四川省成都市蓉城联盟2024-2025学年高二上学期12月期末考试数学试题
1．（2024高二上·成都期末）在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】空间中的点的坐标
【解析】【解答】解：点关于轴的对称点的坐标为.
故答案为：C.
【分析】根据空间直角坐标系中点的对称性直接写答案即可.
2．（2024高二上·成都期末）若直线的方向向量为，且过点，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直线的斜率；直线的点斜式方程；直线的方向向量
【解析】【解答】解：易知直线的斜率
因为直线过点，所以直线的方程为，即.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件，先求直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解直线方程即可.
3．（2024高二上·成都期末）成都市某高中为鼓励全校师生增强身体素质，推行了阳光校园跑的措施，随机调查了10名同学在某天校园跑的时长（单位：分钟），得到统计数据如下：20，25，32，38，40，43，56，62，67，74，则这组数据的第70百分位数是（ ）
A．56 B．59 C．62 D．64.5
【答案】B
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：易知数据个数为10，因为，所以这组数据的第70百分位数为第7个数据和第8个数据的平均数，即这组数据的第70百分位数是59.
故答案为：B.
【分析】由题意，根据百分位数的计算公式求解即可.
4．（2024高二上·成都期末）设为定点，动点满足，则动点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】双曲线的定义；双曲线的标准方程
【解析】【解答】解： 动点满足，
因为，
所以动点的轨迹是以为焦点的双曲线，
且，，则双曲线的方程为.
故答案为：B.
【分析】由题意可知，点的运动轨迹是以为焦点的双曲线，据此求轨迹的方程即可.
5．（2024高二上·成都期末）不透明的口袋里有4个白球，2个红球，这6个球除了颜色外完全相同，从中不放回地抽取2个球，则抽出的2个球均为白球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：记4个白球为，2个红球为，
从4个白球，2个红球中不放回抽取2个球有：
，共种不同的取法；
其中抽出2球均为白球有，共种不同的取法，
则抽出的2个球均为白球的概率.
故答案为：C.
【分析】记4个白球为，2个红球为，写出基本事件，再利用古典概型概率公式求解即可.
6．（2024高二上·成都期末）已知圆，直线，若圆上至少有3个点到直线的距离为1，则的取值范围为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：易知圆心，半径为，
圆心到直线的距离为，
因为圆上至少有3个点到直线的距离为1，所以，解得.
故答案为：A.
【分析】先求圆心和半经，再利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离，根据题意可得，求解即可.
7．（2024高二上·成都期末）如图，在平行六面体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：由题意，记，，
，
，
，，
，
则异面直线与所成角的余弦值.
故答案为：D.
【分析】由题意，设，利用空间向量的夹角公式求异面直线与所成角的余弦值即可.
8．（2024高二上·成都期末）设为双曲线上的两点，线段的中点为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：设点，线段的中点为，则，
因为为双曲线上的两点 ， 且线段的中点为，
所以，且，
两式相减可得，即，
则直线斜率，直线的方程为：，
由，消去整理得，解得，
则.
故答案为：B.
【分析】设点，利用中点弦问题求出直线斜率，并求出该直线方程，再与双曲线方程联立，利用弦长公式求解即可.
9．（2024高二上·成都期末）在空间直角坐标系中，，则（ ）
A．
B．点到直线的距离为
C．
D．直线与平面所成角的正弦值为
【答案】B,C
【知识点】点、线、面间的距离计算；用空间向量研究直线与平面所成的角；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：A、由题意可得：，
故A错误；
B、取，，，，
则点到直线的距离，故B正确；
C、易知，则，故C正确；
D、，设平面的法向量为，
故，取，则则，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据向量数量积的坐标运算求解即可判断A；根据点到直线的距离公式求解即可判断B；根据模长公式求解即可C；求解平面法向量，根据向量的夹角公式求解即可判断D.
10．（2024高二上·成都期末）已知事件，事件发生的概率分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．若事件与事件互斥，则
B．若事件与事件相互独立，则
C．若事件发生时事件一定发生，则
D．若，则事件与事件相互独立
【答案】A,B,D
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式；事件的包含与相等
【解析】【解答】解：A、因为事件与事件互斥，所以，故A正确；
B、因为事件与事件相互独立，所以，
则，故B正确；
C、因为若事件发生时事件一定发生，所以则，故C错误；
D、因，则事件与事件相互独立，
故事件与事件相互独立，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用互斥事件的概率加法公式，独立事件的定义，独立事件的概率乘法公式逐项判断即可.
11．（2024高二上·成都期末）已知椭圆与双曲线的左、右焦点相同，分别为，椭圆与双曲线在第一象限内交于点，且，椭圆与双曲线的离心率分别为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．当时，
C．的最小值为 D．的最大值为
【答案】A,C,D
【知识点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：A、为焦点三角形，则，
解得，故A正确；
B、根据椭圆和双曲线的定义，可得，
则，，
在中，由余弦定理可得：，
即，整理得，
，当时，，故B错误；
C、，，当且仅当，即时等号成立，即的最小值为，故C正确；
D、，故取，
则，
当且仅当，即，即时等号成立，
即的最大值为 ，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据焦点三角形的面积公式计算即可判断A；根据椭圆和双曲线定义，结合余弦定理求解即可判断B；根据基本不等式求解即可判断C；利用三角换元，结合三角函数的性质求解即可判断D.
12．（2024高二上·成都期末）设一组数据的平均数为11，则的平均数为 .
【答案】90
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：数据的平均数，
则的平均数为：.
故答案为：90.
【分析】利用平均数的性质求解即可.
13．（2024高二上·成都期末）过三点的圆的标准方程为 .
【答案】
【知识点】圆的标准方程；圆的一般方程
【解析】【解答】解：设圆的一般方程为，
因为在圆上，所以，
解得，
则圆的方程为，即圆的标准方程为.
故答案为：.
【分析】设圆的一般方程，代入三点坐标求得圆的一般方程，化为标准方程即可.
14．（2024高二上·成都期末）已知椭圆的上顶点为分别为椭圆的左、右焦点，过点作线段的垂线，垂线与椭圆交于两点，若椭圆的离心率为，且，则的周长为 .
【答案】26
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由离心率，可得，，，，，因为，所以为等边三角形，
设，
因为过点作线段的垂线，所以的倾斜角为，
则直线的方程为，联立，
消元整理可得，由韦达定理可得，
，
解得，
则周长.
故答案为：.
【分析】由离心率，可得，推得为等边三角形，从而可得的倾斜角为，求出直线的方程，联立直线与椭圆，利用韦达定理结合弦长公式可得，求解即可.
15．（2024高二上·成都期末）“世界图书与版权日”又称“世界读书日”，2024年4月23日是第29个“世界读书日”.自“世界读书日”确定以来，某高校每年都会举办读书知识竞赛活动来鼓励该校学生阅读，现从参加竞赛的学生中抽取100人，将他们的竞赛成绩分成六组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求这100名学生成绩的众数和平均数（取各组区间中间值计算）；
（2）已知成绩落在的学生平均成绩为62，方差为9，落在的学生平均成绩为77，方差为4，求这两组成绩的总体平均数和总体方差.
【答案】（1）解：由频率分布直方图可知；众数为75，
第1至第6组的频率分别为，
则平均数为：；
（2）解：根据题意可知，成绩落在的学生人数为20人，成绩落在的学生人数为30人，
则总体平均数：，
总体方差：.
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中众数和平均数的计算公式求解即可；
（2）根据总体平均数以及方差的计算公式求解即可.
（1）众数：75，
第1至第6组的频率分别为，
平均数：；
（2）根据题意可知，成绩落在的学生人数为20人，成绩落在的学生人数为30人，
总体平均数：，
总体方差：.
16．（2024高二上·成都期末）已知圆是直线上的一动点，过点作圆的切线，切点分别为.
（1）当点的横坐标为2时，求切线的方程；
（2）当点在直线上运动时，求四边形面积的最小值.
【答案】（1）解：易知圆心，半径，
因为点在直线上，且点的横坐标为，所以点的坐标为，
①当切线的斜率不存在时，直线方程为，与圆相切，满足题意；
②当切线的斜率存在时，设斜率为，此时切线方程为，
即：，设圆心到切线的距离为，根据题意可得：，
整理可得，解得，则切线方程为，化简可得，
故切线方程为或；
（2）解：因为为公共边，所以，
所以，
又因为，当最小时，最小，
由题意可知，当时，最小，
此时，
，，
则四边形面积的最小值为.
【知识点】圆的标准方程；圆的切线方程
【解析】【分析】（1）易知圆心与半径，利用点在直线上求得点的坐标，分过点的切线斜率是否存在两种情况讨论可求切线方程即可；
（2）由题意可得，又，求的最小值即可.
（1）由圆，可得圆心，半径，
点在直线上，且点的横坐标为点的坐标为，
①当切线的斜率不存在时，直线方程为，与圆相切，满足题意，；
②当切线的斜率存在时，设斜率为，此时切线方程为，
即：，设圆心到切线的距离为，根据题意可得：，
，
此时，切线方程为，
化简，得，
切线方程为或；
（2）为公共边，，
，
又当最小时，最小，
由题意可知，当时，最小，
此时，，
，
四边形面积的最小值为.
17．（2024高二上·成都期末）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮一次，规则如下：若命中，则此人继续投篮一次，若未命中，则换对方投篮一次.已知甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为，甲、乙每次投篮的结果相互独立，第一次投篮者为甲.
（1）求第3次投篮者为乙的概率；
（2）求前4次投篮中甲投篮次数不少于3次的概率.
【答案】（1）解：设事件"甲第次投篮投进"，事件"乙第次投篮投进"，事件"第三次投篮者为乙"，
根据题意可知，与互斥，
则；
（2）解：设事件"前4次投篮中甲投篮次数不少于3次"，根据题意可知：
，
事件互斥，且每次投篮的结果相互独立，
则
.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）由题意，根据概率的乘法公式，结合并事件的概率加法公式求解即可；
（2）根据概率的乘法公式，结合并事件的概率加法公式求解即可.
（1）设事件"甲第次投篮投进"，事件"乙第次投篮投进"，事件"第三次投篮者为乙"，
根据题意可知，与互斥，
；
（2）设事件"前4次投篮中甲投篮次数不少于3次"，根据题意可知：
，
事件互斥，且每次投篮的结果相互独立，
.
18．（2024高二上·成都期末）在平行四边形中（如图1），为的中点，将等边沿折起，连接，且（如图2）.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）点在线段上，若点到平面的距离为，求平面与平面所成角的余弦值.
【答案】（1）证明：连接，
在中，，则，
在中，因为，所以，
同理可得：，因为，所以平面；
（2）解：设为的中点，则，
因为平面平面，
所以平面平面，
又因为平面平面平面，所以平面，
以点为坐标原点，为轴，为轴，过点且平行于的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
，
设平面的法向量为，
，，
，取，，
设直线与平面所成角为，；
（3）解：设，，，
设点到平面的距离为，，解得，
则是线段上靠近点的三等分点，易求平面的法向量为，
设平面的法向量为，
，
，取，，
设平面与平面所成的角为，.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）连接，根据余弦定理以及勾股定理可得，，再根据线面垂直的判定定理证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，根据向量的夹角公式求解即可；
（3）根据点到平面的向量法求解是线段上靠近点的三等分点，求解法向量，利用法向量的夹角求解即可.
（1）连接，
在中，，
，
在中，，
同理可得：，
平面
（2）设为的中点，，
平面平面，
平面平面，
又平面平面平面，
平面以点为坐标原点，为轴，为轴，过点且平行于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
，
，
设平面的法向量为，
，，
取，
设直线与平面所成角为，
（3）设，
，，
设点到平面的距离为，
，
，
是线段上靠近点的三等分点，易求平面的法向量为，
设平面的法向量为，
，
.
取，
设平面与平面所成的角为，
.
19．（2024高二上·成都期末）一动圆与圆外切，与圆内切.
（1）设动圆圆心的轨迹为，求曲线的方程；
（2）①若点是直线上的动点，直线与曲线分别交于两点，证明：直线过定点；
②设和的面积分别为和，求的最大值.
【答案】（1）解：设动圆的半径为，动圆与圆外切，则，
又因为动圆与圆内切，且圆在圆内部，所以，
所以，又因为，即，
故动圆圆心的轨迹是一个椭圆，且故得，
则动圆圆心的轨迹的方程为；
（2）解：① 如图，设点，
由，则直线的方程为，
代入椭圆中，消元整理可得，
依题意，，解得，
同理可得：，
则，
故直线的方程为，整理得，
故直线恒过定点；
② 如图所示：
根据①已得：直线恒过定点，且，
即点到直线的距离为点到直线的距离的3倍，故，
因为，
所以，
设直线，代入椭圆中，整理可得，
，
，
设则，
又因为在上单调递增，所以，
所以，
故的最大值为3.
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设动圆的半径为，根据动圆和圆，圆的关系得出和，再结合椭圆的定义求轨迹方程即可；
（2）①设点，分别求出直线和的方程，与椭圆方程联立求得点的坐标，计算化简直线的斜率，求得直线方程，即得定点坐标；
②由①的结论，可推得，即得，设直线，与椭圆方程联立，写出韦达定理，化简，再利用换元法，结合对勾函数的单调性求最大值即可.
（1）设动圆的半径为，动圆与圆外切，，
又动圆与圆内切，且圆在圆内部，，
，又，即，
故动圆圆心的轨迹是一个椭圆，且故得，
动圆圆心的轨迹的方程为；
（2）
① 如图，设点，因
则直线的方程为，
代入椭圆中，得：，
依题意，，解得：，
同理可得：，
，
直线的方程为，
整理得：，
直线恒过定点；
② 如图，根据①已得：直线恒过定点，且，
即点到直线的距离为点到直线的距离的3倍，故，
，
，
设直线，代入椭圆中，
得：，
，
，
设则，
在上单调递增，，
，
的最大值为3.
1 / 1四川省成都市蓉城联盟2024-2025学年高二上学期12月期末考试数学试题
1．（2024高二上·成都期末）在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二上·成都期末）若直线的方向向量为，且过点，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高二上·成都期末）成都市某高中为鼓励全校师生增强身体素质，推行了阳光校园跑的措施，随机调查了10名同学在某天校园跑的时长（单位：分钟），得到统计数据如下：20，25，32，38，40，43，56，62，67，74，则这组数据的第70百分位数是（ ）
A．56 B．59 C．62 D．64.5
4．（2024高二上·成都期末）设为定点，动点满足，则动点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高二上·成都期末）不透明的口袋里有4个白球，2个红球，这6个球除了颜色外完全相同，从中不放回地抽取2个球，则抽出的2个球均为白球的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高二上·成都期末）已知圆，直线，若圆上至少有3个点到直线的距离为1，则的取值范围为（ ）
A． B．
C．或 D．或
7．（2024高二上·成都期末）如图，在平行六面体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二上·成都期末）设为双曲线上的两点，线段的中点为，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二上·成都期末）在空间直角坐标系中，，则（ ）
A．
B．点到直线的距离为
C．
D．直线与平面所成角的正弦值为
10．（2024高二上·成都期末）已知事件，事件发生的概率分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．若事件与事件互斥，则
B．若事件与事件相互独立，则
C．若事件发生时事件一定发生，则
D．若，则事件与事件相互独立
11．（2024高二上·成都期末）已知椭圆与双曲线的左、右焦点相同，分别为，椭圆与双曲线在第一象限内交于点，且，椭圆与双曲线的离心率分别为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．当时，
C．的最小值为 D．的最大值为
12．（2024高二上·成都期末）设一组数据的平均数为11，则的平均数为 .
13．（2024高二上·成都期末）过三点的圆的标准方程为 .
14．（2024高二上·成都期末）已知椭圆的上顶点为分别为椭圆的左、右焦点，过点作线段的垂线，垂线与椭圆交于两点，若椭圆的离心率为，且，则的周长为 .
15．（2024高二上·成都期末）“世界图书与版权日”又称“世界读书日”，2024年4月23日是第29个“世界读书日”.自“世界读书日”确定以来，某高校每年都会举办读书知识竞赛活动来鼓励该校学生阅读，现从参加竞赛的学生中抽取100人，将他们的竞赛成绩分成六组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求这100名学生成绩的众数和平均数（取各组区间中间值计算）；
（2）已知成绩落在的学生平均成绩为62，方差为9，落在的学生平均成绩为77，方差为4，求这两组成绩的总体平均数和总体方差.
16．（2024高二上·成都期末）已知圆是直线上的一动点，过点作圆的切线，切点分别为.
（1）当点的横坐标为2时，求切线的方程；
（2）当点在直线上运动时，求四边形面积的最小值.
17．（2024高二上·成都期末）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮一次，规则如下：若命中，则此人继续投篮一次，若未命中，则换对方投篮一次.已知甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为，甲、乙每次投篮的结果相互独立，第一次投篮者为甲.
（1）求第3次投篮者为乙的概率；
（2）求前4次投篮中甲投篮次数不少于3次的概率.
18．（2024高二上·成都期末）在平行四边形中（如图1），为的中点，将等边沿折起，连接，且（如图2）.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）点在线段上，若点到平面的距离为，求平面与平面所成角的余弦值.
19．（2024高二上·成都期末）一动圆与圆外切，与圆内切.
（1）设动圆圆心的轨迹为，求曲线的方程；
（2）①若点是直线上的动点，直线与曲线分别交于两点，证明：直线过定点；
②设和的面积分别为和，求的最大值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】空间中的点的坐标
【解析】【解答】解：点关于轴的对称点的坐标为.
故答案为：C.
【分析】根据空间直角坐标系中点的对称性直接写答案即可.
2．【答案】A
【知识点】直线的斜率；直线的点斜式方程；直线的方向向量
【解析】【解答】解：易知直线的斜率
因为直线过点，所以直线的方程为，即.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件，先求直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解直线方程即可.
3．【答案】B
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：易知数据个数为10，因为，所以这组数据的第70百分位数为第7个数据和第8个数据的平均数，即这组数据的第70百分位数是59.
故答案为：B.
【分析】由题意，根据百分位数的计算公式求解即可.
4．【答案】B
【知识点】双曲线的定义；双曲线的标准方程
【解析】【解答】解： 动点满足，
因为，
所以动点的轨迹是以为焦点的双曲线，
且，，则双曲线的方程为.
故答案为：B.
【分析】由题意可知，点的运动轨迹是以为焦点的双曲线，据此求轨迹的方程即可.
5．【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：记4个白球为，2个红球为，
从4个白球，2个红球中不放回抽取2个球有：
，共种不同的取法；
其中抽出2球均为白球有，共种不同的取法，
则抽出的2个球均为白球的概率.
故答案为：C.
【分析】记4个白球为，2个红球为，写出基本事件，再利用古典概型概率公式求解即可.
6．【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：易知圆心，半径为，
圆心到直线的距离为，
因为圆上至少有3个点到直线的距离为1，所以，解得.
故答案为：A.
【分析】先求圆心和半经，再利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离，根据题意可得，求解即可.
7．【答案】D
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：由题意，记，，
，
，
，，
，
则异面直线与所成角的余弦值.
故答案为：D.
【分析】由题意，设，利用空间向量的夹角公式求异面直线与所成角的余弦值即可.
8．【答案】B
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：设点，线段的中点为，则，
因为为双曲线上的两点 ， 且线段的中点为，
所以，且，
两式相减可得，即，
则直线斜率，直线的方程为：，
由，消去整理得，解得，
则.
故答案为：B.
【分析】设点，利用中点弦问题求出直线斜率，并求出该直线方程，再与双曲线方程联立，利用弦长公式求解即可.
9．【答案】B,C
【知识点】点、线、面间的距离计算；用空间向量研究直线与平面所成的角；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：A、由题意可得：，
故A错误；
B、取，，，，
则点到直线的距离，故B正确；
C、易知，则，故C正确；
D、，设平面的法向量为，
故，取，则则，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据向量数量积的坐标运算求解即可判断A；根据点到直线的距离公式求解即可判断B；根据模长公式求解即可C；求解平面法向量，根据向量的夹角公式求解即可判断D.
10．【答案】A,B,D
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式；事件的包含与相等
【解析】【解答】解：A、因为事件与事件互斥，所以，故A正确；
B、因为事件与事件相互独立，所以，
则，故B正确；
C、因为若事件发生时事件一定发生，所以则，故C错误；
D、因，则事件与事件相互独立，
故事件与事件相互独立，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用互斥事件的概率加法公式，独立事件的定义，独立事件的概率乘法公式逐项判断即可.
11．【答案】A,C,D
【知识点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：A、为焦点三角形，则，
解得，故A正确；
B、根据椭圆和双曲线的定义，可得，
则，，
在中，由余弦定理可得：，
即，整理得，
，当时，，故B错误；
C、，，当且仅当，即时等号成立，即的最小值为，故C正确；
D、，故取，
则，
当且仅当，即，即时等号成立，
即的最大值为 ，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据焦点三角形的面积公式计算即可判断A；根据椭圆和双曲线定义，结合余弦定理求解即可判断B；根据基本不等式求解即可判断C；利用三角换元，结合三角函数的性质求解即可判断D.
12．【答案】90
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：数据的平均数，
则的平均数为：.
故答案为：90.
【分析】利用平均数的性质求解即可.
13．【答案】
【知识点】圆的标准方程；圆的一般方程
【解析】【解答】解：设圆的一般方程为，
因为在圆上，所以，
解得，
则圆的方程为，即圆的标准方程为.
故答案为：.
【分析】设圆的一般方程，代入三点坐标求得圆的一般方程，化为标准方程即可.
14．【答案】26
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由离心率，可得，，，，，因为，所以为等边三角形，
设，
因为过点作线段的垂线，所以的倾斜角为，
则直线的方程为，联立，
消元整理可得，由韦达定理可得，
，
解得，
则周长.
故答案为：.
【分析】由离心率，可得，推得为等边三角形，从而可得的倾斜角为，求出直线的方程，联立直线与椭圆，利用韦达定理结合弦长公式可得，求解即可.
15．【答案】（1）解：由频率分布直方图可知；众数为75，
第1至第6组的频率分别为，
则平均数为：；
（2）解：根据题意可知，成绩落在的学生人数为20人，成绩落在的学生人数为30人，
则总体平均数：，
总体方差：.
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中众数和平均数的计算公式求解即可；
（2）根据总体平均数以及方差的计算公式求解即可.
（1）众数：75，
第1至第6组的频率分别为，
平均数：；
（2）根据题意可知，成绩落在的学生人数为20人，成绩落在的学生人数为30人，
总体平均数：，
总体方差：.
16．【答案】（1）解：易知圆心，半径，
因为点在直线上，且点的横坐标为，所以点的坐标为，
①当切线的斜率不存在时，直线方程为，与圆相切，满足题意；
②当切线的斜率存在时，设斜率为，此时切线方程为，
即：，设圆心到切线的距离为，根据题意可得：，
整理可得，解得，则切线方程为，化简可得，
故切线方程为或；
（2）解：因为为公共边，所以，
所以，
又因为，当最小时，最小，
由题意可知，当时，最小，
此时，
，，
则四边形面积的最小值为.
【知识点】圆的标准方程；圆的切线方程
【解析】【分析】（1）易知圆心与半径，利用点在直线上求得点的坐标，分过点的切线斜率是否存在两种情况讨论可求切线方程即可；
（2）由题意可得，又，求的最小值即可.
（1）由圆，可得圆心，半径，
点在直线上，且点的横坐标为点的坐标为，
①当切线的斜率不存在时，直线方程为，与圆相切，满足题意，；
②当切线的斜率存在时，设斜率为，此时切线方程为，
即：，设圆心到切线的距离为，根据题意可得：，
，
此时，切线方程为，
化简，得，
切线方程为或；
（2）为公共边，，
，
又当最小时，最小，
由题意可知，当时，最小，
此时，，
，
四边形面积的最小值为.
17．【答案】（1）解：设事件"甲第次投篮投进"，事件"乙第次投篮投进"，事件"第三次投篮者为乙"，
根据题意可知，与互斥，
则；
（2）解：设事件"前4次投篮中甲投篮次数不少于3次"，根据题意可知：
，
事件互斥，且每次投篮的结果相互独立，
则
.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）由题意，根据概率的乘法公式，结合并事件的概率加法公式求解即可；
（2）根据概率的乘法公式，结合并事件的概率加法公式求解即可.
（1）设事件"甲第次投篮投进"，事件"乙第次投篮投进"，事件"第三次投篮者为乙"，
根据题意可知，与互斥，
；
（2）设事件"前4次投篮中甲投篮次数不少于3次"，根据题意可知：
，
事件互斥，且每次投篮的结果相互独立，
.
18．【答案】（1）证明：连接，
在中，，则，
在中，因为，所以，
同理可得：，因为，所以平面；
（2）解：设为的中点，则，
因为平面平面，
所以平面平面，
又因为平面平面平面，所以平面，
以点为坐标原点，为轴，为轴，过点且平行于的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
，
设平面的法向量为，
，，
，取，，
设直线与平面所成角为，；
（3）解：设，，，
设点到平面的距离为，，解得，
则是线段上靠近点的三等分点，易求平面的法向量为，
设平面的法向量为，
，
，取，，
设平面与平面所成的角为，.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）连接，根据余弦定理以及勾股定理可得，，再根据线面垂直的判定定理证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，根据向量的夹角公式求解即可；
（3）根据点到平面的向量法求解是线段上靠近点的三等分点，求解法向量，利用法向量的夹角求解即可.
（1）连接，
在中，，
，
在中，，
同理可得：，
平面
（2）设为的中点，，
平面平面，
平面平面，
又平面平面平面，
平面以点为坐标原点，为轴，为轴，过点且平行于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
，
，
设平面的法向量为，
，，
取，
设直线与平面所成角为，
（3）设，
，，
设点到平面的距离为，
，
，
是线段上靠近点的三等分点，易求平面的法向量为，
设平面的法向量为，
，
.
取，
设平面与平面所成的角为，
.
19．【答案】（1）解：设动圆的半径为，动圆与圆外切，则，
又因为动圆与圆内切，且圆在圆内部，所以，
所以，又因为，即，
故动圆圆心的轨迹是一个椭圆，且故得，
则动圆圆心的轨迹的方程为；
（2）解：① 如图，设点，
由，则直线的方程为，
代入椭圆中，消元整理可得，
依题意，，解得，
同理可得：，
则，
故直线的方程为，整理得，
故直线恒过定点；
② 如图所示：
根据①已得：直线恒过定点，且，
即点到直线的距离为点到直线的距离的3倍，故，
因为，
所以，
设直线，代入椭圆中，整理可得，
，
，
设则，
又因为在上单调递增，所以，
所以，
故的最大值为3.
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设动圆的半径为，根据动圆和圆，圆的关系得出和，再结合椭圆的定义求轨迹方程即可；
（2）①设点，分别求出直线和的方程，与椭圆方程联立求得点的坐标，计算化简直线的斜率，求得直线方程，即得定点坐标；
②由①的结论，可推得，即得，设直线，与椭圆方程联立，写出韦达定理，化简，再利用换元法，结合对勾函数的单调性求最大值即可.
（1）设动圆的半径为，动圆与圆外切，，
又动圆与圆内切，且圆在圆内部，，
，又，即，
故动圆圆心的轨迹是一个椭圆，且故得，
动圆圆心的轨迹的方程为；
（2）
① 如图，设点，因
则直线的方程为，
代入椭圆中，得：，
依题意，，解得：，
同理可得：，
，
直线的方程为，
整理得：，
直线恒过定点；
② 如图，根据①已得：直线恒过定点，且，
即点到直线的距离为点到直线的距离的3倍，故，
，
，
设直线，代入椭圆中，
得：，
，
，
设则，
在上单调递增，，
，
的最大值为3.
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