北师大版八下1.1.1 等腰三角形（1） 课件

(共26张PPT)
第一章 三角形的证明
1.1.1 等腰三角形（1）
北师大版 数学 八年级 下册
学习目标
1、经历“探索-发现-猜想-证明”的过程证明等腰三角形的有关性质，并能运用性质定理去解决实际问题；
2、在证明的过程中发现数学证明的要求和步骤，体会证明思想.
北京五塔寺
西安半坡博物馆
斜拉桥梁
体育观看台架
埃及金字塔
建筑物中有你熟悉的几何图形吗
情景导入
核心知识点一：
全等三角形的判定和性质
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.
在“平行线的证明”这一章中，我们学了8条基本事实定理.运用这些基本事实和已学习的定理，你能证明有关三角形全等的一些结论吗？
比如：
探索新知
证明一个命题的一般步骤:
(1)弄清题设和结论；
(2)根据题意画出相应的图形；
(3)根据题设和结论写出已知和求证；
(4)分析证明思路,写出证明过程.
思考：证明命题的步骤是什么？
探索新知
已知：如图,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF.
求证：△ABC≌△DEF.
证明：∵∠A+∠B+∠C=180°，
∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°），
∴∠C=180°－(∠A+∠B)，∠F=180°－(∠D+∠E).
∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知），
∴∠C=∠F（等量代换）.
∵BC=EF（已知），
∴△ABC≌△DEF（ASA）.
F
E
D
C
B
A
探索新知
全等三角形判定定理:
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）.
符号语言：
在△ABC与△A′B′C′中
∴ △ABC≌△A′B′C′（AAS）.
探索新知
根据全等三角形的定义，我们可以得到
符号语言：
∵△ABC≌△A′B′C′
∴ ∠A=∠A′,∠B=∠B′ ,∠C=∠C′
AB=A′B′, AC=A′C′, BC=B′C′.
全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等.
探索新知
核心知识点二：
等腰三角形的性质及其推论
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
如图所示△ABC中，AB=AC，则△ABC就是等腰三角形。
注意：只有等腰三角形才有底角和底边.
2、另一条边BC叫做底边;
3、两腰所夹的角∠BAC叫做顶角;
4、底边与腰的夹角∠ABC和∠ACB叫做底角.
1、相等的两条边AB和AC叫做腰;
1.定义：
顶角
底角
底角
底边
A
B
C
相关概念
探索新知
思考：(1)还记得我们知道的等腰三角形的性质吗
(2)你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗
自己折纸并观察，试写出等腰三角形的性质.
→
→
D
C
B
A
D
C
B
A
D
(C)
B
A
探索新知
A
B
C
D
如右图所示△ABC具有哪些性质？
角: ① ∠B = ∠C
② ∠BAD=∠CDA
③∠ADC= ∠ADB=900
边: ④BD = CD
对称性:
等腰三角形具有对称性
请你选择等腰三角形的一条性质进行证明
探索新知
证明：等腰三角形的两底角相等.
已知： 如图，在△ABC 中，AB= AC.
求证：∠B= ∠C .
A
B
C
分析：我们曾经利用折叠的方法说明了这两个底角相等. 实际上，折痕将等腰三角形分成了两个全等三角形. 这启发我们，可以作一条辅助线，把原三角形分成两个全等的三角形，从而证明这两个底角相等.
探索新知
证明：等腰三角形的两底角相等.
已知： 如图，在△ABC 中，AB= AC.
求证：∠B= ∠C .
A
B
C
证明：取BC的中点D ，连接AD，
∵ AB=AC， BD=CD ， AD=AD,
∴ △ABD≌△ACD （SSS）.
∴ ∠B= ∠C （全等三角形的对应角相等） .
D
你还有其他证明方法吗？
探索新知
证明：等腰三角形的两底角相等.
已知： 如图，在△ABC 中，AB= AC.
求证：∠B= ∠C .
A
B
C
D
证明：作顶角∠A的平分线，交BC于D ，
∵ AB=AC， ∠ BAD= ∠ CAD ， AD=AD,
∴ △ABD≌△ACD （SAS）.
∴ ∠B= ∠C （全等三角形的对应角相等） .
探索新知
证明：等腰三角形的两底角相等.
已知： 如图，在△ABC 中，AB= AC.
求证：∠B= ∠C .
A
B
C
D
证明：过点A作底边BC上的高，交BC于D ，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
∵ AB=AC， AD=AD,
∴△ABD≌△ACD （HL）.
∴ ∠B= ∠C （全等三角形的对应角相等） .
探索新知
定理：等腰三角形的两底角相等.
这一定理可以简述为：等边对等角.
几何语言：
∵AB=AC（已知）
∴ B= C（等边对角）
探索新知
在证明等腰三角形性质的方法中，不论是作顶角的平分线，还是作底边的中线，或者是底边的高线，都能通过两三角形的全等得出：所作辅助线既是顶角平分线，又是底边中线、高线.
你能总结出这个性质吗？
探索新知
推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(三线合一).
符号语言:
∵AB=AC，
∴
AD⊥BC.
BD＝CD.
∠BAD=∠CAD.
·
D
探索新知
当堂检测
1.等腰三角形的顶角是80°,则底角的度数是( )
A.80° B.70° C.60° D.50°
2.如图,已知△ABC是等腰三角形,AB=BC,BD平分∠ABC,若AC=10,则AD的长为
( )
A.2 B.3
C.4 D.5
D
D
当堂检测
3. 若实数m，n满足等式｜m－2｜＋ ＝0，且m，n恰好是等腰三角形ABC的两条边的长，则△ABC的周长为 .
4. 等腰三角形的一个内角为50°，则它的顶角的度数为 .
5. (生活情境题)如图所示的“三等分角仪”能三等分任意一个角，它是
由两根有槽的木棒PA，PB组成，两根木棒在点P相连，并可绕点P转动，点C固定，点O，A可在槽内滑动，OA＝OC＝PC，若∠AOB＝45°，则∠P的度数为 .
10
50°或80°
11.25°
当堂检测
6.已知在△ABC中，AB＝AC.
(1)如图1，若∠BAD＝30°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC
＝ ；
(2)如图2，若∠BAD＝40°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC
＝ ；
15°
20°
图1　 　　图2
当堂检测
7.如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF. 求证：AC∥DF.
证明：∵BE＝CF，
∴BE＋EC＝CF＋EC，即BC＝EF.
在△ABC和△DEF中，

∴△ABC≌△DEF(SSS).
∴∠F＝∠ACB.
∴AC∥DF.
当堂检测
8.如图，点B，F，C，E在同一条直线上，∠AOF＝2∠ACB，∠A＝∠D，AB＝DE. 求证：BF＝CE.
证明：∵∠AOF＝2∠ACB，∠AOF＝∠ACB＋∠DFE，
∴∠ACB＝∠DFE.
在△ABC和△DEF中，

∴△ABC≌△DEF(AAS).
∴BC＝EF.
∴BC－FC＝EF－FC，即BF＝CE.
证明：∵∠AOF＝2∠ACB，∠AOF＝∠ACB＋∠DFE，
∴∠ACB＝∠DFE.
在△ABC和△DEF中，

∴△ABC≌△DEF(AAS).
∴BC＝EF.
∴BC－FC＝EF－FC，即BF＝CE.
当堂检测
9.如图，在△ABC中，D，E是边BC上的两点，连接AD，AE，已知BE＝CD，AD＝AE. 求证：AB＝AC.
证明：∵BE＝CD，
∴BD＋DE＝CE＋DE.
∴BD＝CE.
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED.
∴∠ADB＝∠AEC.
在△ADB和△AEC中，

∴△ADB≌△AEC(SAS).
∴AB＝AC.
1．知识方面：
（1）等腰三角形的性质：等边对等角.
（2）等腰三角形性质的推论：三线合一，即等腰三角
形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线
互相重合.
2．思想方法：转化思想的应用，等腰三角形的性质是
证明角相等、边相等的重要方法.
感谢收看