人教版七年级数学下册第8章实数单元测试卷（含解析）

第8章 实数 （单元测试卷）
一、选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．在实数：，，，中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列说法错误的是（ ）
A．3是9的一个平方根 B．的立方根是
C．的平方根是 D．1的平方根是1
3．若，则（　　）
A．0.101 B．1.01 C．101 D．1010
4．若取，计算的结果是（ ）
A． B．181.7 C． D．
5．已知，则的估值范围正确的是（ ）
A．； B．； C．； D．
6．已知是1的立方根，则的平方根为（ ）
A． B． C． D．
7．如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法：
①当输出值y为3时，输入值x为3或9；
②当输入值x为16时，输出值y为；
③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入后能够输出y．
④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值．其中错误的是（ ）
A．①② B．②④ C．①④ D．①③
8．若，，且，则（ ）
A．1或7 B．或 C．或7 D．1或
9．十六世纪，意大利数学家塔尔塔利亚把大正方形分割成个小正方形．若图中所给的三个小正方形的面积分别为，和，则这个大正方形的边长为（ ）
A． B． C． D．
10．设表示最接近x的整数（，为整数），则（ ）
A．132 B．146 C．164 D．176
二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）
11．计算： ．
12．27的立方根是 ，9的平方根是 ．
13．若，则 ．
14．规定：用表示大于的最小整数，例如等；用［m]表示不大于的最大整数，例如，
（1） ； ；
（2）如果整数满足关系式：，则 ．
15．若一个正数的平方根是和，则的值为 ．
16．数轴是一个非常重要的数学工具，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．如图所示，面积为5的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，若点在数轴上（点在点A左侧），且，则点所表示的数为 ．
17．若a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简 ．
18．小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表.
下面有四个推断：
①
②一定有个整数的算术平方根在之间
③对于小于的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差小于
④比大
所有合理推断的序号是 .
三、解答题（10小题，共64分）
19．求下列各式中的值：
(1)； (2)．
20．计算：．
21．已知的立方根是1，算术平方根是3，的整数部分是c．
(1)求a，b，c的值．
(2)求的平方根．
22．课堂上，老师出了一道题：比较与的大小．
小明的解法如下：
解：．
．．
．．
我们把这种比较大小的方法称为作差法．
请仿照上述方法，比较下列各组数的大小：
(1)和；
(2)和；
(3)和．
23．阅读材料：求的值．
解：设，将等式①的两边同乘以2，
得，
用得，，
即．
即．
请仿照此法计算：
(1)请直接填写的值为 ；
(2)求值；
(3)求的值．
24．（1）下面是小李探索的近似值的过程，请补充完整：
我们知道面积是3的正方形的边长是，且． 设，可画出如下示意图．由面积公式，可得． 当足够小时，略去，得方程 ，解得 ，即 ．
（2）仿照上述方法，若设，求的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出的近似值）
25．根据下表回答下列问题：
17 18
(1)的算术平方根是 ，的平方根是 ；
(2) ；（保留一位小数）
(3) ， ；
(4)若介于17．6与17．7之间，则满足条件的整数n有 个；
(5)若这个数的整数部分为m，求的值．
26．新定义：若无理数的被开方数(T为正整数)满足 (其中n为正整数)，则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题：
(1)的“青一区间”为 ；的“青一区间”为 ；
(2)若无理数(a为正整数)的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值．
(3)实数x，y，满足关系式：，求的“青一区间”．
答案
一、选择题
1．B
【分析】本题主要考查无理数的定义，熟练掌握无理数的定义是解题的关键．无理数即为无限不循环小数，即可得到答案．
【详解】解：无理数即为无限不循环小数，
，是无理数，
故选B．
2．D
【分析】本题考查平方根与立方根，解题的关键是熟练正确理解平方根与立方根的定义，本题属于基础题型．根据平方根与立方根的定义即可求出答案．
【详解】解：A、3是9的平方根，故A不符合题意．
B、的立方根是，故B不符合题意．
C、，4的平方根是，故C不符合题意．
D、1的平方根是，故D符合题意．
故选：D．
3．B
【分析】本题主要考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键．将1.0201变形为的形式，再利用算术平方根的意义解答即可．
【详解】解：.
故选：B．
4．B
【分析】本题考查了实数的运算，先把的系数相加减，再把代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴
．
故选B．
5．B
【分析】本题主要考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解题的关键．根据无理数的估算进行解答即可．
【详解】解：，
故，
故选B．
6．B
【分析】本题主要考查了立方根和平方根，由b是1的立方根得出，进而，结合已知条件即可得出答案．
【详解】解：∵b是1的立方根，
∴，
∴，
∵
∴的平方根为，
故选：B．
7．D
【分析】本题主要考查了无理数的定义，算术平方根，根据运算规则即可求解．
【详解】解：①x的值不唯一．或或81等，故①说法错误；
②输入值x为16时，，即，故②说法正确；
③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y，如输入，算术平方根式是，输出的y值为，故③说法错误；
④当时，始终输不出y值．因为1的算术平方根是1，一定是有理数，故④原说法正确．
其中错误的是①③．
故选：D．
8．B
【分析】本题主要考查绝对值求值以及平方根，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键．求出的值，根据得出满足条件的的值，从而计算出答案．
【详解】解：，，
，
当时，不符合题意，
当，时，；
当，时，；
故选B．
9．C
【分析】本题考查算术平方根的应用．利用算术平方根的定义分别求得最中间的小正方形的边长，面积为的正方形的左下角小正方形的边长，继而求得其左边两个小正方形的边长之和，大正方形中左下角和右下角两个正方形的边长，继而求得答案．结合已知条件求得最中间的小正方形的边长，面积为的正方形的左下角小正方形的边长是解题的关键．
【详解】解：∵图中所给的三个小正方形的面积分别为，和，
∴可得三个正方形的边长分别为，，，
∴最中间的小正方形的边长为，
∴面积为的正方形左下角小正方形的边长为，
∴面积为的正方形的左边两个小正方形的边长之和为，
∴大正方形中左下角的正方形的边长为，
∴大正方形中右下角的正方形的边长为，
∴大正方形的边长为，
故选：C．
10．D
【分析】先计算出，，，，，即可得出，，中有2个1，4个2，6个3，8个4，10个5，11个6，从而可得出答案．
【详解】解：，即，，则有2个1；
，即，，，都是2，则有4个2；
，同理，可得出有6个3；
，同理，可得出有8个4；
，同理，可得出有10个5；
则剩余11个数全为6．
故
．
故选：D．
二、填空题
11．4
【分析】本题考查了实数的混合运算，先根据算术平方根和立方根的意义化简，再算加减即可．
【详解】解：．
故答案为：4．
12． 3
【分析】本题考查了立方根与平方根的求解，正确计算是解答本题的关键．
【详解】解：27的立方根是3，9的平方根是，
故答案为：3，．
13．7
【分析】本题考查了非负数的性质，以及求代数式的值，先根据非负数的性质求出x和y的值，然后代入所给代数式计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：7．
14． 3 3
【分析】本题考查了实数的新运算问题，正确理解定义是解题的关键．
（1）根据定义的内涵计算即可．
（2）根据定义，将等式，转化为方程，求解即可．
【详解】（1）；；
故答案为：3，．
（2）根据定义， ，转化为方程，
解得，
故答案为：3．
15．
【分析】此题主要考查了平方根的定义和立方根的定义，正确把握定义是解题关键；
根据平方根的定义得出，进而求出a的值，即可得的值．
【详解】∵和是的平方根，
故和互为反数，
∴与互为相反数，
即，
解得
的值为，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了实数与数轴，理解数轴上表示的点的方法是解答本题的关键．
根据正方形的面积为5得到，再结合，点表示的数为1，点E在点A的左侧，然后确定点E表示的数即可．
【详解】解：∵正方形的面积为5，
∴，
∵，
∴，
∵点A表示的数为1，若点在数轴上（点在点A左侧），
∴点E所表示的数为：．
故答案为：．
17．
【分析】本题考查了根据数轴判断式子的正负 ，算术平方根的非负性，化简绝对值．熟练掌握根据数轴判断式子的正负 ，算术平方根的非负性，化简绝对值是解题的关键．
由数轴可知，，则，根据，计算求解即可．
【详解】解：由数轴可知，，
∴，
∴，
故答案为：．
18．①②③④
【分析】此题考查了乘方运算，算术平方根，平方差公式；根据表格中的信息可知和其对应的算术平方根的值，然后依次判断各题即可．
【详解】解：根据表格中的信息知：
，故①正确；
根据表格中的信息知：，
∴正整数或或，
∴一定有个整数的算术平方根在之间，故②正确；
∵由题意设且，
由，，
∴对于小于的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差小于，故③正确；
∵，，，故④正确；
∴合理推断的序号是①②③④．
故答案为：①②③④．
三、解答题
19．（1）解：原方程整理得：，
则；
（2）由原方程可得，
解得：．
20．解：
21．（1）解：的立方根是1，
，
；
的算术平方根是3，
，
，
；
，
，
是的整数部分，
；
（2）解：，，，
，
，
的平方根是．
22．解：（1）．
（2）．
．
（3）．
，
．
23．（1）解： ；
故答案为：15；
（2）解：设①，把等式①两边同时乘以5，得
②，
由，得：，
∴，
∴；
（3）解：设①，
把等式①乘以10，得：
②，
把，得：，
∴，
∴
24．解：（1）当足够小时，略去，得方程，
解得：，即；
故答案为：，1，1；
（2）如图：
∴，
由图可知：，
当足够小时，略去，得方程，
∴，
∴．
25．（1）解：由表格得
，
，
的算术平方根是，
，
的平方根为，
故答案：，．
（2）解：，
，，
，
故答案：．
（3）解：开二次方时，被开方数的小数点每向右或左移动两位时，结果小数点每向右或左移动一位；，
，
，
；
故答案：，．
（4）解：介于17．6与17．7之间，
，
，
可取、、、，
整数n有个，
故答案：．
（5）解：，，
的整数部分是，
，
．
26．（1）解：∵，
∴的“青一区间”为；
∵，
∴的“青一区间”为；
故答案为：，；
（2）∵无理数“青一区间”为，
∴，
∴，即，
∵无理数的“青一区间”为，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵为正整数，
∴或，
当时，，
当时，，
∴的值为2或．
（3）∵
∴，
即，
∴，，
∴，
∵，
∴的“青一区间”为．