矩形的性质可得，，
，
又，
当时，，，
，
，
，
由折叠的性质可得，，
，
，
设，则，
在中，根据勾股定理，，即：，解得：，
，
故答案为：．
25．（1）；
（2）；
故答案为：；
（3）原式
．
26．（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）取中点，连接，

由①可得，
∵点是中点，
∴，
∴当时，最短，即此时最短，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，设，
∴，
解得，
∴，即的最小值为1；
（3）过点作交的延长线于点，过点作交于点，如下图，

∴，即，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，设，
∴，
解得，
∴，
∴．