四川省川南川东北地区名校2024-2025学年高一上学期12月期末联考数学试题
1．（2024高一上·四川期末）已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为集合，又集合，
所以.
故选：C
【分析】先求得集合，结合集合交集的概念与运算，即可求解.
2．（2024高一上·四川期末）已知，则下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：对于A中，因为，则，可得，即，所以A错；
对于B中，因为，则，所以B对；
对于C中，因为，由不等式的性质可得，所以C对；
对于D中，因为，则，所以，，所以D对.
故选：A.
【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，可判断ABC选项，利用作差法，可判断D选项，即可得到答案.
3．（2024高一上·四川期末）已知命题，则是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】全称量词命题
【解析】【解答】解：因为是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
所以命题的否定为：.
故选：B.
【分析】本题考查全称量词命题与存在量词命题的关系，根据全称量词命题与存在量词命题互为否定关系，准确改写，即可得到答案.
4．（2024高一上·四川期末）已知点是角终边上除原点外任意一点，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由三角函数的概念可知：.
故选：C
【分析】本题考查了三角函数的定义，以及常见角的三角函数的值，根据三角函数的定义，得到，结合常见角的三角函数值，即可的对答案.
5．（2024高一上·四川期末）下列图象可能为幂函数图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：幂函数（为常数）的性质有：
若自变量有意义，则必过原点，根据这条性质，排除A、B、C，
故D正确；
故选：D.
【分析】本题考查了幂函数的图象与性质，根据幂函数在有意义，其图象必过原点，结合选项，逐项分析判断，即可求解.
6．（2024高一上·四川期末）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的定义域及其求法；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：函数 有意义，则满足，
即，解得或，
所以的定义域为.
故选：A.
【分析】本题主要考查了函数定义域的求解，根函数的解析式有意义，列出相应的不等式组，求解不等式组的解集，即可得出函数的定义域，得到答案。
7．（2024高一上·四川期末）某市交通管理部门通过大量数据统计发现，某路段的车流量（单位：千辆/小时）与车速（单位：公里/小时）近似满足，为保障最大车流量，应建议车速为（ ）
A．50 B．60 C．70 D．80
【答案】B
【知识点】函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：由题意知，则，
，
当且仅当即时，等号成立；
所以当汽车的平均速度为公里/小时时，车流量最大.
故选：B.
【分析】根据题意，化简函数，利用基本不等式，求得函数的最大值，结合基本不等式等号成立的条件，即可得到答案.
8．（2024高一上·四川期末）已知函数有两个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数与方程的综合运用；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：当时，在上单调递减，函数值的集合为，
当时，在是单调递增，函数值的集合为，
在上单调递减，函数值的集合为，而，
由函数有两个零点，得或，解得或，
所以实数的取值范围为.
故选：C
【分析】本题考查了函数与方程的应用，根据分段函数的解析式，分别求得函数的单调区间及对应的函数值集合，结合函数零点个数，列出相应不等式组，求得a的取值范围，即可得到答案.
9．（2024高一上·四川期末）已知函数，且的图象经过定点A，且点A在角的终边上，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,D
【知识点】对数函数的单调性与特殊点；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：因，令或，
则所过定点为或，
则或.
故选：BD
【分析】本题考查了对数函数的性质，以及三角函数的定义，根据对数函数的图象与性质，求得函数所过定点为或，结合三角函数的定义，即可求解.
10．（2024高一上·四川期末）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的定义域为 B．在定义域内单调递减
C．的最大值为 D．的图象关于直线对称
【答案】A,C,D
【知识点】对数函数的图象与性质；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由解得，所以的定义域是，所以A选项正确.
，
函数在上单调递增，
函数的开口向下，对称轴为，
所以关于直线对称，D选项正确.
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，B选项错误.
当时，取得最大值为，所以C选项正确.
故选：ACD.
【分析】本题考查了对数函数的定义域、单调性、最值、对称性等性质，根据函数的解析式有意义，求得函数的定义域，可判定A；根据复合函数的性质，可判定B、D；根据函数的单调性，求得函数的最大值，可判定C，即可得到答案.
11．（2024高一上·四川期末）下列说法正确的是（ ）
A．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为
B．设，则是的充要条件
C．已知，则对任意实数是的充要条件
D．如果对于任意实数表示不超过的最大整数，例如，，则是的必要不充分条件
【答案】B,C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；奇函数与偶函数的性质；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【解答】解：对于A：因为，是的充分不必要条件，所以，故错误；
对于： 因为在为增函数，所以，故B正确；
对于C：因为，恒成立，所以定义域为，
所以为奇函数，显然为增函数，，故C正确；
对于D：若，则有所以所以，
反之，若，比如，则有，，所以不是必要条件，
所以是的充分不必要条件，故错误.
故选：.
【分析】根据充分不必要条件，求得实数的取值范围，可判定A错误根据函数为增函数，求得，可得判定B正确；由函数的奇偶性和单调性，得到，可判定C正确；根据取整函数的定义，结合举反例，可得判定D错误，即可得到答案.
12．（2024高一上·四川期末）在边长为的正三角形中裁剪一个面积最大的扇形，则这个扇形的面积为 .
【答案】
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：由题意，以正三角形的一个顶点为扇形的圆心，以正三角形的高为半径时所得到的扇形的面积最大，
因为边长为的正三角形的高为
则这个扇形的面积
故答案为：.
【分析】本题主要考查了扇形的面积公式及其应用，根据题意，得到正三角形的高为半径时所得到的扇形的面积最大，求得正三角形的高，得到扇形的所在圆的半径，结合扇形的面积公式，即可求解.
13．（2024高一上·四川期末）若正实数满足，则的最小值为 .
【答案】1
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为正实数满足，
所以，
当且仅当即时等号成立.
故答案为：1.
【分析】本题主要考查了基本不等式的求最值，根据题意，结合常数代换，化简得到，结合基本不等式，即可求解.
14．（2024高一上·四川期末）下列命题：
①函数的单调递增区间为；
②将函数的图象先关于轴对称，再将其图象向左平移个单位后的函数解析式为；
③将函数的图象先关于对称，再将其图象关于轴对称后的函数解析式为；
④若函数的值域为，则实数的取值范围为.
其中正确的序号为 .
【答案】②③④
【知识点】函数的图象与图象变化；互为反函数的两个函数之间的关系
【解析】【解答】解：对于①，对于函数，有，解得或，
即函数的定义域为，
因为内层函数在上单调递减，在上单调递增，
外层函数为增函数，
由复合函数法可知，函数的单调递增区间为，①错；
对于②，将函数的图象先关于轴对称，可得到函数的图象，
再将所得图象向左平移个单位后的函数解析式为，②对；
对于③，将函数的图象先关于对称，可得到函数的图象，
再将所得图象关于轴对称后的函数解析式为，③对；
对于④，若函数的值域为，则，解得或，
因此，实数的取值范围为，④对.
故答案为：②③④.
【分析】利用复合函数法单调性的判定方法，可判断①错误；利用函数图象对称变换和平移变换，得到变换后的函数的解析式为，可判断②正确；利用反函数的概念，以及函数图象变换，可判断③正确；由对数型函数的的值域为R，结合二次函数的性质，可判断④正确，即可得到答案.
15．（2024高一上·四川期末）已知集合.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：由题意知：，
当时，，
（2）解：因为， 可得，
当时，，即，
当时，，
综上所述，实数的取值范围为.
【知识点】集合间关系的判断；并集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）先由一元二次不等式的解法，求得，再由时，得到，结合集合并集的概念与运算，即可求解；
（2）由，转化为，分和，两种情况讨论，列出相应的不等式组，即可求解.
（1）已知得，，
当时，，
（2），
，
当时，，即，
当时，，
综上所述，实数的取值范围为.
16．（2024高一上·四川期末）已知实数满足.
（1）求实数的取值范围；
（2）解关于的不等式.
【答案】（1）解：由题意，，
，
即的取值范围为，
（2）解：由题意，，
，
的根为，
故：①当时，，故原不等式的解为；
②当时，，故原不等式无实数解；
③当时，，故原不等式的解为；
综上所述：
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）根据题意，利用指数幂与对数函数的运算法则，化简得到，进而求得实数a的取值范围，得到答案；
（2）根据题意，把不等式化简为，分，和，三种情况讨论，分别求得不等式的解集，即可得到答案.
（1）由题意，，
，
即的取值范围为，
（2）由题意，，
，
的根为，
故：①当时，，故原不等式的解为；
②当时，，故原不等式无实数解；
③当时，，故原不等式的解为；
综上所述：
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
17．（2024高一上·四川期末）已知指数函数，且的图象经过点.
（1）求函数的解析式；
（2）若函数是奇函数，
①求实数的值；
②判断并用定义法证明函数的单调性.
【答案】（1）解：由题知，，且过点，
所以，
，
；
（2）解：①由题知，是奇函数，
因为，所以恒成立，
所以的定义域为，，
检验：当时，的定义域为，
故是奇函数，满足题意，；
②函数在上单调递增，证明如下：
在上单调递增.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；指数函数的概念与表示
【解析】【分析】（1）将点代入函数的解析式，求得a的值，即可得到函数的解析式，得到答案；
（2）根据题意，利用奇函数的性质，结合，求得，然后利用单调性定义与判定方法，证得函数的单调性，得到答案.
（1）由题知，，且过点，
所以，
，
；
（2）①由题知，是奇函数，
因为，所以恒成立，
所以的定义域为，，
检验：当时，的定义域为，
故是奇函数，满足题意，；
②函数在上单调递增，证明如下：
在上单调递增.
18．（2024高一上·四川期末）猴痘是由猴痘病毒所致的一种人畜共患病，既往猴痘疫情主要在非洲地区流行，2022年后逐渐扩散至全球大多数国家和地区，2022年1月至2024年7月31日，全球已经有121个国家报告了猴痘病例103048例，其中死亡229例.2024年8月，世卫组织宣布猴痘疫情构成“国际关注的突发公共卫生事件”.猴痘病毒经过变异之后传染性极强，假设猴痘病毒在特定环境下具有下表传染规律：每隔单位时间数进行一次记录，用表示经过的单位时间数，用表示猴痘感染人数.
2 4 6 8
8 64 511 4097
（1）请从与且两个函数模型中选择更适合猴痘病毒感染规律的函数模型，并求出该函数模型的解析式；
（2）求至少经过多少个单位时间数该病毒的感染人数会超过10万人.（参考数据：）
【答案】（1）解：若选，
将和代入得，解得，
得，代入得，这与题干时差异很大，
所以该函数模型不适合：
若选，
将和代入得，
解得，得，
代入得得，与表中数据接近，
适合作为拟合猴痘病毒感染规律的函数模型；
（2）解：设至少需要个单位时间数，则，
两边同时取底数为10的对数得，
即，
，
又，
，
的最小值为12，
即至少经过12个单位时间数该病毒的感染人数会超过10万人.
【知识点】指数式与对数式的互化；“指数爆炸”模型
【解析】【分析】（1）根据表格中的数据，分别代入函数模型，进行验证，即可得出结果；
（2）设至少需要个单位时间数，则，两边同时取对数，化简得到，结合，求得x的值，即可得到答案.
（1）若选，
将和代入得，解得，
得，代入得，这与题干时差异很大，
所以该函数模型不适合：
若选，
将和代入得，
解得，得，
代入得得，与表中数据接近，
适合作为拟合猴痘病毒感染规律的函数模型；
（2）设至少需要个单位时间数，则，
两边同时取底数为10的对数得，
即，
，
又，
，
的最小值为12，
即至少经过12个单位时间数该病毒的感染人数会超过10万人.
19．（2024高一上·四川期末）已知函数.
（1）判断的奇偶性并证明；
（2）若函数，请判断是否存在实数使得有两个零点，其中一个在之间，另一个在之间，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由；
（3）若函数，当时，记的最小值为，求.
【答案】（1）解：为偶函数，证明如下：
由题可得的定义域为并且定义域关于原点对称，
，
，
是定义在上的偶函数：
（2），
，
令，
则可转化为，
当时，，
当时，，
有两个零点，
一个在之间，另一个在之间，
可转化为有两个零点，
其中一个在之间，另一个在之间，则有：
无解
不存在实数使得有两个零点，其中一个在之间，另一个在之间；
（3）解：，
，
令，
，
，
则，
的最小值即为的最小值，
①当时，，在上单调递减，
此时最小值为，
②当时，为二次函数，
当时，即，
当时，即，
当时，即，
综上所述，
【知识点】函数的奇偶性；函数零点存在定理；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据函数的解析式，求得函数的定义域为，再化简得到，结合，即可得到为偶函数；
（2）将代入，得到，令，将转化为函数，再将问题转化为二次函数根的分布，列出不等式组
，结合不等式组的解集，即可得到答案；
（3）将代入得，令，利用换元思想将转化为函数，结合动轴定区间问题，结合函数的单调性进行分类讨论，即可求解.
（1）为偶函数，证明如下：
由题可得的定义域为并且定义域关于原点对称，
，
，
是定义在上的偶函数：
（2），
，
令，
则可转化为，
当时，，
当时，，
有两个零点，
一个在之间，另一个在之间，
可转化为有两个零点，
其中一个在之间，另一个在之间，则有：
无解
不存在实数使得有两个零点，其中一个在之间，另一个在之间；
（3），
，
令，
，
，
则，
的最小值即为的最小值，
①当时，，在上单调递减，
此时最小值为，
②当时，为二次函数，
当时，即，
当时，即，
当时，即，
综上所述，
1 / 1四川省川南川东北地区名校2024-2025学年高一上学期12月期末联考数学试题
1．（2024高一上·四川期末）已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高一上·四川期末）已知，则下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高一上·四川期末）已知命题，则是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高一上·四川期末）已知点是角终边上除原点外任意一点，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高一上·四川期末）下列图象可能为幂函数图象的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024高一上·四川期末）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024高一上·四川期末）某市交通管理部门通过大量数据统计发现，某路段的车流量（单位：千辆/小时）与车速（单位：公里/小时）近似满足，为保障最大车流量，应建议车速为（ ）
A．50 B．60 C．70 D．80
8．（2024高一上·四川期末）已知函数有两个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高一上·四川期末）已知函数，且的图象经过定点A，且点A在角的终边上，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024高一上·四川期末）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的定义域为 B．在定义域内单调递减
C．的最大值为 D．的图象关于直线对称
11．（2024高一上·四川期末）下列说法正确的是（ ）
A．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为
B．设，则是的充要条件
C．已知，则对任意实数是的充要条件
D．如果对于任意实数表示不超过的最大整数，例如，，则是的必要不充分条件
12．（2024高一上·四川期末）在边长为的正三角形中裁剪一个面积最大的扇形，则这个扇形的面积为 .
13．（2024高一上·四川期末）若正实数满足，则的最小值为 .
14．（2024高一上·四川期末）下列命题：
①函数的单调递增区间为；
②将函数的图象先关于轴对称，再将其图象向左平移个单位后的函数解析式为；
③将函数的图象先关于对称，再将其图象关于轴对称后的函数解析式为；
④若函数的值域为，则实数的取值范围为.
其中正确的序号为 .
15．（2024高一上·四川期末）已知集合.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
16．（2024高一上·四川期末）已知实数满足.
（1）求实数的取值范围；
（2）解关于的不等式.
17．（2024高一上·四川期末）已知指数函数，且的图象经过点.
（1）求函数的解析式；
（2）若函数是奇函数，
①求实数的值；
②判断并用定义法证明函数的单调性.
18．（2024高一上·四川期末）猴痘是由猴痘病毒所致的一种人畜共患病，既往猴痘疫情主要在非洲地区流行，2022年后逐渐扩散至全球大多数国家和地区，2022年1月至2024年7月31日，全球已经有121个国家报告了猴痘病例103048例，其中死亡229例.2024年8月，世卫组织宣布猴痘疫情构成“国际关注的突发公共卫生事件”.猴痘病毒经过变异之后传染性极强，假设猴痘病毒在特定环境下具有下表传染规律：每隔单位时间数进行一次记录，用表示经过的单位时间数，用表示猴痘感染人数.
2 4 6 8
8 64 511 4097
（1）请从与且两个函数模型中选择更适合猴痘病毒感染规律的函数模型，并求出该函数模型的解析式；
（2）求至少经过多少个单位时间数该病毒的感染人数会超过10万人.（参考数据：）
19．（2024高一上·四川期末）已知函数.
（1）判断的奇偶性并证明；
（2）若函数，请判断是否存在实数使得有两个零点，其中一个在之间，另一个在之间，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由；
（3）若函数，当时，记的最小值为，求.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为集合，又集合，
所以.
故选：C
【分析】先求得集合，结合集合交集的概念与运算，即可求解.
2．【答案】A
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：对于A中，因为，则，可得，即，所以A错；
对于B中，因为，则，所以B对；
对于C中，因为，由不等式的性质可得，所以C对；
对于D中，因为，则，所以，，所以D对.
故选：A.
【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，可判断ABC选项，利用作差法，可判断D选项，即可得到答案.
3．【答案】B
【知识点】全称量词命题
【解析】【解答】解：因为是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
所以命题的否定为：.
故选：B.
【分析】本题考查全称量词命题与存在量词命题的关系，根据全称量词命题与存在量词命题互为否定关系，准确改写，即可得到答案.
4．【答案】C
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由三角函数的概念可知：.
故选：C
【分析】本题考查了三角函数的定义，以及常见角的三角函数的值，根据三角函数的定义，得到，结合常见角的三角函数值，即可的对答案.
5．【答案】D
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：幂函数（为常数）的性质有：
若自变量有意义，则必过原点，根据这条性质，排除A、B、C，
故D正确；
故选：D.
【分析】本题考查了幂函数的图象与性质，根据幂函数在有意义，其图象必过原点，结合选项，逐项分析判断，即可求解.
6．【答案】A
【知识点】函数的定义域及其求法；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：函数 有意义，则满足，
即，解得或，
所以的定义域为.
故选：A.
【分析】本题主要考查了函数定义域的求解，根函数的解析式有意义，列出相应的不等式组，求解不等式组的解集，即可得出函数的定义域，得到答案。
7．【答案】B
【知识点】函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：由题意知，则，
，
当且仅当即时，等号成立；
所以当汽车的平均速度为公里/小时时，车流量最大.
故选：B.
【分析】根据题意，化简函数，利用基本不等式，求得函数的最大值，结合基本不等式等号成立的条件，即可得到答案.
8．【答案】C
【知识点】函数与方程的综合运用；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：当时，在上单调递减，函数值的集合为，
当时，在是单调递增，函数值的集合为，
在上单调递减，函数值的集合为，而，
由函数有两个零点，得或，解得或，
所以实数的取值范围为.
故选：C
【分析】本题考查了函数与方程的应用，根据分段函数的解析式，分别求得函数的单调区间及对应的函数值集合，结合函数零点个数，列出相应不等式组，求得a的取值范围，即可得到答案.
9．【答案】B,D
【知识点】对数函数的单调性与特殊点；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：因，令或，
则所过定点为或，
则或.
故选：BD
【分析】本题考查了对数函数的性质，以及三角函数的定义，根据对数函数的图象与性质，求得函数所过定点为或，结合三角函数的定义，即可求解.
10．【答案】A,C,D
【知识点】对数函数的图象与性质；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由解得，所以的定义域是，所以A选项正确.
，
函数在上单调递增，
函数的开口向下，对称轴为，
所以关于直线对称，D选项正确.
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，B选项错误.
当时，取得最大值为，所以C选项正确.
故选：ACD.
【分析】本题考查了对数函数的定义域、单调性、最值、对称性等性质，根据函数的解析式有意义，求得函数的定义域，可判定A；根据复合函数的性质，可判定B、D；根据函数的单调性，求得函数的最大值，可判定C，即可得到答案.
11．【答案】B,C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；奇函数与偶函数的性质；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【解答】解：对于A：因为，是的充分不必要条件，所以，故错误；
对于： 因为在为增函数，所以，故B正确；
对于C：因为，恒成立，所以定义域为，
所以为奇函数，显然为增函数，，故C正确；
对于D：若，则有所以所以，
反之，若，比如，则有，，所以不是必要条件，
所以是的充分不必要条件，故错误.
故选：.
【分析】根据充分不必要条件，求得实数的取值范围，可判定A错误根据函数为增函数，求得，可得判定B正确；由函数的奇偶性和单调性，得到，可判定C正确；根据取整函数的定义，结合举反例，可得判定D错误，即可得到答案.
12．【答案】
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：由题意，以正三角形的一个顶点为扇形的圆心，以正三角形的高为半径时所得到的扇形的面积最大，
因为边长为的正三角形的高为
则这个扇形的面积
故答案为：.
【分析】本题主要考查了扇形的面积公式及其应用，根据题意，得到正三角形的高为半径时所得到的扇形的面积最大，求得正三角形的高，得到扇形的所在圆的半径，结合扇形的面积公式，即可求解.
13．【答案】1
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为正实数满足，
所以，
当且仅当即时等号成立.
故答案为：1.
【分析】本题主要考查了基本不等式的求最值，根据题意，结合常数代换，化简得到，结合基本不等式，即可求解.
14．【答案】②③④
【知识点】函数的图象与图象变化；互为反函数的两个函数之间的关系
【解析】【解答】解：对于①，对于函数，有，解得或，
即函数的定义域为，
因为内层函数在上单调递减，在上单调递增，
外层函数为增函数，
由复合函数法可知，函数的单调递增区间为，①错；
对于②，将函数的图象先关于轴对称，可得到函数的图象，
再将所得图象向左平移个单位后的函数解析式为，②对；
对于③，将函数的图象先关于对称，可得到函数的图象，
再将所得图象关于轴对称后的函数解析式为，③对；
对于④，若函数的值域为，则，解得或，
因此，实数的取值范围为，④对.
故答案为：②③④.
【分析】利用复合函数法单调性的判定方法，可判断①错误；利用函数图象对称变换和平移变换，得到变换后的函数的解析式为，可判断②正确；利用反函数的概念，以及函数图象变换，可判断③正确；由对数型函数的的值域为R，结合二次函数的性质，可判断④正确，即可得到答案.
15．【答案】（1）解：由题意知：，
当时，，
（2）解：因为， 可得，
当时，，即，
当时，，
综上所述，实数的取值范围为.
【知识点】集合间关系的判断；并集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）先由一元二次不等式的解法，求得，再由时，得到，结合集合并集的概念与运算，即可求解；
（2）由，转化为，分和，两种情况讨论，列出相应的不等式组，即可求解.
（1）已知得，，
当时，，
（2），
，
当时，，即，
当时，，
综上所述，实数的取值范围为.
16．【答案】（1）解：由题意，，
，
即的取值范围为，
（2）解：由题意，，
，
的根为，
故：①当时，，故原不等式的解为；
②当时，，故原不等式无实数解；
③当时，，故原不等式的解为；
综上所述：
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）根据题意，利用指数幂与对数函数的运算法则，化简得到，进而求得实数a的取值范围，得到答案；
（2）根据题意，把不等式化简为，分，和，三种情况讨论，分别求得不等式的解集，即可得到答案.
（1）由题意，，
，
即的取值范围为，
（2）由题意，，
，
的根为，
故：①当时，，故原不等式的解为；
②当时，，故原不等式无实数解；
③当时，，故原不等式的解为；
综上所述：
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
17．【答案】（1）解：由题知，，且过点，
所以，
，
；
（2）解：①由题知，是奇函数，
因为，所以恒成立，
所以的定义域为，，
检验：当时，的定义域为，
故是奇函数，满足题意，；
②函数在上单调递增，证明如下：
在上单调递增.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；指数函数的概念与表示
【解析】【分析】（1）将点代入函数的解析式，求得a的值，即可得到函数的解析式，得到答案；
（2）根据题意，利用奇函数的性质，结合，求得，然后利用单调性定义与判定方法，证得函数的单调性，得到答案.
（1）由题知，，且过点，
所以，
，
；
（2）①由题知，是奇函数，
因为，所以恒成立，
所以的定义域为，，
检验：当时，的定义域为，
故是奇函数，满足题意，；
②函数在上单调递增，证明如下：
在上单调递增.
18．【答案】（1）解：若选，
将和代入得，解得，
得，代入得，这与题干时差异很大，
所以该函数模型不适合：
若选，
将和代入得，
解得，得，
代入得得，与表中数据接近，
适合作为拟合猴痘病毒感染规律的函数模型；
（2）解：设至少需要个单位时间数，则，
两边同时取底数为10的对数得，
即，
，
又，
，
的最小值为12，
即至少经过12个单位时间数该病毒的感染人数会超过10万人.
【知识点】指数式与对数式的互化；“指数爆炸”模型
【解析】【分析】（1）根据表格中的数据，分别代入函数模型，进行验证，即可得出结果；
（2）设至少需要个单位时间数，则，两边同时取对数，化简得到，结合，求得x的值，即可得到答案.
（1）若选，
将和代入得，解得，
得，代入得，这与题干时差异很大，
所以该函数模型不适合：
若选，
将和代入得，
解得，得，
代入得得，与表中数据接近，
适合作为拟合猴痘病毒感染规律的函数模型；
（2）设至少需要个单位时间数，则，
两边同时取底数为10的对数得，
即，
，
又，
，
的最小值为12，
即至少经过12个单位时间数该病毒的感染人数会超过10万人.
19．【答案】（1）解：为偶函数，证明如下：
由题可得的定义域为并且定义域关于原点对称，
，
，
是定义在上的偶函数：
（2），
，
令，
则可转化为，
当时，，
当时，，
有两个零点，
一个在之间，另一个在之间，
可转化为有两个零点，
其中一个在之间，另一个在之间，则有：
无解
不存在实数使得有两个零点，其中一个在之间，另一个在之间；
（3）解：，
，
令，
，
，
则，
的最小值即为的最小值，
①当时，，在上单调递减，
此时最小值为，
②当时，为二次函数，
当时，即，
当时，即，
当时，即，
综上所述，
【知识点】函数的奇偶性；函数零点存在定理；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据函数的解析式，求得函数的定义域为，再化简得到，结合，即可得到为偶函数；
（2）将代入，得到，令，将转化为函数，再将问题转化为二次函数根的分布，列出不等式组
，结合不等式组的解集，即可得到答案；
（3）将代入得，令，利用换元思想将转化为函数，结合动轴定区间问题，结合函数的单调性进行分类讨论，即可求解.
（1）为偶函数，证明如下：
由题可得的定义域为并且定义域关于原点对称，
，
，
是定义在上的偶函数：
（2），
，
令，
则可转化为，
当时，，
当时，，
有两个零点，
一个在之间，另一个在之间，
可转化为有两个零点，
其中一个在之间，另一个在之间，则有：
无解
不存在实数使得有两个零点，其中一个在之间，另一个在之间；
（3），
，
令，
，
，
则，
的最小值即为的最小值，
①当时，，在上单调递减，
此时最小值为，
②当时，为二次函数，
当时，即，
当时，即，
当时，即，
综上所述，
1 / 1
