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专题4 一次方程（组）与不等式
1.如图，根据图中的信息，可得正确的方程是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】根据圆柱体的体积计算公式结合水的体积不变，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．依题意，得：．
故选：B．
2.一商店以每件150元的价格卖出两件不同的商品，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，则商店卖这两件商品总的盈亏情况是( )
A．亏损20元 B．盈利30元 C．亏损50元 D．不盈不亏
【答案】A
【解答】解：设盈利的商品的进价为x元，亏损的商品的进价为y元，
根据题意得：150﹣x＝25%x，150﹣y＝﹣25%y，
解得：x＝120，y＝200，∴150+150﹣120﹣200＝﹣20(元)．
故选：A．
3.某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺钉或1000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套．设安排x名工人生产螺钉，则下面所列方程正确的是( )
A．2×1000(26﹣x)=800x B．1000(13﹣x)=800x
C．1000(26﹣x)=2×800x D．1000(26﹣x)=800x
【答案】C
【详解】题目已经设出安排x名工人生产螺钉，则(26﹣x)人生产螺母，由一个螺钉配两个螺母可知螺母的个数是螺钉个数的2倍从而得出等量关系，就可以列出方程．由题意得1000(26﹣x)=2×800x，
故选C。
4.张三经营了一家草场，草场里面种植上等草和下等草．他卖五捆上等草的根数减去11根，就等于七捆下等草的根数；卖七捆上等草的根数减去25根，就等于五捆下等草的根数．设上等草一捆为根，下等草一捆为根，则下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设上等草一捆为根，下等草一捆为根，根据“卖五捆上等草的根数减去11根，就等于七捆下等草的根数；卖七捆上等草的根数减去25根，就等于五捆下等草的根数．”列出方程组，即可求解．
【详解】解：设上等草一捆为根，下等草一捆为根，根据题意得：
．
故选：C
5.设a，b，c，d为实数，现规定一种新的运算=ad﹣bc，则满足等式=1的x的值为 ．
【答案】-10
【解析】解：根据题中的新定义得：，
去分母得：3x-4x-4=6，移项合并得：-x=10，
解得：x=-10，故答案为：-10．
6.二元一次方程组的解为 ．
【答案】
【分析】由加减消元法或代入消元法都可求解．
【详解】解：，
由①式得： ，代入②式，
得： ，
解得 ，
再将代入①式，
，
解得 ，
∴ ，
故填：．
7.解方程组
【答案】
【分析】利用代入消元法求解方程即可．
【详解】解：
把①代入②得
，
解得
把代入①得
所以方程组的解为：．
8.快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件，快递员的提成取决于送生数和揽件数．某快递公司快递员小李若平均每天的送件数和揽件数分别为120件和30件，则他平均每天的提成是240元；若平均每天的送件数和揽件数分别为140件和25件，则他平均每天的提成是260元．求快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是多少元？
【答案】快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成分别为元和元
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成分别为元和元，根据平均每天的送件数和揽件数分别为120件和30件，则他平均每天的提成是240元；平均每天的送件数和揽件数分别为140件和25件，则他平均每天的提成是260元；列出方程组进行求解即可．
【详解】解：设快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成分别为元和元，由题意，得：
，解得：；
答：快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成分别为元和元．
9.甲乙两人在一环形场地上锻炼，甲骑自行车，乙跑步，甲比乙每分钟快，两人同时从起点同向出发，经过两人首次相遇，此时乙还需跑才能跑完第一圈．
(1)求甲、乙两人的速度分别是每分钟多少米？(列方程或者方程组解答)
(2)若两人相遇后，甲立即以每分钟的速度掉头向反方向骑车，乙仍按原方向继续跑，要想不超过两人再次相遇，则乙的速度至少要提高每分钟多少米？
【答案】(1)甲的速度是每分钟350米，乙的速度是每分钟150米；
(2)乙的速度至少要提高每分钟50米．
【解析】解：(1)设乙的速度是每分钟米，则甲的速度是每分钟米，依题意有：
，
解得，．
答：甲的速度是每分钟350米，乙的速度是每分钟150米．
(2)
(米，
(米．
答：乙的速度至少要提高每分钟50米．
10.某文具店准备购进甲、乙两种圆规，若购进甲种圆规10个，乙种圆规30个，需要340元；若购进甲种圆规30个，乙种圆规50个，需要700元．
(1)求购进甲、乙两种圆规的单价各是多少元；
(2)文具店购进甲、乙两种圆规共100个，每个甲种圆规的售价为15元，每个乙种圆规的售价为12元，销售这两种圆规的总利润不低于480元，那么这个文具店至少购进甲种圆规多少个？
【答案】(1)购进甲圆规每个需要10元，乙圆规每个需要8元
(2)这个文具店至少购进甲种圆规80个
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用，解题的关键是：
（1）设购进甲圆规每个需要x元，乙圆规每个需要y元，根据“若购进甲种圆规10个，乙种圆规30个，需要340元；若购进甲种圆规30个，乙种圆规50个，需要700元”，可列关于x、y的二元一次方程组，求解即可；
（2）设购进甲圆规m个，则购进乙圆规个，根据“销售这两种圆规的总利润不低于480元”列出关于m的不等式，求解即可．
【详解】（1）解：设购进甲圆规每个需要x元，乙圆规每个需要y元，
根据题意，得，
解得，
答：购进甲圆规每个需要10元，乙圆规每个需要8元；
（2）解：设购进甲圆规m个，则购进乙圆规个，
根据题意，得，
解得，
答：这个文具店至少购进甲种圆规80个．
等式及其性质
1.等式：用等号“=”来表示相等关系的式子叫等式.
2. 性质：① 如果，那么；
② 如果，那么；如果，那么.
二、一元一次方程
1.方程：含有未知数的等式叫做方程；使方程左右两边值相等的未知数的值，叫做方程的解；求方程解的 叫做解方程. 方程的解与解方程不同.
2. 一元一次方程：在整式方程中，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1 ，系数不等于0的方程叫做一元一次方程；它的一般形式为 ax+b=0 .
3. 解一元一次方程的步骤：
①去分母；②去 括号 ；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1.
4．一元一次方程的应用
列方程解应用题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程：挖掘题目中的关系，找出等量关系，列出方程．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．、
三、二元一次方程组
1．二元一次方程：含有两个未知数（元）并且未知数的次数是2的整式方程.
2. 二元一次方程组：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.
3．二元一次方程的解： 适合一个二元一次方程的一组未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解，一个二元一次方程有无数个解.
4．二元一次方程组的解： 二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
5. 解二元一次方程组的方法：
消元是解二元一次方程组的基本思路，方法有代入消元和加减 消元法两种.
6、列二元一次方程（组）解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
（2024·广东深圳·二模）下列变形，正确的是（ ）
A．由，移项，得
B．由，去括号，得
C．由，合并同类项，得
D．由，去分母得
【答案】C
【分析】本题考查了一元一次方程的解法，注意移项变号、去分母每一项要同时乘以分母的最小公倍数、括号前是“”号，去括号时括号内各项要变号，熟知一元一次方程解题步骤是关键．
【详解】解：
A、原式移项得，移项时未变号；
B、原式去括号得，括号前是“”号，去括号时括号内各项要变号；
C、原式合并同类项正确；
D、原式去分母得，去分母时，每一项要同时乘以分母的最小公倍数．
故选：C ．
2.下列由等式的性质进行的变形，错误的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
【答案】D
【分析】
根据等式的性质，可得答案．
【详解】
A．如果a=3，那么，正确，故A不符合题意；
B．如果a=3，那么a2=9，正确，故B不符合题意；
C．如果a=3，那么a2=3a，正确，故C不符合题意；
D．如果a=0时，两边都除以a，无意义，故D符合题意．
故选D．
3.《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，一车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车：若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设有x人，根据车的辆数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】
解：设有x人，根据车的辆数不变列出等量关系，
每3人共乘一车，最终剩余2辆车，则车辆数为：，
每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，则车辆数为：，
∴列出方程为：．
故选：B．
4.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载，“三百七十八里关；初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是；有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到关口，则此人第一和第六这两天共走了( )
A．102里 B．126里 C．192里 D．198里
【答案】D
【解析】解：设第六天走的路程为里，则第五天走的路程为里，依此往前推，第一天走的路程为里，
依题意，得：，
解得：．，，
答：此人第一和第六这两天共走了198里.
故选：D．
5.《九章算术》中有问题：1亩好田是300元，7亩坏田是500元，一人买了好田坏田一共是100亩，花费了10000元，问他买了多少亩好田和坏田？设一亩好田为x亩，一亩坏田为y亩，根据题意列方程组得（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设一亩好田为x亩，一亩坏田为y亩，根据7亩坏田是500元可得每亩坏田的价格，根据好田坏田一共是100亩，花费了10000元列方程组即可得答案．
【详解】设一亩好田为x亩，一亩坏田为y亩，
∵7亩坏田是500元，
∴每亩坏田元，
∵买了好田坏田一共是100亩，花费了10000元，
∴，
故选：B．
6.《九章算术》是我国古代的数学专著，几名学生要凑钱购买1本．若每人出8元，则多了3元；若每人出7元，则少了4元．问学生人数和该书单价各是多少？
【答案】学生人数为7人，该书的单价为53元．
【分析】设学生人数为x人，然后根据题意可得，进而问题可求解．
【详解】解：设学生人数为x人，由题意得：
，
解得：，
∴该书的单价为（元），
答：学生人数为7人，该书的单价为53元．
7.粤港澳大湾区自动驾驶产业联盟积极推进自动驾驶出租车应用落地工作，无人化是自动驾驶的终极目标．某公交集团拟在今明两年共投资9000万元改装260辆无人驾驶出租车投放市场．今年每辆无人驾驶出租车的改装费用是50万元，预计明年每辆无人驾驶出租车的改装费用可下降．
（1）求明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是多少万元；
（2）求明年改装的无人驾驶出租车是多少辆．
【答案】（1）明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是25万元；
（2）明年改装的无人驾驶出租车是160辆．
【分析】（1）根据今年每辆无人驾驶出租车的改装费用是50万元，预计明年每辆无人驾驶出租车的改装费用可下降，列出式子即可求出答案；
（2）根据“某公交集团拟在今明两年共投资9000万元改装260辆无人驾驶出租车投放市场”列出方程，求解即可．
【详解】解：（1）依题意得：（万元）
（2）设明年改装的无人驾驶出租车是x辆，则今年改装的无人驾驶出租车是（260-x）辆,依题意得：
解得：
答：（1）明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是25万元；（2）明年改装的无人驾驶出租车是160辆．
8.（2024·广东清远·三模）某工厂接到生产第19届杭州亚运会吉祥物“江南忆（宸宸、琮琮、莲莲）”整套的订单，工厂安排甲、乙两个车间共同生产．若甲车间生产5天，乙车间生产3天，则两个车间的产量一样多．若甲车间先生产300套“江南忆”，然后两个车间又各生产4天，则乙车间比甲车间多生产100套“江南忆”．两车间每天各生产多少套“江南忆”？
【答案】甲车间每天生产150套“江南忆”，乙车间每天生产250套“江南忆”
【分析】题目主要考查二元一次方程组的应用，理解题意列出方程组是解题关键．
设甲车间每天生产x套“江南忆”，乙车间每天生产y套“江南忆”，根据题意列出方程组求解即可．
【详解】解：设甲车间每天生产x套“江南忆”，乙车间每天生产y套“江南忆”，
则可列方程组为，
解得．
答：甲车间每天生产150套“江南忆”，乙车间每天生产250套“江南忆”．
1（2024·广东广州·中考真题）某新能源车企今年5月交付新车35060辆，且今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆．设该车企去年5月交付新车辆，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出题目中的数量关系是解题关键．设该车企去年5月交付新车辆，根据“今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆”列出方程即可．
【详解】解：设该车企去年5月交付新车辆，
根据题意得：，
故选：A．
（2024·广东深圳·中考真题）在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房x间，房客y人，则可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．设该店有客房x间，房客y人；每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房得出方程组即可．
【详解】解：设该店有客房x间，房客y人；根据题意得：
，
故选：A．
（2024·广东汕头·一模）若关于x，y的方程组的解满足，则的值为（ ）
A．8 B． C．6 D．
【答案】B
【分析】本题考查二次一次方程组含参问题，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键，利用得：，即可得到，再将，代入即可得到答案．
【详解】解：
得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
（2024·广东河源·一模）已知是二元一次方程组的解，则的值为 ．
【答案】7
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，把代入原方程组得，得：即可．注意整体思想的应用．
【详解】解：将代入原方程组得，
得：，
∴的值为7．
故答案为：7．
（2024·广东深圳·二模）解方程组：
【答案】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，先整理原式得，再运用加减法进行解方程，即可作答．
【详解】解：∵，
∴化简得，，
将，得
将，得，
∴，
原方程组的解为：．
6.（2024·广东清远·三模）某工厂接到生产第19届杭州亚运会吉祥物“江南忆（宸宸、琮琮、莲莲）”整套的订单，工厂安排甲、乙两个车间共同生产．若甲车间生产5天，乙车间生产3天，则两个车间的产量一样多．若甲车间先生产300套“江南忆”，然后两个车间又各生产4天，则乙车间比甲车间多生产100套“江南忆”．两车间每天各生产多少套“江南忆”？
【答案】甲车间每天生产150套“江南忆”，乙车间每天生产250套“江南忆”
【分析】题目主要考查二元一次方程组的应用，理解题意列出方程组是解题关键．
设甲车间每天生产x套“江南忆”，乙车间每天生产y套“江南忆”，根据题意列出方程组求解即可．
【详解】解：设甲车间每天生产x套“江南忆”，乙车间每天生产y套“江南忆”，
则可列方程组为，
解得．
答：甲车间每天生产150套“江南忆”，乙车间每天生产250套“江南忆”．
1.（2024·广东深圳·二模）下图是明代数学家程大位所著的《算法统宗》中的一个问题，其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两：如果每人分九两，则还差八两．设共有银子x两，共有y人，则所列方程（组）错误的是（ ）
隔壁听得客分银， 不知人数不知银， 七两分之多四两， 九两分之少半斤. 《算法统宗》 注：明代时1斤=16两，故有“半斤八两”这个成语
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
根据“如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九，则还差八两”，即可列出关于x或y的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：∵如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九，则还差八两．
∴或或．
故选：D．
2.（2024·广东佛山·三模）小明做作业时发现方程已被墨水污染：电话询问老师后知道：方程的解且被墨水遮盖的是一个常数．则该常数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了一元一次方程的解．设被污染的常数■是a，把代入计算即可求出a的值．
【详解】解：设被污染的常数■是a，
把代入，得：，
解得，
故选A．
3.方程组的解为，则点P（a，b）在第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】A
【分析】
根据题意，将代入方程中，求出a，b后得到点P的坐标即可得解．
【详解】
把方程的解代入所给方程组得
，
解得，
∴点P坐标为，在第一象限，
故选：A．
4.（2024·广东深圳·二模）下图是明代数学家程大位所著的《算法统宗》中的一个问题，其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两：如果每人分九两，则还差八两．设共有银子x两，共有y人，则所列方程（组）错误的是（ ）
隔壁听得客分银， 不知人数不知银， 七两分之多四两， 九两分之少半斤. 《算法统宗》 注：明代时1斤=16两，故有“半斤八两”这个成语
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
根据“如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九，则还差八两”，即可列出关于x或y的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：∵如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九，则还差八两．
∴或或．
故选：D．
5.代数式与代数式的和为4，则_____．
【答案】﹣1.
【分析】
根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
【详解】
根据题意得：，
去分母得：，
移项合并得：，
解得：，
故答案为﹣1.
（2024·广东河源·一模）已知是二元一次方程组的解，则的值为 ．
【答案】7
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，把代入原方程组得，得：即可．注意整体思想的应用．
【详解】解：将代入原方程组得，
得：，
∴的值为7．
故答案为：7．
（2024·广东广州·二模）解二元一次方程组：．
【答案】
【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组．利用加减消元法解二元一次方程组进行求解即可．
【详解】解：，
得：，
解得：，
将代入得：，
解得：，
故原方程组的解为．
（2024·广东佛山·三模）快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件，快递员的提成取决于送生数和揽件数．某快递公司快递员小李若平均每天的送件数和揽件数分别为120件和30件，则他平均每天的提成是240元；若平均每天的送件数和揽件数分别为140件和25件，则他平均每天的提成是260元．求快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是多少元？
【答案】快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成分别为元和元
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成分别为元和元，根据平均每天的送件数和揽件数分别为120件和30件，则他平均每天的提成是240元；平均每天的送件数和揽件数分别为140件和25件，则他平均每天的提成是260元；列出方程组进行求解即可．
【详解】解：设快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成分别为元和元，由题意，得：
，解得：；
答：快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成分别为元和元．
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专题4 一次方程（组）与不等式
1.如图，根据图中的信息，可得正确的方程是( )
A． B．
C． D．
2.一商店以每件150元的价格卖出两件不同的商品，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，则商店卖这两件商品总的盈亏情况是( )
A．亏损20元 B．盈利30元 C．亏损50元 D．不盈不亏
3.某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺钉或1000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套．设安排x名工人生产螺钉，则下面所列方程正确的是( )
A．2×1000(26﹣x)=800x B．1000(13﹣x)=800x
C．1000(26﹣x)=2×800x D．1000(26﹣x)=800x
4.张三经营了一家草场，草场里面种植上等草和下等草．他卖五捆上等草的根数减去11根，就等于七捆下等草的根数；卖七捆上等草的根数减去25根，就等于五捆下等草的根数．设上等草一捆为根，下等草一捆为根，则下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
5.设a，b，c，d为实数，现规定一种新的运算=ad﹣bc，则满足等式=1的x的值为 ．
6.二元一次方程组的解为 ．
7.解方程组
8.快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件，快递员的提成取决于送生数和揽件数．某快递公司快递员小李若平均每天的送件数和揽件数分别为120件和30件，则他平均每天的提成是240元；若平均每天的送件数和揽件数分别为140件和25件，则他平均每天的提成是260元．求快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是多少元？
9.甲乙两人在一环形场地上锻炼，甲骑自行车，乙跑步，甲比乙每分钟快，两人同时从起点同向出发，经过两人首次相遇，此时乙还需跑才能跑完第一圈．
(1)求甲、乙两人的速度分别是每分钟多少米？(列方程或者方程组解答)
(2)若两人相遇后，甲立即以每分钟的速度掉头向反方向骑车，乙仍按原方向继续跑，要想不超过两人再次相遇，则乙的速度至少要提高每分钟多少米？
10.某文具店准备购进甲、乙两种圆规，若购进甲种圆规10个，乙种圆规30个，需要340元；若购进甲种圆规30个，乙种圆规50个，需要700元．
(1)求购进甲、乙两种圆规的单价各是多少元；
(2)文具店购进甲、乙两种圆规共100个，每个甲种圆规的售价为15元，每个乙种圆规的售价为12元，销售这两种圆规的总利润不低于480元，那么这个文具店至少购进甲种圆规多少个？
等式及其性质
1.等式：用等号“=”来表示相等关系的式子叫等式.
2. 性质：① 如果，那么；
② 如果，那么；如果，那么.
二、一元一次方程
1.方程：含有未知数的等式叫做方程；使方程左右两边值相等的未知数的值，叫做方程的解；求方程解的 叫做解方程. 方程的解与解方程不同.
2. 一元一次方程：在整式方程中，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1 ，系数不等于0的方程叫做一元一次方程；它的一般形式为 ax+b=0 .
3. 解一元一次方程的步骤：
①去分母；②去 括号 ；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1.
4．一元一次方程的应用
列方程解应用题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程：挖掘题目中的关系，找出等量关系，列出方程．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．、
三、二元一次方程组
1．二元一次方程：含有两个未知数（元）并且未知数的次数是2的整式方程.
2. 二元一次方程组：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.
3．二元一次方程的解： 适合一个二元一次方程的一组未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解，一个二元一次方程有无数个解.
4．二元一次方程组的解： 二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
5. 解二元一次方程组的方法：
消元是解二元一次方程组的基本思路，方法有代入消元和加减 消元法两种.
6、列二元一次方程（组）解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
（2024·广东深圳·二模）下列变形，正确的是（ ）
A．由，移项，得
B．由，去括号，得
C．由，合并同类项，得
D．由，去分母得
2.下列由等式的性质进行的变形，错误的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
3.《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，一车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车：若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程（ ）
A． B． C． D．
4.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载，“三百七十八里关；初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是；有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到关口，则此人第一和第六这两天共走了( )
A．102里 B．126里 C．192里 D．198里
5.《九章算术》中有问题：1亩好田是300元，7亩坏田是500元，一人买了好田坏田一共是100亩，花费了10000元，问他买了多少亩好田和坏田？设一亩好田为x亩，一亩坏田为y亩，根据题意列方程组得（ ）
A． B．
C． D．
6.《九章算术》是我国古代的数学专著，几名学生要凑钱购买1本．若每人出8元，则多了3元；若每人出7元，则少了4元．问学生人数和该书单价各是多少？
7.粤港澳大湾区自动驾驶产业联盟积极推进自动驾驶出租车应用落地工作，无人化是自动驾驶的终极目标．某公交集团拟在今明两年共投资9000万元改装260辆无人驾驶出租车投放市场．今年每辆无人驾驶出租车的改装费用是50万元，预计明年每辆无人驾驶出租车的改装费用可下降．
（1）求明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是多少万元；
（2）求明年改装的无人驾驶出租车是多少辆．
8.（2024·广东清远·三模）某工厂接到生产第19届杭州亚运会吉祥物“江南忆（宸宸、琮琮、莲莲）”整套的订单，工厂安排甲、乙两个车间共同生产．若甲车间生产5天，乙车间生产3天，则两个车间的产量一样多．若甲车间先生产300套“江南忆”，然后两个车间又各生产4天，则乙车间比甲车间多生产100套“江南忆”．两车间每天各生产多少套“江南忆”？
1（2024·广东广州·中考真题）某新能源车企今年5月交付新车35060辆，且今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆．设该车企去年5月交付新车辆，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
（2024·广东深圳·中考真题）在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房x间，房客y人，则可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
（2024·广东汕头·一模）若关于x，y的方程组的解满足，则的值为（ ）
A．8 B． C．6 D．
（2024·广东河源·一模）已知是二元一次方程组的解，则的值为 ．
（2024·广东深圳·二模）解方程组：
6.（2024·广东清远·三模）某工厂接到生产第19届杭州亚运会吉祥物“江南忆（宸宸、琮琮、莲莲）”整套的订单，工厂安排甲、乙两个车间共同生产．若甲车间生产5天，乙车间生产3天，则两个车间的产量一样多．若甲车间先生产300套“江南忆”，然后两个车间又各生产4天，则乙车间比甲车间多生产100套“江南忆”．两车间每天各生产多少套“江南忆”？
1.（2024·广东深圳·二模）下图是明代数学家程大位所著的《算法统宗》中的一个问题，其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两：如果每人分九两，则还差八两．设共有银子x两，共有y人，则所列方程（组）错误的是（ ）
隔壁听得客分银， 不知人数不知银， 七两分之多四两， 九两分之少半斤. 《算法统宗》 注：明代时1斤=16两，故有“半斤八两”这个成语
A． B．
C． D．
2.（2024·广东佛山·三模）小明做作业时发现方程已被墨水污染：电话询问老师后知道：方程的解且被墨水遮盖的是一个常数．则该常数是（ ）
A． B． C． D．
3.方程组的解为，则点P（a，b）在第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
4.（2024·广东深圳·二模）下图是明代数学家程大位所著的《算法统宗》中的一个问题，其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两：如果每人分九两，则还差八两．设共有银子x两，共有y人，则所列方程（组）错误的是（ ）
隔壁听得客分银， 不知人数不知银， 七两分之多四两， 九两分之少半斤. 《算法统宗》 注：明代时1斤=16两，故有“半斤八两”这个成语
A． B．
C． D．
5.代数式与代数式的和为4，则_____．
（2024·广东河源·一模）已知是二元一次方程组的解，则的值为 ．
（2024·广东广州·二模）解二元一次方程组：．
（2024·广东佛山·三模）快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件，快递员的提成取决于送生数和揽件数．某快递公司快递员小李若平均每天的送件数和揽件数分别为120件和30件，则他平均每天的提成是240元；若平均每天的送件数和揽件数分别为140件和25件，则他平均每天的提成是260元．求快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是多少元？
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