2.代数式与整式的运算——北师大版数学2025年中考一轮复习测
一、选择题（每题3分，共36分）
1．（2024九上·深圳模拟）下列各式计算正确的是（ ）
A．2a（1﹣a）＝2a﹣2a2 B．a3+a2＝2a5
C．（﹣ab2）3＝a3b6 D．（a+b）2＝a2+b2
2．（2024七上·广东期末）观察下图并发现规律，第n幅图共有平行四边形（ ）
A．n个 B．个 C．个 D．个
3．（2024七上·新会期中）已知与互为相反数，则的结果是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024七上·高州月考）有理数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025七上·宝安期末）下列运算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025七上·光明期末）有一道题是一个多项式减去，小强误当成加法计算，结果得到，正确的结果应该是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024七上·鹤山月考）如果是同类项，那么，的值是（ ）
A．， B．， C．， D．，
8．（2024七上·珠海月考）下列式子中，整式的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
9．（2024七上·潮南月考）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024七上·潮南月考）下面是小芳做的一道运算题，但她不小心把一滴墨水滴在了上面：
，阴影部分即为墨迹，那么被墨水遮住的一项应是（ ）
A． B． C． D．
11．（2024七上·南山期中）某商店洗衣机成本价为元，销售价比成本价增加了，现因库存积压以九折优惠价促销，那么该产品的实际售价为（ ）元．
A． B．
C． D．
12．（2024七上·番禺期中）在日历上，某些数满足一定的规律．如图是某年8月份的日历，任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则下列叙述中正确的是（ ）
A．左上角的数字为
B．左下角的数字为
C．右下角的数字为
D．方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数
二、填空题（每题3分，共15分）
13．（2025七上·宝安期末）请写出2×2yz的一个同类项
14．（2024七上·信宜期中）若a与b互为相反数，m与n互为倒数，，则的值为 ．
15．（2024七上·阳山期中）如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律．根据此规律可以得出与、 的关系是 ．
16．（2024七上·阳山期中）按照如图所示的操作步骤，若输入的值为，则输出的值为 ．
17．（2024七上·香洲期中）某设计公司设计出如图所示的一个图案（图中阴影部分），其中长方形的长为x，宽为y，扇形的半径为y，则图中阴影部分的面积S为 （用含的代数式表示）．
三、解答题（共7题，共49分）
18．（2025七上·宝安期末）先化简，再求值：，其中，。
19．（2024九上·深圳月考）粤港澳大湾区花展期间，在某盆栽销售处发现，某盆栽供应商的进货价为每盆30元，销售价为每盆60元，花节期间平均每天可以售出20盆．花节落幕后降价出售，经市场调查发现：如果每盆降价3元，那么平均每天就可多出售6盆．设每盆降价元．
（1）降价后平均每天卖出 盆；（用含的代数式表示）
（2）供应商想要达到每天750元的盈利，同时让购买者得到实惠，求每盆应降价多少元？
20．（2024七上·广东期末）已知：．
（1）计算：；
（2）当，时，求的值；
（3）若的值与y的取值无关，求x的值．
21．（2024七上·福田期中）已知多项式，．
（1）填空：A是________次________项式，并化简；
（2）求的值；
（3）若与的和为0，求的值．
22．（2024七上·广东期末）某电信公司为了方便学生上网查资料，提供了两种上网优惠的方式：
计时制：0.08元/分钟；
包月制：40元/月（只限1台电脑上网）。
另外，不管哪种收费方式，上网时都要加收通信费0.03元/分钟．
（1）设小明某月上网时间为x分钟，请分别用含x的式子表示出两种收费方式下小明应支付的费用；
（2）1个月上网时间为多少分钟时，两种方式付费相等？
（3）如果1个月上网10小时，那么选择哪种方式更优惠？．
23．（2024八上·恩平月考）综合与实践
如图1，有A型，B型正方形卡片和C型长方形卡片各若干张．
（1）用1张A型卡片，2张B型卡片，3张C型卡片拼成一个长方形，如图2，用两种方法计算这个长方形面积，可以得到一个等式，请你写出该等式： ．
（2）选取1张A型卡片，8张C型卡片， 张B型卡片，可以拼成一个正方形，这个正方形的边长用含a，b的式子表示为 ．
（3）如图3，正方形边长分别为m，n，已知，，求阴影部分的面积．
24．（2024七上·珠海月考）观察下列等式：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：
请解答下列问题：
（1）按以上规律列出第5个等式：______；
（2）用含有的代数式表示第个等式：______（为正整数）；
（3）求的值；
（4）探究计算：．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
2．【答案】B
【知识点】探索图形规律
3．【答案】A
【知识点】绝对值的非负性；相反数的意义与性质；求代数式的值-直接代入求值
4．【答案】D
【知识点】整式的加减运算；化简含绝对值有理数；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴可知：，，
，，
，
故选：D．
【分析】本题考查了由数轴判断式子的正负，化简绝对值，以及整式的加减运算，根据数轴上数的位置，得到，，求得，，再结合绝对值运算，即可求解．
5．【答案】C
【知识点】整式的加减运算；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、3m+3n≠3mn，选项A错误；
B、3a2-2a2=a2≠1，选项B错误；
C、2a2b-2ba2=0，选项C正确；
D、x3+2x3=3x3≠3x6，选项D错误.
故选：C.
【分析】根据整式的加减运算法则即可求出答案，注意：合并同类项时，系数相加减，字母及其指数不变.
6．【答案】A
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：由题意可得：
原多项式为
∴正确结果为：
故答案为：A
【分析】根据题意求出原多项式，再求出正确结果.
7．【答案】D
【知识点】同类项的概念
8．【答案】C
【知识点】整式的概念与分类
9．【答案】C
【知识点】去括号法则及应用；添括号法则及应用
10．【答案】A
【知识点】整式的加减运算
11．【答案】C
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：依题意得，该产品的实际售价为，即.
故选：C．
【分析】本题考查了列代数式，依题意得，结合多项式的写法，得到该产品的实际售价为，即可求解．
12．【答案】D
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：由图可得，
右上角的数为a，则左上角的数字为，左下角的数字为，右下角的数字为，
故选项A、B、C均不符合题意，
，
∴方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
【分析】本题考查了列代数式和整式加减法的应用，根据题意，由右上角的数为a，则左上角的数字为，左下角的数字为，右下角的数字为，结合整数的加法，求得四个数的和，结合选项，逐项判定，即可求解.
13．【答案】×2yz
【知识点】同类项的概念
【解析】【解答】解：答案不唯一，如×2yz，
故答案为：×2yz.
【分析】根据同类项的定义即可得知答案，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项.
14．【答案】
【知识点】有理数的倒数；求代数式的值-整体代入求值
15．【答案】M＝m（n＋1）
【知识点】探索数与式的规律
16．【答案】
【知识点】求代数式的值-程序框图
17．【答案】
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：S=，
故答案为：．
【分析】利用整体法，阴影部分面积等于整体面积减去空白部分面积，结合面积公式计算即可．
18．【答案】解：原式=
当 时，
原式
【知识点】整式的加减运算；求代数式的值-化简代入求值
【解析】【分析】先将 去括号，合并同类项化简，再把， 代入计算即可.
19．【答案】（1）
（2）解：根据题意可得：
，
整理，得：，
解得：，，
又要让购买者得到实惠，
，
答：每盆应降价元．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的实际应用-销售问题；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：（1）解：根据题意，得：
降价后平均每天卖出：（盆），
故答案为：；
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用（营销问题），列代数式，因式分解法解一元二次方程．
（1）根据“销售量原销售量因价格下降而增加的销量”，据此可列出式子，再进行化简可求出答案；
（2）根据“总盈利每盆盈利销售数量”，可列方程，解方程可求出x的值，再根据要让购买者得到实惠，进而可确定x的值，据此可确定答案.
20．【答案】（1）解：
；
（2）解：当，时，
原式；
（3）解：，∵的值与y的取值无关，
∴，
解得：．
【知识点】整式的加减运算；去括号法则及应用；多项式的项、系数与次数；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】（1）把A、B代入，根据整式的加减运算法则，合并同类项，进行计算，即可求解；
（2）把，代入（1）中的代数式，进行计算求值，即可得到答案；
（3）由的值与y的取值无关，得到，求得x的值，即可求解.
（1）解：
；
（2）解：当，时，
原式；
（3）解：，
∵的值与y的取值无关，
∴，
解得：．
21．【答案】（1）二，三；
（2）解：
.
（3）解：根据题意：，∴，
∴
.
【知识点】整式的加减运算；多项式的项、系数与次数；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【解答】解：（1）多项式，， ，
∴A是二次三项式，
故答案为：二，三
解：（2）由
.
【分析】(1)根据多项式的概念，得到A是二次三项式，再整式的加减运算，合并同类项，即可求解；
(2)根据代数式的运算法则，化简原式为，再将，代入代数式，合并同类项，即可求解；
(3)由，得到，求得，再将，代入，合并同类项，即可得到答案.
（1）解：多项式，
∴A是二次三项式，
故答案为：二，三
（2）解：
（3）解：根据题意：，
∴，
∴
22．【答案】（1）计时制：0.08x+0.03x=0.11x，包月制：0.03x+40
（2）500分钟
（3）包月制
【知识点】一元一次方程的实际应用-计费问题；求代数式的值-直接代入求值
23．【答案】（1）；
（2）
（3）．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景；因式分解的应用
24．【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；探索数与式的规律
1 / 12.代数式与整式的运算——北师大版数学2025年中考一轮复习测
一、选择题（每题3分，共36分）
1．（2024九上·深圳模拟）下列各式计算正确的是（ ）
A．2a（1﹣a）＝2a﹣2a2 B．a3+a2＝2a5
C．（﹣ab2）3＝a3b6 D．（a+b）2＝a2+b2
【答案】A
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
2．（2024七上·广东期末）观察下图并发现规律，第n幅图共有平行四边形（ ）
A．n个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【知识点】探索图形规律
3．（2024七上·新会期中）已知与互为相反数，则的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】绝对值的非负性；相反数的意义与性质；求代数式的值-直接代入求值
4．（2024七上·高州月考）有理数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】整式的加减运算；化简含绝对值有理数；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴可知：，，
，，
，
故选：D．
【分析】本题考查了由数轴判断式子的正负，化简绝对值，以及整式的加减运算，根据数轴上数的位置，得到，，求得，，再结合绝对值运算，即可求解．
5．（2025七上·宝安期末）下列运算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】整式的加减运算；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、3m+3n≠3mn，选项A错误；
B、3a2-2a2=a2≠1，选项B错误；
C、2a2b-2ba2=0，选项C正确；
D、x3+2x3=3x3≠3x6，选项D错误.
故选：C.
【分析】根据整式的加减运算法则即可求出答案，注意：合并同类项时，系数相加减，字母及其指数不变.
6．（2025七上·光明期末）有一道题是一个多项式减去，小强误当成加法计算，结果得到，正确的结果应该是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：由题意可得：
原多项式为
∴正确结果为：
故答案为：A
【分析】根据题意求出原多项式，再求出正确结果.
7．（2024七上·鹤山月考）如果是同类项，那么，的值是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【知识点】同类项的概念
8．（2024七上·珠海月考）下列式子中，整式的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】整式的概念与分类
9．（2024七上·潮南月考）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】去括号法则及应用；添括号法则及应用
10．（2024七上·潮南月考）下面是小芳做的一道运算题，但她不小心把一滴墨水滴在了上面：
，阴影部分即为墨迹，那么被墨水遮住的一项应是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】整式的加减运算
11．（2024七上·南山期中）某商店洗衣机成本价为元，销售价比成本价增加了，现因库存积压以九折优惠价促销，那么该产品的实际售价为（ ）元．
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：依题意得，该产品的实际售价为，即.
故选：C．
【分析】本题考查了列代数式，依题意得，结合多项式的写法，得到该产品的实际售价为，即可求解．
12．（2024七上·番禺期中）在日历上，某些数满足一定的规律．如图是某年8月份的日历，任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则下列叙述中正确的是（ ）
A．左上角的数字为
B．左下角的数字为
C．右下角的数字为
D．方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数
【答案】D
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：由图可得，
右上角的数为a，则左上角的数字为，左下角的数字为，右下角的数字为，
故选项A、B、C均不符合题意，
，
∴方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
【分析】本题考查了列代数式和整式加减法的应用，根据题意，由右上角的数为a，则左上角的数字为，左下角的数字为，右下角的数字为，结合整数的加法，求得四个数的和，结合选项，逐项判定，即可求解.
二、填空题（每题3分，共15分）
13．（2025七上·宝安期末）请写出2×2yz的一个同类项
【答案】×2yz
【知识点】同类项的概念
【解析】【解答】解：答案不唯一，如×2yz，
故答案为：×2yz.
【分析】根据同类项的定义即可得知答案，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项.
14．（2024七上·信宜期中）若a与b互为相反数，m与n互为倒数，，则的值为 ．
【答案】
【知识点】有理数的倒数；求代数式的值-整体代入求值
15．（2024七上·阳山期中）如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律．根据此规律可以得出与、 的关系是 ．
【答案】M＝m（n＋1）
【知识点】探索数与式的规律
16．（2024七上·阳山期中）按照如图所示的操作步骤，若输入的值为，则输出的值为 ．
【答案】
【知识点】求代数式的值-程序框图
17．（2024七上·香洲期中）某设计公司设计出如图所示的一个图案（图中阴影部分），其中长方形的长为x，宽为y，扇形的半径为y，则图中阴影部分的面积S为 （用含的代数式表示）．
【答案】
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：S=，
故答案为：．
【分析】利用整体法，阴影部分面积等于整体面积减去空白部分面积，结合面积公式计算即可．
三、解答题（共7题，共49分）
18．（2025七上·宝安期末）先化简，再求值：，其中，。
【答案】解：原式=
当 时，
原式
【知识点】整式的加减运算；求代数式的值-化简代入求值
【解析】【分析】先将 去括号，合并同类项化简，再把， 代入计算即可.
19．（2024九上·深圳月考）粤港澳大湾区花展期间，在某盆栽销售处发现，某盆栽供应商的进货价为每盆30元，销售价为每盆60元，花节期间平均每天可以售出20盆．花节落幕后降价出售，经市场调查发现：如果每盆降价3元，那么平均每天就可多出售6盆．设每盆降价元．
（1）降价后平均每天卖出 盆；（用含的代数式表示）
（2）供应商想要达到每天750元的盈利，同时让购买者得到实惠，求每盆应降价多少元？
【答案】（1）
（2）解：根据题意可得：
，
整理，得：，
解得：，，
又要让购买者得到实惠，
，
答：每盆应降价元．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的实际应用-销售问题；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：（1）解：根据题意，得：
降价后平均每天卖出：（盆），
故答案为：；
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用（营销问题），列代数式，因式分解法解一元二次方程．
（1）根据“销售量原销售量因价格下降而增加的销量”，据此可列出式子，再进行化简可求出答案；
（2）根据“总盈利每盆盈利销售数量”，可列方程，解方程可求出x的值，再根据要让购买者得到实惠，进而可确定x的值，据此可确定答案.
20．（2024七上·广东期末）已知：．
（1）计算：；
（2）当，时，求的值；
（3）若的值与y的取值无关，求x的值．
【答案】（1）解：
；
（2）解：当，时，
原式；
（3）解：，∵的值与y的取值无关，
∴，
解得：．
【知识点】整式的加减运算；去括号法则及应用；多项式的项、系数与次数；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】（1）把A、B代入，根据整式的加减运算法则，合并同类项，进行计算，即可求解；
（2）把，代入（1）中的代数式，进行计算求值，即可得到答案；
（3）由的值与y的取值无关，得到，求得x的值，即可求解.
（1）解：
；
（2）解：当，时，
原式；
（3）解：，
∵的值与y的取值无关，
∴，
解得：．
21．（2024七上·福田期中）已知多项式，．
（1）填空：A是________次________项式，并化简；
（2）求的值；
（3）若与的和为0，求的值．
【答案】（1）二，三；
（2）解：
.
（3）解：根据题意：，∴，
∴
.
【知识点】整式的加减运算；多项式的项、系数与次数；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【解答】解：（1）多项式，， ，
∴A是二次三项式，
故答案为：二，三
解：（2）由
.
【分析】(1)根据多项式的概念，得到A是二次三项式，再整式的加减运算，合并同类项，即可求解；
(2)根据代数式的运算法则，化简原式为，再将，代入代数式，合并同类项，即可求解；
(3)由，得到，求得，再将，代入，合并同类项，即可得到答案.
（1）解：多项式，
∴A是二次三项式，
故答案为：二，三
（2）解：
（3）解：根据题意：，
∴，
∴
22．（2024七上·广东期末）某电信公司为了方便学生上网查资料，提供了两种上网优惠的方式：
计时制：0.08元/分钟；
包月制：40元/月（只限1台电脑上网）。
另外，不管哪种收费方式，上网时都要加收通信费0.03元/分钟．
（1）设小明某月上网时间为x分钟，请分别用含x的式子表示出两种收费方式下小明应支付的费用；
（2）1个月上网时间为多少分钟时，两种方式付费相等？
（3）如果1个月上网10小时，那么选择哪种方式更优惠？．
【答案】（1）计时制：0.08x+0.03x=0.11x，包月制：0.03x+40
（2）500分钟
（3）包月制
【知识点】一元一次方程的实际应用-计费问题；求代数式的值-直接代入求值
23．（2024八上·恩平月考）综合与实践
如图1，有A型，B型正方形卡片和C型长方形卡片各若干张．
（1）用1张A型卡片，2张B型卡片，3张C型卡片拼成一个长方形，如图2，用两种方法计算这个长方形面积，可以得到一个等式，请你写出该等式： ．
（2）选取1张A型卡片，8张C型卡片， 张B型卡片，可以拼成一个正方形，这个正方形的边长用含a，b的式子表示为 ．
（3）如图3，正方形边长分别为m，n，已知，，求阴影部分的面积．
【答案】（1）；
（2）
（3）．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景；因式分解的应用
24．（2024七上·珠海月考）观察下列等式：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：
请解答下列问题：
（1）按以上规律列出第5个等式：______；
（2）用含有的代数式表示第个等式：______（为正整数）；
（3）求的值；
（4）探究计算：．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；探索数与式的规律
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