5.分式——北师大版数学2025年中考一轮复习测
一、选择题（每题3分，共36分）
1．（2024九上·深圳开学考）式子，，，，，中，分式有个
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：根据分式的定义，得，，，是分式，
∴分式有4个，
故答案为：C.
【分析】由分式的定义：形如，A、B均为整式，且B中含有字母的式子叫做分式，即可求解.
2．（2024八上·惠来期中）函数中自变量的取值范围是（ ）
A．且 B．
C． D．
【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件；函数自变量的取值范围
3．（2024九上·香洲期末）如果分式有意义，那么x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵分式有意义，
∴x-1≠0，
∴x≠1，
故答案为：C
【分析】根据分式有意义的条件（分母不为0）结合题意得到x-1≠0，从而即可求解。
4．（2024八上·恩平期末）计算的结果等于（ ）
A． B．a C．1 D．
【答案】C
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：
，
故答案为：C.
【分析】利用分式的加法的定义及计算方法（①分母相同，分子相加；②分母不同，先通分，再将分子相加）分析求解即可.
5．（2024八下·普宁期末）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”下列分式中，是“和谐分式”的是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】解：A、=x+y，故不符合题意；
B、 的分子或分母不可以因式分解，故不符合题意；
C、， 分子或分母可以因式分解，且不可约分 故符合题意；
D、，故不符合题意；
故答案为：B .
【分析】根据“和谐分式”的定义，对各个选项进行变形，再判断即可.
6．（2024八下·宝安期末）如果，那么 的值为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵
∴，即
∴
故答案为：D．
【分析】根据题意得出代入分式进行计算即可求解．
7．（2024八下·罗湖期末）一人自A地步行到B地，速度为a，自B地步行返回到A地，速度为b，这人自A地到B地再返回A地的平均速度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式的加减法
8．（2024八上·东莞期末）若将分式中的x，y都扩大10倍，则分式的值（ ）
A．扩大为原来的10倍 B．缩小为原来的
C．缩小为原来的 D．不改变
【答案】D
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：，
∴分式的值不改变，
故答案为：D.
【分析】利用分式的基本性质（分式的分子、分母同时乘以或除以一个不等式的数或等式，分式的值不变）分析求解即可.
9．（2024·东莞模拟）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】原式
故答案为：C
【分析】
先将分式化成同分母，再计算分式的减法，最后化简分式即可．
10．（2024八下·信宜月考）如图，一个正确的运算过程被盖住了一部分，则被盖住的是（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】D
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：由题意得，被盖住的式子为：.
故答案为：D.
【分析】根据一个加数等于和减去另一个加数，列出式子，再根据同分母分式减法法则计算可得答案.
11．（2022八上·广州期末）分式与的最简公分母是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】最简公分母
【解析】【解答】解：∵，
∴与的最简公分母为，故D符合题意．
故答案为：D．
【分析】先将每个分母进行因式分解，然后取各分母数字系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作为最简公分母，据此解答即可.
12．（2019·白银）下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误（ ）.
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：
故从第②步开始出现错误。
故答案为：B。
【分析】利用异分母分式的加减法法则，先通分化为同分母分式，然后根据同分母分式的加法法则，分母不变分子相减，要注意的是分子相减的时候是整体相减。
二、填空题（每题3分，共15分）
13．（2024八上·天河期中）对于代数式，，定义运算“”：，例如：，若，则 ．
【答案】
【知识点】分式的加减法
14．（2024八上·南沙期末）要使分式有意义，则应满足的条件是 ．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】x-3≠0得x≠3.
故答案为：
【分析】直接由分式的分母不等于0，即得x的取值范围.
15．（2024九上·龙岗开学考）化简的结果是 ．
【答案】2x
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：原式=.
故答案为：2x.
【分析】先将括号里的分式通分计算，同时将分式除法转化为乘法运算，然后约分化简即可.
16．（2024九上·广州开学考）若式子有意义，则x的取值范围为 ．
【答案】x≥0且x≠2
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意可得x≥0，x-2≠0
即x≠2
故x的取值范围是x≥0，且x≠2
故答案是：x≥0且x≠2．
【分析】根据二次根式中被开方式大于等于0得出x≥0，根据分式中分母不为0得出x-2≠0，即可求解.
17．（2024八下·信宜期末）若，则 ， ．
【答案】2；
【知识点】分式的加减法；加减消元法解二元一次方程组
三、解答题（共7题，共49分）
18．先化简，再求值，其中
【答案】解：原式
当时，
原式
【知识点】分母有理化；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先根据分式的混合运算进行化简，进而代入数值，对分母有理化即可求解。
19．先化简再求值：；其中.
【答案】解：原式
原式
【知识点】列一元二次方程；分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】先根据分式的混合运算进行化简，再根据题意变换方程得到，进而代入化简即可求解。
20．（2024八上·恩平期末）阅读下列解题过程：
已知，求的值．
解：由，知，所以，即．
∴．
∴的值为7的倒数，即．
以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题：
（1）已知，则_________．
（2）解分式方程组：
（3）已知，，，求的值．
【答案】（1）3
（2）解：由 ，
得，
∴，
得，
∴，
把代入得，
∴，
经检验，，是原方程的解，
∴原方程组的解为.
（3）解：∵，，，
∴，，，
∴，
∴
．
【知识点】有理数的倒数；分式的加减法；解分式方程；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】（1）解：由，得到，
∴，
∴，
故答案为：3；
【分析】（1）参照题干中的计算方法求出，再求出即可；
（2）先将原方程组转为，再利用二元一次方程组的计算方法和分式的定义分析求解即可；
（3）先求出，，，再求出，最后求出即可．
（1）解：由，得到，
∴，
∴，
故答案为：3；
（2）解：由 得
∴，
得，
∴，
把代入得，
∴，
经检验，，是原方程的解，
∴原方程组的解为；
（3）解：∵，，，
∴，，，
∴，
∴
．
21．
（1）先化简，再求值：.其中.
（2）解分式方程：
【答案】（1）解：原式，
当时，原式
（2）解：去分母得：，
2x+4＝3，
2x＝﹣1，
检验：把代入最简公分母，
原分式方程的解为.
【知识点】去分母法解分式方程；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）先根据分式的混合运算进行化简，再直接代入数值即可求解；
（2）根据题意去分母，进而去括号，再移项合并同类项，最后系数化为1，进而检验即可求解。
22．（2024八下·顺德期末）已知函数，，解决下列问题：
（1）若，求x的取值范围；
（2）若，求实数A、B；
（3）若分式的值是正整数，求满足条件的所有整数x的值．
【答案】（1）解：∵，
∴，
解得：；
（2）解：
∵
∴
∴
∴，
解得：；
（3）解：∵分式的值是正整数，
∴
或，
解得：，
∵x为整数，
∴满足条件的所有整数x的值为2
【知识点】分式的加减法；解二元一次方程；解一元一次不等式；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】本题主要考查了异分母分式相加减，解不等式：
（1）根据，列出关于x的不等式，即可求解；
（2）根据异分母分式相加减可得
即：，从而得到，即
解二元一次方程组即可求出A、B；
（3）把，代入，根据分式的值是正数，可得或，求出x的取值范围，再根据为正整数即可求出X的值．
（1）解：∵，
∴，
解得：；
（2）解：
∵，
∴
∴，
∴，
解得：；
（3）解：，
∵分式的值是正整数，
∴或，
解得：，
∵x为整数，
∴满足条件的所有整数x的值为2．
23．（2024八下·英德期末）下面是亮亮进行分式化简的过程：
解：原式 第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
． 第六步
（1）第二步的依据是______；
（2）亮亮从第______步开始出现错误，该步错误的原因是______；
（3）请写出正确的化简过程；
（4）在分式化简的过程中，还需要注意哪些事项？请你给其他同学提一条建议．
【答案】（1）分式的基本性质
（2）【第1空】四；
【第2空】括号前是“－”，去括号后，括号内第二项没有变号
（3）解：
；
（4）最后结果应化为最简分式或整式（答案不唯一）
【知识点】分式的基本性质；分式的加减法
【解析】【解答】（1）解：第二步的依据是分式的基本性质，
故答案为：分式的基本性质；
（2）亮亮从第四步开始出现错误，该步错误的原因是括号前是“－”，去括号后，括号内第二项没有变号，
故答案为：四；括号前是“－”，去括号后，括号内第二项没有变号；
（4）在分式化简的过程中，还需要注意的事项有：最后结果应化为最简分式或整式（答案不唯一）
故答案为：最后结果应化为最简分式或整式．
【分析】（1）第二步是去分母，根据分式的基本性质通分，即可解答；
（2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答；
（3）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答；
（4）根据分式的混合运算以及化简步骤与格式要求，即可解答；
24．（2024九上·福田月考）阅读材料：
材料1：法国数学家弗朗索瓦 韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程（，）的两根，有如下的关系（韦达定理）：，；
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值．
解：一元二次方程的两个实数根分别为，，
，，则．
材料3：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将、看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：
一元二次方程的两个根为，，则______，______，______．
（2）类比应用：已知实数、满足，，且，求的值．
（3）思维拓展：已知，是一元二次方程的两个实数根．直接写出使的值为整数的实数的整数值．
【答案】（1），，；
解：（2）由题知，和可看成方程的两个实数根，
，．
，
，
．
所以．
故的值为．
（3）根据题意得且，解得，
，，
∴，
∴，
为整数，为整数，
，
解得，
又，
的整数值为或或．
【知识点】分式的化简求值；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：（1）一元二次方程的两个根为，，
，，
；
故答案为：，，；
【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系可得，，化简代数式，再整体代入即可求出答案.
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，再根据题意可得，化简代数式，再整体代入即可求出答案.
（3）根据一元二次方程根的判别式可得，再根据根与系数的关系求得，得到，即可求出答案.
1 / 15.分式——北师大版数学2025年中考一轮复习测
一、选择题（每题3分，共36分）
1．（2024九上·深圳开学考）式子，，，，，中，分式有个
A． B． C． D．
2．（2024八上·惠来期中）函数中自变量的取值范围是（ ）
A．且 B．
C． D．
3．（2024九上·香洲期末）如果分式有意义，那么x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024八上·恩平期末）计算的结果等于（ ）
A． B．a C．1 D．
5．（2024八下·普宁期末）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”下列分式中，是“和谐分式”的是( )
A． B．
C． D．
6．（2024八下·宝安期末）如果，那么 的值为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
7．（2024八下·罗湖期末）一人自A地步行到B地，速度为a，自B地步行返回到A地，速度为b，这人自A地到B地再返回A地的平均速度为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024八上·东莞期末）若将分式中的x，y都扩大10倍，则分式的值（ ）
A．扩大为原来的10倍 B．缩小为原来的
C．缩小为原来的 D．不改变
9．（2024·东莞模拟）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024八下·信宜月考）如图，一个正确的运算过程被盖住了一部分，则被盖住的是（ ）
A． B． C．2 D．1
11．（2022八上·广州期末）分式与的最简公分母是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2019·白银）下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误（ ）.
A．① B．② C．③ D．④
二、填空题（每题3分，共15分）
13．（2024八上·天河期中）对于代数式，，定义运算“”：，例如：，若，则 ．
14．（2024八上·南沙期末）要使分式有意义，则应满足的条件是 ．
15．（2024九上·龙岗开学考）化简的结果是 ．
16．（2024九上·广州开学考）若式子有意义，则x的取值范围为 ．
17．（2024八下·信宜期末）若，则 ， ．
三、解答题（共7题，共49分）
18．先化简，再求值，其中
19．先化简再求值：；其中.
20．（2024八上·恩平期末）阅读下列解题过程：
已知，求的值．
解：由，知，所以，即．
∴．
∴的值为7的倒数，即．
以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题：
（1）已知，则_________．
（2）解分式方程组：
（3）已知，，，求的值．
21．
（1）先化简，再求值：.其中.
（2）解分式方程：
22．（2024八下·顺德期末）已知函数，，解决下列问题：
（1）若，求x的取值范围；
（2）若，求实数A、B；
（3）若分式的值是正整数，求满足条件的所有整数x的值．
23．（2024八下·英德期末）下面是亮亮进行分式化简的过程：
解：原式 第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
． 第六步
（1）第二步的依据是______；
（2）亮亮从第______步开始出现错误，该步错误的原因是______；
（3）请写出正确的化简过程；
（4）在分式化简的过程中，还需要注意哪些事项？请你给其他同学提一条建议．
24．（2024九上·福田月考）阅读材料：
材料1：法国数学家弗朗索瓦 韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程（，）的两根，有如下的关系（韦达定理）：，；
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值．
解：一元二次方程的两个实数根分别为，，
，，则．
材料3：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将、看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：
一元二次方程的两个根为，，则______，______，______．
（2）类比应用：已知实数、满足，，且，求的值．
（3）思维拓展：已知，是一元二次方程的两个实数根．直接写出使的值为整数的实数的整数值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：根据分式的定义，得，，，是分式，
∴分式有4个，
故答案为：C.
【分析】由分式的定义：形如，A、B均为整式，且B中含有字母的式子叫做分式，即可求解.
2．【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件；函数自变量的取值范围
3．【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵分式有意义，
∴x-1≠0，
∴x≠1，
故答案为：C
【分析】根据分式有意义的条件（分母不为0）结合题意得到x-1≠0，从而即可求解。
4．【答案】C
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：
，
故答案为：C.
【分析】利用分式的加法的定义及计算方法（①分母相同，分子相加；②分母不同，先通分，再将分子相加）分析求解即可.
5．【答案】C
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】解：A、=x+y，故不符合题意；
B、 的分子或分母不可以因式分解，故不符合题意；
C、， 分子或分母可以因式分解，且不可约分 故符合题意；
D、，故不符合题意；
故答案为：B .
【分析】根据“和谐分式”的定义，对各个选项进行变形，再判断即可.
6．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵
∴，即
∴
故答案为：D．
【分析】根据题意得出代入分式进行计算即可求解．
7．【答案】B
【知识点】分式的加减法
8．【答案】D
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：，
∴分式的值不改变，
故答案为：D.
【分析】利用分式的基本性质（分式的分子、分母同时乘以或除以一个不等式的数或等式，分式的值不变）分析求解即可.
9．【答案】C
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】原式
故答案为：C
【分析】
先将分式化成同分母，再计算分式的减法，最后化简分式即可．
10．【答案】D
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：由题意得，被盖住的式子为：.
故答案为：D.
【分析】根据一个加数等于和减去另一个加数，列出式子，再根据同分母分式减法法则计算可得答案.
11．【答案】D
【知识点】最简公分母
【解析】【解答】解：∵，
∴与的最简公分母为，故D符合题意．
故答案为：D．
【分析】先将每个分母进行因式分解，然后取各分母数字系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作为最简公分母，据此解答即可.
12．【答案】B
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：
故从第②步开始出现错误。
故答案为：B。
【分析】利用异分母分式的加减法法则，先通分化为同分母分式，然后根据同分母分式的加法法则，分母不变分子相减，要注意的是分子相减的时候是整体相减。
13．【答案】
【知识点】分式的加减法
14．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】x-3≠0得x≠3.
故答案为：
【分析】直接由分式的分母不等于0，即得x的取值范围.
15．【答案】2x
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：原式=.
故答案为：2x.
【分析】先将括号里的分式通分计算，同时将分式除法转化为乘法运算，然后约分化简即可.
16．【答案】x≥0且x≠2
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意可得x≥0，x-2≠0
即x≠2
故x的取值范围是x≥0，且x≠2
故答案是：x≥0且x≠2．
【分析】根据二次根式中被开方式大于等于0得出x≥0，根据分式中分母不为0得出x-2≠0，即可求解.
17．【答案】2；
【知识点】分式的加减法；加减消元法解二元一次方程组
18．【答案】解：原式
当时，
原式
【知识点】分母有理化；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先根据分式的混合运算进行化简，进而代入数值，对分母有理化即可求解。
19．【答案】解：原式
原式
【知识点】列一元二次方程；分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】先根据分式的混合运算进行化简，再根据题意变换方程得到，进而代入化简即可求解。
20．【答案】（1）3
（2）解：由 ，
得，
∴，
得，
∴，
把代入得，
∴，
经检验，，是原方程的解，
∴原方程组的解为.
（3）解：∵，，，
∴，，，
∴，
∴
．
【知识点】有理数的倒数；分式的加减法；解分式方程；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】（1）解：由，得到，
∴，
∴，
故答案为：3；
【分析】（1）参照题干中的计算方法求出，再求出即可；
（2）先将原方程组转为，再利用二元一次方程组的计算方法和分式的定义分析求解即可；
（3）先求出，，，再求出，最后求出即可．
（1）解：由，得到，
∴，
∴，
故答案为：3；
（2）解：由 得
∴，
得，
∴，
把代入得，
∴，
经检验，，是原方程的解，
∴原方程组的解为；
（3）解：∵，，，
∴，，，
∴，
∴
．
21．【答案】（1）解：原式，
当时，原式
（2）解：去分母得：，
2x+4＝3，
2x＝﹣1，
检验：把代入最简公分母，
原分式方程的解为.
【知识点】去分母法解分式方程；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）先根据分式的混合运算进行化简，再直接代入数值即可求解；
（2）根据题意去分母，进而去括号，再移项合并同类项，最后系数化为1，进而检验即可求解。
22．【答案】（1）解：∵，
∴，
解得：；
（2）解：
∵
∴
∴
∴，
解得：；
（3）解：∵分式的值是正整数，
∴
或，
解得：，
∵x为整数，
∴满足条件的所有整数x的值为2
【知识点】分式的加减法；解二元一次方程；解一元一次不等式；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】本题主要考查了异分母分式相加减，解不等式：
（1）根据，列出关于x的不等式，即可求解；
（2）根据异分母分式相加减可得
即：，从而得到，即
解二元一次方程组即可求出A、B；
（3）把，代入，根据分式的值是正数，可得或，求出x的取值范围，再根据为正整数即可求出X的值．
（1）解：∵，
∴，
解得：；
（2）解：
∵，
∴
∴，
∴，
解得：；
（3）解：，
∵分式的值是正整数，
∴或，
解得：，
∵x为整数，
∴满足条件的所有整数x的值为2．
23．【答案】（1）分式的基本性质
（2）【第1空】四；
【第2空】括号前是“－”，去括号后，括号内第二项没有变号
（3）解：
；
（4）最后结果应化为最简分式或整式（答案不唯一）
【知识点】分式的基本性质；分式的加减法
【解析】【解答】（1）解：第二步的依据是分式的基本性质，
故答案为：分式的基本性质；
（2）亮亮从第四步开始出现错误，该步错误的原因是括号前是“－”，去括号后，括号内第二项没有变号，
故答案为：四；括号前是“－”，去括号后，括号内第二项没有变号；
（4）在分式化简的过程中，还需要注意的事项有：最后结果应化为最简分式或整式（答案不唯一）
故答案为：最后结果应化为最简分式或整式．
【分析】（1）第二步是去分母，根据分式的基本性质通分，即可解答；
（2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答；
（3）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答；
（4）根据分式的混合运算以及化简步骤与格式要求，即可解答；
24．【答案】（1），，；
解：（2）由题知，和可看成方程的两个实数根，
，．
，
，
．
所以．
故的值为．
（3）根据题意得且，解得，
，，
∴，
∴，
为整数，为整数，
，
解得，
又，
的整数值为或或．
【知识点】分式的化简求值；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：（1）一元二次方程的两个根为，，
，，
；
故答案为：，，；
【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系可得，，化简代数式，再整体代入即可求出答案.
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，再根据题意可得，化简代数式，再整体代入即可求出答案.
（3）根据一元二次方程根的判别式可得，再根据根与系数的关系求得，得到，即可求出答案.
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