1.1.4等腰三角形（4） 课件(共25张PPT)

(共25张PPT)
第一章 三角形的证明
1.1.4等腰三角形（4）
北师大版 数学 八年级 下册
学习目标
1.理解等边三角形的判别条件及其证明；并能利用定理解决一些简单的问题.
2.理解含有30 角的直角三角形性质及其证明，并能有意识渗透逆向思维的思想。
情景导入
图形 等腰三角形
　性 质
三线合一
三个角都相等，
轴对称图形（3条）
等边三角形
轴对称图形（1条）
两个角相等
三线合一
两条边相等
三边都相等
核心知识点一：
等边三角形的判定
你能画一个等边三角形吗？
一个三角形满足什么条件时是等边三角形？
三条边相等的三角形是等边三角形（定义）
从角的角度怎样判断一个三角形是等边三角形？
探索新知
猜想：三个角都相等的三角形是等边三角形.
核心是等腰三角形判定的两次应用
已知：如图，∠A= ∠ B=∠C.
求证： AB=AC=BC.
证明：∵ ∠A= ∠ B,
∴ AC=BC.
∵ ∠ B=∠C,
∴ AB=AC.
∴AB=AC=BC.
A
B
C
探索新知
思考：一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形
猜想：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
想一想怎样证明这个猜想？
探索新知
A
B
C
等腰三角形的性质+内角和定理=定理1
已知： 若AB=AC , ∠A= 60°.
求证： AB=AC=BC.
证明：∵AB=AC , ∠A= 60 °.
∴∠B＝∠C＝ (180。－∠A)= 60°.
∴∠A= ∠ B=∠C.
∴AB=AC=BC.
猜想：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
证明完整吗？是不是还有另一种情形呢？
探索新知
证明:∵AB=AC,∠B=60°(已知),
∴∠C=∠B=60°(等边对等角)，
∴∠A=60°(三角形内角和定理)．
∴∠A=∠B =∠C=60°．
∴△ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形).
已知:如图,在△ABC中，AB=AC,∠B=60°．
求证:△ABC是等边三角形．
第二种情况：有一个底角是60°.
A
C
B
60°
探索新知
归纳总结
1.定义：三条边都相等的三角形是等边三角形.
等边三角形的判定方法：
3.定理：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
2.定理：三个角都相等的三角形是等边三角形.
推导过程：∵AB＝BC＝CA，∴ △ABC是等边三角形.
推导过程：∵∠A＝ ∠ B＝ ∠ C，∴ △ABC是等边三角形.
推导过程：∵AB＝AC，∠A＝ 60°，∴ △ABC等边三角形.
C
B
A
探索新知
等边 三角形 性质 判定的条件
三条边都相等
“三线合一”,即等腰三角形顶角平分线，底边上的中线、高线互相重合
有一角是60°的等腰三角形是等边三角形
等边三角形三个内角都相等，且每个角都是60°
三个角都相等的三角形是等边三角形
三条边都相等的三角形是等边三角形
归纳总结
探索新知
已知：如图，在等边三角形ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O，OB，OC 的垂直平分线分别交BC 于点E，F，连接OE，OF.
求证：△OEF 是等边三角形．
例：
探索新知
∵E，F 分别是线段OB，OC 的垂直平分线上的点，
∴OE＝BE，OF＝CF.
∴∠OBE＝∠BOE，∠OCF＝∠COF.
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°.
又∵BO，CO 分别平分∠ABC 和∠ACB，
∴∠OBE＝∠BOE＝∠OCF＝∠COF＝30°.
∴∠OEF＝∠OFE＝60°.
∴∠EOF＝180°－2×60°＝60°.
∴△OEF 是等边三角形．
证明：
探索新知
核心知识点二：
含30°角的直角三角形的性质
做一做: 用两个含有30°角的三角板，你能拼成一个怎样的三角形？
30°
30°
30°
30°
30°
等边三角形
等腰三角形
猜想:在直角三角形中, 30°角所对的直角边等于斜边的一半.
探索新知
已知:如图,在△ABC中,∠ACB=90°，∠A=30°.
求证:BC= AB.
A
30°
B
C
证明：延长BC至点D，使CD＝BC，连接AD.
∵∠ACB ＝ 90°，∠BAC＝30°.
∴∠ACD＝90°，∠B＝ 60°.
∵AC ＝AC,∴△ABC≌△ADC ( SAS ).
∴AB＝AD(全等三角形的对应边相等）.
∴△ABD是等边三角形（有一个角等于60°的等
腰三角形是等边三角形）
∴ BC＝ BD＝ AB.
30°
A
B
C
D
探索新知
归纳总结
几何语言：在Rt△ABC中
∵∠A＝30°
∴ BC＝ AB
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
探索新知
例：求证：如果等腰三角形的底角为 15°，那么腰上的高是腰长的一半.
已知：如图，在△ABC 中， AB= AC， ∠B=15°，CD是腰AB上的高.
求证： CD= AB.
证明：在△ABC中，∵AB＝AC，∠B＝15°
∴∠ACB＝∠B＝15°(等边对等角).
∴∠DAC＝∠B＋∠ACB＝15°＋15°＝30°.
∵ CD是腰AB上的高，∴∠ADC＝ 90°.
∴CD＝ AC. ∴CD= AB.
探索新知
当堂检测
1.如图,以点O为圆心,任意长为半径画弧,与射线OM交于点A,再以点A为圆心,AO长为半径画弧,两弧交于点B,画出射线OB,则∠AOB=( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
C
当堂检测
2.已知直角三角形中30°角所对的直角边为4 cm,则斜边的长为( )
A.8 cm B.6 cm
C.4 cm D.2 cm
3.在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,最长边AB=16 cm,则最短边BC的长是( )
A.5 cm B.6 cm
C.7 cm D.8 cm
A
D
当堂检测
4.Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=2cm，则AB的长度是（ ）
A.2cm B.4 cm C.8 cm D.16cm
5.如图，折叠直角三角形纸片，使点C落在AB边上的点E处，已知 BC=12，∠B=30°，∠C=90°，则DE的长是________.
A
E
B
D
C
C
4
当堂检测
6.已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3cm，则△ABC的周长为______cm.
7.在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝3．
则AC=_____;BC=_______．
A
B
C
9
6
当堂检测
证明：∵∠A = 30°，CD ⊥ AB ，∠ACB = 90°
∴ BC = ∠B = 60°．
∴∠BCD = 30°．
∴BD =
∴BD =
8.已知：如图，在△ABC中，∠ACB ＝ 90°，∠A＝30°，CD⊥AB于D．求证：BD ＝
D
A
C
B
30°
当堂检测
　9.如图,点P,M,N分别在等边△ABC的各边上,且MP⊥AB于点P,MN⊥BC于点M,PN⊥AC于点N.
求证:△PMN是等边三角形.
当堂检测
【证明】∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠B=∠C,
∵MP⊥AB,MN⊥BC,PN⊥AC,
∴∠MPB=∠NMC=∠PNA=90°,
∴∠PMB=∠MNC=∠APN,
∴∠NPM=∠PMN=∠MNP,
∴△PMN是等边三角形.
1、等边三角形的判定方法:
（1）等边三角形的定义：三边相等的三角形是等边三角形
（2）定理: 三个角都相等的三角形是等边三角形.
（3）定理: 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
2、含有30 角的直角三角形的性质:
（1）定理: 在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30°, 那么它所对的直角边等于斜边的一半.
（2）逆定理: 在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜边的一半, 那么它所对的锐角等于30°.
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