吉林省长春市慧泽高中2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题
1．（2024高一上·长春期末）设集合，则集合的元素个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2024高一上·长春期末）函数的图象恒过的定点是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高一上·长春期末）函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高一上·长春期末）已知，则的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高一上·长春期末）（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高一上·长春期末）函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024高一上·长春期末）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高一上·长春期末）把一张半径为2的圆形纸片按如图所示的方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则劣弧的长是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高一上·长春期末）将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个奇函数的图象，则的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024高一上·长春期末）下列说法正确的有（ ）
A．若角的终边过点，则
B．“”是“”的必要不充分条件
C．若命题“”是假命题，则的取值范围为
D．若，且，则的最小值为9
11．（2024高一上·长春期末）已知函数，若方程有4个不同的实数根，则下列选项正确的为（ ）
A．函数的零点的个数为2 B．函数在上单调递增
C．函数无最值 D．实数的取值范围为
12．（2024高一上·长春期末）已知，则 ．
13．（2024高一上·长春期末）已知且，若，则 ．
14．（2024高一上·长春期末）设函数，的图象在区间内恰有一条对称轴，且的最小正周期大于，则的取值范围是 ．
15．（2024高一上·长春期末）化简下列各式．
（1）；
（2）．
16．（2024高一上·长春期末）已知函数是上的奇函数．
（1）求实数的值；
（2）判断函数在上的单调性（不需要过程，只需写出结果）；
（3）已知不等式，求实数的取值范围．
17．（2024高一上·长春期末）已知函数的图象如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的单调递减区间；
（3）求函数在区间上的值域．
18．（2024高一上·长春期末）已知函数．
（1）求函数的解析式和最小正周期；
（2）若，求的值；
（3）若对于任意均有恒成立，求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】集合中元素的个数问题；交集及其运算
【解析】【解答】解：由，
分解因式可得，解得，
则，所以，故集合的元素个数为.
故答案为：C.
【分析】根据一元二次不等式求解方法，可得集合，再利用交集的运算法则，可得集合的元素个数.
2．【答案】D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：当时，，
所以的图象恒过定点.
故答案为：D.
【分析】令结合函数的解析式，从而得出的值，进而得出函数的图象恒过的定点坐标.
3．【答案】B
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】解：注意到函数在上单调递增，
则在上单调递增，在上有唯一零点.
又因为，.
则函数的零点所在的区间为.
故答案为：B.
【分析】先判断函数单调性，再由零点存在性定理，从而得出函数的零点所在的区间.
4．【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；利用对数函数的单调性比较大小；三角函数值的符号
【解析】【解答】解：因为，
又因为，所以，
因为，所以，，
所以.
故答案为：A.
【分析】根据对数的换底公式和对数函数的单调性，从而得出实数a的取值范围，根据弧度所在象限得出b的取值范围，再由指数幂的运算法则得出c的值，从而比较出a，b，c的大小.
5．【答案】A
【知识点】两角和与差的正弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：.
故答案为：A.
【分析】根据给定条件和诱导公式以及两角差的正弦公式，从而计算得出结果.
6．【答案】B
【知识点】函数的图象；指数函数的图象与性质
【解析】【解答】因为的定义域为，且，
所以是奇函数，图像关于原点对称，由此排除选项C和选项D；
又因为，则排除选项A.
故答案为：B.
【分析】根据奇函数的图象的对称性，则判断出选项C和选项D；再利用特殊点的函数值判断出选项A，进而找出函数的部分图象.
7．【答案】C
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：，
，，
，，
，，
，，
，，
则
.
故答案为：C．
【分析】利用同角三角函数的平方关系和题中角度的取值范围，求出和的值，再利用整体思想，将转化为，用两角和的余弦公式，得出的值.
8．【答案】D
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：过点作于，
由折叠性可得，，
所以，所以，所以，
所以劣弧的长是.
故答案为：.
【分析】过点作于，由已知条件可得的值，再根据弧长公式，计算得出劣弧的长.
9．【答案】A,C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：由题意将函数的图象沿轴向左平移个单位后，
所得函数解析式为，
则它是奇函数，所以，即，则只有选项A和选项C满足.
故答案为：AC．
【分析】由已知条件和正弦型函数的图象变换得出函数解析式，再结合正弦函数的奇偶性进行分析，从而赋值得出满足要求的的可能取值．
10．【答案】A,C,D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；基本不等式在最值问题中的应用；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：对于A，由题意可得：，解得，故A正确；
对于B，若，则，当不能推出，
故“”是“”的充分不必要条件，故B错误；
对于C，若命题是假命题，则命题：“，”为真命题，
所以当时，恒成立，
当时有
所以，故C正确；
对于D，若，且，
则，
当且仅当，即时等号成立，故的最小值为9，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据三角函数的定义，从而得出角的正弦值，则判断出选项A；根据充要条件的判断方法，则判断出选项B；利用命题的否定，即可判断出选项C；应用基本不等式求最值的方法，则得出的最小值，从而判断出选项D，进而找说法正确的选项.
11．【答案】A,C
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的最大（小）值；一元二次方程的根与系数的关系；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为函数，可得函数图象如图：
由图知函数有2个零点，故选项A正确；
因为函数没有最值，故选项C正确；
因为函数在上单调递减，在上单调递增，故选项B错误；
由于方程有4个不同的实数根，
令则有4个不同的实数根，
因为恒成立，设两个不等的实根为，
由韦达定理知：，
则异号，由图可知：，
所以，解得，故选项D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据分段函数图象和函数零点的定义、单调函数的定义和函数最值求解方法，则可判断选项A、选项B和选项C；再结合分段函数的图象性质，分析得到两个不等的实根，则根据二次方程根的分布求出参数的取值范围.
12．【答案】
【知识点】同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：由，则.
故答案为：.
【分析】由和代入法，则可得出的值.
13．【答案】
【知识点】有理数指数幂的运算性质；指数式与对数式的互化
【解析】【解答】解：由且，，
得，则，
故.
故答案为：.
【分析】根据对数式和指数式的互化，再结合指数幂的运算法则，即可得出的值.
14．【答案】
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；辅助角公式；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：因为，，
令，则，，
当时，，则，解得，
此时，可验证此时恰有一条对称轴在内，符合题意，
当时，，则，解得，
此时，不符合题意，
当取其它整数时，不符合题意，所以.
故答案为：.
【分析】由题意可得，利用正弦函数的性质可得正弦型函数的对称轴为，，再结合已知条件进行分类讨论，从而得出实数的取值范围.
15．【答案】（1）解：原式.
（2）解：原式
.
【知识点】二倍角的余弦公式；运用诱导公式化简求值；辅助角公式
【解析】【分析】（1）由诱导公式化简求值.
（2）由同角三角函数基本关系式、二倍角的余弦公式、辅助角公式，从而化简求值.
（1）原式
（2）原式
16．【答案】（1）解：由函数是R上的奇函数，
得，解得，
此时，其定义域为R，且，
则是奇函数，所以.
（2）解：由（1）知，，函数在R上单调递增，
则函数在R上单调递减，所以函数在R上单调递减.
（3）解：由已知条件和（2），得函数是R上单调递减的奇函数，
则不等式，
则，即，解得或，
所以实数的取值范围是或.
【知识点】函数单调性的判断与证明；奇偶性与单调性的综合；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【分析】（1）利用奇函数的性质，从而求出的值，再由奇函数的定义验证得出实数a的值.
（2）借助指数函数的单调性的定义，从而判断出函数的单调性.
（3）利用函数的单调性和奇偶性，从而解不等式得出实数t的取值范围.
（1）由函数是R上的奇函数，得，解得，
此时，其定义域为R，且，
则是奇函数，所以.
（2）由（1）知，，函数在R上单调递增，
则函数在R上单调递减，所以函数在R上单调递减.
（3）由已知及（2），得函数是R上单调递减的奇函数，
不等式，
则，即，解得或，
所以实数的取值范围是或.
17．【答案】（1）解：由图象知，，，
所以，解得，
所以，
又因为，
所以，
解得，
由，可知，
所以.
（2）解：令，，
解得，
所以函数的单调递减区间为.
（3）解：当时，，
所以，
所以，
即函数在区间上的值域为.
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）根据函数的部分图象求出函数的振幅、周期，从而得出的值，再由特殊点代入法求出的值.
（2）根据正弦型函数的单调性，从而得出函数的单调递减区间.
（3）由自变量的取值范围和不等式的基本性质，从而求出的取值范围，再根据换元法和正弦函数的图象求值域的方法，从而得出函数在区间上的值域.
（1）由图象知，，，
所以，解得，
所以，
又，所以，
解得，由，可知，
所以
（2）令，，
解得，
所以函数的单调递减区间为
（3）当时，，
所以，
所以，
即函数在区间上的值域为.
18．【答案】（1）解：由题意可得：
，
可得函数的最小正周期.
（2）解：因为，
所以，
因为，
所以，
所以，则
.
（3）解：由（1）知，函数，
可得asin
因为对于任意均有恒成立，
即对于任意均有恒成立，
即对于任意均有恒成立，
又因为，
因为，可得，
又因为单调递增且大于0，
可得在上单调递减，
可得，则，
所以的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；两角和与差的余弦公式；含三角函数的复合函数的单调性
【解析】【分析】（1）利用两角和与差的余弦公式和辅助角公式，从而化简正弦型函数的解析式，再利用正弦型函数的最小正周期公式，从而得出函数的最小正周期.
（2）根据得到，利用同角三角函数基本关系与两角差的余弦公式，计算得出的值.
（3）将对于任意均有恒成立转化为于任意均有恒成立，结合函数单调性，即可得到实数的取值范围.
（1）由题意可得：
可得函数的最小正周期.
（2）因为，，
所以.
因为，所以，
所以，
所以
.
（3）由（1）知，函数，
可得asin，
因为对于任意均有恒成立，
即对于任意均有恒成立，
即对于任意均有恒成立，
又因为，
因为，可得，
又因为单调递增且大于0，可得在上单调递减，
可得，则，
所以的取值范围为.
1 / 1吉林省长春市慧泽高中2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题
1．（2024高一上·长春期末）设集合，则集合的元素个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】集合中元素的个数问题；交集及其运算
【解析】【解答】解：由，
分解因式可得，解得，
则，所以，故集合的元素个数为.
故答案为：C.
【分析】根据一元二次不等式求解方法，可得集合，再利用交集的运算法则，可得集合的元素个数.
2．（2024高一上·长春期末）函数的图象恒过的定点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：当时，，
所以的图象恒过定点.
故答案为：D.
【分析】令结合函数的解析式，从而得出的值，进而得出函数的图象恒过的定点坐标.
3．（2024高一上·长春期末）函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】解：注意到函数在上单调递增，
则在上单调递增，在上有唯一零点.
又因为，.
则函数的零点所在的区间为.
故答案为：B.
【分析】先判断函数单调性，再由零点存在性定理，从而得出函数的零点所在的区间.
4．（2024高一上·长春期末）已知，则的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；利用对数函数的单调性比较大小；三角函数值的符号
【解析】【解答】解：因为，
又因为，所以，
因为，所以，，
所以.
故答案为：A.
【分析】根据对数的换底公式和对数函数的单调性，从而得出实数a的取值范围，根据弧度所在象限得出b的取值范围，再由指数幂的运算法则得出c的值，从而比较出a，b，c的大小.
5．（2024高一上·长春期末）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两角和与差的正弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：.
故答案为：A.
【分析】根据给定条件和诱导公式以及两角差的正弦公式，从而计算得出结果.
6．（2024高一上·长春期末）函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的图象；指数函数的图象与性质
【解析】【解答】因为的定义域为，且，
所以是奇函数，图像关于原点对称，由此排除选项C和选项D；
又因为，则排除选项A.
故答案为：B.
【分析】根据奇函数的图象的对称性，则判断出选项C和选项D；再利用特殊点的函数值判断出选项A，进而找出函数的部分图象.
7．（2024高一上·长春期末）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：，
，，
，，
，，
，，
，，
则
.
故答案为：C．
【分析】利用同角三角函数的平方关系和题中角度的取值范围，求出和的值，再利用整体思想，将转化为，用两角和的余弦公式，得出的值.
8．（2024高一上·长春期末）把一张半径为2的圆形纸片按如图所示的方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则劣弧的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：过点作于，
由折叠性可得，，
所以，所以，所以，
所以劣弧的长是.
故答案为：.
【分析】过点作于，由已知条件可得的值，再根据弧长公式，计算得出劣弧的长.
9．（2024高一上·长春期末）将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个奇函数的图象，则的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：由题意将函数的图象沿轴向左平移个单位后，
所得函数解析式为，
则它是奇函数，所以，即，则只有选项A和选项C满足.
故答案为：AC．
【分析】由已知条件和正弦型函数的图象变换得出函数解析式，再结合正弦函数的奇偶性进行分析，从而赋值得出满足要求的的可能取值．
10．（2024高一上·长春期末）下列说法正确的有（ ）
A．若角的终边过点，则
B．“”是“”的必要不充分条件
C．若命题“”是假命题，则的取值范围为
D．若，且，则的最小值为9
【答案】A,C,D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；基本不等式在最值问题中的应用；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：对于A，由题意可得：，解得，故A正确；
对于B，若，则，当不能推出，
故“”是“”的充分不必要条件，故B错误；
对于C，若命题是假命题，则命题：“，”为真命题，
所以当时，恒成立，
当时有
所以，故C正确；
对于D，若，且，
则，
当且仅当，即时等号成立，故的最小值为9，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据三角函数的定义，从而得出角的正弦值，则判断出选项A；根据充要条件的判断方法，则判断出选项B；利用命题的否定，即可判断出选项C；应用基本不等式求最值的方法，则得出的最小值，从而判断出选项D，进而找说法正确的选项.
11．（2024高一上·长春期末）已知函数，若方程有4个不同的实数根，则下列选项正确的为（ ）
A．函数的零点的个数为2 B．函数在上单调递增
C．函数无最值 D．实数的取值范围为
【答案】A,C
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的最大（小）值；一元二次方程的根与系数的关系；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为函数，可得函数图象如图：
由图知函数有2个零点，故选项A正确；
因为函数没有最值，故选项C正确；
因为函数在上单调递减，在上单调递增，故选项B错误；
由于方程有4个不同的实数根，
令则有4个不同的实数根，
因为恒成立，设两个不等的实根为，
由韦达定理知：，
则异号，由图可知：，
所以，解得，故选项D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据分段函数图象和函数零点的定义、单调函数的定义和函数最值求解方法，则可判断选项A、选项B和选项C；再结合分段函数的图象性质，分析得到两个不等的实根，则根据二次方程根的分布求出参数的取值范围.
12．（2024高一上·长春期末）已知，则 ．
【答案】
【知识点】同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：由，则.
故答案为：.
【分析】由和代入法，则可得出的值.
13．（2024高一上·长春期末）已知且，若，则 ．
【答案】
【知识点】有理数指数幂的运算性质；指数式与对数式的互化
【解析】【解答】解：由且，，
得，则，
故.
故答案为：.
【分析】根据对数式和指数式的互化，再结合指数幂的运算法则，即可得出的值.
14．（2024高一上·长春期末）设函数，的图象在区间内恰有一条对称轴，且的最小正周期大于，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；辅助角公式；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：因为，，
令，则，，
当时，，则，解得，
此时，可验证此时恰有一条对称轴在内，符合题意，
当时，，则，解得，
此时，不符合题意，
当取其它整数时，不符合题意，所以.
故答案为：.
【分析】由题意可得，利用正弦函数的性质可得正弦型函数的对称轴为，，再结合已知条件进行分类讨论，从而得出实数的取值范围.
15．（2024高一上·长春期末）化简下列各式．
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式.
（2）解：原式
.
【知识点】二倍角的余弦公式；运用诱导公式化简求值；辅助角公式
【解析】【分析】（1）由诱导公式化简求值.
（2）由同角三角函数基本关系式、二倍角的余弦公式、辅助角公式，从而化简求值.
（1）原式
（2）原式
16．（2024高一上·长春期末）已知函数是上的奇函数．
（1）求实数的值；
（2）判断函数在上的单调性（不需要过程，只需写出结果）；
（3）已知不等式，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：由函数是R上的奇函数，
得，解得，
此时，其定义域为R，且，
则是奇函数，所以.
（2）解：由（1）知，，函数在R上单调递增，
则函数在R上单调递减，所以函数在R上单调递减.
（3）解：由已知条件和（2），得函数是R上单调递减的奇函数，
则不等式，
则，即，解得或，
所以实数的取值范围是或.
【知识点】函数单调性的判断与证明；奇偶性与单调性的综合；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【分析】（1）利用奇函数的性质，从而求出的值，再由奇函数的定义验证得出实数a的值.
（2）借助指数函数的单调性的定义，从而判断出函数的单调性.
（3）利用函数的单调性和奇偶性，从而解不等式得出实数t的取值范围.
（1）由函数是R上的奇函数，得，解得，
此时，其定义域为R，且，
则是奇函数，所以.
（2）由（1）知，，函数在R上单调递增，
则函数在R上单调递减，所以函数在R上单调递减.
（3）由已知及（2），得函数是R上单调递减的奇函数，
不等式，
则，即，解得或，
所以实数的取值范围是或.
17．（2024高一上·长春期末）已知函数的图象如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的单调递减区间；
（3）求函数在区间上的值域．
【答案】（1）解：由图象知，，，
所以，解得，
所以，
又因为，
所以，
解得，
由，可知，
所以.
（2）解：令，，
解得，
所以函数的单调递减区间为.
（3）解：当时，，
所以，
所以，
即函数在区间上的值域为.
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）根据函数的部分图象求出函数的振幅、周期，从而得出的值，再由特殊点代入法求出的值.
（2）根据正弦型函数的单调性，从而得出函数的单调递减区间.
（3）由自变量的取值范围和不等式的基本性质，从而求出的取值范围，再根据换元法和正弦函数的图象求值域的方法，从而得出函数在区间上的值域.
（1）由图象知，，，
所以，解得，
所以，
又，所以，
解得，由，可知，
所以
（2）令，，
解得，
所以函数的单调递减区间为
（3）当时，，
所以，
所以，
即函数在区间上的值域为.
18．（2024高一上·长春期末）已知函数．
（1）求函数的解析式和最小正周期；
（2）若，求的值；
（3）若对于任意均有恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）解：由题意可得：
，
可得函数的最小正周期.
（2）解：因为，
所以，
因为，
所以，
所以，则
.
（3）解：由（1）知，函数，
可得asin
因为对于任意均有恒成立，
即对于任意均有恒成立，
即对于任意均有恒成立，
又因为，
因为，可得，
又因为单调递增且大于0，
可得在上单调递减，
可得，则，
所以的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；两角和与差的余弦公式；含三角函数的复合函数的单调性
【解析】【分析】（1）利用两角和与差的余弦公式和辅助角公式，从而化简正弦型函数的解析式，再利用正弦型函数的最小正周期公式，从而得出函数的最小正周期.
（2）根据得到，利用同角三角函数基本关系与两角差的余弦公式，计算得出的值.
（3）将对于任意均有恒成立转化为于任意均有恒成立，结合函数单调性，即可得到实数的取值范围.
（1）由题意可得：
可得函数的最小正周期.
（2）因为，，
所以.
因为，所以，
所以，
所以
.
（3）由（1）知，函数，
可得asin，
因为对于任意均有恒成立，
即对于任意均有恒成立，
即对于任意均有恒成立，
又因为，
因为，可得，
又因为单调递增且大于0，可得在上单调递减，
可得，则，
所以的取值范围为.
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