6.一元一次方程——北师大版数学2025年中考一轮复习测
一、选择题（每题3分，共36分）
1．（2024七上·潮南月考）若是关于的一元一次方程，则等于（ ）
A． B． C．或 D．
2．（2024七上·南海期中）已知关于x的方程的解是，则a的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
3．（2024七上·深圳期末）为提高人们节约用水的意识，某市对“生活用水”实行分段计费，收费标准为：每月用水不超过立方米，则单价为元立方米；超过立方米的部分，单价为元立方米．小明家月份水费为元，设用水立方米（），以下方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·广州） 某新能源车企今年5月交付新车35060辆，且今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆．设该车企去年5月交付新车辆，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024七下·天河开学考）一家服装店在换季时积压了一批服装，为了缓解资金压力，决定打折销售，其中一条裤子成本为80元，按标价五折出售将亏30元，则这条裤子的标价为（ ）
A．100元 B．110元 C．120元 D．150元
6．（2024七下·天河开学考）下列运用等式的性质变形错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
7．（2024七上·高明期末）将方程式去分母，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024七上·龙岗期末）《诗经》是我国第一部诗歌总集，其中《颂》的部分有篇，比《风》的篇数少，求《风》的篇数．若设《风》有篇，则下列说法正确的是（ ）
A．依题意 B．依题意
C．依题意 D．《诗经》中《风》有160篇
9．（2024七下·宝安开学考）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一，书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳五尺：屈绳量之，不足一尺，木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？设木长x尺，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024七上·福田期末）整理一批图书，由一个人做要完成．现由某小组同学一起先整理后，有2名同学因故离开，剩下同学再整理，正好完成这项工作．假设每名同学的工作效率相同，设该小组共有x名同学，则x满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2023七上·大朗期末）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有x人，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
12．（2023七上·东莞期末）如图是一种正方形地砖的花型设计图，为了求这个正方形地砖的边长，可根据图示列方程（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共15分）
13．（2025七上·光明期末）由于换季，商场准备对某商品打折出售，如果按原售价的七折出售，将亏损40元，而按原售价的八五折出售，将盈利20元，则该商品的进货价为 元．
14．（2024七上·深圳期末）如图，有8个正方体，每个正方体的棱长为或者，它们的表面积和为，则它们的体积和为 ．
15．（2025七上·光明期末）若x=5是关于x的方程ax-8=20+a的解，则a的值为
16．（2024七上·电白期中）如果有理数m、n满足，且，则
17．（2024七上·翁源期中）规定一种新运算：．如．若的值与的取值无关，则的值为 ．
三、解答题（共7题，共49分）
18．（2024七上·珠海月考）解方程：
（1）；
（2）．
19．（2024七上·期中）如图，在一条数轴上，点为原点，点、、表示的数分别是，，．
（1）求的长；（用含的代数式表示）
（2）若，求的中点表示的数．
20．（2024九上·深圳月考）已知关于x的方程（m2﹣4）x2+（m+2）x+3m﹣1＝0．
（1）当m为何值时，该方程是一元二次方程？
（2）当m为何值时，该方程是一元一次方程？
21．（2024七下·阳东期末）一艘轮船从A地顺水航行到B地用了4小时，从B地逆水返回A地比顺水航行多用2小时，已知轮船在静水中的速度是25千米/时．
（1）求水流速度和AB两地之间的距离；
（2）若在这两地之间的C地建立新的码头，使该轮船从A顺水航行到C码头的时间是它从B逆水航行C码头所用时间的一半，问两地相距多少千米？
22．（2024七下·河源期末）如图，这是某飞镖游戏的磁性靶盘．珍珍玩了两局，每局投次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投，计分规则如下．
投中位置 A区 B区 脱靶
一次计分/分 3 1
在第一局中，珍珍投中A区5次，投中B区2次，脱靶3次．
（1）求珍珍第一局的得分；
（2）第二局，珍珍投中A区k次，投中B区3次，其余全部脱靶．若本局得分比第一局提高了8分，求k的值．
23．（2024七下·光明期末）某路口南北方向红绿灯的设置时间为：红灯30秒，绿灯若干秒，黄灯3秒．小明的爸爸随机地由南往北开车到达该路口．
（1）如果绿灯时长为70秒，那么他遇到绿灯的概率________遇到红灯的概率（填“”“”或“”）；
（2）若他遇到红灯的概率为，求每次绿灯时长为多少秒？
24．（2024七下·高州期中）某市出租车收费标准如下：3千米以内（含3千米）收费8元；超过3千米的部分每千米收费1.6元，当出租车行驶路程为x千米时，应收费为y元．
（1）请写出当时，y与x之间的关系式；
（2）小亮乘出租车行驶5千米，应付多少元？
（3）小亮付车费19.2元，出租车行驶了多少千米？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元一次方程的概念
2．【答案】D
【知识点】估计方程的解
3．【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-计费问题
【解析】【解答】解：设用水立方米（），由题意得
故答案为：B
【分析】设用水立方米（），根据“每月用水不超过立方米，则单价为元立方米；超过立方米的部分，单价为元立方米．小明家月份水费为元”列出方程，进而即可求解。
4．【答案】A
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：根据题意，可列方程为1.2x+1100=35060.
故答案为：A.
【分析】根据“ 今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆 ”列出方程即可.
5．【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-盈亏问题
6．【答案】B
【知识点】等式的基本性质
7．【答案】D
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：将方程去分母，
可得：，
故答案为：D.
【分析】利用解一元一次方程的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求解即可.
8．【答案】D
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】解：由题意得，，解得x=160，即 《风》有160篇 ，故选D.
故答案为：D.
【分析】根据题意， 《颂》 的总篇+《风》的总篇数的四分之三= 《风》 的总篇数，由此可列方程求解.
9．【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
10．【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解∶设该小组共有x名同学，由题意得，，
故选∶A.
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，设该小组共有x名同学，得到全体同学整理8小时完成的任务名同学整理4小时完成的任务，据此列出方程，即可得解．
11．【答案】A
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解： 本题设共有x人， 每人出8元，还盈余3元，则总价为8x-3， 每人出7元，则还差4元 ，则总价为7x+4，根据总价相等，即可列出等式，故A正确，B错误；
C、D：此二选项是设物品价格为x元，所列方程，与题目要求不符，故均错误.
故答案为：A.
【分析】题目给出两种购买方案，根据购买物品的总价不变，即可列出等式方程.
12．【答案】D
【知识点】一元一次方程的其他应用
13．【答案】320
【知识点】一元一次方程的实际应用-盈亏问题
【解析】【解答】解：设该商品售价为元
由题意可得，0.7x+40=0.85x-20
解得：x=400
则进价为：400×0.7+40=320元
故答案为：320
【分析】设该商品售价为元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵每个正方体的棱长为或者，
∴每个正方体的表面积为或者，每个正方体的体积为或者，
设小正方体的个数为x，则大正方形的个数为，
由题意可得：，解得：，
则，
所以它们的体积和为．
故答案为：
【分析】根据正方体表面积得到每个正方体的表面积为或者，每个正方体的体积为或者，设小正方体的个数为x，则大正方形的个数为，进而即可列出一元一次方程，从而解方程即可求解。
15．【答案】7
【知识点】一元一次方程的解；已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：将x=5代入方程可得：
5a-8=20+a，解得：a=7
故答案为：7
【分析】将x=5代入方程可得关于a的一次方程，再解方程即可求出答案.
16．【答案】
【知识点】等式的基本性质；有理数的乘方法则
17．【答案】
【知识点】整式的加减运算；解一元一次方程
18．【答案】（1）
（2）
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
19．【答案】（1）
（2）
【知识点】整式的加减运算；一元一次方程的实际应用-几何问题；数轴上两点之间的距离
20．【答案】（1）解：∵ 该方程是一元二次方程，
∴m2﹣4≠0，
解得：m≠±2，
当m≠±2时，该方程是一元二次方程；
（2）根据题意，m2﹣4＝0且m+2≠0，
解得：m＝2，
故当m＝2时，该方程是一元一次方程．
【知识点】一元一次方程的概念；一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的定义得m2﹣4≠0，求解即可；
（2）根据一元二次方程和一元一次方程的定义，令二次项系数为0，且一次项系数不是0，即可得一元一次方程.
21．【答案】（1）水流速度为5千米/时，两地相距120千米
（2）相距千米
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；二元一次方程组的实际应用-行程问题
22．【答案】（1）；
（2）；
【知识点】有理数混合运算的实际应用；一元一次方程的实际应用-积分问题
23．【答案】（1）
（2）解：设该路口绿灯设置的时长为x秒，
根据题意得：，
解得：．
答：路口绿灯设置的时长为60秒．
【知识点】一元一次方程的其他应用；概率的意义；简单事件概率的计算
【解析】【解答】（1）解：红灯30秒，
如果绿灯时长为70秒，那么他遇到绿灯的概率大于遇到红灯的概率，
故答案为：.
【分析】（1）利用概率公式求出遇到绿灯和红灯的概率，再比较大小即可；
（2）设该路口绿灯设置的时长为x秒，利用概率公式列出方程，再求解即可.
24．【答案】（1）
（2）11.2元
（3）10千米
【知识点】一元一次方程的其他应用；函数自变量的取值范围；用关系式表示变量间的关系
1 / 16.一元一次方程——北师大版数学2025年中考一轮复习测
一、选择题（每题3分，共36分）
1．（2024七上·潮南月考）若是关于的一元一次方程，则等于（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】A
【知识点】一元一次方程的概念
2．（2024七上·南海期中）已知关于x的方程的解是，则a的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【知识点】估计方程的解
3．（2024七上·深圳期末）为提高人们节约用水的意识，某市对“生活用水”实行分段计费，收费标准为：每月用水不超过立方米，则单价为元立方米；超过立方米的部分，单价为元立方米．小明家月份水费为元，设用水立方米（），以下方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-计费问题
【解析】【解答】解：设用水立方米（），由题意得
故答案为：B
【分析】设用水立方米（），根据“每月用水不超过立方米，则单价为元立方米；超过立方米的部分，单价为元立方米．小明家月份水费为元”列出方程，进而即可求解。
4．（2024·广州） 某新能源车企今年5月交付新车35060辆，且今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆．设该车企去年5月交付新车辆，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：根据题意，可列方程为1.2x+1100=35060.
故答案为：A.
【分析】根据“ 今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆 ”列出方程即可.
5．（2024七下·天河开学考）一家服装店在换季时积压了一批服装，为了缓解资金压力，决定打折销售，其中一条裤子成本为80元，按标价五折出售将亏30元，则这条裤子的标价为（ ）
A．100元 B．110元 C．120元 D．150元
【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-盈亏问题
6．（2024七下·天河开学考）下列运用等式的性质变形错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【知识点】等式的基本性质
7．（2024七上·高明期末）将方程式去分母，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：将方程去分母，
可得：，
故答案为：D.
【分析】利用解一元一次方程的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求解即可.
8．（2024七上·龙岗期末）《诗经》是我国第一部诗歌总集，其中《颂》的部分有篇，比《风》的篇数少，求《风》的篇数．若设《风》有篇，则下列说法正确的是（ ）
A．依题意 B．依题意
C．依题意 D．《诗经》中《风》有160篇
【答案】D
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】解：由题意得，，解得x=160，即 《风》有160篇 ，故选D.
故答案为：D.
【分析】根据题意， 《颂》 的总篇+《风》的总篇数的四分之三= 《风》 的总篇数，由此可列方程求解.
9．（2024七下·宝安开学考）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一，书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳五尺：屈绳量之，不足一尺，木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？设木长x尺，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
10．（2024七上·福田期末）整理一批图书，由一个人做要完成．现由某小组同学一起先整理后，有2名同学因故离开，剩下同学再整理，正好完成这项工作．假设每名同学的工作效率相同，设该小组共有x名同学，则x满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解∶设该小组共有x名同学，由题意得，，
故选∶A.
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，设该小组共有x名同学，得到全体同学整理8小时完成的任务名同学整理4小时完成的任务，据此列出方程，即可得解．
11．（2023七上·大朗期末）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有x人，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解： 本题设共有x人， 每人出8元，还盈余3元，则总价为8x-3， 每人出7元，则还差4元 ，则总价为7x+4，根据总价相等，即可列出等式，故A正确，B错误；
C、D：此二选项是设物品价格为x元，所列方程，与题目要求不符，故均错误.
故答案为：A.
【分析】题目给出两种购买方案，根据购买物品的总价不变，即可列出等式方程.
12．（2023七上·东莞期末）如图是一种正方形地砖的花型设计图，为了求这个正方形地砖的边长，可根据图示列方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元一次方程的其他应用
二、填空题（每题3分，共15分）
13．（2025七上·光明期末）由于换季，商场准备对某商品打折出售，如果按原售价的七折出售，将亏损40元，而按原售价的八五折出售，将盈利20元，则该商品的进货价为 元．
【答案】320
【知识点】一元一次方程的实际应用-盈亏问题
【解析】【解答】解：设该商品售价为元
由题意可得，0.7x+40=0.85x-20
解得：x=400
则进价为：400×0.7+40=320元
故答案为：320
【分析】设该商品售价为元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
14．（2024七上·深圳期末）如图，有8个正方体，每个正方体的棱长为或者，它们的表面积和为，则它们的体积和为 ．
【答案】
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵每个正方体的棱长为或者，
∴每个正方体的表面积为或者，每个正方体的体积为或者，
设小正方体的个数为x，则大正方形的个数为，
由题意可得：，解得：，
则，
所以它们的体积和为．
故答案为：
【分析】根据正方体表面积得到每个正方体的表面积为或者，每个正方体的体积为或者，设小正方体的个数为x，则大正方形的个数为，进而即可列出一元一次方程，从而解方程即可求解。
15．（2025七上·光明期末）若x=5是关于x的方程ax-8=20+a的解，则a的值为
【答案】7
【知识点】一元一次方程的解；已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：将x=5代入方程可得：
5a-8=20+a，解得：a=7
故答案为：7
【分析】将x=5代入方程可得关于a的一次方程，再解方程即可求出答案.
16．（2024七上·电白期中）如果有理数m、n满足，且，则
【答案】
【知识点】等式的基本性质；有理数的乘方法则
17．（2024七上·翁源期中）规定一种新运算：．如．若的值与的取值无关，则的值为 ．
【答案】
【知识点】整式的加减运算；解一元一次方程
三、解答题（共7题，共49分）
18．（2024七上·珠海月考）解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
19．（2024七上·期中）如图，在一条数轴上，点为原点，点、、表示的数分别是，，．
（1）求的长；（用含的代数式表示）
（2）若，求的中点表示的数．
【答案】（1）
（2）
【知识点】整式的加减运算；一元一次方程的实际应用-几何问题；数轴上两点之间的距离
20．（2024九上·深圳月考）已知关于x的方程（m2﹣4）x2+（m+2）x+3m﹣1＝0．
（1）当m为何值时，该方程是一元二次方程？
（2）当m为何值时，该方程是一元一次方程？
【答案】（1）解：∵ 该方程是一元二次方程，
∴m2﹣4≠0，
解得：m≠±2，
当m≠±2时，该方程是一元二次方程；
（2）根据题意，m2﹣4＝0且m+2≠0，
解得：m＝2，
故当m＝2时，该方程是一元一次方程．
【知识点】一元一次方程的概念；一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的定义得m2﹣4≠0，求解即可；
（2）根据一元二次方程和一元一次方程的定义，令二次项系数为0，且一次项系数不是0，即可得一元一次方程.
21．（2024七下·阳东期末）一艘轮船从A地顺水航行到B地用了4小时，从B地逆水返回A地比顺水航行多用2小时，已知轮船在静水中的速度是25千米/时．
（1）求水流速度和AB两地之间的距离；
（2）若在这两地之间的C地建立新的码头，使该轮船从A顺水航行到C码头的时间是它从B逆水航行C码头所用时间的一半，问两地相距多少千米？
【答案】（1）水流速度为5千米/时，两地相距120千米
（2）相距千米
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；二元一次方程组的实际应用-行程问题
22．（2024七下·河源期末）如图，这是某飞镖游戏的磁性靶盘．珍珍玩了两局，每局投次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投，计分规则如下．
投中位置 A区 B区 脱靶
一次计分/分 3 1
在第一局中，珍珍投中A区5次，投中B区2次，脱靶3次．
（1）求珍珍第一局的得分；
（2）第二局，珍珍投中A区k次，投中B区3次，其余全部脱靶．若本局得分比第一局提高了8分，求k的值．
【答案】（1）；
（2）；
【知识点】有理数混合运算的实际应用；一元一次方程的实际应用-积分问题
23．（2024七下·光明期末）某路口南北方向红绿灯的设置时间为：红灯30秒，绿灯若干秒，黄灯3秒．小明的爸爸随机地由南往北开车到达该路口．
（1）如果绿灯时长为70秒，那么他遇到绿灯的概率________遇到红灯的概率（填“”“”或“”）；
（2）若他遇到红灯的概率为，求每次绿灯时长为多少秒？
【答案】（1）
（2）解：设该路口绿灯设置的时长为x秒，
根据题意得：，
解得：．
答：路口绿灯设置的时长为60秒．
【知识点】一元一次方程的其他应用；概率的意义；简单事件概率的计算
【解析】【解答】（1）解：红灯30秒，
如果绿灯时长为70秒，那么他遇到绿灯的概率大于遇到红灯的概率，
故答案为：.
【分析】（1）利用概率公式求出遇到绿灯和红灯的概率，再比较大小即可；
（2）设该路口绿灯设置的时长为x秒，利用概率公式列出方程，再求解即可.
24．（2024七下·高州期中）某市出租车收费标准如下：3千米以内（含3千米）收费8元；超过3千米的部分每千米收费1.6元，当出租车行驶路程为x千米时，应收费为y元．
（1）请写出当时，y与x之间的关系式；
（2）小亮乘出租车行驶5千米，应付多少元？
（3）小亮付车费19.2元，出租车行驶了多少千米？
【答案】（1）
（2）11.2元
（3）10千米
【知识点】一元一次方程的其他应用；函数自变量的取值范围；用关系式表示变量间的关系
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